Hình học 10| HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG DẠNG 5: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Loại 1: Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện khoảng cách, góc, hình chiếu, đối xứng … LÝ THUYẾT Phương pháp giải toán Hướng Nếu điểm M thuộc đường thẳng  ta viết phương trình  dạng tham số Khi tọa độ điểm M phụ thuộc tham số t Tiếp đến, từ giả thiết toán ta tìm (thiết lập) phương trình ẩn t Giải phương trình ta tìm t từ tìm M Hướng Tọa độ điểm M cần tìm gồm có hồnh độ x tung độ y Vì có hai yếu tố phải tìm nên từ giả thiết tốn ta tìm (thiết lập) hệ hai phương trình ẩn x y Giải hệ ta tìm tọa độ điểm M II = BÀI TẬP TỰ LUẬN Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng d : x  y    : 3x  y 1  Tìm d điểm M cho khoảng cách từ M đến đường thẳng  Lời giải Vì M  d nên M  2t  3; t  Ta có d  M ,     2t  3  4t  4 2 10t  10  10 t    10t  10  10    10t  10  10 t  Vậy có điểm M cần tìm M 1;  , M  3;0  Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A  3; 3 , B  5; 1 đường thẳng  : x  y   Tìm  điểm M cho tam giác MAB cân M Lời giải 1| STRONG TEAM TOÁN VD–VDC I = | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Cách Vì M   nên M  t; 2t  1 Tam giác MAB cân M nên MA  MB    t    2  2t     t    2t   13  2t  25  10t  12t  12  t  2 2 Vậy điểm M cần tìm M 1;1 Cách Vì tam giác MAB cân M nên M thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB Trung điểm AB I  4; 2  Gọi d đường trung trực AB Khi đó, AB   2;  véc-tơ pháp tuyến d STRONG TEAM TỐN VD–VDC Phương trình tổng qt đường thẳng d  x     y     x  y   Ta có tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình 2 x  y   2 x  y   x     x  y   x  y  y 1 Vậy điểm M cần tìm M 1;1 Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A  4;1 đường thẳng  : x  y   Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua đường thẳng  Lời giải A H Δ B Đường thẳng d qua A vng góc với  có phương trình  x  4   y  1   x  y   Gọi H giao điểm d  Tọa độ điểm H nghiệm hệ x  y 1  x  y  x     H  3; 1  2 x  y   2 x  y   y  1 Ta có H trung điểm AB nên B  2; 3 Vậy B  2; 3  Ví dụ Ví |2 Hình học 10| Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có AB : x  y   , BC : 3x  y   , CA : x  y  12  Tìm tọa độ điểm D chân đường phân giác góc A Lời giải A B D C Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình 3x  y   3x  y  4 x     C  2; 2   7 x  y  12  7 x  y  12  y  2 Phương trình đường phân giác góc A x y4 12   1  x  y  12 72  12  x  y  16   x  y   x  y  12   3x  y    1   2  Đặt f  x; y   x  y  16 Khi đó, f  B  f  C   f  3;1 f  2; 2  16   20   320  nên hai điểm B C nằm phía so với đường thẳng 1 Suy  đường phân giác góc A Ta có D  BC  2 nên tọa độ điểm D nghiệm hệ phương trình  x  3x  y   3x  y  4     3x  y   3x  y  2 y     1 Vậy D   ;    3 Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M  2;  