Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Cho a, b, c, d ��  a Cho a, b, c, m, n, p ��  b   c  d  � a.c  b.d  Dấu "  " xảy và chỉ a b  c d  a   a  b2  c   m2  n  p  � a.m  b.n  c p  a b c   m n p "  " Dấu xảy và chỉ  b   c  d  �a.c  b.d  Dấu "  " xảy và chỉ a b  c d  a a  b  c   m  n  p  �a.m  b.n  c p a b c   m n p "  " Dấu xảy và chỉ  b   c  d  �a.c  b.d Dấu "  " xảy và chỉ a b  �0 c d a   b2  c   m  n  p  �a.m  b.n  c p a b c   �0 m n p "  " Dấu xảy và chỉ Tổng quát: Cho 2n số ( n  Z ,n 2): a1,a2, ,an ,b1,b2, ,bn ta có: a � Dấu “=’ xảy    a22  L  an2 b12  b22  L  bn2 �(a1b1  a2b2  L  an bn )2 a a1 a2   L  n (quy � � � c ne� u bi  �  0) b1 b2 bn Hệ quả: Cho a1 , a2 , , an là số thực bất kỳ, b1 , b2 , , bn là số thực dương Khi a  a  a2   an  a12 a22    n � b1 b1 bn b1  b2   bn a a1 a2    n bn Dấu “=” xảy và chỉ b1 b1 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Chứng minh bất đẳng thức sau Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu 16 x2  3y2 � a/ Nếu x  y  2 b/ Nếu x  y  x  y �5 49 x2  y2 � 25 c/ Nếu x  y  2 d/ Nếu x  12 y  x  y �1 2 e/ Nếu 3x  y  10 x  y �4 2 f/ Nếu x  y  10 x  y �2 2 g/ Nếu 3a  4b  3a  4b �7 735 3a  5b2 � 47 h/ Nếu 2a  3b  2464 7a  11b2 � a  b2 � 137 j/ Nếu a  2b  i/ Nếu 3a  5b  k/ Nếu 2a  3b  2a  3b �5 2 l/  x  y  1   x  y  5 � Bài Chứng minh bất đẳng thức sau 2 3x  y �5 a/ Nếu x  y  c/ Nếu x  y  2 x y � 2 x  y �2 17 b/ Nếu x  y  y  2x � d/ Nếu 36 x  16 y  2 2 2 x  u  v  y  u  v � e/ Nếu x  y  u  v   a  1   b    f/ Nếu 2a  6b  20 �5 Bài Chứng minh bất đẳng thức sau a/ Nếu x � 1;3 A  x    x �10 b/ Nếu x � 1;5 B  x    x �10 c/ Nếu x � 2;1 C   x   x � d/ Nếu x � 4;13 D  x   13  x �3 e/ Nếu x � 5;20 E  x   20  a �13 f/ Nếu x � 9;20 F  x   20  x �29 Bài Chứng minh bất đẳng thức sau a/ Nếu x, y , z  và x  y  z   x   y   z �  a  b  c  � a  b  c  a , b , c �� b/ Nếu 2 2 c/ Nếu a  b  c  a  3b  5c � 35 2 d/ Nếu a  b  c  a  2b  5c �5 e/ Nếu a  c  và b  c  c  a  c   c  b  c  � ab Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu 25 64   �49 a  b  16 c  49 a b c f/ Nếu g/ Nếu a  b  c  a   b   c  �2 h/ Nếu a  b  c  12 a   b   c  �3 i/ Nếu a  b  c  a  b  b  c  c  a �2 2 j/ Nếu a , b, c là ba số thực thay đổi thỏa a  b  c  a  b  c �12 Bài Chứng minh bất đẳng thức sau a  b2 � a/ Nếu a  b �1 a  b3 � b/ Nếu a  b �1 a  b4 � c/ Nếu a  b �1 4 d/ Nếu a  b  a  b �2 e/ Nếu a, b  c �0  a  b �1 � � a  b3  �  � �a b � f/ Nếu  x   y   z x  y �2 z a  a  1  b  b  1  c  c  1 � a  b  c �4 g/ Nếu h/ Nếu �x, y , z  � �x  y  z �1 x2  1  y   z  � 82 x y z 3 2 i/ Nếu a, b, c �0 a  b  c �a bc  b ca  c ab x y z   �1 x , y , z  y  z z  x x  y j/ Nếu Bài Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau x � 1;3 a/ A   x   x , với 2 �x �7 b/ B  x    x với x2 y2  1 2 C  y  x  D  x  y  36 x  16 y  9 c/ với d/ với e/ E  x    x f/ F   x  x  g/ G  x    x h/ H  x    x i/ I  x    x j/ J   x  x  Bài Tìm GTLN và GTNN của biểu thức (nếu có) 2 a/ Cho x , y �� và x  y  Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A  x  y 2 b/ Cho x , y �� và x  y  Tìm GTLN và GTNN của biểu thức B  x  y Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu c/ Cho x , y �� và x  y  10 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức C  x  y 2 4 d/ Cho x, y , z �� và xy  yz  zx  Tìm GTNN của biểu thức D  x  y  z 2 e/ Cho x , y �� và x  y  Tìm GTLN của biểu thức E  x  y  y  x f/ Cho a �1 Tìm GTLN của biểu thức F  a  sin x  a  sin x g/ Cho x, y  và x  y  Tìm GTNN của biểu thức G  x 4y h/ Cho x, y , z  và x  y  z  Tìm GTLN của H   x   y   z i/ Cho x � 2;2 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức I  x   x (Đại học B – 2003)  a  b  c a2 b2 c2   � Bài Cho ba số thực dương a, b, c  Chứng minh: b  c c  a a  b Bài Cho a, b, c là độ dài của ba cạnh ∆ABC a2 b2 c2   �a  b  c b  c  a c  a  b a  b  c Chứng minh rằng: Bài 10 a b c   � Cho ba số a, b, c  Chứng minh rằng: b  c c  a a  b Bài 11 a3 b3 c3 a  b2  c   � Cho ba số thực a, b, c bất kỳ Chứng minh: b  c c  a a  b a Bài 12 b  c Cho ba số a, b, c  Chứng minh:  Bài 13 Cho a , b, c  thỏa điều kiện a  b  c   b  c  a  c  a  b a2 b2 c2   �1 2 a  b b  c c  a Chứng minh rằng: Bài 14 Cho x, y , z  thỏa mãn x  y  z �3 Chứng minh rằng x2 y2 z2   � x  yz y  zx z  xy Lời giải: � 4 a  b  c Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu  x  y  z x2 y2 z2   � x  yz y  zx z  xy x  y  z  xy  yz  zx   x  y  z � x yz 1 Bài 15 HD: Đặt Bài 16 1 2  12  12   x  y  z �x, y , z  � �xyz  Cho x  12  12   xy  yz  zx   x  y  z � x yz   x yz � 2 1   � Chứng minh x  xy y  yz z  zx 2 a b c ; y  ;z  b c a đưa về bài toán a b c   �1 Cho a, b, c  Chứng minh b  2c c  2a a  2b Lời giải a b c a2 b2 c2      b  2c c  2a a  2b a  b  2c  b  c  2a  c  a  2b   a  b  c  a  b  c � �  ab  bc  ca   a  b  c  2 1 Dấu “=” xảy và chỉ a  b  c 2 Bài 17 Cho x, y , z  thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 P   xy  yz  zx  Bài 18 Cho a, b, c  Chứng minh rằng a3 b3 c3 abc   � 2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a Lời giải a3 b3 c3 a4 b4 c4      a  ab  b b2  bc  c c  ca  a a  a  ab  b  b  b  bc  c  c  c  ca  a  a  b2  c  a 2  b2  c  a  b2  c �3   a  b3  c  a b  ab2  b2 c  bc  c a  ca  a  b2  c   a  b  c  abc a �  b2  c   a  b  c   a  b  c  a  b  c   a  b  c  a  b  c � 1 1 1   a  b  c  2 2 2 2 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Bài 19 GV Nguyễn Hữu Hiếu Cho a, b, c là số dương thỏa : abc = Chứng minh rằng: 1   � a (b  c) b ( c  a ) c ( a  b) Lời giải �1 1 � 1 �  � 2 ab  bc  ca   ab  bc  ca 33 a b c� � a b c   �   � a (b  c) b( c  a ) c( a  b)  ab  bc  ca   ab  bc  ca  2 x2  y2  z2 � Chứng minh Bài 20 Cho x, y , z  thỏa mãn 3 x y z   � x  y  z y  3z  x z  x  y 30 2 Bài 21 Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  3abc Chứng minh a b c  2 2 � 2 bc ca ab abc Lời giải 4 a b c a b c  2 2  2 2 2 bc ca ab abc bca cab 2  3abc    abc   a  b  c  Bài 22  a �  b2  c   abc   a  b  c  abc �x, y , z.0 � 1 �1 1 P   �x  y  z �1 2x  y  z x  2y  z x  y  2z Cho � , tìm GTLN của Lời giải 1 � 2x y z   1 2x  y  z 2x  y  z  � �  � 2x Ta có : bất đẳng thức tương tự nữa, cộng lại theo vế ta kết quả Cho a, b, c  thỏa mãn abc  Chứng minh b4 c4   � 2  a  b  a  c   b  c   b  a   c  a   c  b  Bài 23 a4 Lời giải  y 1� � z� Xây dựng thêm Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu a a4 b4   c4  a  b  a  c   b  c   b  a   c  a   c  b 2   a  b ac b  b  c  ba c4  c  a  cb 2 � � �a b c � � a  b  c  � �a  b  b  c  c  a � �2  a  b  c  � a  b  c 3 abc � � � � � �  �  2 a  b  c 2 a  b  c 8 Bài 24 2 a  b2 b2  c c  a   �a  b  c bc ca Cho a, b, c  Chứng minh a  b a  b2 b  c c  a a2 b2 c2 b2 c2 a2         bc ca ab bc ca ab bc ca HD: a  b Bài 25 Cho a, b, c  Chứng minh a b c   � a) b  c c  a a  b a2 b2 c2 abc   � b) b  c c  a a  b a3 b3 c3 a  b2  c   � c) b  c c  a a  b Bài 26 Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a b c   �1 a) a  2bc b  2ca c  2ab 2a 2b 2c   �1 b) 2a  bc 2b  ca 2c  ab Lời giải a)  a  b  c a b c a2 b2 c2 P      � a  2bc b  2ca c  2ab a  a  2bc  b  b  2ca  c  c  2ab  a  b  c  6abc có  ab  bc  ca    a  b  c   ab  bc  ca  �9abc � ab  bc  ca �3abc �  ab  bc  ca  �6abc �  a  b  c  �a  b  c  6abc Vậy P �1 Dấu “=” xảy và chỉ a  b  c  b) Ta cố gắng đổi chiều bất đẳng thức ! 2a 2b 2c 2a  bc  bc 2b  ca  ca 2c  ab  ab   �1 �   �2 2a  bc 2b  ca 2c  ab 2a  bc 2b  ca 2c  ab bc ca ab �   �1 2a  bc 2b  ca 2c  ab Ta có Ta Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu  bc   ca   ab  bc ca ab      2a  bc 2b  ca 2c  ab bc  2a  bc  ca  2b  ca  ab  2c  ab   ab  bc  ca  � 2 6abc   ab    bc    ca  ab  bc  ca    �1  ab  bc  ca  2  ab  bc  ca  � 2 2  a  b  c  abc   ab    bc    ca  Giả sử x và y là hai số dương và x  y  Tìm GTNN của Bài 27 (ĐH 2001) P x y  1 x 1 y Lời giải  x  y x y x y x2 y2 P      � 1 x 1 y y x x y y x x yy x �  x  y x  y xy  xy 1 �  �x  y � xy 2� � �2 �  Dấu “=” xảy và chỉ xy a Cho a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức Bài 28 a  8bc  b b  8ca  c c  8ab Lời giải a a  8bc  b  b  8ca a2 a a  8abc  c  c  8ab b2 b b3  8cab   a2 a a  8bc c2 c c3  8cab  b2 b b  8ca �  c2 c c  8ab  a  b  c a  b  c a  b3  c  24abc Như ta cần chứng minh  a  b  c a  b  c a  b  c  24abc �1 �  a  b  c  � a  b  c a  b  c  24abc �  a  b  c  �a  b  c  24abc �  a  b   b  c   c  a  �8abc Bất đẳng thức cuối theo AM-GM Kết thúc chứng minh Bài 29 Lời giải Cho a, b, c  Chứng minh P a b c   � a  3b b  3c c  3a �1 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu  a  b  c a2 b2 