Biên soạn: HỨA NHẬT VI– Điện thoại: 0965.867.429 GIẢI TÍCH 11 CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN DÃY SỐ LIVESTREAM THỰC HIỆN BỞI: GV HỨA NHẬT VI DẠNG 1: un phân thức hữu tỉ dạng un  P n Q n ( P  n  , Q  n  hai đa thức n) Phương pháp: Chia tử mẫu cho n k với n k lũy thừa có số mũ lớn P  n  Q  n  ( rút n k lũy thừa có số mũ lớn P  n  Q  n  làm nhân tử) sau áp dụng định lý giới hạn Bài 1: Tìm giới hạn dãy  un  biết: 2n  3n  a) un  5n   2n  1   4n3  c) un   4n     n  2n3  3n  b) un  n  4n  n Lời giải: a) Ta thấy n lũy thừa cao tử mẫu, nên chia tử mẫu un cho n được: 2n  3n  2  2 2n  3n  n n n Ta có lim  0, lim  lim  nên un    2 n n2 n2 5n  5n   n n2 200 lim un   50 b) Dễ dàng thấy n lũy thừa cao tử mẫu, nên chia tử mẫu un cho n được: 2n3  3n  4   2 4 4 2n3  3n  un   n  n n n Ta có lim  0, lim  0, lim  , lim  n n n n n  4n  n n  4n  n 1  n n n 000 0 lim  Do lim un  n 1  2  2n  1   4n3    2n    1 2 c) un  Ta có  2n  1   n     n    ,  4n n n       4n     n    4n3   n3    n    4n       n  2    3 22  n    ,  4n     n     n      n    n     n   1 n  n  n    n    n  3 2 1 1       n    n3          n n n n   , mà lim  0, lim  , lim  Do Từ un   3 n n3 n 2 22  2 2   3 n    n   1      1 n n n   n     0   4 lim un    0   2  16 DẠNG 2: un phân thức hữu tỉ dạng un  P n Q n ( P  n  , Q  n  biểu thức chứa n) Bài 2: Tìm giới hạn dãy  un  biết: LUYỆN TỐN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 1/4 Biên soạn: HỨA NHẬT VI– Điện thoại: 0965.867.429 a) lim 9n  n  4n  4n  n   n b) un  b) lim 9n  3n 1   n2     n n n  9n  n   Lời giải: a) lim  lim  lim 2 4n   n4   n   4n  n   n   n n2   b) un  lim 4n  n   n 9n  3n   9n  3n  n2    n   0, lim  Nên lim un  n n 2n  3n  2n  n  1 1 9  9  n n  lim n n  2  4 n4   n n  1 1  n   1 n n n n Vì có lim  0,  n 3 n 9 9 n n n 4    1  90   n4     n n  2n  3n   b) lim  lim 3 2n  n   n2     n n   3  2  n n  lim n n   lim 3  2  n2     n n n n   n2  DẠNG 3: un phân thức hữu tỉ dạng un  P n Q n ( P  n  , Q  n  biểu thức chứa hàm mũ a n , b n , c n ,… Chia tử mẫu cho a n với a số lớn ) Bài : Tìm giới hạn dãy  un  biết : 3.2n  5n a) un  5.4n  6.5n 4n   6n 1 b) un  n 1  2.6n 3 c) un  n2 1 n 2 Lời giải n 2 3.2n  5n 3.2n 5n 3  1 n n  n n n n n 3.2  5 2 4  5 a) Ta có un  Ta có lim    lim       n 5.4n  6.5n 5.4n  6.5n 5.4n 6.5n 5 5    n 5   n n 5 5 3.0  1  Do lim un  5.0  6 b) Ta có un  4n   6n 1 5n 1  2.6n 3 4n.42  6n.6 4n.42 6n.6  n 4n.42  6n.6 6n 6n  n 1   5  2.6n.63 5n.51  2.6n.63 5n.51 2.6n.63  6n 6n 6n LUYỆN