Trang HÀM SỐ y ax , a 0 Tính chất hàm số y ax , a 0 :  Nếu a  hàm số nghịch biến x  đồng biến x   Nếu a  hàm số đồng biến x  nghịch biến x  Ví dụ : Cho hàm số y  x lập bảng tính giá trị hàm số y tương ứng với giá trị 1 x  2;  1;  ;0; ;2;3;9 Bài giải 1 x  2 1 1 y x2 4 81 Ví dụ : Cho hàm số y 3x lập bảng tính giá trị hàm số y tương ứng với giá trị 1 x  2;  1;  ;0; ;2;3;9 Bài giải x 2 1 y 3x 12 Ví dụ : Cho hàm số y  x  2;  1;   0 3 12 27 243 x lập bảng tính giá trị hàm số y tương ứng với giá trị 1 ;0; ;2;3;9 Bài giải x 2 1 y  x2  0 27 81 2 Đồ thị hàm số y ax , a 0 : đường cong qua gốc tọa độ O  0;0  nhận trục Oy làm trục đối xứng; đường cong có tên parabol  Nếu a  đồ thị nằm phía trục hồnh O  0;0  điểm thấp đồ thị  Nếu a  đồ thị nằm phía trục hồnh O  0;0  điểm cao đồ thị Trang Ví dụ : Vẽ đồ thị hàm số y  x 1 x  2 1 2 1 1 y x 4 Ví dụ : Vẽ hệ trục tọa độ, đồ thị hàm số : y 2 x So sánh có kết luận ? Bài giải 1 x  2 1 2 1 y 2 x 2 2 3 y 3x 12 3 12 4 y 3x 18 27 Đồ thị hàm số y 3x nằm đồ thị hàm số y 2 x Khi a  b đồ thị hàm số y ax nằm đồ thị hàm số y bx Ví dụ : Vẽ hệ trục tọa độ, đồ thị hàm số : y 3x y  3x So sánh có kết luận ? Bài giải 1 x  2 1 2 3 y 3x 12 3 12 27 4 3 3 3    12  27 y  3x  12 4 Đồ thị hàm số y 3x đối xứng với đồ thị hàm số y  3x qua trục hoành Ox Đồ thị hàm số y ax đối xứng với đồ thị hàm số y  ax qua trục hồnh Ox Ví dụ : Xác định hệ số a hàm số y ax biết : a) Đồ thị qua điểm A  3;12  b) Đồ thị qua điểm B   2;3 Trang Bài giải 12 a) Đồ thị hàm số y ax qua điểm A  3;12  ta có 12 a.32  a   3 b) Đồ thị hàm số y ax qua điểm B   2;3 ta có a     a  Ví dụ : Cho hàm số y 0, x a) Biết điểm A   2; b  thuộc đồ thị, tính b ? Điểm A '  2; b  có thuộc đồ thị khơng ? Vì ? b) Biết điểm B  b;6  thuộc đồ thị, tính b ? Điểm C  b;   có thuộc đồ thị khơng ? Vì ? Bài giải a) Biết điểm A   2; b  thuộc đồ thị hàm số y 0, x , ta có b 0,    0,8 Điểm A '  2; b  thuộc đồ thị y 0, x Vì A ' đối xứng với A qua trục tung b) Biết điểm B  b;6  thuộc đồ thị hàm số y 0, x , 0, 2b  b 30  b  30 Điểm C  b;   không thuộc đồ thị y 0, x Vì C  b;   đối xứng với B qua trục hồnh Ví dụ : Cho hai hàm số y 0, x y  x a) Vẽ hệ trục tọa độ, đồ thị hai hàm số b) Tìm tọa độ giao điểm Bài giải 1 x  2 1 2 0, 0,05 0,05 0, 0,8 1,8 y 0, x 0,8 y x 2 1  2 Tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số y 0, x y  x nghiệm hệ phương trình   x1 0  y x   y x  y x   y1 0 x          2  y 0, x 0, x  x 0   x 5   x2 5    y 5  2 Ví dụ : Cho hàm số y 3x y  x a) Vẽ hệ trục tọa độ, đồ thị hai hàm số b) Tìm tọa độ giao điểm Trang Bài giải x 2 1 y 3x 12 y x 2 1   0 2 3 