c2   � a  a  3b  b  b  3c  c  c  3a  a  b  c  3ab  3bc  3ca P   a  b  c a  b2  c   ab  bc  ca    ab  bc  ca  3  a  b  c � a  b2  c   ab  bc  ca    a  b2  c  3   a  b  c a  b2  c    ab  bc  ca   3   a  b  c  a  b  c 3 � Cho a, b, c  Chứng minh rằng a b c abc P   � 2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a a  b2  c Bài 30 Lời giải a2 b2 c2 P   a  a  ab  b2  b  b2  bc  c2  c  c2  ca  a   a  b  c �3 a  b3  c  ab  a  b   bc  b  c   ca  c  a  Bài 31  a  b  c   a  b  c   a  b2  c   abc a  b2  c Cho a, b, c là số dương thỏa : abc = Chứng minh rằng : P  1   � a (b  c) b (c  a) c ( a  b) 2 Lời giải 1 Cách 1: Đặt x = a , y = b , z = c x, y, z > và xyz = x y z   � BĐT cần chứng minh tương đương: y  z z  x x  y ( BĐT Nesbit) �1 1 � (x  y  z) �   �� � �y  z z  x x  y � � �1 1 �   ��9 �y  z z  x x  z �  ( y  z )  ( z  x)  ( x  y )  � � yz � � � BĐT BCS ta có :9 = (1 + + 1) =  zx yz  x y zx x y � � � � Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu �1 1 � � ( y  z )  ( z  x)  ( x  y )  �   � �y  z z  x x  y � Dấu (=) xảy � x = y = z = � a = b = c = 2 1� � 1 �1 b+c + � + + �= � b c+a Cách 2: Ta có �a b c � �a b + c � c+a + a+ b� c a+b � � � 1 � �2 + +  b + c + c + a + a + b � b (c + a) c (a + b) � �a (b + c) = 2(a + b + c).P 1� �1 1 � + + � Suy P ≥ a + b + c �a b c � 1 1� a+b+c �1 � + = � + �= a + b + c �ab bc ca � a + b + c abc Dấu (=) xảy  a = b = c = Bài 32 a  b  c Cho a, b, c là số thực dương Chứng minh b c   � 2  c  a   a  b  a  b  c  Lời giải � a � b c a2 b2 c2 a b c          a  b  c � 2 � 2 � b  c   c  a   a  b �  c  a   a  b b  c c  a a  b � �  b  c 2 b c � �a �3 �   � � �� bc ca a b� �  �� �   11 1 Bài 33 Cho a, b, c là số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh a  b3  c �a b  c  b c  a  c a  b Lời giải Áp dụng BCS ta có  a  b2  c  � a  b  c  a  b  c   a  b3  c  � a  b2  c   và Nhân hai BĐT theo vế ta a b c 3 a � a �  b2  c   a  b  c  bc b ca c ab Mặt khác  a   b2  c    a  b    b  c    c  a   6 a b  c  b c  a  c a  b �3 abc (a  b)(b  c )( c  a ) �3 8abc  suy Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước a a  b3  c � bc b c a c a b  GV Nguyễn Hữu Hiếu a bc b ca c a b  a bc b ca c ab a bc b ca c ab �  a b  c  b c  a  c a  b  Bài 34  Cho a, b, c là số dương thỏa : abc = Chứng minh rằng : P= 1 + + � a (b + c) b (c + a) c (a + b) 2 1 Cách 1: Đặt x = a , y = b , z = c x, y, z > và xyz = x y z   � BĐT cần chứng minh tương đương: y  z z  x x  y ( BĐT Nesbit) �1 1 � (x  y  z) �   �� � �y  z z  x x  y � � �1 1 �   ��9 �y  z z  x x  z �  ( y  z )  ( z  x)  ( x  y )  � � yz � � BĐT BCS ta có :9 = (1 + + 1) = �  zx yz  x y zx x y � � � � �1 1 � � ( y  z )  ( z  x)  ( x  y )  �   � �y  z z  x x  y � Dấu (=) xảy � x = y = z = � a = b = c = 1� � 1 �1 b+c + � + + �= � b c+a Cách 2: Ta có �a b c � �a b + c � c+a + a+ b� c a+b � � � 