Đang tải... (xem toàn văn)
Trong nội dung bài báo này, nhóm tác giả đã đưa ra kết quả về phân bố từ trường và dòng điện xoáy trong lõi thép bằng phương pháp phần tử hữu hạn, và sử dụng Phương pháp phần tử hữu hạn được phát triển với công thức véc-tơ từ thế a cho bài toán từ động để tính toán sự phân bố của từ trường, dòng điện xoáy trong các lá thép kỹ thuật điện trong lõi thép của MBA.
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 3(112).2017-Quyển 69 SỬ DỤNG CƠNG THỨC VÉC-TƠ TỪ THẾ ĐỂ TÍNH TỐN DỊNG ĐIỆN XOÁY TRONG LÕI THÉP MÁY BIẾN ÁP BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN USING A MAGNETIC VECTOR POTENTIAL FORMULATION FOR CALCULATING EDDY CURRENTS IN IRON CORES OF TRANSFORMERS BY A FINITE ELEMENT METHOD Trần Thanh Tuyền1, Đặng Quốc Vương2 Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh; tuyenttbk48@gmail.com Trường Đại học Bách khoa Hà Nội; vuong.dangquoc@hust.edu.vn Tóm tắt - Các mơ hình tốn điện từ xuất hầu hết loại máy điện nói chung máy biến áp nói riêng Do đó, việc xây dựng mơ hình tốn để nghiên cứu tính tốn phân bố từ trường, dòng điện xốy máy biến áp (MBA) điện cần thiết cấp bách nhà nghiên cứu, nhà thiết kế chế tạo MBA Phương pháp phần tử hữu hạn phát triển với công thức véc-tơ từ a cho tốn từ động để tính tốn phân bố từ trường, dòng điện xốy thép kỹ thuật điện lõi thép MBA Trong nội dung báo này, nhóm tác giả đưa kết phân bố từ trường dòng điện xoáy lõi thép phương pháp phần tử hữu hạn, Abstract - Modelling of electromagnetic problems almost occur in machines in general and transformers in particular Hence, the establishment of mathematic model for computing distribution of magnetic fields and eddy currents in transformers is neccesary and imperative for transformer researchers, designers and manufacturers The finite element method is developed with a magnetic vector potential a for magnetodynamic problems to calculate the distribution of magnetic fields and eddy currents in iron cores of transformers This paper show the results of computing magnetic fields and calculating eddy curents in the iron cores of transformers by the finite element method Từ khóa - phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH); dòng điện xoáy; véc-tơ từ thế; toán từ động; lõi thép Key words - finite element method (FEM); eddy current; magnetic vector potential; magnetodynamics; steel core Đặt vấn đề Lõi thép máy điện thường làm thép kỹ thuật điện để giảm tồn hao từ trễ dòng điện xốy từ thơng biến đổi theo thời gian Để tính tốn phân bố từ thơng, dòng điện xốy tổn hao lõi thép, số phương pháp áp dụng như: phương pháp giải tích; phương pháp mạch từ khơng gian thay thế; phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) Phương pháp giải tích có ưu điểm cho phép tìm nghiệm cụ thể, dễ dàng phân tích yếu tố ảnh hưởng giải thích tượng xảy thiết bị điện hay tính tốn đại lượng liên quan Ngồi ra, nghiệm tốn phản ánh điều kiện biên toán, đặc tính nguồn trường cung cấp [1] Tuy nhiên, tốn có mơ hình điều kiện biên môi trường tiếp giáp phức tạp, miền giá trị