12 27 Tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số y 3x y  x nghiệm hệ phương trình   x1 0   y x   y1 0   y x  y x    x1 0     x2 1    2   y 3x 3 x  x 0    x 1      y2    LUYỆN TẬP Bài : Cho hàm số y 2 x lập bảng tính giá trị hàm số y tương ứng với giá trị 1 1 x  2;  1;  ;  ;0; ; ;2;5 4 Bài : Cho hàm số y  x lập bảng tính giá trị hàm số y tương ứng với giá trị 1 1 x  2;  1;  ;  ;0; ; ;2;5 Bài : Vẽ hệ trục tọa độ, đồ thị hàm số : y 4 x y  x Bài : Xác định hệ số a hàm số y ax biết : a) Đồ thị qua điểm A   2;2  b) Đồ thị qua điểm B   2;5  Bài : Cho hai hàm số y  0,3x y  x a) Vẽ hệ trục tọa độ, đồ thị hai hàm số b) Tìm tọa độ giao điểm PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Nghiệm-tập nghiệm phương trình  Giá trị x  x0 làm cho hai vế phương trình có giá trị x  x0 nghiệm phương trình Trang  Tập hợp tất nghiệm phương trình gọi tập nghiệm phương trình, ký hiệu S  Phương trình khơng có nghiệm gọi phương trình vơ nghiệm, nghĩa S   Phương trình nghiệm với giá trị ẩn gọi phương trình có vơ số nghiệm, nghĩa S R Các phép biến đổi phương trình  Phép chuyển hạng tử từ vế sang vế phương trình mà đổi dấu phép biến đổi tương đương  Khi ta nhân (hoặc chia) hai vế phương trình với số ( biểu thức ) khác O phương trình tương đương  Phép bình phương, phép khai phương, phép biến đổi tỷ lệ thức phép biến đổi không tương đương Định nghĩa phương trình bậc hai ẩn Phương trình bậc hai ẩn số x phương trình có dạng ax  bx  c 0, a 0 b  b  4ac  Ví dụ : Giải phương trình, cách biến đổi phương trình dạng  x    2a  4a  a) x  x  0 b) m  3m 0 c) 4t  0 d) x  x  0 e) x  x  0 f) x  x  0 g) x  12 x  0 h) x  x  0 Bài giải 2 b b  b  4ac  b   b  c  ax  bx  c 0  x  x         x    2a 2a  4a  2a   2a  a  2 2 2 3  1  3  3  a) x  x  0  x  x         x     2  2  2  2  3 3 Hoặc x    x   2 x    x   1 2 2 2 2 b) m  3m 0  m  m  3 0  m1 0; m2  c) 4t  0  t  9   t  4 2 d) x  x  0  x  2.1x  12    x  1  : phương trình vơ nghiệm  x1 5  x  2 e) x  x  0  x  2.3 x  32 32    x  3 22      x    x2 1 2 3 37  37  3  3  2 f) x  x  0  x  x         x     x  2 2  2  2  11 11 g) x  12 x  0  x  2.2 x  22 22    x     x 2  3 5 2 h) x  x  0  x  x  0  x  x  12 1    x  1  pt vô nghiệm 3 CƠNG THỨC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH ax  bx  c 0, a 0 Trang Phương trình bậc hai khuyết  ax 0  x 0  x1  x2 0  x1 0  ax  bx 0  x  ax  b  0    x2  b a   ac  : Vo _ nghiem c  2  ax  c 0  x    c a ac  : x1/    a 2 Phương trình bậc hai đủ ax  bx  c 0,  1 a) Nhẩm nghiệm ( ) c  Nếu a  b  c 0 x1 1 ; x2  a c  Nếu a  b  c 0 x1  ; x2  a b b) Nếu b số chẵn : tính b '  