CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT: TỪ LÝ THUYẾT ĐẾN BÀI TẬP VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN A - HỆ THỨC VIÉT 1.Định lý Viét (thuận): Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1, x2 b c tổng tích hai nghiệm là: S = x1+ x2 = P = x1 x2 = a a Định lý Viét ( đảo): Nếu hai số u v có tổng u + v = S tích u.v = P u v hai nghiệm phương trình : x2 – Sx + P = Ứng dụng định lý Viét: a) Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai đơn giản; b) Tính nghiệm lại phương trình biết nghiệm nó; c) Tính hệ thức nghiệm mà khơng cần tính nghiệm pt; d) Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm nó; e) Tìm điều kiện tham số để thỏa mãn dấu nghiệm v v B– CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN VIÉT Dạng 1: NHẨM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH Có cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = : c Cách : Nếu a + c + b = x1 = x2 = ; a c Cách : Nếu a + c - b = x1 = - x2 = - ; a Cách : (Thường nhẩm a =1) Tính tổng S tích P suy hai nghiệm x1 , x2 Lưu ý: Trong cách cách 2, ta nên lấy a cộng với c trước, so sánh tổng (a+c) với b: + Nếu tổng (a+c) trái dấu với b dùng cách 1(cách cộng với b); +Nếu tổng (a+c) dấu với b dùng cách 2(cách trừ b) Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm phương trình sau: TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS 1 CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu a) 3x2 – 5x + = 0; b) 4x2 + 7x + = 0; c) x2 – 3x – 10 = Giải a) 3x2 – 5x + = b) Ta thấy a + c = + = b = -5 4x2 + 7x + = 0; Ta thấy a+ c = + = b = Do a + c + b = Do a + c – b = c = a x1 = x2 = x1 = -1 x2 = - c =a c) x2 – 3x – 10 = Vì a c trái dấu nên pt có hai nghiệm trái dấu Theo Viet ta có: S = x1 + x2 = P = x1.x2 = b = – a c = a = =3 x1 = x2 = -2 10 = -10 Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm phương trìnnh sau: a) x2 - 2x + ( b) x2 + - 1) = 0; x + ( - 1) = 0; c) x2 – (3 + )x + = Giải a) x2 - 2x + ( - 1) = Ta thấy: a + c = + ( - 1) = x1 = ; x2 = b) x2 + x+( b = - Do a + c + b = c = a -1 = -1 - 1) = ta thấy a + c = + ( - 1) = b = x1 = -1 ; x2 = - Do a + c – b = c ( - 1) ==11 a c) x2 – (3 + )x + = Theo Viét ta có : S = x1 + x2 = - b =a TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K (3 7) =3+ http://bit.ly/VIP-word-THCS 2 CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu c P = x1 x2 = = = a x1 = x2 = Dạng : KHƠNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA HAI NGHIỆM X1 VÀ X2 Bước : Kiểm tra xem phương trình có nghiệm hay khơng (Pt có nghiệm ∆ ∆’ a c trái dấu) Bước : Áp dụng hệ thức Viét để tính tổng S tích P hai nghiệm Bước : Biến đổi biểu thức đề cho để xuất S P Bước : Thay giá trị S P vào để tính giá trị biểu thức Một số đẳng thức thường sử dụng: 1/ x12 + x22 = S2 – 2P ; 2/ (x1 – x2 )2 = S2 – 4P ; 3/ x13 + x23 = S3 – 3SP Ví dụ 1: Chứng mimh đẳng thức sau: 1) x12 + x22 = S2 – 2P ; 4) x12 - x22 = S S2 4P neáu x1 x S S2 4P neáu x1 x 2) (x1 – x2 )2 = S2 – 4P ; 3) x1 – x2 = S2 4P neáu x1 x S2 4P neáu x1 x 5) x13 + x23 = S( S2 – 3P) ; Giải 1) x12 + x22 = S2 – 2P Biến đổi vế trái : x12 + x22 = x12 + 2x1x2 + x22 – 2x1x2 ( thêm, bớt 2x1x2 ) = (x1 + x2 )2 = S2 – 2P = Vế phải (đpcm) – 2x1x2 ( x1+ x2 = S x1x2 =P ) 2) (x1 – x2 )2 = S2 – 4P Vế trái = ( x1 – x2 )2 = x12 - 2x1x2 + x22 = [(x12 + x22) – 2x1x2 ] =[ (S2– 2P ) - 2P] =S2 – 4P= vế phải TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS 3 CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Tốn học Hữu 4P x1 x S 4P neáu x1 x 2 S 3) x1 – x2 = Ta có (x1 – x2 )2 = S2 – 4P (chứng minh trên) x1 – x2 = 4) x12 - x22 = S 4P = S2 4P neáu x1 x S2 4P neáu x1 x S S2 4P neáu x1 x S S2 4P neáu x1 x Biến đổi vế trái : x12 - x22 = (x1 + x2) (x1 – x2) = S( S2 S S2 4P neáu x1 x S S2 4P neáu x1 x 4P ) = 5) x13 + x23 = S3 – 3SP ; vế trái = x13 + x23 = (x1 + x2)(x12 – x1x2 + x22 ) = (x1 + x2)[(x12 + x22 ) – x1x2)] = S [ ( S2 – 2P ) – P ] = S [S2 – 3P ] = S3 – 3SP (đpcm) Ví dụ (Bài trang 90-SGK lớp 9): Không giải phương trình, tính tổng tích nghiệm phương trình: a) x2 – 14x + 33 = ; c) 3x2 + 5x + 61 = b) 6x2 -13x – 48 = ; d) x2 –x -2 – =0 Giải a) x2 – 14x + 33 = : a=1 ’= (b’)2 – ac b= -14 = (-7)2 – 33 b’ = -7 = 49 – 33 = 16 > TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS 4 CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Tốn học Hữu c = 33 Vì ’> nên phương trình có nghiệm Áp dụng hệ thức Viét ta có: S = x + x2 = P = x1.x2 = b =a 14 = 14 c 33 = = 33 a b) 6x2 -13x – 48 = Vì a c trái dấu nên phương trình có nghiệm Theo Viét ta có: S = x + x2 = P = x1.x2 = 13 b 13 =-( )= a c = a 48 c) 3x2 + 5x + 61 = a= = b2 – 4ac b= = 52 – 4.3 61 c = 61 Vì = 25 – 732 = - 707 < < nên phương trình vơ nghiệm Do khơng có tổng tích nghiệm d) x2 –x -2 – =0 Ta thấy a = > c = -2 – = - (2 + ) < Vì a c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm Theo Viét ta có : S = x1 + x2 =P = x1.x2 = b =- ( )= a c = = -2 – a Ví dụ 3: Cho phuong trình 2x2 + 7x + = có x1, x2 nghiệm (với x1 > x2 ) Khơng giải phuong trình, tính giá trị biểu thức sau : TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS 5 CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT 6 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu 1 1 a) + ; b) x12 + x22 ; c) + ; x1 x1 x x2 e) x13 + x23 ; k) x13 f) x14 + x24 g) d) (x1 - x2 )2 1 + ; x1 x2 h) x12 - x22 x 23 Giải Vì phương trình có hai nghiệm x1, x2 nên theo Viét ta có: S = x + x2 = a) 1 + x1 x b =a S x x1 = = x1x P = b) x + x = S - 2P = 12 22 P = x1.x2 = 7 = 3 : = 2 2 c = a - 49 = 1 S2 2P 37 x 2 x12 c) + = = = : 2 x1 x2 P x1 x d) x1 - x2 = S 4P = 2 = 49 49 = 12 37 37 37 37 : = = 4 = 49 24 25 e) x13 + x23 = S3 – 3SP = 3 2 343 63 343 126 217 f) x14 + x24 = (x12)2 + (x22)2 = (x12)2 + 2x12x22 + (x22)2 - 2x12x22 (thêm, bớt 2x12x22 ) = ( x12 + x22)2 – 2x12x22 = (S2 – 2P)2 – 2P2 (vì x12 + x22 = S2- 2P ) = S4 – 4S2P + 4P2 – 2P2 = S4 – 4S2P + 2P2 Thay S = TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K P = vào ta có: 2 http://bit.ly/VIP-word-THCS CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT 7 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu = = 4 2 2401 147 16 2 = 2401 16 2401 1176 = 16 16 1 x x14 S4 g) + = = x2 x1 x14 x 4S2 P P4 2P h)x12 - x22 =( x1 + x2 )( x1 - x2 )= S S 4P = 49 2 1297 = 81 16 16 72 16 1297 81 1297 = = : : 16 16 16 = 1297 16 16 81 7 1297 81 = - = 2 35 k) x1 - x 23 x13 = x 23 x13 x 23 217 27 : 8 217 27 S3 3SP P3 217 =: = 217 27 Dạng 3: TÍNH NGHIỆM