phi tuyến việc áp dụng phương pháp giải gặp khó khăn (gây sai số lớn) thực Phương pháp mạch từ khơng gian thay [1] giải tốn có cấu trúc phức tạp với độ xác cao, nhiên với bái tốn có số bậc tự lớn 100, việc áp dụng phương phường gặp khó khăn khơng đáp ứng [1] Để khắc phục nhược điểm hai phương pháp trên, phương pháp PTHH [2-5] để xuất để phát triển cho công thức véc-tơ từ a với mơ hình tốn từ động để tính tốn phân bố từ trường, dòng điện xốy, tổn hao lõi thép vỏ máy điện pháp PTHH để giải toán miền nghiên cứu Ω Sơ đồ Tonti, gọi sơ đồ hay sơ đồ kép liên quan đến phương trình yếu nhận cần tìm tốn Điều có nghĩa, dọc theo hàng ngang phía phía sơ đồ (hình 1) biểu thức liên quan đến phương trình từ trường Trong đó, dọc theo hàng dọc (vng góc với hàng ngang) sơ đồ biểu diễn luật trạng thái đặc tính vật liệu Mơ hình tốn từ động 2.1 Hệ phương trình Maxwell Trong phần này, tác giả giới thiệu hệ phương trình Maxwell tổng quát với luật trạng thái, kết hợp với sơ đồ Tonti (hình 1) [6] để thiết lập cơng thức véc-tơ từ a tốn nghiên cứu, sau áp dụng phương Hình Sơ đồ Tonti [6] Xét hình tốn điện từ kinh điển xác định miền Ω với điều kiện biên phân tích ∂Ω = Γ = Γh ∪ Γe miền không gian hai chiều ba chiều Miền dẫn từ miền nghiên cứu Ω ký hiệu Ωc miền không dẫn miền nghiên cứu Ω ký hiệu ΩcC Miền Ωs cuộn dây thuộc miền ΩcC Hệ phương trình Maxwell bao gồm phương trình đạo hàm riêng liên kết với thông qua véc-tơ điện trường e từ trường h, luật trạng thái, điều kiện biên viết không gian ba chiều Eculidean Ε3 [2], [4]: curlh = j , divb = , curle = −∂ t b (1a-b-c) h = μ −1b + hs j = σ e + js (2a-b) = , n⋅b (2a-b) n×h n×e Γh Γe ⊂Γb =0 Γb =0 (3) Phương trình (1a) phương trình “Ampere”, phương trình (1b) phương trình “Gauss”, phương trình (1c) 70 Trần Thanh Tuyền, Đặng Quốc Vương phương trình “Faraday” Các véc-tơ trường: h véc-tơ cường độ từ trường (A/m); e véc-tơ cường độ điện trường (V/m); b véc-tơ mật độ từ thông (T) với Γb mặt biên bao quanh b; j mật độ dòng điện (A/m2); μ độ từ thẩm (H/m), σ độ dẫn điện (S/m); ∂t đạo hàm theo thời gian n véc-tơ pháp tuyến đơn vị có hướng từ miền Ω Trường hs (2a) xác định thơng qua mật độ dòng điện js đặt vào cuộn dây [6] trường hs xác định thơng qua định luật Biot-Savart [1] Các phương trình Maxwell giải với điều kiện biên, với thành phần tiếp tuyến trường e trường h đặt lên biên Гh Гe (được biểu diễn mục 2.2) 2.2 Điều kiện biên Các phương trình Maxwell trình bày mục 2.1 xác định trường điện từ miền hữu hạn, điều kiện biên thích hợp đặt lên biên miền nghiên cứu Đối với thành phần pháp tuyến tiếp tuyến trường điện từ, điều kiện biên xác định sau: - Đối với vật liệu dẫn từ lý tưởng (tức μ ~ ∞), phương trình (3a-b) ngụ ý h ~ miền Γh thỏa mãn n×h Γh = - Đối với vật liệu dẫn điện lý tưởng (tức σ ~ ∞), phương trình (4c) ngụ ý e ~ miền Γe thỏa mãn n×e Γe = Trường hợp, khác 0, trường không liên tục xem nguồn mặt, xác định thông qua miền mỏng lý tưởng [.]γ [2] (với [.]