tính  ' b '2  ac ( gọi biệt số thu gọn pt bậc 2)  b '  '  b '  '  Nếu  '  phương trình bậc có hai nghiệm phân biệt : x1  , x2  a a b'  Nếu  ' 0 phương trình bậc có nghiệm kép : x1  x2  a  Nếu  '  phương trình bậc vơ nghiệm c) Nếu b số lẻ : tính  b  4ac ( gọi biệt số phương trình bậc 2)  b    Nếu   phương trình bậc có hai nghiệm phân biệt : x1/  2a b  Nếu  0 phương trình bậc có nghiệm kép : x1  x2  2a  Nếu   phương trình bậc vơ nghiệm Ghi nhớ : Phương trình bậc hai ax  bx  c 0, a 0 có hai nghiệm phân biệt hai hệ số a c trái dấu Ví dụ : Khơng giải phương trình, xác định hệ số a, b, c, tính biệt số xác định số nghiệm phương trình : a) x  x 0 b) x  x  0 c) x  0 d) x  10 x  0 e) x  x  0 f) 1,7 x  1, x  2,1 0 Bài giải a) x  x 0 ta có a 3, b 5, c 0 phương trình bậc hai khuyết c b) x  x  0 ta có a 2, b  7, c 3 2  b  4ac     4.2.3 25 phương trình có hai nghiệm phân biệt Trang c) x  0 ta có a 4, b 0, c  Phương trình bậc hai khuyết b d) x  10 x  0 ta có a 5, b 2 10, c 2   b  4ac  10   4.5.2 0 phương trình có nghiệm kép 2 x  x  0 ta có a  , b 7, c  3 2  b  4ac    47 phương trình có hai nghiệm phân biệt 3 f) 1,7 x  1, x  2,1 0 ta có a 1,7, b  1, 2, c  2,1 e)  b  4ac   1,   4.1,7   2,1 15,72 phương trình có hai nghiệm phân biệt Ví dụ : Giải phương trình a) x  x 0 b) x  0 c) x  0 d) x  x  0 e) x  x  0 f) x  x  0 g) x  x  0 h) y  y  16 0 k) 16 z  24 z  0 Bài giải a) x  x 0  x1 0 ; x2  b) x  0  x1/   2 c) x  0 a c dấu nên phương trình vơ nghiệm d) x  x  0  b  4ac     4.2.3 25 12  b        25 5  x1  3 ; x2     4 2a 2.2 2.2 2 e) x  x  0  1  4.6.5  119  nên phương trình vơ nghiệm 2 f) x  x  0  1  4.6    121 11  11 12 10  ; x2   nên x1/   x1  2.6 12 2.6 g) x  x  0  52  4.3.2 1  1 4  nên x1/   x1  ; x2  2.3 2.3  128 h) y  y  16 0      4.1.16 128 nên y1/  b 24   k) 16 z  24 z  0  24  4.16.9 0 nên z1  z2  2a 2.16 Ví dụ : Phương trình tích  x  a   x  b  0 ln có hai nghiệm x1 a; x2 b Lập phương trình có cặp nghiệm : a) x1 2; x2 5 b) x1  ; x2 3 c) x1 0,1; x2  0,3 d) x1 1  2; x2 1  2 Bài giải a) với x1 2; x2 5 phương trình  x    x   0  x  x  10 0 nên x1/  Trang 1 1  ; x2 3 ph trình  x    x  3 0  x  3x  x  0  x  x  0 2 2  c) x1 0,1; x2  0,3 phương trình  x  0,1  x  0,3 0  x  0, x  0,03 0 b) x1  d) x1 1    2; x2 1  phương trình x      x      0  x  x  0 Ví dụ : Giải phương trình x  x  0 đồ thị a) Vẽ hệ trục tọa độ đồ thị hàm số y 2 x y  x  b) Tìm hồnh độ giao điểm hai đồ thị Hãy giải thích hồnh độ nghiệm phương trình cho c) Dùng cơng thức nghiệm giải phương trình, so sánh kết tìm Bài giải a) Vẽ hệ trục tọa độ đồ thị hàm số y 2 x y  x  1 x  2 1 2 1 18 2 y 2 x 2 y  x  3 2 b) Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y 2 x y  x  x1 1 ; x2  x1 1 ; x2  nghiệm phương trình hồnh độ x  x  0 c) Dùng công thức nghiệm giải phương trình : x  x  0  b    5 2 Vì  b  4ac 1  4.2.  