CHƯƠNG 02: BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ MŨ, LƠGARIT Ở chương tốn vận dụng cao rơi vào dạng Lãi suất, dạng tính số chữ số số … CHỦ ĐỀ 1: TÍNH SỐ CHỮ SỐ CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN Sau nghiên cứu ứng dụng Logarit tron việc tính số chữ số số tự nhiên Đầu tiên xin nhắc lại khái niệm phần nguyên số Phần nguyên số: Xét số thức A, số nguyên lớn mà không vượt A người ta gọi phần nguyên A kí hiệu [A] Như dễ thấy [A]  A  [A] + Cơng thức tính số chữ số số tự nhiên: Xét số tự nhiên A thời biểu diễn dạng mũ hay dạng mà ta khơng đếm chữ số Gỉ sử A có n chữ số ta có cơng thức sau đây: n = [lg A]+1 Trước vào chứng minh, muốn nhắc lại cho bạn cách phân tích số tự nhiên dạng tổng lũy thừa số 10, ví dụ 423 = 4.102 + 2.10 + 3; 5678 = 5.103 + 6.102 + 7.101 + Chứng minh: Giả sử số tự nhiên A có n chữ số: A = an an−1an−2 a1 = an 10n−1 + an−1.10n−2 + an−2 10n−3 + + a1 Suy log ( A) = log ( an 10n−1 + an−1.10n−2 + an−2 10n−3 + + a1 )  log (10n ) = n log ( A) = log ( an 10n−1 + an−1.10n−2 + an−2 10n−3 + + a1 )  log ( an 10n−1 )  n − Từ hai điều ta có: n −  log ( A)  n  log ( A)  n  log ( A) + Giữa log ( A) , log ( A) + có số tự nhiên lớn log ( A) log ( A )  + Vậy n = log ( A ) + 1 Sau ta sử dụng công thức để giải số tốn sau: BÀI TỐN ÁP DỤNG Bài 1: Số ngun tố dạng M p = p − , p số nguyên tố, gọi số nguyên tố Mec-xen Số M 6972593 phát năm 1999 Hỏi viết số hệ thập phân có chữ số? Trích đề thi thử Chuyên Hưng Yên lần A 2098960 chữ số B 2098961 chữ số C 6972593 chữ số D 6972592 chữ số Giải: Đầu tiên ta cần biết: Số tự nhiên A có n chữ số n = log ( A )  + Ta cần tính 26972593 − có chữ số, ta thấy 26972593 − 26972593 chắn có số chữ số, giống 213 213−1 có chữ số Từ lập luậ ta tính số chữ số 26972593 công thức: n = log ( A )  + Áp dụng công thức ta được: n = log 26972593  + = 6972593.log 2 + = 2098960 Chọn B Bài 2: Người ta qui ước lg x log x giá trị log10 x Trong lĩnh vực kỹ thuật, lg x sử dụng nhiều, kể máy tính cầm tay hay quang phổ Hơn nữa, tốn học người ta sử dụng lg x để tìm số chữ số số ngun dương Ví dụ số A có n chữ số n =  lg A + với  lg A số nguyên lớn nhỏ A Hỏi số B = 20172017 có chữ số? A 9999 chữ số B 6666 chữ số C 9966 chữ số Giải: Áp dụng công thức n =  lg A + để tìm chữ số số A D 6699 chữ số Ta có: log B = log 2017 2017 = 2017 log 2017  6665 Vậy B có 6666 chữ số Chọn B Bài 3: Số nguyên tố dạng M p = p − , p số nguyên tố gọi số nguyên tố Mec-sen (Mersenne Marin, 1588-1648, người Pháp) + Ơ-le phát M 31 năm 1750 + Luy-ca (Lucas Edouard, 1842-1891, người Pháp) phát M 127 năm 1876 + M1398268 phát năm 1996 Hỏi viết ba số hệ thập phân mỗ số có chữ số? A 10; 39; 420921 B 10; 49; 42092 C 10; 69; 420923 D 10; 59; 4209 Giải: Giả sử số nguyên tố M p = p − viết hệ thập phân có n chữ số 10n−1  M p  10n hay 10n−1  p  10n p khơng chứa thừa số ngun tố nên p  10n ) Suy ra: lg10n−1  lg p  lg10n hay n −  p.lg  n Thay p = 31 , ta 31.lg = 9,33 Suy n = 10 Vậy số nguyên tố M 31 viết hệ thập phân có 10 chữ số Làm tương tự ta thấy M 127 có 39 chữ số số M1398269 có 420921 chữ số Chọn A Bài 4: Số p = 2756839 − số nguyên tố Hỏi viết hệ thập phân số có chữ số? A 227831 chữ số B 227832 chữ số C 227834 chữ số D 227835 chữ số Giải: Áp dụng công thức n =  lg A + để tìm chữ số số A p = 2756839 −  log ( p + 1) = log 2756839  log ( p + 1) = 756839.log  227831, 24 Vậy số p có 227832 chữ số chọn B Bài 5: Đầu năm 2016, Curtis Cooper công nhóm nghiên Đại học Central Mis-souri, Mỹ vừa cơng bố số nguyên tố lớn thời điểm Số nguyên tố dạng số Mersenne, có giá trị M = 274207281 − Hỏi M có chữ số? A 2233862 chữ số B 22338618 chữ số C 22338617 chữ số D 2233863 chữ số Giải: Áp dụng công thức n =  lg A + để tìm chữ số số A Ta có: log M  log 274207281 = 74207281.log  22338617 Do M có 22338617 chữ số Chọn B Bài 6: Nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat người đưa khai niệm số Fermat Fn = 22 + với n số ngun dương khơng âm Fermat dự đốn Fn số nguyên tố, Euler n chứng minh F5 hợp số Hãy tìm số chữ số F13 A 1243 chữ số Giải: B 1234 chữ số C 2452 chữ số D 2467 chữ số Ta có: F13 = 22 + 13 Suy log F13  log 22 = 213.log  2466 Suy F13 có 2467 chữ số Chọn D 13 CHỦ ĐỀ CÁC DẠNG BÀI TOÁN LÃI SUẤT Lãi đơn Số tiền lãi tính số tiền gốc mà khơng tính số tiền lãi số tiền gốc sinh Cơng thức tính lãi đơn: Vn = V0 (1 + r.n ) Trong đó: Vn : Số tiền vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn; V0 : Số tiền gửi ban đầu; n : Số kỳ hạn tính lãi; r : Lãi suất định kỳ, tính theo % Lãi kép Là số tiền lãi khơng tính số tiền gốc mà tính số tiền lãi tiền gốc sinh thay đổi theo định kỳ a Lãi kép, gửi lần: Tn = T0 (1 + r ) n Trong đó: Tn : Số tiền vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn; T0 : Số tiền gửi ban đầu; n : Số kỳ hạn tính lãi; r : Lãi suất định kỳ, tính theo % b Lãi kép liên tục: Tn = T0 enr Trong đó: Tn : Số tiền vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn; T0 : Số tiền gửi ban đầu; n : Số kỳ hạn tính lãi; r : Lãi suất định kỳ, tính theo % c Lãi kép, gửi định kỳ Trường hợp gửi tiền định kì cuối tháng Bài tốn 1: Cứ cuối tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r % (tháng năm) Hỏi sau n (tháng năm) số tiền thu bao nhiêu? Người ta chứng minh số tiền thu là: m n Tn = (1 + r ) − 1  r  Chứng minh Tháng Đầu tháng Chưa gửi Cuối tháng m m (1 + r ) + m m m (1 + r ) + m … … m (1 + r ) + m (1 + r ) + m … n−1 m (1 + r ) + + m (1 + r ) + m n Vậy sau tháng n ta số tiền Tn = m (1 + r ) n−1 = m (1 + r )  + + m (1 + r ) + m n −1 + + (1 + r ) + 1 ,  Ta thấy ngoặc tổng n số hạng cấp số nhân có u1 = 1, un = (1 + r ) n−1 , q = 1+ r m qn −1 n Ta biết rằng: S n = u1 + + un = u1 nên Tn = (1 + r ) − 1  r  q −1 Bài toán 2: Cứ cuối tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r % (tháng năm) Sau n (tháng năm) số tiền thu A triệu Hỏi số tiền gửi tháng m bao nhiêu? Ar Người ta chứng minh số tiền cần gửi tháng là: m = n (1 + r ) − Chứng minh: Áp dụng tốn ta có số tiền thu Tn = nên A = m n + r ) − 1 , mà đề cho số tiền A (  r  m Ar n + r ) − 1  m = ( n  r  (1 + r ) − Bài toán 3: Cứ cuối tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r % (tháng năm) Sau n (tháng năm) số tiền thu A triệu Hỏi số tháng năm n bao nhiêu?  Ar  + 1 Người ta chứng minh số tháng thu đề cho là: n = log1+ r   m  Chứng minh: m n Áp dụng toán ta có số tiền thu Tn = (1 + r ) − 1 , mà đề cho số tiền A  r  m Ar Ar n n  Ar  nên A = (1 + r ) − 1  m =  (1 + r ) = +  n = log1+ r  + 1 n  r  m m   + r − ( ) Như trường hợp ta cần nắm vứng cơng thức Bài tốn từ dễ dàng biến đổi công thức toán 2, Bài toán Trường hợp gửi tiền định kì đầu tháng Bài tốn 4: Cứ đầu tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r % (tháng năm) Hỏi sau n (tháng năm) số tiền thu bao nhiêu? m n Người ta chứng minh số tiền thu là: Tn = (1 + r ) − 1 (1 + r )  r  Chứng minh Ta xây dựng bảng sau: Tháng Đầu tháng Cuối tháng m m (1 + r ) m (1 + r ) + m m (1 + r ) + m (1 + r ) m (1 + r ) + m (1 + r ) + m m (1 + r ) + m (1 + r ) + m (1 + r ) … n … … … n m (1 + r ) + + m (1 + r ) 2 Vậy sau tháng n ta số tiền: Tn = m (1 + r ) + + m (1 + r ) = m (1 + r ) + + (1 + r ) = m (1 + r )   n n (1 + r ) n −1 r Bài toán 5: Cứ đầu tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r % (tháng năm) Sau n (tháng năm) số tiền thu A triệu Hỏi số tiền gửi tháng m bao nhiêu? Ar Người ta chứng minh số tiền cần gửi tháng là: m = n (1 + r ) (1 + r ) − 1 Chứng minh Áp dụng tốn Ta có số tiền thu là: Tn = m n + r ) − 1 (1 + r ) , mà đề cho số tiền A (  r  m Ar n + r ) − 1 (1 + r )  m = ( n  r (1 + r ) (1 + r ) − 1 Bài toán 6: Cứ đầu tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r % (tháng năm) Sau n (tháng năm) số tiền thu A triệu Hỏi số tháng năm n bao nhiêu? nên A =  Ar  Người ta chứng minh số tháng thu đề cho là: n = log1+ r  + 1  m (1 + r )  Chứng minh m n Áp dụng tốn Ta có: số tiền thu là: Tn = (1 + r ) − 1 (1 + r ) , mà đề cho số tiền A   r m Ar Ar n n nên A = (1 + r ) − 1 (1 + r )  m =  (1 + r ) = +1 n  r m (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) − 1  Ar   n = log1+ r  + 1  m (1 + r )  Như trường hợp ta cần nắm vững cơng thức tốn từ dễ dàng biến đổi công thức toán 5, toán Trường hợp vay nợ trả tiền định kì đầu tháng Bài tốn 7: Vay ngân hàng A triệu