γ = |γ+ - |γ+ kết nối hai miền dẫn miền dẫn không dẫn) Phương trình yếu nhận với véc-tơ từ Phương pháp PTHH cho phép rời rạc hóa miền nghiên cứu/liên tục Ω thành miện rời rạc Ω1… Ωn Hệ phương trình Maxwell xác định miền rời rạc gọi phương trình yếu nhận Ở đây, phương trình yếu nhận với véc-tơ từ a cho mơ hình toán từ động thiết lập dựa hệ phương trình Maxwell tổng quát luật trạng thái thể mục 2.1 Như biết, để thỏa mãn định luật Faraday (1c), trường b thuộc khơng gian hàm He (div, Ω) (b ∈ He (div, Ω)) trường e thuộc không gian hàm He (curl, Ω) (e ∈ He (curl, Ω)) [6] Điều tương đương với việc kiểm chứng lại sơ đồ Tonti (mục 2.1 [6]) Hơn nữa, để thỏa mãn xác luật trạng thái (2a-b), trường h ∈ He (div, Ω) j ∈ He (curl, Ω) Định luật Ampere (1a) kiểm chứng cách yếu nhận “weakly” Công thức yếu nhận cho véctơ từ a thiết lập dựa vào định luật Ampere (1a) sau [1], [2]: (curl h, a ')Ω = ( j, a ')Ω , ∀ a ' ∈ He0 (curl h; Ω), (5) He0 (curl ; Ω) không gian hàm xác định miền nghiên cứu Ω (bao gồm Ωc ΩcC), bao gồm hạm nội suy (hàm dạng) cho trường a hàm thử “test function” a' (tại miền rời rạc, không gian hàm xác định thông qua phần tử hữu hạn cạnh [6]) Các ký hiệu ( , ·)Ω < ·, ·>Γ ký hiệu tích phân khối xác định miền Ω, tích phân mặt xác định biên ∂Ω = Γ (với Γ = Γh U Γe) (hình 2) tích trường véc-tơ chúng Trong đó, tích phân mặt biên Γh kể đến điều kiện biên (3a), xác định Bằng cách áp dụng công thức Green với curl-curl [6] miền Ω cho trường h a’, với j = js ta có: (h, curla ')Ω + n × h, a ' ∀ a ' ∈ He (curl h; Ω), Γ = ( js , a ')Ω , (6) Hình Miền nghiên cứu Ω mặt biên bao quanh Γ Để thỏa mãn sơ đồ Tonti (cho định luật Faraday định luật Gauss), luật trạng thái (2a-b) giới thiệu vào phương trình yếu nhận (6), là: (μ−1b, curl a ')Ω − (σe, a ')Ω + n × h, a ' ∀ a ' ∈ He (curl h; Ω) Γ = ( js , a ')Ω , (7) Thay biểu thức véc-tơ mật độ từ thông b = curl a véc-tơ cường độ điện trường e = - ∂ta – gradυ vào phương trình (7), ta có: (μ −1curl a , curl a ')Ω + (σ∂t a , a ')Ωc + (σgradv, a ')Ωc + n × h, a ' Γ + n × h, a ' Γ = ( js , a ') Ω , h ∀ a ' ∈ H e (curl h; Ω), e (8) từ véc-tơ a (8) xác định miền dẫn Ωc, điều kiện Gauss phải đặt vào nơi miền Ω [6, 7] Phương trình yếu nhận (8) cho thấy rằng, cách lấy a’ = gradv’ hàm thử để có: (σ∂t a, gradv ')Ωc + (σgradv, gradv ')Ωc = n ⋅ j, v ' Γ , g ∀v ' ∈ H e10 (Ω), (9) Γg phần biên Ωc mang dòng điện Phương trình (9) thực tế phương trình yếu nhận divj = miền dẫn Ωc Các trường biên Γe với điều kiện biên cần thiết n ⋅ b thường bỏ qua giá trị hàm thử khơng, khơng đóng góp phương trình (8) Sự tồn trường n × h (9) sử dụng điều kiện biên tự nhiên biên Γh miền nghiên cứu Ω (có nghĩa thành phần tiếp tuyến trường h Γh) , là: (n × h |Γh = ⇒ n ⋅ curl h |Γh = ⇔ n ⋅ j |Γh = 0) (10) Bài toán ứng dụng Dựa vào công thức véc-tơ từ a phát triển phần 3, nhóm tác giả sử dụng phần mềm Gmsh [8] để xây dựng mơ hình nghiên cứu với kích thước hình học thực tế tốn phần mềm GetDP [9] để xây dựng mơ hình ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 3(112).2017-Quyển toán với phương trình yếu nhận Kết đạt từ GetDP mô thông qua phần mềm Gmsh Xét với mơ hình 2D bao gồm cuộn dây lõi thép có nguồn dòng bao quanh lõi thép (gồm nhiều thép mỏng ghép lại với nhau) Đây dạng tốn liên quan đến mơ hình lõi thép cuộn dây máy biến áp Hình mơ hình mà lõi thép bao quanh cuộn dây Trong đó, lõi thép gồm 12 thép kỹ thuật điện sơn cách điện với có chiều dày thép 0,3mm (với độ từ thẩm tương đối μr = 500 độ dẫn điện σ = 10MS/m) Cuộn dây kích thích dòng điện xoay chiều 1A với tần số f = 50Hz (số vòng cuộn dây w = 1.000 vòng) Trong mơ hình, dây quấn quấn xung quanh lõi thép nên có tính chất đối xứng Do hình 3, tác giả mơ ½ lõi thép dây quấn Hình Mơ hình chia lưới cuộn dây lõi thép Mơ hình chia lưới 2D thể hình với hai cấu trúc phần tử lưới khác Để đảm bảo kích thước phần từ lưới ln nhỏ δ = / 2π f μ.σ (độ sâu bề mặt nghiên cứu) phân bố dòng điện xốy theo chiều dày thép chắn có cấu trúc vỏ mỏng, tác giả sử dụng phần tử lưới dạng chữ nhật với lớp/1 thép Đối với khu vực cuộn dây xung quanh cuộn dây (khơng khí) sử dụng phần tử lưới thưa có dạng tam giác Hình Phân bố nguồn dòng cuộn dây Hình Phân bố mật độ từ thông lõi thép (μr = 500, σ = 10MS/m), với tần số f = 50Hz (trên) f = 1kHz (dưới) 71 Hình Phân bố mật độ từ thông b thép kỹ thuật điện theo mặt cắt vng góc với trục 0x Hình biểu diễn phân bố nguồn dòng điện cuộn dây với tần số công nghiệp f = 50Hz Hình cho thấy phân bố b dòng điện chạy cuộn dây sinh tần số 50Hz (trên) 1kHz (dưới) Đối với trường hợp tần số f = 50Hz, tần số thấp độ sâu bề mặt (skindepth) lớn hiệu ứng bề mặt nhỏ từ thông phân bố thép Khi tần số tăng lên f = 1kHz, phân bố b lõi thép thay đổi, skindepth nhỏ, hiệu ứng bề mặt lớn, dẫn đến từ thông tập trung hai bên thép dọc theo chiều dày hình (dưới) Sự phân bố mật độ từ thông phần thực (real part) từ thông phần ảo (imaginary part) theo chiều dày thép thông qua vết cắt thể hình Trên thép mật độ từ thông phân bố theo chiều dày thép có dạng hypecbol Hình Phân bố mật độ dòng điện xoáy lõi thép (μr = 500, σ = 10MS/m, f = 1kHz) Sự phân bố dòng điện xoáy thép kỹ thuật điện sinh từ thơng biến thiên theo thời gian (hình 5) mơ tả hình 7, với μr = 500, σ = 10MS/m, f = 1kHz Tương tự hình 6, sử dụng vết cắt vng góc/dọc theo chiều dày thép, phân bố dòng điện xốy miêu tả hình Do thép kỹ thuật điện sơn cách điện với nhau, hình cho thấy dòng điện xốy khép vòng kín thép mà khơng khép vòng từ thép qua thép khác Điều chứng tỏ rằng, chiều dày thép nhỏ khép vòng dòng điện xoáy nhỏ giảm tổn hao lõi thép Đây câu trả lời cho việc chế tạo MBA nói riêng máy điện nói chung, việc sử dụng thép kỹ thuật điện có chiều dày nhỏ giảm tổn hao từ trễ dòng xốy Hình Phân bố mật độ dòng điện xốy thép kỹ thuật điện theo mặt cắt vng góc với trục 0x 72 Trần Thanh Tuyền, Đặng Quốc Vương Kết luận Phương pháp PTHH phát triển cho việc tính tốn, mơ từ trường dòng điện xoáy lõi thép MBA Các kết đạt rằng, với độ từ thẩm độ dẫn điện khơng đổi, từ trường dòng điện xốy phụ thuộc hồn tồn vào tần số Có nghĩa tần số tăng, hiệu ứng mặt lớn phân bố từ trường, dòng điện xốy chủ yếu tập trung lớn hai phía thép (dọc theo chiều dày) Giá trị từ trường thơng qua mật độ từ cảm dòng điện xốy thể thơng