TỐN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 2/4 Biên soạn: HỨA NHẬT VI– Điện thoại: 0965.867.429 n 4   6 n n 6 4 5  Ta có lim    lim     n 6 6 1      2.6 6 Do lim un  42.0   1  2.6 72 n n 2.2   2 n n n    n n 1 n2 2 3 2 2 2   2.2    Vì   lim    , c) Ta có un  n  n  n  n3  3 1 n 32  32  32  32  n 32 32 2.0   lim n  lim n  Do lim un   32 32 DẠNG : Nhân lượng liên hợp: Bài 4: Tìm giới hạn dãy  un  biết: a) un  n2  3n   n b) un  n3  3n2  n c) lim n2  n  n 4n  3n  2n Lời giải:    2n  3n   5  n  n    n  n    a) un  2n  3n   n  n      n2 n n2 n n2     2   5  lim  nên lim     1   limn   lim un     n n n n   (cụ thể bạn xem phương pháp tìm giới hạn dãy số có giới hạn vô cực) lim b) un  n3  3n  n       n3  3n  n    un  n3  3n2   n Ta có  3 n2     n2   n2 n n  c) Ta có  n n n    n   n n3  3n  n n3  3n  n 3n n3  3n n3  3n 3n2  n2  n  n 3  n3  3n  n    3  1   1 1 n n        n3  3n  n3  3n  n3    n  Do n  n  n2  n  n n n n 2   , ta có lim  Nên lim un  n n  1 n 1  n 1 1 n n LUYỆN TỐN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 3/4 Biên soạn: HỨA NHẬT VI– Điện thoại: 0965.867.429  4n  3n  2n  4n  3n  2n  4n  3n  2n 4n  3n  2n  3n  3 n   2n 4 2 n n 2 n Do lim un  lim    3    1 n   4 Bài 5: Tìm giới hạn sau: 1 a) un      1.2 2.3 n(n  1) b) un  12  22  32    n2 n(n  1)(n  2)   1     c) lim   n(n  1)(n  2)   1.2.3 2.3.4 Lời giải: k 1 k k 1 k 1 a) Ta có      ,  k  1, 2, , n  Từ k  k  1 k  k  1 k  k  1 k  k  1 k k  un  1 1 1 1              1 1.2 2.3 n(n  1) 2 n n 1 n 1    1  Nên lim un  lim 1    lim1  lim n 1  n 1  b) un  n  n  1 2n  1 12  22  32    n2 Ta có tổng 12  22  32    n2  (được chứng minh n(n  1)(n  2) 2n  n lim  lim  lim u   phương pháp quy nạp) Nên un   n n n 6(n  2)  2 1    n 2   1     c) lim   n(n  1)(n  2)   1.2.3 2.3.4 Ta có  1 1 1        (Chứng minh dựa vào nguyên lý quy 1.2.3 2.3.4 n( n  1)( n  2)  ( n  1)( n  2)   1 1 1  lim  lim  0  nạp) Do L  lim     (n  1)(n  2)  2(n  1)(n  2) 4 LUYỆN TỐN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 4/4 ...    1   limn   lim un     n n n n   (cụ thể bạn xem phương pháp tìm giới hạn dãy số có giới hạn vơ cực) lim b) un  n3  3n  n       n3  3n  n    un  n3  3n2  ... n  , Q  n  biểu thức chứa hàm mũ a n , b n , c n ,… Chia tử mẫu cho a n với a số lớn ) Bài : Tìm giới hạn dãy  un  biết : 3.2n  5n a) un  5.4n  6.5n 4n   6n 1 b) un  n 1  2.6n 3... n 32 32 2.0   lim n  lim n  Do lim un   32 32 DẠNG : Nhân lượng liên hợp: Bài 4: Tìm giới hạn dãy  un  biết: a) un  n2  3n   n b) un  n3  3n2  n c) lim n2  n  n 4n  3n  2n