hai đường thẳng d1 : x  y   , d2 : x  y   Tìm tọa độ điểm A  d1 B  d cho tam giác MAB vuông cân M Lời giải Vì A  d1 , B  d nên A  s;  s  B  t;8  t  Khi đó, MA   s  2; s  MB   t  2;6  t  Tam giác MAB vuông cân M nên 3| STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình x  y    x  y  4  x  3    B  3;1  3x  y   3x  y  4 y 1 | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng  2st  8s  2t    MA  MB  s   t    s   t       2 2 2  MA  MB 2s  2t  4s  16t  36    s      s    t      t    st  4s  t    s  1 t     2  2  s  t  2s  8t  18    s  1   t     Từ 1 ta rút t   1  2 (với s  ) thay vào   ta phương trình s 1  s  12  1  s   s      s  1   s  1        s  1    s  1  s  12   s  1  s   2  4 Với s  t  Suy A  3; 1 B  5;3 STRONG TEAM TỐN VD–VDC Với s  1 t  Suy A  1;3 B  3;5 Vậy A  3; 1 , B  5;3 A  1;3 , B  3;5 Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng d1 : x  y  17  d2 : x  y   Gọi A giao điểm d1 d Đường thẳng d qua điểm M  0;1 cắt d1 , d B C cho tam giác ABC cân A Tìm tọa độ điểm B Lời giải A d B d1 C d2 Phương trình đường thẳng d qua M  0;1 có dạng a  x  0  b  y  1   ax  by  b  , (với a  b2  ) Vì tam giác ABC cân A nên hai góc đỉnh B C nhọn a  7b ab  Do đó, cos B  cos C  cos  d , d1   cos  d , d   12  12 a  b2 12   7  a  b2  a  3b  a  7b   a  b   a  7b  a  b    a  b  a  7b  5  a  b   |4 Hình học 10| Với a  3b a  b2  nên b  Do đó, phương trình đường thẳng d 3bx  by  b   3x  y   1 5 Vậy tọa độ điểm B B  ;  B  3;2  2 2 Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A 1;  , B  4;3 Tìm tọa độ điểm M cho MAB  135 10 Lời giải khoảng cách từ M đến đường thẳng AB M 10 135° H A B Phương trình đường thẳng AB x 1 y    x 1  3 y  2  x  y   1  Gọi M  x; y  Khi đó, d  M , AB   x  3y  x  3y  10 10    x  3y     2  x  y  10 12   3 Ta có AB   3;1 , AM   x  1; y     cos MAB  cos AB, AM     x  1   y  2 2  x  1  y  2 AB AM    2 2 AB AM 10  x  1   y    3x  y   3 Từ 1 ta có x  y thay vào  3 ta phương trình 5| 1  2 STRONG TEAM TOÁN VD–VDC  x  x  y  17    1 5 Tọa độ điểm B nghiệm hệ    B ;  2 2 3x  y   y   b Với a  a  b2  nên b  Do đó, phương trình đường thẳng d b  x  by  b   x  y    x  y  17   x  3 Tọa độ điểm B nghiệm hệ    B  3;  x  3y   y  | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng   10 y   y  10 y  10 y   10 y     2 2  5 10 y  10 y    100 y  100 y  25  10 y  10 y   y     y 0 y0     y  Như ta tìm điểm M  0;0  STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Từ   ta có x  y  10 thay vào  3 ta phương trình  10 y  35  10 y  70 y  125  10 y  35   2  5 10 y  70 y  125  25  y  28 y  49   y   y      y  y4  2 y  14 y  24       y  Như ta tìm M  1;3 Vậy M  0;0  M  1;3 Loại 2: Tìm tọa độ điểm M giao điểm hai đường thẳng (chủ yếu tam giác) I = LÝ THUYẾT Thường gặp : Tìm tọa độ đỉnh điểm đặc biệt tam giác Đường cao trực tâm Kiến thức cần sử dụng: Tính chất vng góc Đường trung