qua việc khép vòng (loop) thép Điều chứng tỏ chiều dày thép lớn tổn hao sinh từ trường dòng điện xốy lớn, ngược lại Các kết đạt cho thấy ảnh hưởng từ trường, dòng điện xoáy lõi thép quan trọng Từ việc tính tốn mơ từ trường dòng điện xốy lõi thép MBA sở để nhà nghiên cứu, thiết kế chế tạo MBA tính tốn xác tổn hao cơng suất dòng điện xốy sinh lõi thép, từ tối ưu hóa thông số thiết kế chế tạo Với kết đạt từ việc áp dụng công thức véc-tơ từ a, sở để phát triển cho công thức véc-tơ cường độ từ trường h, phát triển nghiên cứu SỰ GHI NHẬN Bài báo thực từ nguồn kinh phí thực đề tài nghiên cứu khoa học với mã số T2016-PC-085 Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Các kết mô báo thực dựa hai phần mềm mã nguồn mở viết hai thầy giáo Trường Đại học Liege, Vương Quốc Bỉ: Gmsh (https://geuz.org/svn/gmsh/) GetDP (http://geuz.org/getdp/) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Văn Đào, Lê Văn Doanh, Các phương pháp đại nghiên cứu tính tốn thiết kế kỹ thuật điện, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, 2000 [2] P Dular, Vuong Q Dang, R V Sabariego, L Krähenbühl and C Geuzaine, “Correction of thin shell finite element magnetic models via a subproblem method,” IEEE Trans Magn., Vol 47, no 5, 2011, pp 158 –1161 [3] P Dular, R V Sabariego, M V Ferreira da Luz, P Kuo-Peng and L Krähenbühl, “Perturbation Finite Element Method for Magnetic Model Refinement of Air Gaps and Leakage Fluxes”," IEEE Trans Magn., vol.45, no 3, 2009, pp 1400-1403 [4] Gerard Meunier, The Finite Element Method for Electromagnetic Modeling, John Wiley & Sons, Inc, 2008 [5] S V Kulkarni, J C Olivares, R Escarela-Perez, V K Lakhiani, and J Tur-owski (2004), “Evaluation of eddy currents losses in the cover plates of distribution transformers”, IET Sci., Meas Technol 151, no 5, pp 313-318 [6] C Geuzaine (2001), High oder hybrid finite element schems for Maxwell’s equations taking thin structures and global quantities into account, Ph.D thesis, University of Liege, Belgium [7] C Geuzaine, P Dular, and W Legros, “Dual formulations for the modeling of thin electromagnetic shells using edge elements”, IEEE Trans Magn., vol 36, no 4, 2000, pp 799–802 [8] Christophe Geuzaine, Jean-Franỗois Remacle (2015), Gmsh Reference Manual, University of Liege, Belgium [9] Patrick Dular, Christophe Geuzaine (2014), GetDP Reference Manual, University of Liege, Belgium (BBT nhận bài: 27/7/2016, hoàn tất thủ tục phản biện: 20/3/2017) ... dày thép lớn tổn hao sinh từ trường dòng điện xốy lớn, ngược lại Các kết đạt cho thấy ảnh hưởng từ trường, dòng điện xốy lõi thép quan trọng Từ việc tính tốn mơ từ trường dòng điện xốy lõi thép. .. đến mơ hình lõi thép cuộn dây máy biến áp Hình mơ hình mà lõi thép bao quanh cuộn dây Trong đó, lõi thép gồm 12 thép kỹ thuật điện sơn cách điện với có chiều dày thép 0,3mm (với độ từ thẩm tương... Bài toán ứng dụng Dựa vào công thức véc- tơ từ a phát triển phần 3, nhóm tác giả sử dụng phần mềm Gmsh [8] để xây dựng mơ hình nghiên cứu với kích thước hình học thực tế toán phần mềm GetDP [9] để