3 25 5 nên x1/   x1 1 ; x2   2a 2.2 Hai cách giải cho ta kết Bài tập : Với giá trị x giá trị hai hàm số : 1 a) y  x y 2 x  a) y  x y  x  2 Ghi nhớ : Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  nghiệm phương trình f  x   g  x  ngược lại Ví dụ : Giải phương trình a) x  x  0 b)  3x  14 x  0 Ví dụ : Giải phương trình   a) x  x  x  b) x  c) x  2  x  1 d) 0,5 x  x  1  x  1 Phương trình có hệ số chữ c)  x  x 3 d) y  y  0   x  1  x  1 Trang Giải biện luận phương trình : ax  bx  c 0 , (1)  Nếu a 0 , phương trình (1) dạng bx  c 0 , (1) o Nếu b 0 c 0 phương trình (1) có vơ số nghiệm x o Nếu b 0 c 0 phương trình (1) có vơ nghiệm b a  Nếu a 0 , b c 0 phương trình (1) dạng ax 0  x1  x2 0  Nếu a 0 , b 0 , c 0 phương trình (1) dạng ax  c 0 : o a c dấu phương trình (1) vô nghiệm c c o a c trái dấu phương trình (1) có hai nghiệm đối x1   ; x2   a a b  Nếu a 0 , b 0 , c 0 phương trình (1) dạng ax  bx 0  x1 0; x2  a 2  Nếu a 0 , b 0 , c 0 phương trình (1) dạng ax  bx  c 0 , tính  b  4ac  b    b   o Nếu   phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt : x1  , x1  2a 2a b o Nếu  0 phương trình bậc có nghiệm kép : x1  x2  2a o Nếu   phương trình bậc vơ nghiệm Ví dụ : Với giá trị tham số m phương trình có nghiệm kép ? a) x  3mx  0 b)  m  1 x   m  1 x  0 o Nếu b 0 phương trình (1) có nghiệm x  c) x  4mx  0 e) x  2mx  m  0 g) x  10 x  m  0 a) b) c) d) e) d) x  x  3m 0 f) 4mx  x   m 0 h) x  12 x  m  0 Hướng dẫn a 0 Phương trình ax  bx  c 0 có nghiệm kép   0 x  3mx  0 ,  9m   m  1 x   m  1 x  0 ,  ' m2  x  4mx  0 ,  ' 4m  x  x  3m 0 ,  ' 1  3m x  2mx  m  0 ,  ' m  m   m  1  m   f) 4mx  x   m 0 ,  '  2m  1 Ví dụ : Với giá trị tham số m phương trình sau có hai nghiệm phân biệt ? a) x  x  m 0 b) 3x   2m  1 x  m  0 c) x  x  3m 0 e) 4mx  x   m 0 g) x  kx  k 0 d) mx  x  3m 0 f) x  2mx   m 0 h) m x  mx  0 Trang 10 Hướng dẫn a 0 Phương trình ax  bx  c 0 có hai nghiệm phân biệt    a) x  x  m 0 ,  9  4m b) 3x   2m  1 x  m  0 ,  ' 4m  c) x  x  3m 0 ,  ' 1  3m d) mx  x  3m 0 ,  ' 4  3m 2 e) 4mx  x   m 0 ,  '  2m  1 f) x  2mx   m 0 ,  ' m  Ví dụ : Với giá trị tham số m phương trình vơ nghiệm ? a) m x  5mx  0 b) mx   m  3 x  m  0 c) x  3mx  0 e) mx   m  1 x  m  0 d) x   2m  1 x  m  0 f) mx  3mx  0 g) x  3mx  0 Hướng dẫn  a 0 a 0  Phương trình ax  bx  c 0 vô nghiệm b 0    c 0  a) b) c) d) m x  5mx  0 ,  21m mx   m  3 x  m  0 ,  ' 9  5m x  3mx  0 ,  ' 9m  x   2m  1 x  m  0 ,  4m  e) mx   m  1 x  m  0 ,  ' 2m  f) mx  3mx  0 ,  '  11m g) x  3mx  0 ,  ' 9m  Ví dụ : Với giá trị tham số m phương trình có nghiệm ? 