Đang tải... (xem toàn văn)
Bài viếtáp dụng phương pháp dưới đạo hàm tăng cường để giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BVI (C,F,G). Đây là một phương pháp mới để giải bài toán này. So với các phương khác thì phương pháp dưới đạo hàm tăng cường có ưu việt là trong thuật toán chỉ cần một phép chiếu trên C, phép chiếu thứ hai được chiếu lên một nửa không gian.
PHƯƠNG PHÁP DƯỚI ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP Hồ Phi Tứ Khoa Toán Email: tuhp@dhhp.edu.vn Ngày nhận bài: 12/6/2019 Ngày PB đánh giá: 08/8/2019 Ngày duyệt đăng: 16/8/2019 TÓM TẮT Trong báo áp dụng phương pháp đạo hàm tăng cường để giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BVI ( C , F , G ) Đây phương pháp để giải toán So với phương khác phương pháp đạo hàm tăng cường có ưu việt thuật toán cần phép chiếu C, phép chiếu thứ hai chiếu lên nửa khơng gian Do phương pháp cho kết tính tốn nhanh Chúng tơi chứng minh hội tụ mạnh dãy lặp tới nghiệm tốn khơng gian Hilbert thực Từ khóa: Bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân hai cấp, đơn điệu mạnh , đạo hàm tăng cường, liên tục Lipschitz A SUB-EXTRAGRADIENT METHOD FOR BILEVEL VARIATIONAL INEQUALITY PROBLEMS ABSTRACT In this paper, we introduce a method for solving bilevel variational inequality problems With this method, we need only one projection on C Therefore, it gives faster calculation results This is a new iteration algorithm and we show that these problems can be solved by subgradient extragradient iteration method We obtain a strong convergence of iteration sequences generated by this method in a real Hilbert space Key words Variational inequality problem, bilevel variational inequalities problem, strongly monotone, sub- extragradient, Lipschitz continuous GIỚI THIỆU Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực Bài toán bất đẳng thức biến phân VI ( C , F ) có dạng Tìm x* ∈ C cho F ( x *) , x − x * ≥ ∀x ∈ C , Trong F : Ω → ánh xạ từ Ω vào gọi ánh xạ giá, Ω C Trong báo chúng tơi quan tâm tới tốn bất đẳng thức biến phân hai cấp, toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán biến phân khác ([1], [5]) Được tóm tắt sau: Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực Tìm x* ∈ Sol (C, G) cho F (x * ), y − x * ≥ ∀y ∈ Sol ( C , G ) , (1.1) F : → Sol ( C , G ) nghiệm toán bất đẳng thức biến phân VI ( C , G ) với G ánh xạ từ vào toán ký hiệu vắn tắt 86 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG BVI ( C , F , G ) Bài toán nhận quan tâm nhiều nhà toán học nước giới có nhiều thật toán đưa Những ban đầu thuật giải trường hợp riêng toán