ĐỀ GIAO LƯU OLYMPIC CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 MÔN: TOÁN – LỚP Thời gian làm bài: 150 phút UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu (2,0 điểm) 3 1     11 13 1) Tính M   5 5 5     11 13 2) Tính 1 1 2017 2018 A      ;B       2019 2018 2017 2016 A Tính B Câu (2,0 điểm) 1) Tìm cặp số nguyên  x, y  thỏa mãn x  y  3xy  2) CMR với n số nguyên dương 3n2  2n2  3n  2n chia hết cho 10 Câu (2,0 điểm) 1) Cho số dương a, b, c, d ; c  d a CMR: c 2018  b 2018  a   c 2018  d 2018 2019 2019 2019 2019 a c  b d  b2019  2018  d 2019  2018 2) Cho biết 3x  y  5z  x   xy  yz  xz  500  Tính giá trị biểu thức A   3x  y  z  2018 0 2019 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn  AB  AC  Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao CD BE, K giao AB, DC 1) Chứng minh rằng: DC  BE 2) Gọi M N trung điểm CD BE Tính số đo BIK , AMN 3) Chứng minh IA phân giác DIE Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: ab  bc  ca  a  b2  c   ab  bc  ca  ĐÁP ÁN Câu 3 1     11 13 1) M   5 5 5     11 13 1 1  1 3      11 13     1   1 1  1 1 5 5         11 13    Vậy M  1 2017 2018 2) B      2018 2017 2019  2018 2019  2017 2019  2019       2018 2017   2019 2019 2019      2019  1     1   2018 2017 2018 so hang   1 1   2019.      2  2019 2018 2017 A  2019 A   B 2019 A Vậy  B 2019 Câu 1) x  y  3xy   3x  y  xy    3x  xy  y    3x 1  y    y  1    y  1  3x   Do x, y   y  1;2  3x  nên ta có bảng sau 3y 1 1 7  3x y 7 1 2 x Kết luận Loại Thỏa mãn Thỏa mãn Loại Vậy  x, y   3;0 ; 1; 2  2) 3n2  2n2  3n  2n  3n  32  1  2n  22  1  3n.10  2n.5 n  10.3 10 , n  Ta có:  n n 2  10   n   10  2n.5  10, n      3n2  2n2  3n  2n  10, n   Câu 1) Với a, b, c, d  0, c  d , ta có: a c a b a 2018 b 2018     2018  2018 b d c d c d a 2018  a 2018  b 2018    a 2018 b 2018 a 2018  b 2018   Do đó, 2018  2018  2018 1 2018 2019 2018 2018 2019 c d c  d 2018 c c  d     2019 2019 Lại có: a, b, c, d  0, c  d , ta có: a 2019  a 2019  b 2019    a b a 2019 b 2019 a 2019  b 2019   2019  2019  2019    2 2019 2018 2019 2019 2018 c d c d c  d 2019 c  c  d  2018 a  Mà c  a   c  a Từ (1), (2), (3)  c 2018 2019 2019 2018 2018 2019 2019 2018 2018 a 2019.2018  2019.2018 (3) c 2018  b 2018  a   c 2018  d 2018 2019 2019 2019 2019  b 2019  2018  d 2019  2018  3x  y  0, x, y  2) Ta có:  z  x  0, x, z  2018  xy  yz  zx  500   0, x, y, z 2018  3x  y  5z  x   xy  yz  xz  500   0, x, y, z Dấu "  " xảy x y 2  3x  y   x y z  z x  5 z  x       1 10 15 14  xy  yz  zx  500     xy  yz  zx  500   2 x y z xy xz yz xy  yz  xz  1 1       10 15 14 150 140 210 500  x  10 x y z    y  15 Mà    x, y, z dấu 10 15 14  z  14    x, y, z  10;15;14  ;  10; 15; 14  TH1: x  10, y  15, z  14 Khi A   3x  y  z  có giá trị là:  3.10  15  14  TH2: x  10, y  15, z  14 2019 Khi A có giá trị 3. 10   15  14 Vậy A  1nếu x  10, y  15, z  14 A  1nếu x  10, y  15, z  14 2019   1 2019 2019  12019   1 Câu E A D N K M I B C 1) Ta có DAC  600  BAC  EAB (1) Xét ADC ABE có: AD  AB(ABD đều); DAC  EAB(cmt ) AC  AE (EAC đều)  DAC  BAE(c g.c)  DC  BE 2) ADC  ABE (cm câu a)  ABE  ADC Lại có BIK : KBI  BKI  KIB  1800 Ta có DAK : ADK  DKA  DAK  1800 ; BKI  DKA (đối đỉnh)  BIK  DAK mà DAK  600 (ABD đều)  BIK  600 ADC  ABE (câu a)  ACM  AEN 1 Có DC  BE (câu a)  DC  BE  CM  EN 2  ACM  AEN (c.g.c) (1)  CAM  EAN  CAM  CAN  EAN  CAN  MAN  EAC Mà EAC  EAC  600  MAN  600 1  AM  AN  AMN cân A  AMN  AMN  600 3) Trên tia ID lấy T cho IT  IB  BIT cân I mà BIK  600 (cmt )  BIT  BT  BI ; IBT  600 Do TBI  DBA (cùng 600 )  TBI  TBK  DBA  TBK  IBA  TBD Lại có BA  BD, BT  BI  IBA  TBD(c.g.c) Mà AIB  DTB  1200 , lại có BID  600  DIA  600  BID  DIA  IA tia phân giác DIE Câu Ta có:  a  b    a  2ab  b2   a  b2  2ab Tương tự ta có: b2  c2  2bc; c2  a  2ac   a  b  c    ab  ac  bc   ab  ac  bc  a  b  c (1) Dấu "  " xảy  a  b  c  ABC Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: a  b  c  ac  bc  c   a  c  b  ab  bc  b   a  b  c   ab  ac  bc  b  c  a  ab  ac  a  Từ (1) (2) ta có: ab  ac  bc  a  b2  c   ab  ac  bc  (2)