tuyến trọng tâm Kiến thức: Cần sử dụng giả thiết trung điểm M cạnh BC  M  AM  M  AM  BC M  AM    M  BC    M trung điêm cua BC  M trung điêm cua BC  M trung điêm cua BC  “Trung điểm thuộc vào trung tuyến cạnh ” Đường phân giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác *Bài toán phụ: Cho tam giác ABC, BK đường phân giác góc ABC, A1 điểm đối xứng với A qua BK Ta ln có: A1  BC Kĩ năng: Lấy đối xứng đỉnh tam giác qua đường phân giác (ngoài) Tọa độ điểm tam giác đặc biệt tam giác vuông , ,cân |6 Hình học 10| II = BÀI TẬP TỰ LUẬN Ví dụ Ví Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  : x  y   hai điểm A  2;3 , B  4;1 Tìm tọa độ điểm M thuộc  cho tam giác MAB vuông M   AM   t  2; 2t  8 + Gọi M (t; 2t  5)     BM   t  4; 2t   + Khi tam giác MAB vuông M  AM BM    t   t     2t  8 2t    t   M  2; 1  5t  30t  40     t   M  4;3 + Vậy M  2; 1 M  4;3 Ví dụ Ví Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MAB cân A đường thẳng  : x  y   Biết B 1; 4  I  2; 2  trung điểm AM Tìm tọa độ điểm A M biết  qua điểm M M có hồnh độ số ngun Lời giải 7| STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Lời giải | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng + Gọi M  2t  1; t    Vì I  2; 2  trung điểm AM nên: STRONG TEAM TOÁN VD–VDC  x  xI  xM  2t   A  A  2t  5; 4  t   y A  yI  yM  4  t + Tam giác MAB cân A  AM  AB  AM  AB2   4t     2t     2t    t 2 2  t  2  4t   t   t   t    t   7 6 M  3; 2  M  ;   (loại) 5 5 + Với M  3; 2  A 1; 2 Vậy A 1; 2  M  3; 2  Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác MAB có trọng tâm G  2; 1 A 1; 3 Đường thẳng  : x  y   qua M Tìm tọa độ điểm M B biết MB  5MA M có hồnh độ dương Lời giải Gọi M  t; 2t     với t  Vì G  2; 1 trọng tâm tam giác MAB nên: |8 Hình học 10|  xB  3xG  xA  xM   t  B   t;  2t    yB  yG  y A  yM   2t 2 2 Khi đó: MB  5MA  MB2  25MA2   2t  5   4t  8  25  t  1   2t  1    13 (loại)  105t  66t  39   t  t   35  M 1; 2  ; B  4;2  Ví dụ m  Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC theo m Xác định m để tam giác GAB vuông G Lời giải + Do G trọng tâm tam giác ABC nên: x x x 1    xG  A B C  1    m 3  G 1;    3  y  y A  yB  yC    m  m G  3   m  GA   2;      + Suy  , tam giác GAB vng G m    GB  3;     3   GA.GB   6  m2   m  3  m Vậy G 1;  với m  3  3 Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC Biết A  4;1 , phương trình hai đường thẳng chứa lần 9| STRONG TEAM TỐN VD–VDC Ví Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A  1;0  , B  4;0  , C  0; m  với | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng lượt hai đường cao tam giác từ B C 2 x  y   0;2 x  y   Tìm tọa độ B C Lời giải Ta có A  4;1 khơng thuộc 2 x  y   2.4    A  4;1 không thuộc x  y   2.4  3.1   Gọi BI : 2 x  y   ; CK : x  y    15  H  BI  CK  H  ;    2 qua A(4;1) qua A(4;1)   AH :   AH :  VTCP AH  ( ;  )  VTPT nAH  (6; 1)   STRONG