2 a) mx   2m  1 x  m  0 b) x   4m  3 x  2m  0 a) b) c) d) e) x  3mx  0 ,  9m   m  1 x   m  1 x  0 ,  ' m2  x  4mx  0 ,  ' 4m  x  x  3m 0 ,  ' 1  3m x  2mx  m  0 ,  ' m  m   m  1  m   f) 4mx  x   m 0 ,  '  2m  1 a 0 a 0 Ph trình ax  bx  c 0 có nghiệm a b c 0   b 0  0 Trang 17 Bài giải Ghi nhớ :  ax 2 2  bx  c   mx  nx  p    ax  bx  c    mx  nx  p  0    ax  bx  c    mx  nx  p     ax  bx  c    mx  nx  p  0  ax  bx  c  mx  nx  p 0  2  ax  bx  c   mx  nx  p  0 2 a)  x  1  x  x   0  x  0 x  x  0 : a1) x  0  x1  , x2 1 a2) x  x  0  x3 1 , x4 2 Vậy phương trình có ba nghiệm : x1  , x2 1 , x3 2 b) x 2  3x   x    x  x  x  0 x  x  x  0   29  21 b2) x  x  0  x  b1) x  x  0  x  Vậy phương trình có bốn nghiệm : x  Tương tự c) x 2   29  21 , x 2  x    x  x    x b) c)  x  x    x   d) x Bài tập : Giải phương trình a) x  x3 0 2  x  x  4   x  1  3 0 f)  x  1  0,6 x  1 0,6 x   2 e)  3x  x  10   x   2 2 0 x  x    x  x  3 0 d)  2x 2  x  1   x  x   0 Phương trình bậc biết nghiệm ax  bx  cx  d 0, a 0  Phương trình ax  bx  cx  d 0 có nghiệm x m đa thức ax  bx  cx  d phân tích thành tích  x  m  nhân với đa thức bậc hai  Các giá trị x m thường : 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3 Ví dụ : Giải phương trình a) x  3x  x 0 b) x  x  x  0 2 c) x  3x 1  x d)  x  1  x  3  x  x  3 2 2 e) x  x   x  3  x  1  x   f)  x  1  0,5 x  x  x  1,5  Bài giải a) x  3x  x 0  x  x  3x  1 0  x 0 x  x  0 2 Trang 18  x 0 x  x  x  0  x 0 x  x  1   x  1 0  x 0  x  1  x  1 0  x 0 x 1 x  2 b) x  x  x  0  x  x  1   x  1 0   x  1  x  1 0  x  c) x  3x 1  x  x  3x  3x  0   x  1  x  x  1 0 2   x  1  x  x  1  x  x  1 0   x  1  x  x  1 0   x  1  x  1 0  x 1 x  2 d)  x  1  x  3  x  x   x  3x  x   x  x   x  x  x  0  x  x  x  x  x  0 2  x  x  1  x  x  1   x  1 0   x  1  x  x   0   x  1  x  x  x   0   x  1  x  x  3   x  3  0   x  1  x  3  x   0  x 1 x 3 x  Trang 19 Phương trình trùng phương Cách giải phương trình trùng phương ax  bx  c 0, a 0  Đặt ẩn số phụ : y  x với điều kiện y 0  Khi ta phương trình trung gian dạng : ay  by  c 0  Giải phương trình trung gian, tìm nghiệm y; chọn giá trị y thỏa mãn điều kiện y 0  Thay y vào phương trình x  y tìm x  y Ghi nhớ : Nếu phương trình trung gian có :  Một nghiệm dương phương trình trùng phương có hai nghiệm đối  Hai nghiệm dương phương trình trùng phương có hai cặp nghiệm đối  Vơ nghiệm có nghiệm âm phương trình