Đang tải... (xem toàn văn)
Mời các bạn cùng tìm hiểu thí nghiệm ngẫu nhiên, không gian mẫu, biến cố; xác suất;... được trình bày cụ thể trong Bài giảng Lý thuyết thông tin: Chương 0 do Bùi Văn Thành biên soạn. Hy vọng tài liệu là nguồn thông tin hữu ích cho quá trình học tập và nghiên cứu của các bạn.
Trường Đại Học Cơng Nghệ Thơng Tin KHOA MẠNG & TRUYỀN THƠNG LÝ THUYẾT THƠNG Bùi Văn Thành TIN thanhbv@uit.edu.vn Tháng 7 năm 2013 Chương 0 XÁC SuẤT MA TRẬN XÁC SUẤT (Probability) 1.1. THÍ NGHIỆM NGẪU NHIÊN, KHƠNG GIAN MẪU, BIẾN CỐ: 1.1.1. Thí nghiệm ngẫu nhiên (Random Experiment) Thí nghiệm ngẫu nhiên là một thí nghiệm có hai đặc tính : Khơng biết chắc hậu quả nào sẽ xảy ra. Nhưng biết được các hậu quả có thể xảy ra Ví dụ: Tung một con xúc sắc là một thí nghiệm ngẫu nhiên vì : Ta khơng biết chắc mặt nào sẽ xuất hiện Nhưng biết được có 6 trường hợp xảy ra (xúc sắc có 6 mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6) Ràng buộc: Con xúc sắc đồng chất để 6 mặt đều có thể xuất hiện như nhau Cách tung xúc sắc khơng cố ý thiên vị cho mặt nào hiện ra. 1.1.2. Khơng gian mẫu (Sample Space) Tập hợp các hậu quả có thể xảy ra trong thí nghiệm ngẫu nhiên gọi là khơng gian mẫu của thí nghiệm đó Ví dụ: Khơng gian mẫu của thí nghiệm thảy một con xúc xắc là: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Khơng gian mẫu của thí nghiệm thảy cùng một lúc hai đồng xu là: E = {SS, SN, NS, NN} với S: Sấp, N: Ngửa 1.1.3. Biến cố (Event) a) Biến cố Mỗi tập hợp con của khơng gian mẫu là một biến cố Biến cố chứa một phần tử gọi là biến cố sơ đẳng Ví dụ: Trong thí nghiệm thảy 1 con xúc sắc : Biến cố các mặt chẵn là : {2, 4, 6}. Biến cố các mặt lẻ: {1, 3, 5} Các biến cố sơ đẳng là : {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} b) Biến cố xảy ra (hay thực hiện) Gọi r là một hậu quả xảy ra và A là một biến cố: nếu r ∈ A ta nói biến cố A xảy ra nếu r ∉ A ta nói biến cố A khơng xảy ra Ví dụ: Trong thí nghiệm thảy một con xúc sắc nếu mặt 4 xuất hiện thì: Biến cố {2,4,6} xảy ra vì 4 ∈{2, 4, 6} Biến cố {1,3,5} khơng xảy ra vì 4 ∉{1, 3, 5} Ghi chú: φ⊂ E => φ là một biến cố ∀r, r ∉φ => φ là một biến cố vơ phương (biến cố khơng) E ⊂ E => E là một biến cố ∀ r, r ∈ E => E là một biến cố chắc chắn 1.1.4. Các phép tính về biến cố Cho 2 biến cố A, B với A⊂ E và B ⊂ E a) Biến cố hội A ∪ B (Union): Biến cố hội của 2 biến cố A và B được ký hiệu là A ∪ B: A ∪ B xảy ra (A xảy ra HAY B xảy ra) b) Biến cố giao A ∩ B (Intersection): A ∩ B xảy ra (A xảy ra VÀ B xảy ra) A∩B c) Biến cố phụ A (Biến cố đối lập, Component of A):A xảy ra A khơng xảy ra d) Biến cố cách biệt ( biến cố xung khắc, mutually exclusive event) A cách biệt với B A ∩ B = φ A cách biệt với B A với B khơng cùng xảy ra Ví dụ: Trong thí nghiệm thảy một con xúc sắc, ta có khơng gian mẫu: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Gọi A là biến cố mặt lẻ xuất hiện => A = {1, 3, 5} Gọi B là biến cố khi bội số của 3 xuất hiện => B = {3, 6} Gọi C là biến cố khi mặt 4 xuất hiện => C = {4}, biến cố sơ đẳng. Ta có: A ∪ B = {1, 3, 5, 6} A ∩ B = {3} A = {2,4,6} : biến cố khi mặt chẵn xuất hiện. A ∩ C = φ => A và C là 2 biến cố cách biệt. e) Hệ đầy đủ (Collectively Exhaustive) Gọi A1, A2…, Ak là k biến cố trong khơng gian mẫu E Nếu A1∪ A2∪… ∪Ak = E thì K biến cố trên được gọi là một hệ đầy đủ. 1.2. XÁC SUẤT (Probability). 