TEAM TOÁN VD–VDC  AH :  x  4  1 y  1   x  y  23    qua A qua A(4;1) qua A(4;1)  AB :   AB :     CK VTPT n  (3; 2) VTCP nCK  (2;3) *) AB:  AB : 3 x  4   y  1   3x  y  10  B  AB  BI  B  6;4    qua A qua A(4;1) qua A(4;1)  AC :   AC :     BI VTCP nBI  (2;1) VTPT n1  (1;2) *) AC:  AB :1 x  4   y  1   x  y   C  AC  CK  C  6;6 Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy ,cho tam giác ABC Biết đỉnh A(-1;-3),đường trung trực đoạn AB 3x+2y-4=0, Trọng tâm G(4;-2) Tìm tọa độ B, C Lời giải  qua A qua A(-1;-3)  AB :    d AB VTPT n  (2; 3) AB  AB :  x  1  3 y  3   x  y   M  AB  d AB  M  2; 1 M trung điểm AB nên B(2.2+1;2.(-1)+3)  B(5;1) Ta có MC  3MG (*) Gọi C(x;y) MC ( x  2; y  1) MG (2; 1) | 10 | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng tam giác ABC biết BC  10 B có hồnh độ nhỏ hoành độ C Lời giải A(?) M( ;4) N H(-2;-1) C(?) B(?) 3x-y+5=0 + Gọi trung điểm AC, MN N đường trung bình BC 10  2 1  MN qua M  ;  vuông góc với AH nên có phương trình x  y  25  2  STRONG TEAM TOÁN VD–VDC ABC  MN  5     2t   25  2t  Gọi N  t;     MN , đó: MN    t     2   2    2   9 N  1;   2 t  1    t2  t        7 t   N  2;    2 Gọi A  a;3a  5  AH  B 1  a;3  3a  (do M trung điểm AB) 9  + Với N  1;   C  2  a;  3a  (do N trung điểm AC) 2  Nhận thấy 2  a   a  xC  xB (Không thỏa mãn)  7 + Với N  2;   C   a;  3a  (do N trung điểm AC )  2   AB  1  2a; 2  6a  Khi  nên ta có: CH  a  6;3 a      a  AB  CH  AB.CH   4a  5a    a   Khi a   A  0;5 , B 1;3 , C  4;2  Khi a   35   1 3   11   A  ;  , B  ;  , C  ;   4   4   4 Ví dụ 11 Ví | 14 Hình học 10| Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC có phương trình đường trung tuyến kẻ từ A đường thẳng BC 3x  y   x  y   Đường thẳng qua A vng góc BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai D(2; 2) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết B có tung độ âm + Ta có phương trình AD : x  y  x  y   x  1 Khi tọa độ điểm A nghiệm hệ    A  1;1 3x  y   y 1 + Gọi AD  BC  K  M trung điểm BC Khi x  y  x  Tọa độ điểm điểm K nghiệm hệ    K 1; 1 x  y    y  1  x  3x  y     M  ;  Tọa độ điểm M nghiệm hệ     2 2 x  y   y    + Gọi H trực tâm tam giác ABC AC  BH  E Ta có H1  C (cùng phụ với HAC ) BDA  C (cùng chắn AB ) Suy H1  BDA  BHD cân B  K trung điểm HD  H  0;0  + Gọi B  b; b    BC (với b  )  C   b;1  b  (do M trung điểm BC )   HB   b; b   Suy    AC    b; b  Khi đó: HB  AC  HB AC   b   b   b  b     b2  3b   b  b  (loại)  B  0; 2  Vậy A  1;1, B 0; 2 , C 3;1  15 | STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Lời giải | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Ví dụ 12 Ví Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm A  2;  đường thẳng d1 : x  y   , d2 : x  y   Tìm tọa độ điểm B C thuộc d1 d cho tam giác ABC vuông cân A Lời giải d1:x+y-2=0 STRONG TEAM TOÁN VD–VDC B(?) d2:x+y-8=0 A(2; 2) C(?)   