PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 MƠN: TỐN Câu (2,0 điểm) a) Tìm x biết 3x   x   1 2016  3x  20170 Tìm số nguyên dương x để B  115 x b) Cho B   1    1   3  1       1     x  Câu (2,0 điểm) a) Cho x, y, z số thực thỏa mãn y  z 1 x  z  x  y     x y z x yz Tính giá trị biểu thức A  2016.x  y 2017  z 2017 b) Cho x, y, z số thực thỏa mãn: x  y  5z x  y  Tìm giá trị lớn 3x  z Câu (2,0 điểm) a) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M  2016 x  2016 có giá trị nhỏ 3x  b) Cho đa thức f ( x)  2016.x4  32  25k  2 x2  k  100 (với k số thực dương cho trước) Biết đa thức f ( x) có ba nghiệm phân biệt a, b, c với  a  b  c  Tính hiệu a  c Câu (2,5 điểm) Cho đoạn thẳng BC cố định, M trung điểm đoạn thẳng BC Vẽ góc CBx cho CBx  450 , tia Bx lấy điểm A cho độ dài đoạn thẳng BM BA tỉ lệ với Lấy điểm D thuộc đoạn thẳng BM Gọi H I hình chiếu B C đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI N Chứng minh rằng: a) DN vng góc với AC b) BH  CI có giá trị khơng đổi D di chuyển đoạn thẳng BM c) Tia phân giác góc HIC ln qua điểm cố định Câu (1,5 điểm) a) Tìm số nguyên tố p thỏa mãn p  p số nguyên tố b) Trong bảng ô vng gồm có  vng, người ta viết vào ô vuông chir số 1;0; 1 Chứng minh tổng số theo cột, hàng, đường chéo phải có hai tổng số ĐÁP ÁN ĐỀ HSG TOÁN TAM DƯƠNG 2016-2017 Câu a) 3x   x   1 2016  3x  20170  3x   x   3x  1(*) Điều kiện để x thỏa mãn toán 3x    x  Khi x  1 1  x   nên (*) trở thành 3x   x   3x   3x   x (điều kiện x  0) Nếu x  ta có 3x   x nên x  (thỏa mãn) Nếu  x  ta có  3x  x nên x  (thỏa mãn) 3 Vậy x   ;  2 4 b)  2.3   3.4   4.5   x  x  1  B  1            2  3    x   x 1 1  x( x  3)             ( x  1)     2 2   x( x  3)    115  x( x  3)  460   Từ B = 115  Mà x số nguyên dương nên x x+3 ước dương 460 nên x  20 Vậy x=20 Câu a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : y  z 1 x  z  x  y     2 x y z x yz 0,5  x  0,5  y  0,5  z    2 x y z 5  x  ; y  ;z  6  x  y  z  0,5  Khi ta có 2016.x  y 2017  z 2017  2016   1008 Khi ta có 2016   1008 Vậy với x, y, z số thực thỏa mãn y  z 1 x  z  x  y     x y z x yz Thì giá trị biểu thức 2016.x  y 2017  z 2017 1008 b) Ta có: x 2y x  2y   ,3 y  z 1 Nếu x  y   x  15, y  10, z  6 Khi 3x  2z  45  12  33 Nếu x  y  5  x  15; y  10; z  Khi 3x  2z  45 12  33 Vậy giá trị lớn 3x  z 33 Câu 2016 x  2016 672  3x    2016  1344 3360   672  3x  3x  3x  3360 M nhỏ  lớn 3x  3360 * Xét 3x    (1) 3x  3360 * Xét 3x   0 3x  3360 lớn 3x  nhỏ Mà x nguyên, 3x  dương 3x  chia dư 3x  2 nên 3x    x  3360 3360 Khi   1680(2) 3x  3.0  3360 So sánh (1) (2) có giá trị lớn 1680 3x  a) M  Vậy M  1008  x  b) Ta thấy đa thức f ( x) có nghiệm x  a (a khác 0) x  a nghiệm f ( x) nên f ( x) có 2m nghiệm Mà đa thức f ( x) có ba nghiệm phân biệt nên ba nghiệm Thay x  vào đa thức cho ta được: k  100  nên k  10 (vì k dương) Với k  10 ta có f ( x)  2016 x4  8064 x2  2016 x2 ( x2  4)  Từ f ( x) có nghiệm phân biệt a  2; b  0; c  nên a  c  4 Câu B H D M I N A C a) Từ M kẻ tia My vng góc với BC cắt tia Bx A’ Tam giác BMA’ vuông cân M nên MB : BA '  1: Suy A  A ' nên AM vng góc với BC Tam giác ADC có AM CI đường cao nên N trực tâm tam giác ADC Suy DN vng góc với AC b) Ta có AMB  AMC (c.g.c) nên AB = AC góc ACB  450 Tam giác ABC vng cân A có BAH  ACI  900  CAH H, I hình chiếu B C AD nên H=I=90 Suy AIC  BHA (c.h  g.n)  BH  AI BH  CI  BH  AH  AB2 (không đổi) c) BHM  AIM  HM  MI BMH  BMI  900  HMI vuông cân  HMI  450 Mà HIC  900  HIM  MIC  450  IM tia phân giác HIC Vậy tia phân giác HIC qua điểm M cố định Câu a) Với p  p  p2    không số nguyên tố Với p  p  p2    17 số nguyên tố Vơi p  p số nguyên tố nên p lẻ nên p  22k 1  2(mod 3) Và p2  1(mod 3) nên p  p Mà p  p  nên p  p hợp số Vậy với p  p  p hợp số Vậy với p  p  p số nguyên tố b) Ta có cột, hàng đường chéo nên có 12 tổng Mỗi ô vuông nhận số 1;0 – nên tổng nhận giá trị từ - đến Ta có 11 số nguyên từ - đến – 5; - ; ….;0;1;….5 Vậy theo nguyên lý Dirichle phải có hai tổng (đpcm) ...ĐÁP ÁN ĐỀ HSG TOÁN TAM DƯƠNG 2016- 20 17 Câu a) 3x   x   1 2016  3x  20 170  3x   x   3x  1(*) Điều kiện để x thỏa mãn toán 3x    x  Khi x  1 1 ... có 2016. x  y 20 17  z 20 17  2016   1008 Khi ta có 2016   1008 Vậy với x, y, z số thực thỏa mãn y  z 1 x  z  x  y     x y z x yz Thì giá trị biểu thức 2016. x  y 20 17  z 20 17. .. Câu 2016 x  2016 672  3x    2016  1344 3360   672  3x  3x  3x  3360 M nhỏ  lớn 3x  3360 * Xét 3x    (1) 3x  3360 * Xét 3x   0 3x  3360 lớn 3x  nhỏ Mà x nguyên, 3x  dương