trương hợp F = ∇f ; G = ∇g với f, g các hàm lồi khả vi khí tốn BVI ( C , F , G ) tốn cực tiểu hai cấp Một trường hợp khác F (x) = x BVI ( C , F , G ) trở thành tốn tìm chuẩn nhỏ tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân toán Yao, Y sử dụng phương pháp đạo hàm tăng cường để giải Thuật tốn tóm tắt sau: x0 ∈ C, k k k k y =PC ( x − λG (x ) − α k x ) , k +1 k k k k x = PC ( x − λG (x ) + µ (y − x ) ) Với điều kiện hàm G đơn điệu mạnh ngược, dãy {x k } hội tụ mạnh nghiệm x* = PSol (C,G) ( ) Gần tác giả Anh P.N cộng ([2]) đề xuất thuật toán giải toán BVI ( C , F , G ) kết hợp phương pháp đạo hàm tăng cường lý thuyết điềm bất động ánh xạ không giãn Thuật tốn bao gồm bước sau: Bước 1.Tính = y k PC ( x k − α k G (x k ) ) = z k PC ( x k − α k G (y k ) ) Bước Vòng lặp trong: xác định h k x k ,0= z k − λ F (z k ), k, j = PC ( x k , j − δ j G (x k , j ) ) , y k , j +1 = α j x k ,0 + β j x k , j + γ j PC ( x k , j − δ j G (y k , j ) ) x Nếu x k , j +1 − PSol (C, G ) ( x k ,0 ) ≤ ε k đặt h k = x k , j +1 đến bước Ngược lại tăng j: = j+1 Bước Đặt x k +1 =α k u + β k x k + γ k h k Tăng k lên quay lại bước Trong F đơn điệu mạnh, liên tục Lipschitz; G giả đơn điệu liên tục Lipschitz C với tham số chọn thích hợp Khi dãy {x k } {z k } hội tụ nghiệm toán BVI ( C , F , G ) Tuy nhiên bước lặp ta tìm nghiệm xấp xỉ tốn Ta có định nghĩa ([3], [4]) Ÿ Ánh xạ F : → gọi β - đơn điệu mạnh , tồn β > cho F ( x) − F ( y), x − y ≥ β x − y ∀x, y ∈ Ÿ Ánh xạ F : → gọi L - liên tục Lipschitz , tồn L > cho F ( x ) − F ( y ) ≤ L x − y ∀x, y ∈ � Ÿ Ánh xạ G : → gọi η - đơn điệu mạnh ngược , tồn η > cho Tạp chí khoa học, Số , tháng 09 năm 2019 87 G ( x) − G ( y), x − y ≥ η G ( x) − G ( y) ∀x, y ∈ Ta giả thiết ánh xạ F , G : → toán bất đẳng thức biến phân hai cấp (1.1) thỏa mãn điều kiện: ( A1 ) : F β - đơn điệu mạnh L - liên tục Lipschitz ( A2 ) : G η - đơn điệu mạnh ngược II THUẬT TỐN VÀ KẾT QUẢ HỘI TỤ Thuật tốn 2.1 2β Bước Chọn x ∈ , < µ < , dãy {α k } ⊂ ( 0,1) {λk } cho ∞ α k =∑ 0, α k = ∞, lim n =0 k →∞ {λk } ⊂ [ a, b ] ⊂ ( 0;η ) L ( ) ( ) Bước Tính y k =− PC x k λk G ( x k ) , z k = PTk x k − λG ( y k ) , (k = 0, 1, 2,…) Tk = ω ∈ : x k − λG ( x k ) − y k , ω − y k ≤ { ( ) } Bước Tính x = z − α k µ F z , Nếu x k +1 = x k dừng thuật tốn x k nghiệm tốn BVI ( C , F , G ) Ngược lại, k := k + quay lại Bước1 Nhận xét 2.1 Ở thuật tốn 2.1, ta chọn, chẳng hạn, α k = Khi dễ ∞ k + ∞ dàng thấy {α k } ⊂ ( 0,1) , lim α k = ∑ α k = k →∞ k =0 Để chứng minh hội tụ Thuật toán 2.1, ta cần sử dụng số bổ đề sau: Bổ đề 2.1 ([7]) Giả sử G : → η - đơn điệu mạnh ngược Khi G - liên