TRƯỜNG THCS GIAO TÂN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2016-2017 Mơn: TỐN Bài (4 điểm) 1 1 1       100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện: 2.22  3.23  4.24    n  1 2n1  n.2n  2n34 Rút gọn A  Bài (5 điểm) xy yz zx x2  y  z Tìm số x, y, z biết:    y  x z  y z  x 22  42  62 Chứng minh khơng thể tìm số ngun x, y, z thỏa mãn : x  y  y  z  z  x  2017 Bài (3 điểm) Chứng minh rằng:  22  23  24  25   299  2100 chia hết cho 31 Bài (3 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức: P   x  y   15 y  x   xy  90 2 Bài (5 điểm) Cho ABC có góc nhọn, AB  AC  BC Các tia phân giác góc A góc C cắt O Gọi F hình chiếu O BC; H hình chiếu O AC Lấy điểm I đoạn FC cho FI  AH Gọi K giao điểm FH AI a) Chứng minh FCH cân b) Chứng minh AK  KI c) Chứng minh điểm B, O, K thẳng hàng ĐÁP ÁN Bài 1 1 1       100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1  1 1  A        100  100.99 99.98 98.97 3.2 2.1  1.1) A  A  1 1         100  1.2 2.3 97.98 98.99 99.100  A  1 1 1 1   1            100  2 97 98 98 99 99 100  A   49  1   100  100  50 1.2) 2.22  3.23  4.24    n  1 2n1  n.2n  2n34 (1) B  2.22  3.23  4.24    n  1 2n1  n.2n  B  2. 2.22  3.23  4.24    n  1 2n1  n.2n  B  2.23  3.24  4.25    n  1 2n  n.2n1 Đặt B  B   2.23  3.24  4.25    n  1 2n  n.2n1    2.22  3.23  4.24    n  1.2n1  n.2n  B  23  24  25   2n  n.2n1  2.22    23  24  25   2n   n.2n1  23 C  23  24  25   2n Đặt  2C  2. 23  24  25   2n   24  25  26   2n1 2C  C   24  25  26   2n1    23  24  25   2n  C  2n1  23 Khi B    2n1  23   n.2n1  23  2n1  23  n.2n1  23  2n1  n.2n1   n  1.2n1 Vậy từ (1) ta có:  n  1 2n1  2n34 2n34   n  1 2n1  2n1  233   n  1    233  n    n  233  Vậy n  233  Bài Xét x   y  0, z   y  z  (vô lý) Suy x  0; y  0; z  Khi từ đề suy : y  x z  y x  z 22  42  62    xy yz zx x  y2  z2 4 6 22  42  62         2 x y y z z x x y z x Đặt 22  42  62     k    x y z k x  y2  z2 k Suy : x  2k ; y  4k ; z  6k x2  y  z  28k (3) Thay x  2k , y  4k , z  6k vào (3) ta được:  2k    4k    6k   28k 2  k  0(ktm)  56k  28k     k  (tm)  Với k   x  1; y  2; z  Vậy x  1, y  2, z  2.2 Ta có: x  y  y  z  z  x  x  y   x  y   y  z   y  z   z  x   z  x  x0 2 x Với số nguyên x ta lại có x  x   x0 0 Suy x  x số chẵn với số nguyên x  x  y   x  y  Từ ta có:  y  z   y  z  số chẵn với số nguyên x, y, z   z  x   z  x Suy x  y   x  y   y  z   y  z   z  x   z  x  số chẵn với số nguyên x, y, z Hay x  y  y  z  z  x số chẵn với số nguyên x, y, z Do đó, khơng thể tìm số ngun x, y, z thỏa mãn: x  y  y  z  z  x =2017 Bài Đặt D   22  23  24  25   299  2100 (có 100 số hạng)    22  23  24  25    26  27  28  29  210     296  297  298  299  2100  (có 20 nhóm) D  2.1   22  23  24   26.1   22  23  24    296 1   22  23   D  2.31  26.31   296.31 D  31.  26   296  chia hết cho 31 Vậy D   22  23  24  25   299  2100 chia hết cho 31 Bài Ta có: P   x  y   15 y  x   xy  90 2   x  y    x  15 y   xy  90 2   x  y   9. x  y   xy  90 2   8. x  y   xy  90    Ta thấy  x  y   với x, y nên 8. x  y   với x, y 2 xy  90  với x, y Khi 8. x  y   xy  90  với x, y 2 Suy  8. x  y   xy  90   với x, y   Hạy P  với x, y  x  y 2   x  y  5 Dấu "  " xảy  xy  90    xy  90 Đặt x y   k ta x  5k , y  2k k  Mà xy  90 nên 5k 2k  90  k     k  3 Nếu k   x  15, y  Nếu k  3  x  15, y  6  x  15; y  Vậy MaxP     x  15; y  6 Bài A H E K O G B F I C a) Chứng minh Ta có CHO  CFO  900 ( OH  AC, OF  BC ) Xét CHO vng CFO vng có: OC chung; HCO  FCO(OC phân giác C ) Vậy CHO  CFO (cạnh huyền – góc nhọn)  CH  CF (hai cạnh tương ứng) Vậy FCH cân C b) Qua I vẽ IG / / AC  G  FH  Ta có FCH cân C (cmt)  CHF  CFH (1) Mà CHF  FGI (đồng vị, IG / / AC ) (2) Từ (1) (2)  CFH  FGI hay IFG  IGF , Vậy IFG cân I  FI  GI , mặt khác : FI  AH nên GI  AH ( FI ) Ta lại có : IGK  AHK ; HAK  GIK (so le , IG / / AC ) Xét AHK IGK có: IGK  AHK (cmt ); GI  AH (cmt ); HAK  GIK (cmt )  AHK  IGK ( gcg )  AK  KI (dfcm) c) Vẽ OE  AB E, Chứng minh BO tia phân giác ABC (*) Chứng minh AB  BI Chứng minh được: ABK  IBC (c.c.c)  ABK  IBK Từ suy BK lầ tia phân giác ABC ** Từ (*) (**) suy tia BK , BO trùng Hay B, O, K ba điểm thẳng hàng