1.2.1. Định nghĩa: Nếu thơng gian mẫu E có N biến cố sơ đẳng và biến cố A có n biến cố sơ đẳng thì xác suất của biến cố A là : P(A) = n(A)/N Một cách khác ta có thể viết : P(A) = Số trường hợp A xảy ra/Số trường hợp cóthể xảy Ví dụ: Trong thí nghiệm thảy một con xúc sắc, xác suất biến cố các mặt chẵn xuất hiện là : P(A) =n(A)/N = 3/6=1/2 1.2.2. Tính chất: a. Gọi A là một biến cố bất kỳ trong khơng gian mẫu E : 0 ≤ P(A) ≤ 1 b. P (φ) = 0 => φ là Biến cố vơ phương P (E) = 1 => E là Biến cố chắc chắn 1.2.3. Cơng thức về xác suất : a) Xác suất của biến cố hội: P (A ∪ B) = P (A) + P(B) P( A ∩ B) Chứng minh: Gọi N : là số phần tử của khơng gian mẫu E n1: là số phần tử của (A B) n2: là số phần tử của (A∩B) n3: là số phần tử của (B A) n(A ∪ B)=n1 + n2 + n3= n1+n2+n2+n3 –n2 = n(A) +n(B) n(A ∩ B) Do đó : n( A ∪ B)/N = n(A)/N + n(B)/N n(A ∩ B )/N 10 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) P(A ∩ B) Ví dụ: Xác suất bắn trúng đích của một người bằng 0,7. Nếu người đó bắn 25 phát Xác định sốlần có khả năng trúng đích nhất Giải : n = 25, p = 0,7, q = 0,3 np q ≤ k0 ≤ np + p 25 * 0,7 – 0,3 ≤ k0 ≤ 25 * 0,7 + 0,7 17,2 ≤ k0 ≤ 18,2 Vì k là số ngun, nên chọn k = 18 24 c) Các cơng thức gần đúng để tính Pn (k) và Pn (k1,k2) Các cơng thức được rút ra từ các định lý giới hạn Cơng thức Moixre Laplace : Pn(k) ≈ϕ(xk)/ npq • Cơng thức Moixre Laplace được sử dụng khi n khá lớn • p là xác suất của biến cố A trong phép thử Bernoulli, p khơng q gần 0 và 1 xk = (knp) / npq ϕ(x) = 1 / 2π * ex²/2 : hàm số Gauss 25 Ví dụ: Xác suất để sản xuất ra một chi tiết loại tốt là 0.4.Tìm xác suất để trong 26 chi tiết sản xuất ra thì có 13 chi tiết loại tốt Vấn đề là tìm P26(13) n = 26 p = 0.4 q = 0.6 xk = (k np) / npq = 1,04 ϕ(xk) = ϕ(1,04) = 0,2323 P26(13) = ϕ(xk)/ npq = 0,2323/2,5 = 0,093 Pn (k1, k2) ≈∅ (β) ∅ (α) α = (k1 np)/ npq β = (k2 np)/ npq 26 ∅(x) = 1/ 2π∫0 x ex²/2dx : hàm Laplace chuẩn Ví dụ: Một phân xưởng sản xuất bóng đèn đạt trung bình là 70% sản phẩm loại tốt. Tìm xác suất để trong 1000 bóng đèn có từ 652 đèn 760 bóng đèn loại tốt. Xác suất phải tìm là P1000 (652, 760) n = 1000, p = 0,7 q = 0,3 k1 = 652 k2 = 700 α = (k1 np)/ npq = 3,31 =>∅ (α) = ∅(3,31) = 0,499520 β = (k2 np)/ npq = 4,14 =>∅ (β) = ∅(4,14) = 0,499968 P1000 (652, 760) = ∅ (β) ∅ (α) = 0,999488 27 Cơng thức Poisson • Nếu n →∞ và p → 0 sao cho np = λ (const) thì Pn (k) ≈ (eλλk) / k! Định lý Poisson cũng có thể dùng để tính gần đúng Pn (k1,k2) 28 Ví dụ: Tổng sản phẩm của xí nghiệp A trong 1 q là 800. Xác xuất để sản xuất ra một phế phẩm là 0.005. Tìm xác suất để cho : Có 3 sản phẩm là phế phẩm Có khơng q 10 sản phẩm bị hỏng Giải: n =800, p = 0,005 => λ = np = 4 1. P800(3) = e44³/3! = 0,1954 2. P800(0,10) = 29 MA TRẬN Mơ tả: Các dòng ngang của ma trận gọi là hàng và các cột thẳng đứng là cột. Hình dạng ma trận được đặc trưng bởi số hàng và số cột (kích thước ma trận). k phần tử. Ma trận thường được viết thành bảng kẹp giữa 2 dấu ngoặc vng "[" và "]" (hoặc, hiếm hơn, dấu ngoặc "(" và ")"). Thí dụ: Ma trận thường được dùng để mô ta không gian 30 trạng thái trong điều khiển tự động Các loại ma trận đặc biệt Ma trận tam giác là ma trận vng được chia thành hai loại là ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới Ma trận tam giác trên khi các phần tử nằm phía dưới hạng tử có giá trị = 0, aij=0 với mọi i>j Ma trận tam giác dưới khi các phần tử nằm phía trên hạng tử có giá trị bằng khơng, aij=0 với mọi i