tục Lipschitz tập nghiệm Sol ( C , G ) toán bất đẳng thức biến phân VI η( C , G ) lồi đóng Bổ đề 2.2 ([9]) Giả sử F : → β - đơn điệu mạnh, L - liên tục Lipschitz k +1 , < α < 1, < µ < Khi k k 2β L2 x − αµ F ( x ) − y − αµ F ( y ) ≤ (1 − ατ ) x − y ∀x, y ∈ , τ =− 1 − µ ( β − µ L2 ) ∈ ( 0,1] Bổ đề 2.3 ([6]) Cho {an } dãy số thực không âm Giả sử với số tự nhiên m, tồn số tự nhiên p ≥ m cho ap ≤ ap+1 Gọi n0 số tự nhiên cho an0 ≤ an0 +1 xác định τ ( n ) với n ≥ n0 ( n ) max {k ∈ : n0 ≤ k ≤ n, ak ≤ ak +1} τ= Khi {τ ( n )}n ≥ n dãy không giảm thỏa mãn điều kiện lim τ ( n ) = ∞ bất đẳng thức sau thỏa mãn 88 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG n →∞ aτ ( n ) ≤ aτ ( n )+1 , an ≤ aτ ( n )+1 ∀n ≥ n0 Bổ đề 2.4 ([8]) Giả sử {an } dãy số thực không âm thỏa mãn điều kiện an +1 ≤ (1 − α n ) an + α nξ n , ∀n ≥ 0, {an } dãy ( 0,1) {ξ n } dãy số thực cho ∞ (i ) ∑ αn = ∞; n =0 ( ii ) lim sup ξ n ≤ n →∞ Khi lim an = n →∞ Kết hội tụ Định lý 2.1 Giả sử điều kiện ( A1 ) , ( A2 ) thỏa mãn Sol ( C , G ) ≠ ∅ Khi dãy { xk } thuật tốn 2.1 hội tụ mạnh đến nghiệm toán bất đẳng thức biến phân hai cấp (1.1) Ta chứng minh định lý theo bước sau: Bước Chứng minh: Với x∗ ∈ Sol ( C , G ) , ta có ( 2.5 ) (η − λk ) x k − y k − (η − λk ) y k − z k z k − z ∗ ≤ x k − x∗ − η η Thật Từ định nghĩa y k tính chất phép chiếu x k − λk G ( x k ) − y k , z − y k ≤ ∀z ∈ C Sử dụng ( 2.6 ) cách xác định Tk , ta thu C ⊂ Tk Vì G η - đơn điệu mạnh ngược x∗ ∈ Sol ( C , G2) nên ( 2.6 ) G ( y k ) , y k − x∗ ≥ G ( x∗ ) , y k − x∗ + η G ( y k ) − G ( x∗ ) ( 2.7 ) ≥ G ( x∗ ) , y k − x∗ ≥ Theo tính chất phép chiếu ( 2.7 )2, ta z k − x∗ = PTk ( x k − λk G ( y k )) − x∗ ≤ x k − λk G ( y k ) − x∗ − x k − λk G ( y k ) − z k Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ý G - liên tục Lipschitz η , ta có G ( x k ) − G ( y k ), z k − y k ≤ G ( x k ) − G ( y k ) z k − y k ≤ ≤ xk − y k η η ( xk − y k zk − yk Tạp chí khoa học, Số + yk − zk ) ( 2.9 ) , tháng 09 năm 2019 89 Từ định nghĩa Tk z k ∈ Tk , ta có x k − λk G ( x k ) − y k , z k − y k ≤ Kết hợp bất đẳng thức với ( 2.8 ) ( 2.9 ) , ta z k − x∗ ≤ x k − x∗ Bước Chứng minh: = x −x ∗ + 2λk y − z , G ( y = xk − x ∗ + 2λk y k − z k , G ( y k ) − x k − y k k k ) Các dãy k k − xk − z k − (x − y k k { x k } , {F ( x k )} , )+(y + 2λk y k − z k , G ( y k ) k −z k ) − yk − zk {z k } bị chặn Vì − y k − z k , xk − y k = x k − x∗ − xk − y k − yk − zk + y k − z k , λk G ( y k ) − x k + y k = x k − x∗ − xk − y k − yk − zk + x k − λk G ( y k ) − y k , z k − y k + 2λk G ( x k ) − G ( y k ) , x k − y k ≤ x k − x∗ − xk − y k + k =x − x ∗ − λk η ( x −y k (η − λk ) − yk − zk k + yk − zk xk − y k η 2 − ) (η − λk ) yk − zk η {λ k } ⊂ [ a, b ] ⊂ ( 0; η ) nên từ ( 2.5 ) , k ta có z − x ≤ x k − x∗ Thật Từ ( 2.10 ) Bổ đề 2.2 ∗ ∀k ∈ � (2.10) x k +1 − x∗ = z k − α k µ F ( z k ) − x∗ = z k − α k µ F ( z k ) − x∗ − α k µ F ( z k ) − α k µ F ( x∗ ) ≤ z k − α k µ F ( z k ) − x∗ − α k µ F ( z k ) + α k µ F ( x∗ ) ≤ (1 − α kτ ) z k − x∗ + α k µ F ( x∗ ) ≤ (1 − α kτ ) x k − x∗ + α k µ F ( x∗ ) =(1 − α kτ ) x − x + α kτ k ∗ τ =− 1 − µ ( β − µ L2 ) ∈ ( 0,1] 90 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHỊNG µ F ( x∗ ) τ ( 2.11) Từ ( 2.11) , ta nhận µ F ( x∗ ) k ∗ ∗ k +1 x − x ≤ max x − x , τ Bằng quy nạp, ta chứng minh µ F ( x∗ ) x k − x∗ ≤ max x − x∗ , τ ∀ ≥ k Do dãy { x k } bị chặn dãy { F ( x k )} , { y k } { z k } bị chặn Bước Ta chứng minh dãy x k hội tụ mạnh đến x∗ , x∗ nghiệm ( 2.1) Thật Sử dụng Bổ đề 2.2, ( 2.10 ) bất đẳng thức x− y Ta ≤ x − y, x − y ∀x, y ∈ � x k +1 − x∗ 2 = z k − α k µ F ( z k ) − x∗ = z k − α k µ F ( z k ) − x∗ − α k µ F ( x∗ ) − α k µ F ( x∗ ) ( 2.12 ) Ta xét hai trường hợp k ∗ Trường hợp 1: Tổng k0 cho dãy x − x giảm với k ≥ k0 Khi dãy k ∗ số x − x hội tụ Do từ ( 2.10 ) ( 2.12 ) , ta { { } ≤ x k − x∗ − z k − x∗ ≤ −α kτ z k − x∗ {x k − x∗ ( 2.13) − 2α k µ F ( x∗ ) , x k +1 − x∗ ( + x k − x∗ Vì dãy } − x k +1 − x∗ ) } hội tụ, lim α = 0, {x } {z } bị chặn, từ ( 2.12) ta có ( 2.14 ) lim(η x − x − z − x = ) ( − b ) x − y ≤ (η − λ ) x − y k →∞ k k →∞ k k k ∗ k η Từ ( 2.5 ) {λk } ⊂ [ a, b ] ⊂ ( 0,η ) , ta có k k ∗ k k k η ≤ x k − x* − z k − x* Do từ ( 2.14 ) ( 2.15 ) , ta thu ( 2.15 ) lim x k − y k = k →∞ Ta chứng minh Tạp chí khoa học, Số , tháng 09 năm 2019 91 lim sup F ( x ) , x − x ∗ { } F ( x ), x − x ∗ k +1 ( 2.16 ) ≤ k →∞ { } Chọn dãy x ki dãy x k cho lim sup k →∞ ∗ ∗ k +1 ≤ lim F ( x∗ ) , x∗ − x ki i →∞ { } bị chặn nên ta giả thiết x Vì dãy x ki Do ki hội tụ yếu đến x ∈ limsup F ( x∗ ) , x∗= − x k +1 lim F ( x∗ ) , x∗ − x ki F ( x* ) , x* − x = k ( 2.17 ) i →∞ k →∞ k x ki x nên ta suy dãy y Vì lim x − y = k →∞ lồi đóng nên đóng yếu, x ∈ C Tiếp theo ta chứng minh x ∈ Sol (C , G ) Thật vậy, lấy x ∈ C Từ ( 2.6 ) ta có ki hội tụ yếu đến x Vì tập C ( ) x ki − λki G x ki − y ki , x − y ki ≤ ∀i ∈ Vì G η - đơn điệu mạnh ngược bất đẳng thức Cauchy-Shwarz, ta đư ( ) G ( x ) , x ki − x ≤ G ( x ) , x ki − x + η G x ki − G ( x ) ( ) ≤ G x ki , x ki − x ( ) G x ki , x ki − y ki + = λk G ( x k ) , y k − x i λk i i i ( ) G x ki , x ki − y ki + = x ki − y ki , y ki − x λk i + λk ( ) ( 2.18 ) x ki − λki G x ki − y ki , x − y ki i ( ) ≤ G x ki , x ki − y ki + λk G ( x k ) , y