PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN VĨNH LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI – NĂM HỌC 2017-2018 MƠN TỐN Bài (4,0 điểm) a) Cho biểu thức: M  a  2ab  b Tính giá trị M với a  1,5; b  0,75 b) Xác định dấu c, biết 2a3bc trái dấu với 3a5b3c Bài (4,0 điểm) a) Tìm số x, y, z biết rằng: x y y z  ;  x  y  z  b) Cho dãy tỉ số nhau: 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d ab bc cd d a Tính giá trị biểu thức M , với M     cd d a ab bc Bài (3,0 điểm) Cho hàm số y  f  x    x  1 a) Hãy tính f   ; f     2 b) Chứng minh : f  x  1  f 1  x  Bài (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường trung tuyến AM Qua A kẻ đường thẳng d vng góc với AM Qua M kẻ đường vng góc với AB, AC , chúng cắt d theo thứ tự D E Chứng minh : a) BD / /CE b) DE  BD  CE Bài (3,0 điểm) Tìm tỉ số A B , biết rằng: 1 1 A      1.1981 2.1982 n.1980  n  25.2005 1 1      1.26 2.27 m. 25  m  1980.2005 Trong đó, A có 25 số hạng B có 1980 số hạng Bài (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cân Trên cạnh đáy BC lấy điểm D cho CD  2BD Chứng minh BAD  CAD B ĐÁP ÁN Bài  a  1,5, b  0,75  M  a  2ab  b  1,5  2.1,5. 0,75   a) a  1,5    a  1,5,  0,75  M  a  2ab  b   b) Do 2a bc 3a b c trái dấu nên a  0; b  0; c  2a 3bc. 3a 5b3c    6a8b 4c3   a8b 4c3   c3   c   a8b  0a, b   Vậy c  tức mang dấu dương Bài x y x y y z y z x y z 2x 3y z    ;          12 12 20 12 20 18 36 20 Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 2x y z 2x  y  z       x  27, y  36, z  60 18 36 20 18  36  20 b) Từ giả thiết suy 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d 1  1  1  1 a b c d abcd abcd abcd abcd     a b c d *Nếu a  b  c  d  a  b    c  d  ; b  c    d  a  ; c  d    a  b  ; d  a   b  c  a) Vì Khi M   1   1   1   1  4 1 1    nên a  b  c  d a b c d Khi M      Bài a) f     02  2; *Nếu a  b  c  d   1  1 f        2  2 b) f  x  1    x  1 ; f 1  x    1  x  2 Do  x  1 1  x  hai số đối nên bình phương Vậy   x  1   1  x  hay f  x  1  f 1  x  2 Bài E A D H B M C a) Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông: MA  MB Gọi H giao điểm MD AB Tam giác cân AMB có MH đường cao ứng với đáy nên đường trung trực, suy DA  DB Chứng minh MBD  MAD(c.c.c)  MBD  MAD  900 , dó: DB  BC Tương tự ta có: EC  BC Vậy BD / /CE (cùng vng góc với BC ), (đpcm) b) Theo câu a, DB  DA Tương tự: EC  EA Suy DE  DA  AE  BD  CE Bài Ta có: 1 1 1 1          ;  n 1980  n  1980  n 1980  n  m  25  m  25  m 25  m  Áp dụng tính A B ta được: A   1   1             1980  25   1981 1982 2005   B  1 1 1          1980  1981 1982 25 2005  1 1 1          25  26 27 1980 2005   1   1             25  25   1981 1982 2005   A 1  :  B 1980 25 396 Bài Vậy A B D C M E Gọi M trung điểm DC Trên tia đối tia MA lấy điểm E cho ME  MA Ta có hai tam giác AMC EMD Vì MD  MC, MA  ME, AMC  EMD nên DE  AC & A3  DEM Mặt khác : D1  B (tính chất góc ngồi tam giác) Mà B  C (vì ABC cân, đáy BC) nên D1  C  AC  AD Từ DE  DA  A2  DEM hay A2  A3 Vì A3  A1 (do ABD  ACM ) Nên A2  A3  A1  A3 hay A1  A2  A3  BAD  CAD