CỊN LẠI KHI BIẾT MỘT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Cách giải: Bước 1: Dùng Viét tính S (hoặc P); Bước 2: Thay giá trị nghiệm biết vào đẳng thức S (hoặc P) để tìm nghiệm lại Ví dụ 1: Cho phương trình 2x2 + 5x – = có nghiệm Tính nghiệm lại Giải Cách 1: Theo Viét ta có: S = x + x2 = TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K b =a http://bit.ly/VIP-word-THCS CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT 8 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu 1 Thay x1 = vào ta + x2 = 2 x2 = - - = 2 Vậy phương trình cho có nghiệm x1 = Cách 2: Theo Viét ta có P = x1.x2 = Thay x1 = vào ta c a = 2 x2 = -3 3 x2 = 2 x2 = - 3 : = = -3 2 Vậy phương trình cho có nghiệm x1 = x2 = -3 Dạng : TÌM THAM SỐ ĐỂ THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VỀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Bước 1: Tính (hoặc ' ) Bước : Đặt điều kiện cho ( ’ ) để phương trình có nghiệm Bước 3: Dùng Viét để tính tổng S tích P nghiệm Bước : * Nếu đẳng thức đề cho bậc (x1 x2 có mũ 1) kết hợp đẳng thức với tổng S để hệ pt Giải hệ pt tìm x1, x2 Sau thay x1, x2 vừa tính vào P để tìm tham số * Nếu đẳng thức đề cho bậc trở lên biến đổi đẳng thức xuất S P Sau thay S P vào để tìm tham số Bước 5: Đối chiếu giá trị tham số vừa tìm với điều kiện trả lời TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu 9 *Nếu bỏ bước ( bước đặt điều kiện để pt có nghiệm) sau tìm tham số phải thay giá trị tham số vào cho < (hoặc (hoặc ' ) Nếu giá trị tham số làm ’ < ) loại bỏ giá trị tham số Ví du 1: ( Bài Tr 96-SGK): cho phương trình x2 + 3x + m = 0, x1, x2 hai nghiệm phương trình Khơng giải phương trình, tìm giá trị m để: a) x1 – x2 = ; b) x12 + x22 = 34 ; c) x12 – x22 = 30 ; d) x1 = 2x2 e) 3x1 + 2x2 = 20 ; ; Giải = b2 - 4ac = 32 - 4.1.m = – 4m + Điều kiện : hay – 4m - 4m + Theo Viét ta có : a) Ta có hệ phương trình x1 x1 cộng vế : 2x1 x1 Thay x1= m (hay m 2,25) b = - = -3 a c m = =m a x2 x2 (Tính theo Viet ) (theo đề cho) =3 = 3 vào pt x1 + x2 = -3 + x2 = -3 Thay x1= -9 S = x + x2 = P = x1.x2 = x2 = -3 - =2 x2 = - vào P = x1.x2 = m ta tìm m = 2 27 (thỏa mãn đk) TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu 10 10 27 Vậy với m = pt có nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức x1 – x2 =6 b) x12 + x22 = 34 x12 + 2x1x2 + x22 – 2x1x2 = 34 (thêm, bớt 2x1x2 vào vế trái) ( x1 + x2)2 – 2x1x2 = 34 S2 – 2P = 34 Thay S = -3 P = m vào ta : (-3)2 – 2.m = 34 – 2m = 34 Vậy với m =- m=- 25 (thỏa mãn điều kiện) 25 x12 + x22 = 34 c) x12 – x22 = 30 ( x1 + x2 )( x1 – x2 ) = 30 -3 ( x1 – x2 ) = x1 – x2 = - (*) Ta có hệ phương trình x1 x1 x2 x2 (Tính theo Viet ) (theo * ) Giải hệ ta tìm x1 = -2 x2 = -1 Thay x1 = -2 x2 = -1 vào P = x1.x2 = m (-2)(-1) = m m = (thỏa điều kiện) Vậy với m = x12 – x22 = 30 d) x1 = 2x2 Ta có hệ phương trình x1 x1 x2 2x x1 x1 x2 2x Giải hệ (bằng phương pháp cộng thế)ta tìm x1= -2 x2=-1 Thay x1 = -2 x2 =-1 vào P = x1.x2 = m ta có: TRỌN BỘ WORD TỐN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT 11 11 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu (-2).(-1) = m m = (thỏa mãn đk) với m = phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức x1 = 2x2 e) 3x1 + 2x2 = 20 Ta cóhệ phương trình x1 x 3x1 2x 20 2x1 2x 3x1 2x x1 20 = 26 Thay x1 = 26 vào x1 + x2 = -3 26 + x2 = -3 x2 = -3 - 26 = -29 ( thỏa đk) thay x1 = 26 x2 = -29 vào P = x1.x2 = m 26.(-29) = m m = - 754 (thỏa mãn đk) Vậy với m = - 754 pt có nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức 3x1 + 2x2 = 20 Ví dụ 2: Xác định m để phương trình: x2 – mx + m + = có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 10 Giải + a=1 = b2 – 4ac b=-m = (-m)2 – 4.1.(m + 7) c=m+7 = m2 – 4m – 28 + Theo Viét ta có : S = x + x2 = P = x1.x2 = b m ==m a c m = =m+7 a + Ta có : x12 + x22 = 10 TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu hay S2 – 2P = 10 Thay S = m P = m + vào ta được: m2 - 2(m + 7) = 10 m2 – 2m – 14 = 10 m2 – 2m – 24 = Giải pt bậc hai có ẩn số m ta tìm m1 = m2 = - + Với m1 = = m2 – 4m – 28 = 62 – 4.6 – 28 = 36 – 24 – 48 = - 34 < (Pt vô nghiệm nên loại bỏ m1 = 6) Với m2 = - = m2 – 4m – 28 = (-4)2 – 4(-4) – 28 = 16 + 16 – 28 = > ( Pt có nghiệm) Vậy với m = - x12 + x22 = 10 Dạng : TÌM THAM SỐ KHI BIẾT MỘT NGHIỆM, TÍNH NGHIỆM CỊN LẠI Bước : Thay giá trị nghiệm biết vào phương trình để tìm tham số; Bước : Dùng Viét để tính tổng S (hoặc tích P ) hai nghiệm; Bước : Thay giá trị nghiệm biết tham số vào S (hoặc P) để tìm nghiệm lại * Sau xong bước 1, thay giá trị tham số vào phương trình, giải phương trình để tìm nghiệm lại Tuy nhiên, cách khơng đẹp Ví dụ : Với giá trị m phương trình x2 – 2(1 + 3m)x – 6m = (*) có nghiệm -2? Tính nghiệm lại Giải + Thay x1 = -2 vào pt (*) : x2 – 2(1+ 3m)x – 6m = (-2)2 – 2(1 + 3m).(-2) – 6m = + 4(1 + 3m) – 6m = + + 12m – 6m = + 6m = TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS 12 12 CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT 13 13 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu m= * Tính nghiệm x2 lại : (chọn cách sau): Cách 1: Theo Viét ta có S = x1 + x2 = - b a 2(1 3m) 2(1 3m) = + 6m vào x1 + x2 = + 6m Thay x1=-2 m = - ( -2) + x2 = + 6(- ) -2 + x2 = – x2 = - Cách 2: Theo Viét ta có P = x1.x2 = Thay x1=-2 m = - c = a 6m = - 6m vào x1.x2 = - 6m (-2) x2 = -6(- ) -2x2 = Trả lời: Vậy với m = - x2 = - 4 Pt(*) cho có nghiệm x1 = -2 x2 = - BẢNG XÉT DẤU CÁC NGHIỆM SỐ 1/ Nếu P < phương trình có nghiệm trái dấu: a) Nếu P < S > phương trình có nghiệm trái dấu nghiệm dương lớn giá trị tuyệt đối nghiệm âm b) Nếu P < S < phương trình có nghiệm trái dấu nghiệm dương nhỏ giá trị tuyệt đối nghiệm âm 2) Nếu P > phương trình có nghiệm dấu: a) Nếu P > S > hai nghiệm dương b) Nếu P > S < nghiệm âm c Cần nhớ: Vì P = nên a c dấu a P >0, a c trái dấu P < TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS ... TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS 4 CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Tốn học Hữu c = 33 Vì ’> nên phương trình có nghiệm Áp dụng hệ thức Viét ta có: S = x + x2 = P = x1.x2... đẳng thức đề cho bậc (x1 x2 có mũ 1) kết hợp đẳng thức với tổng S để hệ pt Giải hệ pt tìm x1, x2 Sau thay x1, x2 vừa tính vào P để tìm tham số * Nếu đẳng thức đề cho bậc trở lên biến đổi đẳng thức. .. http://bit.ly/VIP-word-THCS 2 CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu c P = x1 x2 = = = a x1 = x2 = Dạng : KHƠNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA HAI