k − x i λk i i i ( ) ≤ G x ki x ki − y ki + λk x ki − y ki y ki − x i ( ) ≤ G x ki x ki − y ki + α x ki − y ki y ki − x { ( )} , { y } Lấy giới hạn ( 2.18 ) i → ∞, sử dụng tính bị chặn dãy G x ki k ý lim x i − y i →∞ 92 ki → 0, x ki x , ta G ( x ) , x − x ≤ TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG ki G ( x ) , x − x ≥ ∀x ∈ C ( 2.19 ) Đặt xt := (1 − t ) x + tx ∈ C , t ∈ [ 0,1] Từ ( 2.19 ) , ta có ≤ G ( xt ) , x − x Do với < t ≤ = G ( xt ) − G ( x ) , xt − x + G ( x ) , x − x ≤ G ( xt ) , xt − x x x − x + G ( x ), x − x =≤ ηG x( tx− t ) , (1 − t ) x + tx − x = t1 G ( xt ) , x − x = (1 − t ) x + tx − x x − x + G ( x ) , x − x η = t η x−x + G ( x ), x − x Cho t → 0+ , ta G ( x ) , x − x ≥ hay x ∈ Sol (C , G ) Vì x∗ nghiệm toán ( 2.1) x ∈ Sol (C , G ), ta có F ( x× ) , x − x∗ ≥ ( ) Kết hợp với ( 2.17 ) , ta thu lim sup F x∗ , x∗ − x k +1 ≤ k →∞ Bất đẳng thức ( 2.12 ) viết lại sau x k +1 − x∗ 2 ≤ (1 − α kτ ) x k − x* µ F ( x∗ ) , x∗ − x k +1 + α kτξ k , ξk = τ Từ ( 2.16 ) , ta có lim sup ξ k ≤ Theo bổ đề 2.4, ta lim x k − x∗ k →∞ x k → x∗ k → ∞ k →∞ k Trường hợp 2: Tồn dãy x j dãy x k cho kj x − x∗ ≤ x { } k j +1 = 0, hay { } − x∗ ∀j ∈ Theo Bổ đề 2.3, tồn dãy không giảm {τ ( k )} ⊂ cho lim τ ( k ) = ∞ k →∞ bất đẳng thức sau với k ∈ (đủ lớn) τ (k ) x τ ( k ) +1 − x∗ ≤ x − x∗ , τ ( k ) +1 x k − x∗ ≤ x − x∗ ( 2.20 ) Do từ ( 2.11) ( 2.20 ) ta Tạp chí khoa học, Số , tháng 09 năm 2019 93 τ (k ) x τ ( k ) +1 − x∗ ≤ x ( 2.21) − x∗ ( ) ≤ − ατ ( k )τ z τ (k ) Từ ( 2.10 ) ( 2.21) , ta có τ (k ) 0≤ x − x∗ − z τ (k ) − x∗ ≤ −ατ ( k )τ z τ (k ) − x ∗ + ατ ( k ) µ F ( x ∗ ) − x ∗ + ατ ( k ) µ F ( x ∗ ) { } ( 2.22 ) Từ lim α k = , tính bị chặn z k ( 2.22 ) , ta thu k →∞ ( τ (k ) − x* − z lim x k →∞ τ (k ) ) ( 2.23) − x* = { } { } bị chặn ( 2.23) , ta có Vì x k , z k lim x k →∞ τ (k ) Từ − x∗ − z τ (k ) − x∗ (η − λk ) ≥ (η − b ) > 0, η τ (k ) lim x k →∞ η ( 2.24 ) = ( 2.5 ) ( 2.24 ) , ta suy −= y ( ) 0, lim y τ k τ (k ) −= z ( ) τ k k →∞ ( 2.25 ) Theo bất đẳng thức tam giác τ (k ) x −z τ (k ) τ (k ) ≤ x −y τ (k ) + y τ (k ) −z τ (k ) Kết hợp với ( 2.25 ) , ta τ (k ) lim x k →∞ −z τ (k ) = Theo Bổ đề 2.2 τ ( k ) +1 x τ (k ) −x = z ≤ z τ (k ) τ (k ) ( ( ))− x ( ) + α ( )µ F ( x ( ) ) − ατ ( k ) µ F z τ (k ) −x τ k τ k τ k τ k { ( )}, ta τ (k ) Kết hợp với ( 2.26 ) , lim α k = tính chặn dãy F x τ ( k ) +1 lim x k →∞ τ (k ) −x k →∞ = Bằng chứng tương tự Trường hợp 1, ta thu ∗ limsup F ( x∗ ) , x= −x ( ) limsup F ( x* ) , x* − x τ (k ) τ k +1 x →∞ 94 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG x →∞ ≤ ( 2.27 ) Từ ( 2.12 ) ( 2.20 ) , ta