1 � �2 + +  b + c + c + a + a + b � b (c + a) c (a + b) � �a (b + c) = 2(a + b + c).P 1� �1 1 � + + � Suy P ≥ a + b + c �a b c � 1 1� a+b+c �1 � + = � + �= a + b + c �ab bc ca � a + b + c abc  Dấu (=) xảy  a = b = c = Bài 35 thức : Cho x, y, z là số dương thay đổi thỏa điều kiện xyz = Tìm GTNN của biểu Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước x (y + z) y (z + x) z (x + y) P= + + y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y GV Nguyễn Hữu Hiếu (TSĐH - Khối A - Năm 2007)  Nhận xét  y, z > : y + z �2 yz = � x (y + z) x (vì xyz = 1) x (y + z) 2x x � y y + 2z z y y + 2z z 2x x Xét hai bất đẳng thức tương tự nữa, ta thu � x x � y y z z P �2 � + + � �y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y � � �  Đặt a = x x , b = y y , c = z z  a, b, c > và abc = b c � � a P �2 � + + �= 2S b + 2c c + 2a a + 2b � � Khi :  Ta có :  a + b + c � a b c � = � a(b + 2c) + b(c + 2a) + c(a + 2b) � b + 2c c + 2a a + 2b � � b c � � a �  a(b + 2c) + b(c + 2a) + c(a + 2b)  � + + � c + 2a a + 2b � �b + 2c  (a + b + c)2 ≤ 3(ab + bc + ca).S Suy S �  a + b + c 3(ab + bc + ca) �1 Do : P ≥ Dấu (=) xảy  a = b = c =  x = y = z =  Vậy : Pmin = x = y = z = Bài 36 Cho a, b, c > và thỏa : a + b + c + 9b c 2a + + + a2 2abc ≥ 10 Chứng minh rằng : 9c a 2b2 + + + b2 9a b 2c + + �6 c2 Lời giải Áp dụng bđt C - S, ta có + 18 + 24 9b c 2a 2 3b ca + + � + + = + 9b + ca a a a 9c a b2 + + � + 9c + ab , b b 24 9a c2 b + + � + 9a + bc c c Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu 1� �1 24.(VT) �4 � + + �+ 9(a + b + c) + ab + bc + ca b c� �a  Cộng bđt vế theo vế, suy : �4 � �4 � �4 � � � + a �+ � + b �+ � + c �+ (2a + bc) + (2b + ca) + (2c + ab) + 6(a + b + c) �a � �b � �c � �2 4 a + b + c + 2abc + 2abc + 2abc + 6(a + b + c) a b c = 12 + 6(a + b + c + 2abc) �12 + 6.10 = 72 Bài 37 Cho x, y, z > Tìm GTNN của biểu thức : P= (VT) 72 =6 24 3x 4y 5z + + y+z z+x x+y Lời giải � 3x � � 4y � � � 5z P= � + �+ � + �+ � + �- 12 � �x + y �y + z � �z + x � Ta có : �3 � =  x + y + z � + + �- 12 z+x x+y� �y + z =  x+y  +  y+x  + z+x   � � � � � � y+z� �+ � � � � � � � �z+x� �+ � � � �� � � �x+y� ��- 12 � �� � ( + + 5)2 - 12  Kết luận : MinP = Bài 38 Lời giải Cho ( + + 5) - 12 a , b, c  � � a  b  c �1 � y+z z+x x+y = =  1 1    �30 2 ab bc ca Chứng minh rằng a  b  c Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu 1 1 � � � 7�    1 � �2 � � 2 ab bc ca � �a  b  c � 3�  1 1 � � ��    � a  b  c    ab  bc  ca  2 ab bc ca � �a  b  c  1 1 � �  �2    � a  b2  c   ab  bc  ca    2 ab bc ca � �a  b  c 2 2 � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� 2 � � ab bc ca � � � � � � a  b  c � � � �  � 2 � a b c �    ab    bc    ca  2 2 � � � �    3  100 � 1 1    �30 2 a b c ab bc ca Bài 39 Cho �x, y , z  � �x  y  z �1 x2  Chứng minh  x2 y2  1  z  �82 y z �x  � �1 x �9 � 1� � � 2 �2 � x   ��    �x  � x � � x x � � � � Định hướng Dấu “=” xảy và chỉ Lời giải 1� � 1 � 9� � � x  �� 12  92  �x  �� x  � � �x  � x� x � x 82 � x � Vậy ta có � � x2   1 1 � 9 9� 2  y   z  � x  y  z    � x2 y2 z2 x y z� 82 � �   � 1 � 9 81x  81 y  81z     80  x  y  z  �� 6 813.9  80  82 � x y z 82 � � 82 Dấu “=” xảy và chỉ Bài 40 Cho xyz a , b, c  � � abc  ab  bc  ca � Chứng minh rằng b  2a c  2b2 a  2c   � ab bc ac Định hướng giải b2  2a c  2b a  2c    ab bc ac 2   2  2 2 a b b c c a Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Đặt x GV Nguyễn Hữu Hiếu 1 ;y ;z a b c , ta phải chứng minh x2  y  y2  2z2  z2  2x2 � ; x  y  z   x  y  y  Ta có tương tự ta có đpcm Cách khác  x   2y �3  x  y  � x  y �  � 2  2   x  y   x  2y Lập thêm bất đẳng thức Dấu “=” xảy và chỉ �x 2y  � �1  � � �x  y  � Ta có  x  2 y   �12   2   x x2  y  y  2z  z  x2 � xyz  y2  � x2  y �  x  2y Suy  x  y  z  3 Dấu “=” xảy và chỉ �abc3 Cho a, b, c  chứng minh bất đẳng thức a b c   �1 a   a  b  a  c  b   b  a   b  c  c   c  b  c  a  Bài 41 Định hướng giải a Ta chứng minh a  a  b  a  c  � a a b c a a a  � � a b c a.a  ab  ac a  ab  ac a  Ta có thêm bất đẳng thức tương tự nữa, cộng lại theo vế ta có đpcm a  a  c   a  b Bài 42 Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng �a b c �  a  b  c �   ��   �b c a �  a  b  c Lời giải Bất đẳng thức cho tương đương với Xây dựng Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu �a b c � a  b  c  a a  b  c  b a  b  c  c �   ��   bc ca ab �b c a � b c � �a b c � � a � �   � �   ��3 �b c a � �b  c c  a a  b � ac ab bc �   � b  b  c c  c  a  a  a  b  ac  � abc  b  c   ab    bc   abc  c  a  abc  a  b  2 � Theo bất đẳng thức C-S ta có  ac    ab    bc  � ab  bc  ca  abc  b  c  abc  c  a  abc  a  b  2abc  a  b  c  2  ab  bc  ca   ab  bc  ca   �   ab.bc  ca.ab  ab.bc  ab  bc  ca 2   2 2 Dấu “=” xảy và chỉ abc Bài 43 Cho a, b, c  Chứng minh rằng 2  a  b    b  c    c  a  �3 a  b  2c b  c  2a c  a  2b2 Lời giải  a  b  b  c  c  a a2 b2   �    a  b  c b  c  a c  a  2b a  c b  c Bài 44 HD: Áp dụng: 1   � 2abc Cho a, b, c  Chứng minh rằng a a  b b b  c c c  a  x  y  z �  xy  yz  zx  ta có: Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu 1 1 � � � �     � ��3 � � �a a  b b b  c c c  a � �ab a  b b  c ca a  b c  a bc c  a b  c � � c b a �    � � abc � a  b b  c ab ca ca bc �  � � c2 b2 a2   � abc �c a  b b  c b a  b c  a a c  a b  c � � � � 2 � � c b a � �   � abc �c a  2b  c b 2a  b  c a 2c  a  b � � 2 �  a  b  c  a  b  c 6 �  2 abc  ab  bc  ca   a  b  c abc  a  b  c    ab  bc  ca   a  b  c �  abc a  b  c 2abc   u “=” xảy và chỉ a  b  c 2 Dấ ... b b 24 9a c2 b + + � + 9a + bc c c Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu 1� �1 24.( VT) �4 � + + �+ 9(a + b + c) + ab + bc + ca b c� �a  Cộng bđt vế theo vế, suy : �4 � �4 � �4