đồng Cứ đầu tháng (năm) trả ngân hàng m triệu, lãi suất kép r % (tháng năm) Hỏi sau n (tháng năm) số tiền nợ bao nhiêu? Người ta chứng minh số tiền nợ là: Tn = A (1 + r ) − m (1 + r ) n Chứng minh Ta xây dựng bảng sau: Tháng Đầu tháng A− m (1 + r ) n −1 r Cuối tháng ( A − m)(1 + r ) = A(1 + r ) − m (1 + r ) A(1 + r ) − m (1 + r ) − m A (1 + r ) − m (1 + r ) − m (1 + r ) − m A (1 + r ) − m (1 + r ) − m (1 + r ) − m (1 + r ) … … … … n n A (1 + r ) − m (1 + r ) − − m (1 + r ) − m (1 + r ) n A (1 + r ) − m (1 + r ) − m (1 + r ) 2 Vậy sau tháng n ta nợ số tiền: Tn = A (1 + r ) − m (1 + r ) − − m (1 + r ) − m (1 + r ) n n n n = A (1 + r ) − m (1 + r ) + + (1 + r )    = A (1 + r ) − m (1 + r ) n (1 + r ) n −1 r Trường hợp vay nợ trả định kì cuối tháng Bài tốn 8: Vay ngân hàng A triệu đồng Cứ đầu tháng (năm) trả ngân hàng m triệu, lãi suất kép r % (tháng năm) Hỏi sau n (tháng năn) số tiền nợ bao nhiêu? Người ta chứng minh số tiền nợ là: Tn = A (1 + r ) − m (1 + r ) n Chứng minh Ta xây dựng bảng sau: Tháng Đầu tháng A (1 + r ) n −1 r Cuối tháng A(1 + r ) − m A(1 + r ) − m A(1 + r ) − m (1 + r ) − m A (1 + r ) − m (1 + r ) − m (1 + r ) − m … … … … n n−1 A (1 + r ) − m (1 + r ) − − m (1 + r ) − m n A (1 + r ) − m (1 + r ) − m 2 2 Vậy sau tháng n ta nợ số tiền: Tn = A (1 + r ) − m (1 + r ) n n −1 = A (1 + r ) − m (1 + r )  n = A (1 + r ) − m (1 + r ) n − − m (1 + r ) − m n −1 + + (1 + r ) + 1  (1 + r ) n −1 r Sau tìm hiểu cách áp dụng lý thuyết vào tốn tính tiền lãi, tiền nợ phải trả ? BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Một người muốn gửi tiết kiệm ngân hàng hi vọng sau năm có 850 triệu đồng để mua nhà Biết lãi suất ngân hàng tháng thời điểm 0, 45% Hỏi người tháng phải gửi vào ngân hàng tối thiểu tiền để đủ số tiền mua nhà? (Giả sử số tiền tháng lãi suất năm không thay đổi) A 15,833 triệu đồng B 16,833 triệu đồng C 17,833 triệu đồng D 18,833 triệu đồng Giải: Giả sử người gửi tiền thời điểm t đó, kể từ thời điểm sau năm (48 tháng) ơng muốn có số tiền 850 triệu Như rõ ràng ta coi tốn gửi tiền định kì đầu tháng Ar Áp dụng tốn ta có số tiền phải gửi tháng là: m = n (1 + r ) (1 + r ) − 1 Theo đề: n =48 tháng, r = 0, 45% = 2000 Tiền thu được: 850 triệu đồng thay vào: 850000000  0, 45% = 15,833 48 (1 + 0, 45% ) (1 + 0, 45% ) − 1 Chọn A Bài 2: Trích đề thi HK Chuyên Lương Văn Tụy Ninh Bình Một bà mẹ Việt Nam anh hùng hưởng số tiền triệu đồng tháng (chuyển vào tài khoản mẹ ngân hàng vào đầu tháng) Từ tháng năm 2016 mẹ không rút tiền mà để lại ngân hàng tính lãi suất 1% tháng Đến đầu tháng 12 năm 2016 mẹ rút toàn số tiền (gồm số tiền tháng 12 số tiền gửi tháng 1) Hỏi mẹ lĩnh tiền ? (kết làm tròn theo đơn vị nghìn đồng) A 50 triệu 730 nghìn đồng B 50 triệu 740 nghìn đồng C 53 triệu 760 nghìn đồng D 48 triệu 480 nghìn đồng Giải: Ta có tổng số tiền A thu được, ban đầu gửi vào a đồng, từ đầu tháng sau gửi thêm a đồng (không đổi) vào đầu tháng với lãi suấ r% n tháng: a n A = a + (1 + r ) (1 + r ) − 1   r m= Áp dụng với a = triệu đồng, r = 1%, n = 11 (từ đầu tháng đến cuối tháng 12)??? A= 4000000 n (1 + 1%) (1 + 1% ) − 1 + 4000000 = 50730012,05 Chọn A   1% Bài 3: Trích đề Minh họa năm 2017 Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12% năm Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách sau: sau tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách tháng số tiền hoàn nợ lần trả hết tiền nợ sau ba tháng kể từ ngày vay Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ông A phải trả cho ngân hàng bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng khơng thay đổi thời gian ơng A hồn nợ 100.(1,01) A m = (triệu đồng) 3 C m = 100.1,03 (triệu đồng) (1,01) (triệu đồng) B m = (1,01) − 120.(1,12 ) D m = (triệu đồng) (1,12 ) − Giải: Lãi suất 12%/năm tương ứng 1%/tháng nên r = 0,01 (do vay ngắn hạn) Số tiền gốc sau tháng là: T + T r − m = T (1 + r ) − m Số tiền gốc sau tháng là: T (1 + r ) − m + T (1 + r ) − m.r − m = T (1 + r ) Số tiền gốc sau tháng là: T (1 + r ) − m (1 + r ) + + r + 1 =   − m (1 + r ) + 1 T (1 + r ) T (1 + r ) r 3 1,013 Do đó: m = (triệu đồng) = = (1 + r ) + + r + (1 + r ) − 1,013 − Chọn B Bài 4: Ông A muốn sở hữu khoản tiền 20.000.000đ vào ngày 2/3/2012 tài khoản lãi suất năm 6,05% Hỏi ông A cần đầu tư tiền trê tài khoản vào ngày 2/3/2007 để đạt mục tiêu đề ra? A 14.909.965,25 (đồng) B 14.909.965,26 (đồng) C 14.909.955,25 (đồng) D 14.909.865,25 (đồng) Giải: Gọi V0 lượng vốn cần đầu tư ban đầu, lượng vốn đầu tư năm nên ta có: 20.000.000 = V0 (1 + 0,0605)  V0 = 20.000.000.(1 + 0,0605) = 14.909.965,25 đ −5 Chọn A Bài 5: Ông Tuấn gửi 9,8 triệu đồng tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm lãi suất hàng năm nhập vào vốn Hỏi theo cách sau năm ông Tuấn thu tổng số tiền 20 triệu đồng (biết lãi suất không thay đổi) A năm B năm C năm D 10 năm Giải: Gọi P số tiền gửi ban đầu Sau n năm ( n  ) , số tiền thu là: Pn = P (1 + 0,084) = P (1,084 ) n n Áp dụng với số tiền đề cho ta được: 20  20  n n 20 = 9,8.(1,084 )  (1,084 ) =  n = log1,084    8,844 9,8  9,8  n số tự nhiên nên chọn n = Chọn A Bài 6: Ông Tuấn gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm lãi năm nhập vào vốn Hỏi sau năm ông Tuấn thu gấp đôi số tiền ban đầu: A B C D 10 Giải: Gọi a số tiền ba đầu mà người gửi vào ngân hàng n ( n  ) số năm mà số tiền nhận tăng gấp đôi Theo công thức lãi lép, ta có phương trình: n  271  a (1 + 0,084 ) = 2a    =  n = log 271  250  250 Vì lãi suất tính theo năm nên đến cuối năm người nhận tiền Do đó, n= Chọn B n Bài 7: Anh A mua nhà trị giá ba trăm triệu đồng theo phương thức trả góp Nếu cuối tháng, tháng thứ anh A trả 5500000đ chịu lãi suất số tiền chưa trả 0,5% / tháng sau tháng anh A trả hết số tiền A n = 64 B n = 60 C n = 65 D n = 64,1 Giải: Gọi số tiền anh A nợ ban đầu M, lãi suất hàng tháng r % , số tiền hàng tháng phải trả a Với đề coi : “người nợ tiền nợ vào đầu tháng” a n n Người trả hết nợ, nghĩa là: M (1 + r ) − (1 + r ) − 1 =   r Thay số bấn shift Slove tính n = 64 với: M=300.000.000, r = 0,5%, a=5500.000 Chọn A Bài 8: Một người lĩnh lương khởi điểm 700.000 đ/tháng Cứ năm lại tăng lương thêm &% Hỏi sau 36 năm làm việc lĩnh tất tiền A 450788972 B 450788900 C 450799972 D 450678972 Giải: Từ năm thứ đến năm thứ 3, nhận được: u1 = 700.000  36 Từ đầu năm thứ đến hết năm thứ 6, nhận được: u2 = 700.000 (1 + 7%)  36 Từ đầu năm thứ đến hết năm thứ 9, nhận được: u3 = 700.000 (1 + 7%)  36 … Từ đầu năm thứ 34 đến hết năm thứ 36, nhận được: u12 = 700.000 (1 + 7%)  36 11 Vậy sau 36 năm nhận tổng số tiền là: u1 + u2 + u3 + + u12 − (1 + 7% ) = 700.000  36  = 450788972 − (1 + 7% ) 12 Chọn A Bài 9: Bà Hoa gửi 100 triệu vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất 8%/năm Sau năm bà rút toàn tiền dùng nửa để sửa nhà, số tiền lại bà tiếp tục đem gửi ngân hàng năm với lãi suất Tính số tiền lãi thu sau 10 năm A 81,412tr B 115,892tr C 119tr D 78tr Giải: Sau năm bà Hòa rút tổng số tiền là: 100 (1 + 8%) = 146.932 triệu Giải: Viết phương trình lại dạng: m2 x −5 x +  m2 x + 21− x = 2.26−5 x + m −5 x + + 21− x = x 2 −5 x + +1− x +m  m2 x −5 x +6 + 21− x = x −5 x +6.21− x + m u = x −5 x + Đặt  ; u , v  Khi phương trình tương đương: 1− x v = mu + v = uv + m  (u − 1)( v − m) = 2 2 x = x −5 x +   =0 u =    x = v = m  21− x = m   1− x2  = m (*) Để (1) có nghiệm phân biệt (*) có nghiệm phân bieeth khác m  m   (*)   1 − x = log m  x = − log m Khi ĐK là: m  m  m  1 − log m     1    m   m  ( 0;2 ) \  ;    256  1 − log m   1 − log m   m  256  Chọn A ĐỀ SỐ Bài 1: Số giá trị tham số m log5 + log ( x + 1)  log ( mx + x + m ) nghiệm với x thuộc nguyên A B m  m  Giải: Bất phương trình xác định với x thuộc mx + x + m  0, x  C cho bất phương trình: D khi: m  m     m  (1)   − m    Bất phương trình nghiệm với x thuộc x +  mx + x + m, x  khi:  ( − m ) x − x + − m  0, x  m  5 − m     m  ( 2)   − m + 10 m − 21    Từ (1) (2) ta  m  3, m   m = Vậy có giá trị m Chọn C t  T Bài 2: Trong vật lí, phân rã chất phóng xạ biểu diễn công thức: m ( t ) = m0   , 2 m0 khối lượng ban đầu chất phóng xạ (tại thời điểm t=0); T chu kì bán rã (tức khoảng thời gian để nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác) Chu kì bán rã Cacbon 14 C khoảng 5730 năm Cho trước mẫu Cacbon có khối lượng 100g Hỏi sau khoảng thời gian t khối lượng bao nhiêu? A m ( t ) = 100.e − t ln 5730 1 C m ( t ) = 100.  2 Giải: − 1 B m ( t ) = 100   2 100 t 5730 D m ( t ) = 100.e − 5730 100 t 5730 Theo công thức: m ( t ) = m0e− kt , ta có: m ( 5730 ) = 100 ln = 50 = 100.e − k 5730  k = 5730 Suy : m ( t ) = 100.e − ln t 5730 Chọn A t  T Bài 3: Trong vật lí, phân rã chất phóng xạ biểu diễn cơng thức: m ( t ) = m0   , 2 m0 khối lượng ban đầu chất phóng xạ (tại thời điểm t=0); T chu kì bán rã (tức khoảng thời gian để nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác) Chu kì bán rã Cacbon 14 C khoảng 5730 năm Người ta tìm mẫu đồ cổ lượng Cacbon xác định khoảng 25% lượng Cacbon ban đầu Hỏi mẫu đồ cổ có tuổi bao nhiêu? A 2378 năm B 2300 năm C 2387 năm D 2400 năm Giải: Gs khối lượng ban đầu mẫu đồ cổ chứa cacban m0 , thời điểm t tính từ thời điểm ban đầu ta có: m ( t ) = m0 e − ln t 5730  3m0 = m0e − ln t 5730 3 5730ln      2378 nam t = ( ) − ln Chọn A Bài 4: Một nghiên cứu cho thấy nhóm học sinh cho xem danh sách loài động vật kiểm tra lại xem họ nhớ % tháng Sau t tháng, khả nhớ trung bình nhóm học sinh tính theo cơng thức M ( t ) = 75 − 20ln ( t + 1) , t  (đợn vị %) Hỏi khoảng thời gian ngắn số học sinh nhớ danh sách 10%? A khoảng 24,79 tháng B khoảng 23 tháng C khoảng 24 tháng D khoảng 22 tháng Giải: The đề ta có: 75 − 20ln ( t + 1)  10%  ln ( t + 1)  3,25  t  24,79 Chọn A Bài 5: Một công ty vừa tung thị trường sản phẩm họ tổ chức quảng cáo truyền hình ngày Một nghiên cứu thị trường cho thấy, sau x quảng cáo phát số % người xem 100 , x  Hãy tính số quảng cáo phát tối thiểu để số người mua sản phẩm P ( x ) = + 49.e −0,015 x mua đạt 75% A 333 B 343 C 330 D 323 Giải: 100  75  x  333 Ta có: P ( x ) = + 49.e −0,015 x Chọn A Bài 6: Ông Năm gửi 320 triệu đồng hai ngân hàng X Y theo phương thức lãi kép Số tiền thứ gửi ngân hàng X với lãi suất 2,1% quý thời gian 15 tháng Số tiền lại gửi ngân hàng Y với lãi suất 0,73% tháng thời gian tháng Tổng lợi tức đạt hai ngân hàng 27507768,13 (chưa làm tròn) Hỏi số tiền ơng Năm gởi ngân hàng X Y bao nhiêu? A 140 triệu 180 triệu B 180 triệu 140 triệu C 200 triệu 120 triệu D 120 triệu 200 triệu Giải: Tổng số tiền vốn lãi (lãi lợi tức) ơng Năm nhận từ hai ngân hàng 347,50776813 triệu đồng Gọi x (triệu đồng) số tiền gửi ngân hàng X, 320 − x (triệu đồng) số tiền gửi ngân hàng Y Theo giả thiết ta có: x (1 + 0,021) + ( 320 − x )(1 + 0,0073) = 347,50776813 Ta x = 140 Vậy ông Năm gửi 140 triệu ngân hàng X 180 triệu ngân hàng Y Chọn A Bài 7: Tìm số nghiệm phương trình: log x −1 ( x + x − 1) + log x +1 ( x − 1) = (1) A Giải: B C D  x  ĐK:  Phương trình:  x    log x +1 ( x + x + 1) log x +1 ( x − 1) + 2log x +1 ( x − 1) = log x +1 ( x − 1) + log x +1 ( x + 1) + 2log x +1 ( x − 1) = log x +1 ( x − 1)  1+ + 2log x +1 ( x − 1) = log x +1 ( x − 1) ( 3) Đặt t = log x+1 ( x − 1) , (3) viết thành: t = 1 2t + − =  2t − 3t + =   t = t  log x +1 ( x − 1) = x =  x = = 2x −1    log ( x − 1) =  x = x + = x −   x +1  Chọn C Bài 8: Người ta thả bèo vào hồ nước Kinh nghiệm cho thấy sau giờ, bèo sinh sơi kín mặt hồ Biết sau giờ, lượng bèo tăng gấp 10 lần lượng bèo trước tốc độ tăng khơng đổi Hỏi sau số bèo phủ kín mặt hồ? 10 A B C − lg3 D lg 3 Giải: Gọi t số bèo phủ kín mặt hồ Lượng bèo đầy mặt hồ là: 109 109  lượng bèo mặt hồ là: 3 9 10 10 10t =  t = log10 = − lg3 3 Chọn C Bài 9: Một người vay ngân hàng 40 triệu đồng để mua xe với lãi suất 0,85%/tháng hợp đồng thỏa thuận trả 500 ngàn đồng tháng Sau năm mức lãi suất ngân hàng điều chỉnh lên 1,15%/tháng người vay muốn nhanh chóng hết nợ nên thỏa thuận trả triệu 500 ngàn đồng tháng (trừ tháng cuối) Hỏi phải lâu người trả dứt nợ A 31 tháng B 43 tháng C 30 tháng D 42 tháng Giải: Ta có: cơng thức tính lượng tiền nợ trả gón n tháng với tháng trả khoản tiền a, a n n lãi suất r% số tiền nợ ban đầu lầ là: A (1 + r ) − (1 + r ) − 1  r Sau năm (12 tháng) nợ là: 500000  12 12 40000000.(1 + 0,85% ) − + 0,85% ) − 1 = 37987647 = A1 (  0,85%  Lúc người vay ngân hàng trả tháng m1 = 1500000 đồng, lãi suất r1 = 1,15% Số tiền nợ A1 Sau tháng n hết nợ nên: A1 (1 + r1 ) − m1 n (1 + r1 ) n −1 r1 =0  m1   n = log1+ r1   = 30.105  m1 − A1r1  Vậy phải qua tháng 43 hết nợ Chọn B Bài 10: Huyện A có 100 000 người Với mức tăng dân số bình quân 1,5% năm sau n năm dân số vượt lên 130 000 người Hỏi n nhỏ bao nhiêu? A 18 năm B 17 năm C 19 năm D 16 năm Giải: n r   Sn   Áp dụng công thức Sn = A 1 +   n = log 1+ r    đó: A    100   10   A = 100 000, r=1,5 Sn = 130000 Suy n  17,6218 Chọn A Bài 11: Cho biết chu kì bán rã chất phóng xạ Plutoni Pu 239 24360 năm (tức lượng Plutoni sau 24360 năm phân hủy lại nửa) Sự phân hủy tính theo cơng thức S = A.ert , A lượng chất phóng xạ ban đầu, r tỉ lệ nhân hủy hàng năm (r < 0), t thời gian phân hủy, S lượng lại sau thời gian phân hủy t Hỏi 10 gam Pu 239 sau năm phân hủy gam? A 80922 năm B 24360 năm C 35144 năm D 48720 năm Giải: A Ta có: Ae 24360 r =  r = − ln : 24360 Giả sử: sau t năm 10 g Plutoni phân hủy 1g thì: ln 10e rt =  t = 10 = 80922 Chọn A r Bài 12: Gọi S1 tập nghiệm bất phương trình 2.2x + 3.3x − 6x +  Gọi S tập nghiệm bất phương trình 2− x  Gọi S tập nghiệm bất phương trình log ( x − 1)  Trong khẳng định sau, khẳng định nói mối quan hệ tập nghiệm S1 , S2 , S3 ? C S3  S1  S2 B S3  S2  S1 A S1  S3  S2 D S1  S2  S3 Giải: 2.2 x + 3.3x − x +  x x x 1 1 1  2.2 + 3.3 +     +   +     3 2 6 Dùng tính đơn điệu hàm số, suy ra: S1 = ( 2; + ) x x x 2− x   − x   −2  x  S2 = ( −2; + ) log ( x − 1)   ( x − 1)   x   S3 =  2; + )  S1  S3  S Chọn A Bài 13: Bác B gửi tiết kiệm số tiền ban đầu 20 triệu đồng theo kỳ hạn tháng với lãi suất 0,72%/tháng Sau năm, bác B rút vốn lẫn lãi gửi lại theo kỳ hạn tháng với lãi suất 0,78%/tháng Sau gửi kì hạn tháng gia đình có việc nên bác gửi thêm số tháng phải rút tiền trước kỳ hạn gốc lẫn lãi số tiền 23263844,9 đồng (chưa làm tròn) Biết rút tiền trước thời hạn lãi suất tính theo lãi suất khơng kỳ hạn, tức tính theo hàng tháng Trong số tháng bác gửi thêm lãi suất là: A 0,4% B 0,3% C 0,5% D 0,6% Giải: Gửi đc năm coi gửi đc kì hạn tháng; nên kì hạn tháng số tiền là: 20000000.(1 + 0,72.3:100 ) (1 + 0,78.6 :100 ) Giả sử lãi suất kg kỳ hạn A%; gửi thêm B tháng số tiền là: 20000000.(1 + 0,72.3:100 ) (1 + 0,78.6 :100 )(1 + A :100 ) = 23263844,9 B Lưu ý:  B  B nguyên dương, nhập máy tính 20000000.(1 + 0,72.3:100) (1 + 0,78.6 :100 )(1 + A :100 ) − 23263844,9 B Thử với A =0,3 thử B từ đến 5, sau thử A = 0,5 thử B từ đến 5, đến bao giwof kết xấp xỉ = chọn Kết là: A =0,5 B=4 Chọn C Bài 14: Cho ba số dương a,b,c đôi khác khác Xét khẳng định sau: b c (I) log 2a = log 2a ; c b (II) log 2a b log b2 c = ; log c2 a c a b (III) Trong ba số log 2a ;log 2a ;log 2c ln có số lớn b c a b b a Khẳng định đúng? A Chỉ (I) (II) B Chỉ (I) (III) C Chỉ (I) D (I), (II) (III) Giải: b c 2 + log 2a = ( log a b − log a c ) = ( log a c − log a b ) = log a2 c b Vậy khẳng định (I) log 2a b log 2a c = log c2 a  log 2a b log b2 c log c2 a =  ( log a b log b c log c a ) =  ( log a a ) = Khẳng định (II) + Theo khẳng định (I) ta có: c b a c b a log 2a = log 2a ; log 2b = log 2b ; log 2c = log 2c b c c a a b b b c c a a Suy ra: c a b b c a log 2a log 2b log 2c = log log 2a log 2b log 2c = b c a c a b (theo câu b) b c a b c a a c b a b c  ;  ;  Do a,b,c đôi khác nên số b b c c a a Suy ra: số c a b log 2a ;log 2a ;log 2c b c a khác b b a Ta có: ( a − b) + ( a − c ) + ( b − c )   a − bc + b2 − ac + c − ab  c a b Suy ba số log a ;log b log c khác -1 b c a b c a 2 Khi : c a b Trong ba số log 2a ;log 2a ;log 2c ln có số khác b c a b b a c a b Mà: log 2a log 2b log 2c = b c a b c a Do (III) Chọn D Bài 15: Cô giáo Liên trường xa quê lập nghiệp, đến năm 2014 sau gần năm làm việc tiết kiệm x (triệu đồng) định dùng số tiền để mua nhà thực tế cô giáo phải cần 1,55x (triệu đồng) Cô định gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 6,9%/năm với lãi hàng tháng nhập gốc khơng rút trước kì hạn Hỏi năm mua nhà đó, biết chủ nhà bán cũ A Năm 2019 B Năm 2020 C Năm 2021 D Năm 2022 Giải: Tiền lãi sau n năm tiết kiệm là: xn = x.(1 + 0,069) = (1,069) x n n Theo giả thiết ta có: xn = 1,55x  (1,069) = 1,55  n = log1,069 1,55  6,56 n Vì n  sau năm giáo Liên mua đc nhà, năm 2021, đáp án C Chọn C ĐỀ SỐ 3: BÀI 1: Với a  0, a  , cho biết: t = a A u = a −1 − log a v B u = a 1−log a u ;v = a 1−log a t + log a t Chọn khẳng định đúng: C u = a 1 D u = a + log a v − log a v Giải: Từ giả thiết suy ra: log a t = log a v = 1 log a a = − log a u − log a u 1 log a a = = − log a t − log a t − 1 − log a u = − log a u − log a u  − log a v log a u = − log a u  log a u (1 − log a v ) = 1  log a u =  u = a 1−log a v − log a v Chọn D Bài 2: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình log 22 x + log x − = m ( log x − 3) có nghiệm thuộc 32;+ ) ? ( ) A m  1;  B m  1; C m   −1; Giải: ĐK: x  Khi phương trình tương đương: ) ( D m  − 3;1 log 22 x − 2log x − = m ( log x − 3) Đặt: t = log x , với x  32  log x  log 32 = hay t  Phương trình trở thành: t − 2t − = m ( t − 3) (*) Khi tốn trở thành tìm m để phương trình (*) có nghiêm t  Với t  thì: (*)  ( t − 3) ( t + 1) = m ( t − 3)  t − (  t +1 − m t − =  m = Ta có: 1 ) t +1 − m t − = t +1 t −3 t +1 4 = 1+  1+ = hay: Với t    + t −3 t −3 t −3 5−3 t +1 t +1  31  t −3 t −3 Suy  m  Vậy phương trình có nghiệm thỏa ycbt với  m  Chọn A Bài 3: Một người đem gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 12% năm Biết sau quý (3 tháng) lãi cộng dồn vào gốc Hỏi sau tối thiểu năm người nhận lại số tiền (gồm vốn lẫn lãi) gấp ba lần số tiền ban đầu A B C 10 D 11 Giải: Gọ số tiền người gửi A, lãi suất quý 0,003 Sau n quý, tiền mà người nhận là: A (1 + 0,03) n ycbt  A (1 + 0,03) = A  n = log1,03  37,16 n Vậy số năm tối thiểu 9,29 năm Vậy chọn C Bài 4: Có giá trị tham số m để phương trình m2 x nghiệm phân biệt A B C D Giải: Viết phương trình lại dạng: m2 x −5 x +  m2 x 2 −5 x + + 21− x = 2.26−5 x + m có + 21− x = 2.26−5 x + m −5 x + + 21− x = x 2 −5 x + +1− x +m  m2 x −5 x +6 + 21− x = x −5 x +6.21− x + m u = x −5 x + Đặt  ; u , v  Khi phương trình tương đương: 1− x v =  mu + v = uv + m  (u − 1)( v − m) = 2 2 x =  x −5 x + =  u =    x = v = m  21− x = m   1− x2  = m (*) TH1: (*) có nghiệm (nghiệm x=0) → m=2 TH2: (*) có nghiệm có nghiệm nghiệm lại khác Suy : m= 2-3 TH3: (*)có nghiệm có nghiệm nghiệm lại khác Suy : m= 2-8 Vậy có giá trị m thỏa mãn Chọn C Bài 5: Một bác nông dân vừa bán trâu số tiền 20.000.000 đồng Do chưa cần dùng đến số tiền nên bác nơng dân mang tồn số tiền gửi tiết kiệm loại kỳ hạn tháng vào ngân hàng với lãi suất 8,5% năm sau năm tháng bác nông dân nhận tiền vốn lẫn lãi tất định kì trước rút trước thời hạn ngân hàng trả lãi suất theo loại khơng kì hạn 0,01% ngày (1 tháng tính 30 ngày) A 31 802 750,09 vnd B 30 802 750,09 vnd C 32 802 750,09 vnd D 33 802 750,09 vnd Giải: 8,5% 4, 25 = Một kỳ hạn tháng có lãi suất là: 12 100 Sau năm tháng (có nghĩa 66 tháng tức 11 kỳ hạn), số tiền vốn lẫn lãi bác nông dân 11  4, 25  đc nhận là: A = 20.000.000.1 +  ( vnd ) 100   Vì năm tháng có 11 kỳ hạn dư tháng hay dư 60 ngày nên số tiền đc tính lãi suất khơng kì hạn 60 ngày là: 11 0,01  4, 25  B = A .60 = 120000 1 +  ( vnd ) 100 100   Vậy sau năm tháng số tiền bác nông dân nhận là: 11 11  4, 25   4, 25  A + B = 20000000 1 +  + 120000 1 +  = 31802750,09 ( vnd ) Chọn A 100  100    Bài 6: Tập giá trị m để bất phương trình B 1;+ ) A ( −;1 log 22 x log 22 x − C ( −5;2 )  m nghiệm với x>0 là: D  0;3) Giải: Đặt t = log 22 x ( t  1) Khi ta có: t  m ( *) t −1 Bất phương trình ban đầu có nghiệm với x>0  (*) nghiệm với t>1 Xét hàm số f ( t ) = f '(t ) = ( t−2 t −1 ) t , t  (1; + ) t −1 f '(t ) =  t = lim f ( t ) = +, x→ lim f ( t ) = + t →1 BBT t f '(t ) || f (t ) + + + || Từ BBT ta kết luận bất phương trình có nghiệm với t>1  m  Chọn A Bài 7: Giả sử p q số thực dương cho: log9 p = log12 q = log16 ( p + q ) Tìm giá trị ? A B ( ) 1+ C D ( ) 1+ Giải: Đặt: t = log9 p = log12 q = log16 ( p + q ) thì: p = 9t , q = 12t ,16t = p + q = 9t + 12t (1) t t t 4 4 q 4 Chia hai vế (1) cho ta được:   = +   dặt x =   =  p 3 3 3 Đưa phương trình: q 1 x − x − =  x = + x  , suy = + p Chọn D t ( ( ) ) Bài 8: Tập nghiệm bất phương trình: 3x + x −1−1 +  3x + x −1 A  x B  x  C  x  D  x  Giải: ĐK: x  Ta có: 3x ( + x −1−1 )(  3x − 3 +  3x + x−1 ) x −1  3x + 2 x−1 + − 3.3x − 3.3 x −  −3  +với x = , thỏa mãn; +Với x  1: Chọn B x −1   x −1  Bài 9: Tìm giá trị m để phương trình: A +  m  C 2  m  B 2  m  D m  2  1 x  3x + + − 3x = m có nghiệm phân biệt: p q Giải: ĐK: x  log3 Đặt: f ( x ) = 3x + + − 3x với x  log3 f '( x ) = 3x ln 3x + − 3x ln − 3x = 3x ln ( ( − 3x − 3x + 3x + )( − 3x ) ) f ' ( x ) =  − 3x = 3x +  x = lim f ( x ) = + x → BBT − x f '( x) + f ( x) + 0 − 3+ 2 Chọn A Bài 10: Cho A = A 1 1 Biểu thức rút gọn A là: + + + + log a1 b log a2 b log a3 b log an b 2n ( n + 1) 3.log ba Giải: Ta có: A = B 2n ( 2n + 1) log ba C n ( n + 1) 2.log ba D n ( n + 2) 3.log ba n ( n + 1) 1 1 + + + + = (1 + + + n ) b = log a1 b log a2 b log a3 b log an b log a 2.log ba Chọn C Bài 11: Ông A gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 5% năm Ông B đen % tháng Sau 10 năm, hai ông A B 100 triệu đồng gửi vào ngân hàng với lãi suất 12 đến ngân hàng rút tiền ra, Khẳng định sau đúng? (Lưu ý: tiền lãi tính theo cơng thức lãi kép làm tròn đến hàng triệu) A Số tiền A, B rút B Ơng B có số tiền nhiều ơng A triệu C Ơng B có số tiền nhiều ơng A triệu D Ơng B có số tiền nhiều ơng A triệu Giải: Sau 10 năm: +Số tiền ơng A có được: 100.000.000 (1 + 5% )  163.000.000 (làm tròn đến hàng triệu) 10 120   +Số tiền ơng B có được: 100.000.000 1 + %   12  Chọn C  165.000.000 (làm tròn đến hàng triệu) Bài 12: Giải phương trình: 5x+1 − 52− x = 124 A x = B x = C x = Giải: D x = t = 25(tm) 25 Đặt t = ; t  0.PT  5t − − 124 =  5t − 124t − 25 =    t = − (L) t  x Khi đó: 5x = 25  x = Chọn B Bài 13: Tập nghiệm bất phương trình: 81.9 x − + 3x + x A S = 1; + )  0 B S = 1; + ) C S = 0; + ) D S =  2; + )  0 Giải: ĐKXĐ: x  9x BPT  81 + 3x.3 x − 3.32 81  32 x + 3x.3 (  3x − x  3x − x  3x  x x − 2.32 )(3 x ( x + 2.3 x − 32 x +1  là:  0 x )0  3x + 2.3 x  0, x  )  x 1 x   x x   x =  x  Vậy tập nghiệm cảu BPT S = 1; + )  0 Chọn A Bài 14: Cho ( un ) cấp số nhân với số hạng tổng quát un  0; un  Khi khẳng định sau đúng? loguk −1 2007 loguk −1 2007 − loguk 2007 A = loguk +1 2007 loguk 2007 − loguk +1 2007 C loguk −1 2007 loguk +1 2007 = loguk +1 2007 − loguk 2007 loguk 2007 − loguk −1 2007 Giải: Vì ( un ) cấp số nhân nên uk2 = uk −1.uk +1  2log 2007 uk = log 2007 uk −1 + log 2007 uk +1 B loguk +1 2007 D loguk −1 2007 loguk −1 2007 loguk +1 2007 = = loguk −1 2007 − loguk 2007 loguk 2007 − loguk +1 2007 loguk 2007 − loguk −1 2007 loguk 2007 − loguk +1 2007 Suy ra: Hay 1 1 − = − loguk 2007 loguk −1 2007 loguk +1 2007 loguk 2007 loguk −1 2007 loguk +1 2007 = loguk −1 2007 − loguk 2007 loguk 2007 − loguk +1 2007 Chọn A Bài 15: Trong hợp ca, coi ca sĩ hát với cường độ âm coi tần số Khi ca sĩ hát mức cường độ ân 68 dB Khi ban hợp ca hát đo mức cường độ âm 80 dB Tính số ca sĩ có ban hợp ca biết mức cường độ ân L tín theo công thức I L = 10 log Trong I cường độ âm I cường độ âm chuẩn I0 A 16 người Giải: B 12 người Ta có: L = 10log C 10 người D 18 người I I I = 68 Ln = 10lg n = 80 I n = nI1  n = n I0 I0 I1 Với n số ca sĩ I I I Ln − L1 = 10log − 10log n = 10log n I0 I0 I1 I  n = n = 10 I1 Ln − L1 10 = 10 80 −68 10 = 106  16 Chọn A Bài 16: Sự tăng trưởng lồi vi khuẩn tính theo cơng thức f ( x ) = Aerx , A số lượng vi khuẩn ban đầu, r tỉ lệ tăng trưởng ( r  0) , x (tính theo giờ) thời gian tăng trưởng Biết số vi khuẩn ban đầu có 1000 sau 10 5000 Hỏi sau số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần A 5ln 20 (giờ) B 5ln10 (giờ) C 10log5 10 (giờ) D 10log5 20 (giờ) Giải: Gọi thời gian cần tìm t ln 10 ln10 10ln10 = = 10log 10 (giờ) Do đó: 10000 = 1000.e rt  t = r ln Chọn C Ta có: 5000 = 1000.e10r nên r = ... đồng vốn lẫn lãi từ số vốn ban đầu? A năm tháng B năm tháng C năm tháng D năm tháng Giải: Ta có số tiền thu sau t quý T = 15 (1 + 1,65%) t Theo đề bìa ta có: T  20  15 (1 + 1,65% )  20  (1... tăng năm 1% so với năm trước Hỏi sau anh A tiết kiệm đủ tiền xây nhà? (kết lấy gần đến chữ số thập phân) A năm tháng B năm tháng C 12 năm tháng D năm tháng Giải: Gọi Vn tổng số tiền thu sau n năm, ... r % (tháng năm) Sau n (tháng năm) số tiền thu A triệu Hỏi số tiền gửi tháng m bao nhiêu? Ar Người ta chứng minh số tiền cần gửi tháng là: m = n (1 + r ) − Chứng minh: Áp dụng toán ta có số tiền