trùng phương vơ nghiệm Ví dụ : Giải phương trình a) x  x  0 b) x  x  12 0 c) x  x  0 d) x  x  0 Bài tập : Giải phương trình a) x  13 x  36 0 b) x  x  0 c) x  x  0 d) x  13 x  36 0 a) x  12 x  0 b) x  x  0 c) x  x  0 d) x  1,16 x  0,16 0 1 i) 36t  13t  0 c) x  x  0 d) 3x   x  0 Bài giải 3b Phương trình tam thức Cách giải phương trình tam thức ax n  bx n  c 0, a 0 , n  N , n 2  Đặt ẩn số phụ : y  x n  Khi ta phương trình trung gian dạng : ay  by  c 0  Giải phương trình trung gian, tìm nghiệm y  Thay y vào phương trình x n  y tìm x Ví dụ : Giải phương trình :  x  x3  0 Bài giải Đặt ẩn số phụ y  x , ptrình cho có dạng  y  y  0  y1 1 ; y2 8  y 1  x 1  x 1  y 8  x 8  x 2  Bài tập : Giải phương trình : a) x  x  0 c) x12  x  0 d) x10  x5  0  b) x8  17 x  16 0 e) x  x  x 0 Phương trình chứa ẩn mẫu thức Cách giải :  Tìm điều kiện xác định phương trình  Quy đồng mẫu thức phương trình bỏ mẫu thức  Giải phương trình vừa nhận  So sánh giá trị ẩn vừa tìm, giá trị thỏa mãn điều kiện xác định nghiệm phương trình cho Trang 20 Ví dụ : Giải phương trình x  3x   x  3  x+3  x  x  a) b)   x 9 x 3 x2 14 2x x2  x  3  1   c) d) e) x 2 x x 9 3 x x  x  3x  Ví dụ : Giải phương trình x 1 2x   0   a) b) x  x x x x 1 x  x x 9 2x 2 x    c) d)  3x  x  x  x  x 1 2 1  1  e)  x     x    x  x  Ví dụ : Giải phương trình ( Phương pháp đặt ẩn phụ ) 2 a)  x  x    x  x   0 c) x  x 5 x  b)  x  x    x  x  0 x x 1  10 3 d) x 1 x 1 1   e)  x     x    0 x x   1 x  x x Ví dụ : Giải phương trình : x  x  10 x  37 x  14 0 Bài giải 2 Giả sử ta phân tích : x  x  10 x  37 x  14  x  px  q   x  rx  s  f) x  x  x3  10 x  37 x  14  x   a  b  x3   s  p  qr  x   ps  qr  x  qs  p  q   s  p  qr  10   Suy :  ps  qr  37  qs  14  p  q 2  nên :   s  r 1  x  x  0 x  x  10 x  37 x  14 0   x  x    x  x   0    x  x  0 2   17 x  Giải tương tự phương trình : x  x3  x  x  0    29 x  Phương trình đối xứng : a0 x n  a1 x n    an  x  an 0 với hệ số số hạng cách số hạng đầu cuối nhau; nghĩa : a0 an ; a1 an ; a2 an ; Ví dụ : Giải phương trình : x  x3  16 x  x  0 ... x23 x13  3x 12 x2  3x1 x 22  x23  3x 12 x2  3x1 x 22  x1  x2   3x1 x2  x1  x2  S  3PS 2 2 3) x14  x24  x 12    x 22   x 12 x 22  x 12 x 22  x 12  x 22    x1 x2   S  P ... thị hàm số y  x 1 x  ? ?2 1 2 1 1 y x 4 Ví dụ : Vẽ hệ trục tọa độ, đồ thị hàm số : y ? ?2 x So sánh có kết luận ? Bài giải 1 x  ? ?2 1 2 1 y ? ?2 x 2 2 3 y 3x 12 3 12 4 y 3x 18 27 Đồ thị hàm số. .. 4) x1 x2 P 2) x13  x23 S  3PS 5)  x1  1  x2  1 P  S  3) x  x S  PS  P Bài giải Trang 14 1) x 12  x 22  x 12  x1 x2  x 22  x1 x2  x1  x2   x1x2 S  P 2) x13  x23 x13