PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HĨA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 16/03/2017 Câu (4,5 điểm) a) Tính giá trị biểu thức b) Tính giá trị biểu thức B  x2  3x  với x  c) Tìm số x, y, z biết rằng: x y y z  ;  x  y  z  110 Câu (4,5 điểm) a) Tìm tập hợp số nguyên x, biết rằng: 5 31   1  :   x   : 3,2  4,5.1  :  21  18 45   2  1 1  x   x   11x b) Tìm x, biết: x   x   x  12 20 110 c) Tính giá trị biểu thức C  x5  y3  2015 x, y thỏa mãn: x    y  2  20 Câu (3,5 điểm) a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số bội 18 chữ số tỉ lệ theo 1: : b) Tìm tất số tự nhiên a, b cho: 2a  37  b  45  b  45 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn  AB  AC  Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao CD BE, K giao AB DC a) Chứng minh : ADC  ABE b) Chứng minh rằng: DIB  600 c) Gọi M N trung điểm CD BE Chứng minh AMN d) Chứng minh IA phân giác DIE Câu (1,5 điểm) Cho 20 số nguyên khác 0: a1, a2 , a3 , , a20 có tính chất sau: * a1 số dương *Tổng ba số viết liền số dương *Tổng 20 số số âm Chứng minh rằng: a1.a14  a14 a12  a1.a12 ĐÁP ÁN Câu  4   3  a) A    :    :  5  5  4 3      :  0:   7 5 1 b) Vì x   x   2 1 1 Với x  A  2.     2 2  1  1 Với x   A  2.    3.      2  2 1 Vậy A  với x  A  với x   2 x y x y y z y z x y z c) Từ    ;       14 14 35 14 35 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z x yz 110      2 14 35  14  35 55  x  2.6  12; y  2.14  28; z  2.35  70 Vậy x  12, y  28, z  70 Câu 5 41 18 a)Ta có: :       5 Lại có: 18 41 31     16 76   43   38  2 43 2 2   : 3,2  4,5.1  :  21      :    1     45     16 45      43 43  2 Do 5  x  mà x   x 4; 3; 2; 1 b) Nhận xét: Vế trái đẳng thức  nên vế phải   11x   x  Với x  ta có: 1 1 x  x  x  x   x   11x 12 20 110 1 1  x x x x   x   11x 12 20 110 10  x    (tm) 11 11 10 11 20 20 c) Do x   0;  y     x    y    với x, y Vậy x   x  20  x 1  Kết hợp x    y       20 y  2   y     Giá trị biểu thức C  x5  y3  2015 x  1, y  2 là: C  2.15  5. 2   2015  2057 Vậy C  2057 Câu a) Gọi a, b, c chữ số số có ba chữ số cần tìm Khơng tính tổng quát, giả sử a  b  c  , ta có:  a  b  c  27 Mặt khác số cần tìm bội 18 nên bội Do a  b  c   a  b  c  18  a  b  c  27 a b c abc Theo đề ta có:    Như a  b  c chia hết cho 6, nên a  b  c  18 Từ suy a  3, b  6, c  Do số phải tìm bội 18 nên chữ số hàng đơn vị chẵn Vậy hai số cần tìm 396,936 b) Nhận xét : với x  x  x  x Với x  x  x  Do x  x ln số chẵn với b Suy 2a  37 số chẵn  2a lẻ  a  Khi b  45  b  45  38 Nếu b  45 , ta có:   b  45  b  45  38   38(ktm) Nếu b  45 , ta có:  b  45  38  b  64(tm) Vậy  a, b    0;64  Câu E A D N J K I M B C a) Ta có: AD  AB, DAC  BAE AC  AE  ADC  ABE (c.g.c) b) Từ ADC  ABE  ABE  ADC mà BKI  AKD (đối đỉnh) Khi xét BIK DAK suy BIK  DAK  600 (dfcm) c) Từ ADC  ABE  CM  EN , ACM  AEN  ACM  AEN (c.g.c)  AM  AN CAM  EAN MAN  CAE  600 Do AMN d) Trên tia ID lấy điểm J cho IJ  IB  BIJ  BJ  BI JBI  DBA  600  IBA  JBD, kết hợp BA  BD  IBA  JBD(c.g.c)  AIB  DJB  1200 mà BID  600  DIA  600 Từ suy IA phân giác DIE Câu Ta có: a1   a2  a3  a4     a11  a12  a13   a14   a15  a16  a17    a18  a19  a20   a1  0, a2  a3  a4  0; ; a11  a12  a13  0; a15  a16  a17  0; a18  a19  a20   a14  Cũng vậy:  a1  a2  a3     a10  a11  a12   a13  a14   a15  a16  a17    a18  a19  a20    a13  a14  Mặt khác, a12  a13  a14   a12  Từ điều kiện a1  0; a12  0; a14   a1.a14  a14.a12  a1a12 (dfcm) ... x  2.6  12; y  2.14  28; z  2.35  70 Vậy x  12, y  28, z  70 Câu 5 41 18 a)Ta có: :       5 Lại có: 18 41 31     16 76   43   38  2 43 2 2   : 3,2  4,5.1...  2.15  5. 2   2015  20 57 Vậy C  20 57 Câu a) Gọi a, b, c chữ số số có ba chữ số cần tìm Khơng tính tổng quát, giả sử a  b  c  , ta có:  a  b  c  27 Mặt khác số cần tìm bội 18 nên...  27 Mặt khác số cần tìm bội 18 nên bội Do a  b  c   a  b  c  18  a  b  c  27 a b c abc Theo đề ta có:    Như a  b  c chia hết cho 6, nên a  b  c  18 Từ suy a  3, b  6,