τ ( k ) +1 x τ (k ) −x ( ) ( )−x ≤ (1 − α ( )τ ) x ( ) − x τ k ≤ − ατ ( k )τ x τ k +1 τ k Do đó, từ ( 2.20 ) , ta x k − x∗ τ ( k ) +1 ≤ x − x∗ ≤ 2µ τ ∗ ∗ ( 2.28 ) + ατ ( k ) µ F ( x ∗ ) , x ∗ − x τ ( k ) +1 + ατ ( k ) µ F ( x ∗ ) , x ∗ − x τ ( k ) +1 F ( x∗ ) , x∗ − x τ ( k ) +1 ( 2.28 ) Lấy giới hạn k → ∞ ( 2.28 ) sử dụng ( 2.27 ) , ta lim sup x k − x∗ k →∞ ≤ Do x k → x* k → ∞ Định lý hoàn toàn chứng minh III KẾT LUẬN Bài báo đưa thuật giải cho toán bất đẳng thức biến phân hai cấp chứng minh hội tụ mạnh thuật tốn nghiệm tốn khơng gian Hilbert thực Với phương pháp đạo hàm tăng cường, thuật toán cần phép chiếu tập ràng buộc C , việc tính tốn giảm nhẹ nhiều TÀI LIỆU THAM KHẢO Anh, P.N., Kim, J K., Muu, L D.(2012): An extragradient algorithm for solving bilevel variational inequalities J Glob Optim 52, 527 – 539 Anh, P.N., Kim, J K., Muu, L D.(2012): An extragradient algorithm for solving bilevel pseudomonotone variational inequalities J Glob Optim 52, 627 – 639 Combettes, P.L., Hirstoaga, S.A.(2005): Equilibrium Programing in Hilbert Space J Nonlinear Convex Anal 5, 117 – 136 Konnov, I.V.(2000): Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities Springer, Berlin Kalashnikov, V.V., Klashnikova, N.I.(1996): Solving two-level vatiational inequality J Glob Optim 8, 289 – 294 Maingé, P.E.(2008): A hybird extragradient-viscosity mwthod for monotone operators and fixed point problem SIAM J Control Optim 47 1499 – 1515 Muu, L D.(1998): Nhập môn phương pháp tối ưu, NXB Khoa học Kỹ Thuật, Hà Nội Xu, H K.(2002): Iterative algotithms for nonlinear operators J London Math Soc 66, 240 – 256 Yamada, I.(2011): The hybird steepest method for the variational inequality problem over th intersection of fixed point sets on nonexpansive mappings, in Inherently Parallel Algorithms for Feasibility anh Optimization anh Their Applications, Butnariu D, Censo Y, Reich S (Eds.), Elsevier, New York, pp 472 – 504 Tạp chí khoa học, Số , tháng 09 năm 2019 95 ... KẾT LUẬN Bài báo đưa thuật giải cho toán bất đẳng thức biến phân hai cấp chứng minh hội tụ mạnh thuật toán nghiệm tốn khơng gian Hilbert thực Với phương pháp đạo hàm tăng cường, thuật toán cần... G ) toán cực tiểu hai cấp Một trường hợp khác F (x) = x BVI ( C , F , G ) trở thành tốn tìm chuẩn nhỏ tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân toán Yao, Y sử dụng phương pháp đạo hàm tăng cường. .. (C,G) ( ) Gần tác giả Anh P.N cộng ([2]) đề xuất thuật toán giải toán BVI ( C , F , G ) kết hợp phương pháp đạo hàm tăng cường lý thuyết điềm bất động ánh xạ khơng giãn Thuật tốn bao gồm bước sau: