Bài giảng : § 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC Tổ : TOÁN TIN TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NGUYỄN DU Soạn thảo : Tháng 11 năm 2006 Tiết : 23 § 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC 1/ Nhắc lại kiến thức cũ: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = h và BC = a, CA = c. Gọi BH = c’ và CH = b’. Hãy nêu các hệ thức liên hệ giữa các yếu tố của tam giác vuông này ? a 2 = b 2 +c 2 ; b 2 = a.b’ ; c 2 = a.c’ h 2 =b’.c’ ; a.h = b.c ; 1/h 2 =1/b 2 + 1/c 2 sinB = cosC = b/a; sinC = cosB = c/a tanB = cotC =b/c; cotB = tanC = c/b A B C H c b b’ c’ a 2/ Kiểm tra: Cho tam giác ABC có AB=2; AC = 3; góc A = 60 0 . a) Tính : .AB AC uuur uuur . . .cosAB AC AB AC A= uuur uuur = 2.3.cos60 0 = 2.2.1/2 =3 b) Tính cạnh BC ? Ba cạnh a,b,c có quan hệ gì ? Tương tự b2 ; a ; b’ ? h § 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC a/ Cho tam giác ABC có AB = c; AC = b , góc A . Tính cạnh BC 2 theo b , c , A Hãy sử dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ vectô của A,B,C ? 3/Định lý Côsin: BC AC AB= − uuur uuur uuur AC BC BA = − uuur uuur uuur 2 2 ( )BC AC AB = − uuur uuur uuur 2 ?BC = uuur BC 2 =b 2 +c 2 -2b.c.cosA Vậy Nếu cho tam giác ABC có AB=c; BC=a; AC=b, góc A,B,C.Quan hệ giữa a,b,c,A,B,C như thế nào ? b/ Định lí Cô sin:Trong tam giác ABC bất kì với BC=a; AB=c;AC=b ta có: a 2 =b 2 +c 2 -2bc.cosA b 2 =c 2 +a 2 -2ca.cosB c 2 =a 2 +b 2 -2ab.cosC 2 2 2 .AC AB AC AB = + − uuur uuur uuur uuur A B C AB CB CA = − uuur uuur uuur c ? b Hãy phát biểu định lí Cô sin thành lời ? Trong một tam giác ,bình phương một cạnhbằng tổng bình phương của hai cạnh kia, trừ hai lần tích của chúng và cô sincủa góc xen giữa 2 cạnh đó Lưu ý: Khi tam giác ABC vuông thì định lí Cô sin trở thành định lí nào ? Khi tam giác ABC vuông thì định lí trở thành định lí Pytago Ta có: § 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC Từ định lí Cô sin làm thế nào để tính góc A,B,C của tam giác ABC ? Hệ quả: 2 2 2 cos 2 b c a A bc + − = 2 2 2 cos 2 c a b B ca + − = 2 2 2 cos 2 a b c C ab + − = c/ Cho tam giác ABC có AB=c; BC=a; AC=b;Tính độ dài trung tuyến m a ;m b ;m c của các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A,B,C ,theo a,b,c. A B C c b a m a M Áp dụng định lí Cô sin với tam giác ABM với M trung điểm của BC ,ta có m a 2 =? 2 2 2 2 . .cos 2 2 a a a m c c B   = + −  ÷   Làm thế nào để tính m a theo a,b,c 2 2 2 2 2 2 2 . . 2 2 2 a a a a c b m c c ac + −   = + −  ÷   2 2 2 2 2( ) 4 a b c a m + − = Tương tự m b 2 ;m c 2 bằng ? 2 2 2 2 2( ) 4 b c a b m + − = 2 2 2 2 2( ) 4 c a b c m + − = § 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC Áp dụng : Cho tam giác ABC có a = 7cm, b = 8cm, c = 6cm. Hãy tính độ dài trung tuyến m a của tam giác ABC Hãy nêu công thức tính m a ? Ta có 2 2 2 2 2( ) 4 a b c a m + − = 2 2 2 2(8 6 ) 7 4 + − = 151 4 = 151 6,14 2 a m = ≈ Vậy: d/ Ví dụ Ví dụ 1:(SGK) Cho tam giác ABC cócáccạnhAC=10cm,BC=16cm, và góc C=110 0 .Tính cạnh AB,và góc A,B của tam giác đó. A B C 7 6 8 M A C B 10 C=? 16 110 0 ? ? Ta có a,b có giá trị ? Ta có a = 16cm,b = 10cm,c=AB Theo định lí cô sin ta có c 2 = ? Áp dụng Cô sin ta có:c 2 = a 2 + c 2 - 2ac.cosC c 2 =16 2 +10 2 -2.16.10.cos110 0 c 2 ≈ 465,44 ; 465, 44 21,6c cm ≈ ≈ Làm thế nào để tính góc A ? 2 2 2 cos 2 b c a A bc + − = 2 2 2 10 (21,6) 16 2.10.(21,6) + − ≈ 0,72 ≈ 0 44 02'A ⇒ ≈ 0 0 , 180 ( ) 25 58'B A C = − + ≈ Góc B tính như thế nào ? § 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC Ví dụ2:( SGK) Hai lực và cho trước cùng tác dụng lên một vậtvà tạo thành một góc .Hãy lập công thức tính cường độ của hợp lực 1 F uur 2 F uur F ur 1 2 ( , )F F α = uur uur A B D C 1 F uur 2 F uur F ur α Ta biểu diễn bài toán như sau Qua hình biểu diễn ta thấy các yếu tố nào của bài toán đã biết,yếu tố nào cần phải tìm ? Đặt 1 2 ,AB F AD F = = uuur uur uuur uur Ta đã biết hợp lực của 2 lực ? AC AB AD= + uuur uuur uuur 1 2 F F= + uur uur F= ur Vận dụng định lí co sin vào tam giác nào để tính được hợp lực ? Áp dụng định lí cô sin đối với tam giác ABC ta có : AC 2 =AB 2 + BC 2 -2AB.BC.cosB 2 2 2 0 1 2 1 2 2 . .cos(180 )F F F F F α = + − − ur uur uur uur uur Vậy : 2 2 1 2 1 2 2 . .cosF F F F F α = + − ur uur uur uur uur 4/ Bài tập: 2;3;5;6;7;9. Trang 59 (SGK) . 2006 Tiết : 23 § 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC 1/ Nhắc lại kiến thức cũ: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = h và BC = a,. BC ? Ba cạnh a,b,c có quan hệ gì ? Tương tự b2 ; a ; b’ ? h § 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC a/ Cho tam giác ABC có AB = c; AC = b