B  2;  b   d1   AB   b  2;  b  + Gọi   C c ;8  c  d   AC  c  2;6  c         AB AC   b   c    b  c    + Do ABC vuông cân A nên    2 2  AB  AC   b    b   c      c   bc  4b  c    b  1 c     2  2 b   c       b  c  2b  8c  18    u  b  Đặt  , hệ có dạng: v  c  2   uv  u  2; v  v  v    u u   2 u  2; v  1 u  v  u  3u   u     B  3;  1 , C  5;3 b  3; c  Suy   b  1; c   B  1;3 , C  5;3 Vậy B  1;3 , C 3;5  B  3; 1 , C 5;3  Ví dụ 13 Ví Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng  : x  y   Đường thẳng qua A B có phương trình x  y   Tìm tọa độ A B biết AB  , C  1; 1 hoành độ A lớn hồnh độ B | 16 Hình học 10| Lời giải x + 2y - = A :x+y-2=0 G + Gọi I trung điểm AB Do I  AB nên I   2m; m  trọng tâm G   nên G  n;  n   CG   n  1;3  n  + Suy  Mặt khác G trọng tâm tam giác ABC nên: CI   m ; m       3n  4m  m  1  3  n  1    2m   I  5; 1 3CG  2CI      3n  2m  n    3   n    m  1 G  3; 1 AB + Khi A , B thuộc đường tròn tâm I  5; 1 bán kính R   2 Suy tọa độ A , B nghiệm hệ:   3   x  4; y  x  y   x   y  A  6;          5 1 2 x   y   y             B  4;  x  6; y   4      3   1 + Vậy A  6;  B  4;     2 Ví dụ 14 Ví Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Tìm tọa độ đỉnh lại tam giác ABC biết A  5;  , phương trình đường trung trực BC , đường trung tuyến CD có phương trình x  y   x  y  16  Lời giải 17 | STRONG TEAM TOÁN VD–VDC C(-1;1) B | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng A(5;2) 4x + 3y - 16 = x - 3y + 1= D G B(?) + Gọi M trung điểm x  y    M  3t1  1; t1  C M BC nên M thuộc đường thẳng STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Gọi G trọng tâm tam giác ABC , G  CD  G   3t2 ; 4t2    AM   3t1  6; t1   Suy    AG   3t2  1; 4t2   + Khi  3t1    3t2  1 t1   2t1  3t2  3   AM  AG      M  2;1 t  t   t    t    4t      + BC qua M  2;1 vng góc với đường thẳng x  y   nên ta có phương trình: 3x  y   Khi tọa độ điểm C nghiệm hệ: 4 x  y  16  x    C 1;   3x  y   y  + Do M  2;1 trung điểm BC , suy B  3; 2  Vậy C 1;4 , B 3; 2  Ví dụ 15 Ví Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A với BC  Các đường thẳng 5   18  AB AC qua điểm M 1;   N  0;  Xác định tọa độ đỉnh tam 3   7 giác ABC , biết đường cao AH có phương trình x  y   điểm B có hồnh độ dương Lời giải | 18  18  Gọi N ' đối xứng với N  0;  qua AH , suy N '  AB  7 18  18  NN ' qua N  0;  vng góc với AH nên có phương trình: x  y    7 Khi tọa độ giao điểm I NN ' AH nghiệm hệ:  18 x     x  y    16    I  ;    7  y  16  x  y      Do I trung điểm NN '  N '   ;    5    + Khi AB qua M 1;   N '   ;  nên có phương trình: x  y   3    7 x  y    x  1  A  1;3 Suy tọa độ điểm A nghiệm hệ:   x y 2  y  + Gọi B  1  3t;3  7t   AB với t  1  3t   7t  BC 2  2 Khi ta có: d  B; AH   2  4t   t  t  1 (loại) Suy B  2; 4  + BC qua B  2; 4  vuông góc với AH nên có phương trình: x  y    x y6  x   Khi tọa độ điểm H nghiệm hệ:  x  y    y  2  H  4; 2   C  6;0  (do H trung điểm BC ) Vậy A(1;3), B 2; 4 , C 6;0  Ví dụ 16 Ví 19 | STRONG TEAM TỐN VD–VDC Hình học 10| | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Trong mặt phẳng Oxy ,cho tam giác ABC ,biết tọa độ A(2;2); B(-1;6);C(5;5) Tìm tọa độ trực tâm H Lời giải  qua A(2;2)  VTPT BC  (6; 1) *) AH :   AH :  x  2  1 y     x  y  10   qua B(-1;6)  BH :  x  1   y     x  y   VTPT AC  (3;3)   *) BH :  STRONG TEAM TOÁN VD–VDC *) CH : 3x  y    15 20  ;  7  *) H  AH  BH  H  Ví dụ 17 Ví Cho tam giác ABC, M(-1;3) trung điểm AB, trung tuyến BN: x-3y+5=0; đường cao AH: 2x-y+5=0 Tìm tọa độ A, B, C Lời giải A  AH  A(a;2a  5) M trung điểm AB nên B(2.(-1)-a;2.3-2a-5)  B(a  2; 2a  1) B  NB  a   6a     5a   a   A(0;5); B(2;1) BC: 1( x  2)  2( y  1)   x  y  C  BC  C (2c; c) ; N trung điểm AC  N (c; c5 ) c5    2c  3c   10   5c  5  c   C (2;1) N  NB  c  Ví dụ 18 Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết phương trình đường thẳng chứa cạnh : AB: 2x+y-5=0; BC: x+2y+2=0; CA: 2x-y+9=0.Tìm tâm đường tròn nội tiếp tam giác Lời giải A  AB  AC  A  1;7  B  AB  BC  B  4; 3 | 20 Hình học 10| C  BC  AC  C  4;1 *) Các đường phân giác góc B 2x  y  x  y    x  y   x  y    x  y    l1   2 x  y    x  y     x  y    l2  1 4 1 Với  l1  :  1    4      Đường phân giác góc B  l2  : x  y   *) Các đường phân giác góc A 1 x  y    x  y   x  y    y    l3     x  y   2 x  y    x    l4  1 Với  l3  :  3  1     Đường phân giác góc A  l4  : x   I   l2    l4   I  1;2 Ví dụ 19 Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A(2;-4), đường phân giác kẻ từ B,C d B : x  y   0; dC : x  y   , tìm tọa độ B C Lời giải *) Gọi Gọi A1 điểm đối xứng với A qua d B , D trung điểm AA1  AA1 : x  y   D  AA1   d B   D  4; 2  A1  6;0  *) Gọi A2 điểm đối xứng với A qua d C , E trung điểm AA  AA2 : 3x  y   6 8 2 4 E  AA   dC   D  ;    A2  ;  5 5 5 5 qua A1  6;0  qua C  6;0    BC  28    BC  qua A  ;  VTCP A1 A2  ( ; ) 5     BC: 1( x  6)  7( y  0)   x  y   Giải hệ phương trình dB BC ta tọa độ B(4/3;2/3) Giải hệ phương trình dC BC ta tọa độ C(6;0) 21 | STRONG TEAM TOÁN VD–VDC 2x  y  | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Ví dụ 20 Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có đường phân giác AD: x  y  , đường cao CH: x  y   , AC qua M(0;-1) biết AB=2AM Tìm tọa độ B, C Lời giải *) Gọi M điểm đối xứng với M qua AD , E trung điểm MM1  MM1 :1( x  0)  1( y  1)   x  y   STRONG TEAM TOÁN VD–VDC  1 E  MM1  AD  E   ;    2 E trung điểm MM1  M1  1  0; 1  1  M1  1;0  qua M1  1;0  AB   CH AB: 1( x  1)  2( y  0)   x  y   A  AB  AD  A 1;1 TH1: M thuộc cạnh AC  M1 trung điểm AB  B(2  1;0  1)  B(3; 1) *) Gọi B1 điểm đối xứng với B qua AD , F trung điểm BB1  BB1 :1( x  3)  1( y  1)   x  y   F  BB1  AD  F  2; 2 F trung điểm BB1  B1 (4  3; 4  1)  B1 (1; 3) qua M  0; 1  qua M  0; 1  AC   AC    qua B1  1; 3 VTCP MB1  (1; 2) AC: 2( x  0)  1( y  1)   x  y     C  AC  CH  C   ; 2    TH2: M không thuộc cạnh AC nên BA  AM1; B( x; y) BA  (1  x;1  y ) AM  (2; 1) 1  x  2.(2) x     B(5;3)  y  2.(  1) y    *) Gọi B2 điểm đối xứng với B qua AD , G trung điểm BB2  BB2 :1( x  5)  1( y  3)   x  y   G  BB2  AD  G  4;4 G trung điểm BB2  B2 (8  5;8  3)  B2 (3;5) | 22 Hình học 10| qua M  0; 1  qua M  0; 1  AC   AC    qua B2  3;5 VTCP MB2  (3;6) AC: 2( x  0)  1( y  1)   x  y     C  AC  CH  C   ; 2    Loại 3: tốn tìm tọa độ điểm có sử dụng tính chất đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác LÝ THUYẾT BÀI TẬP TỰ LUẬN Ví dụ Ví Trong mặt phẳng toạ độ cho ABC với A(0;3) , B(0; 12) , C (6;0) Tìm toạ độ điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Lời giải  IA  IB Gọi I(a; b) Ta có   IA  IC x   x   y  32  x   y  12 2 30 y  135     2 2 x  y  y    x  y   x   y       9  Vậy I  0;   2  Ví dụ Ví Trong mặt phẳng toạ độ cho hai điểm A  3;0  , B  0;  Tìm tọa độ điểm I tâm đường tròn nội tiếp OAB Lời giải Phương trình đường thẳng AB : x y    x  y 12 0 Gọi I  x; y  , nhận xét:  x  x  y x  y x  d  I , OA  d  I , OB     Ta có:  x  12   3x  y  12   y 1 d  I , OA  d  I , BA x  x    23 | STRONG TEAM TOÁN VD–VDC I = II = | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Vậy I 1;1 Ví dụ Ví Đường tròn (C ) có tâm I (1;3) tiếp xúc với đường thẳng d : 3x  y   điểm H Tìm tọa điểm H STRONG TEAM TỐN VD–VDC Lời giải IH  d  IH : x  y  c  Đường thẳng IH qua I  1; 3 nên 4(1)  3.3  c   c  5 Vậy IH : 4x  y    x  x  y     Giải hệ:   3x  y   y   1 7 Vậy H  ;  5 5 Ví dụ Ví 13  9 5 ;3  , tâm đường tròn ngoại tiếp I  ;  , M  6,3 2 2 3  trung điểm cạnh BC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Lời giải Cho tam giác ABC có trọng tâm G  A G B I C M Gọi A  x; y  Ta có AG    x;3  y  , GM   ;0  3  3  13 | 24 Hình học 10| x  AG  2GM    A 1;3 y  3 1 IM  BC  BC nhận IM   ;  làm VTPT 2 2  BC : 3x  y  21  Ta có AI  BI  CI  Ví dụ Ví Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I 1;  phương trình phân giác góc A d : x  y   Giả sử đường cao kẻ từ A qua H  3; 4  Tìm tọa độ điểm A Lời giải A H I E B C D  Gọi D giao điểm khác A phân giác góc A với đường tròn tâm I 1 sđ BD DAC  sđ DC 2 mà BAD  DAC  sđ BD =sđ DC  D điểm cung BC  ID  BC  ID / / AH Ta có: BAD   IDA  HAD  AID cân I  IAD  IDA  HAD  IAD  AD phân giác góc HAI Gọi K hình chiếu vng góc I AD Phương trình đường thẳng IK là: IK : x  y   x  y   5 1 K  AD  IK  tọa độ K nghiệm hệ:   K  ;  2 2 x  y   25 | STRONG TEAM TOÁN VD–VDC 3x  y  21  x  x   2   Tọa độ B, C nghiệm hệ:  9  5 25   y  y   x     y         B  5;6  , C  7;0  B  7;0  , C  5;6  | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Gọi E điểm đối xứng I qua AD suy K trung điểm EI nên E  4; 1 Đường cao kẻ từ A qua H , E có phương trình: 3x  y  13  11  x  x  y  13    Vậy A  11 ;   A  AH  d suy tọa độ A nghiệm hệ:     2 x  y   y   Ví dụ Ví Trong hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có góc ACB 450 , điểm D  5;3 chân đường cao hạ từ đỉnh A tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh A, C tam giác ABC biết đường thẳng AC qua điểm M 1;  điểm I  3;3 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Lời giải A M K I B D C Gọi K trung điểm AC  IK  AC Ta có: ADC  900 ACB  450  ADC vuông cân D  DK  AC  D, I , K thẳng hàng Phương trình DI là: y  AC qua M vng góc DI nên có phương trình AC : x    K 1;3  DK  Ta có DK  KA  KC  2   A 1;7  , C 1; 1  x  1   y  3  16  Tọa độ A, C nghiệm hệ:   A 1;  , C 1;7     x       Loại 4: Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện min-max I = LÝ THUYẾT II = BÀI TẬP TỰ LUẬN Ví dụ Ví | 26 Hình học 10| Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm B 1;  , C  3; 1 Tìm tọa độ điểm M trục Oy cho MB  MC nhỏ Lời giải Nhận xét: B C nằm phía so với Oy Gọi A điểm đối xứng với B qua Oy , suy A  1;  Điểm M  Oy , suy M  0; yM  Ta có MB  MC  MA  MC  AC Đẳng thức xảy M  AC , hay AM  k AC  k    x  xA  k  xC  xA   4k   M  y    k y  y  k y  y   M A C A  M  yM    5 Vậy tọa độ điểm M  0;   4 Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy cho A 1;  , B  3; 4  Tìm P thuộc Ox cho PA  PB lớn Lời giải Nhận xét: A B nằm phía so với Ox Điểm P  Ox , suy P  xP ;0  Ta có PA  PB  AB Đẳng thức xảy P  AB , hay AP  k AB  k   xP  xA  k  xB  xA  xP   2k    1  6k  yP  y A  k  yB  y A   xP   4  Vậy tọa độ điểm P  ;0  3   Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A  5; 1 , B  1;3 Tìm M thuộc Ox cho MA2  2MB2 nhỏ Lời giải M  Ox , suy M  xM ;0  MA2   xA  xM    y A  yM   xM2  10 xM  26 2 MB2   xB  xM    yB  yM   xM2  xM  10 27 | STRONG TEAM TOÁN VD–VDC  | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng MA2  2MB2  3xM2  xM  46   xM  1  43  43 Đẳng thức xảy xM  Vậy M 1;0  Ví dụ Ví Cho hai điểm A  2;  , B  3;1 đường thẳng  : x  y   Tìm tọa độ điểm M  cho MA  MB nhỏ STRONG TEAM TỐN VD–VDC Lời giải Ta có  xA  yA  1  xB  yB  1  , suy A , B nằm khác phía so với  Vì M   nên M  m; m  1 Ta có MA  MB  BC Đẳng thức xảy M  AB , hay AM  k AB  x  xA  k  xB  xA   M  yM  y A  k  y B  y A  11  m   m2  k   m   3k k     11  Vậy tọa độ điểm M  ;   4 | 28 ...  Tọa độ A, C nghiệm hệ:   A 1;  , C 1;7     x       Loại 4: Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện min-max I = LÝ THUYẾT II = BÀI TẬP TỰ LUẬN Ví dụ Ví | 26 Hình học 10| Trong mặt phẳng. .. Ví dụ Ví Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MAB cân A đường thẳng  : x  y   Biết B 1; 4  I  2; 2  trung điểm AM Tìm tọa độ điểm A M biết  qua điểm M M có hồnh độ số ngun... STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Lời giải | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Ví dụ 12 Ví Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm A  2;  đường thẳng d1 : x  y   , d2 : x  y   Tìm tọa