Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Đồ họa máy tính: Các phép biến đổi trong đồ họa hai chiều trình bày các nội dung: Các phép biến đổi hình học cơ sở, kết hợp các phép biến đổi, một số tính chất của phép biến đổi affine, một số phép biến đổi khác, phép biến đổi giữa các hệ tọa độ. Mời các bạn cùng tham khảo.
Computer Graphics ĐỒ HỌA MÁY TÍNH CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG ĐỒ HỌA HAI CHIỀU Ts Đào Nam Anh Computer Graphics NỘI DUNG I CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH HỌC CƠ SỞ II III IV V KẾT HỢP CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI AFFINE MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI KHÁC PHÉP BIẾN ĐỔI GIỮA CÁC HỆ TỌA ĐỘ Trang đầu Computer Graphics Tham khảo Francis S Hill Computer Graphics Macmillan Publishing Company, NewYork, 1990, 754 tr James D.Foley, Andries Van Dam, Feiner, John Hughes Introduction to Computer Graphics Addision Wesley, NewYork, 1995, 559 tr James D.Foley, Andries Van Dam, Feiner, John Hughes Computer Graphics - Principle and Practice Addision Wesley, NewYork, 1996, 1175 tr Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Giáo trình Đồ họa máy tính Khoa Công nghệ thông tin, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên (lưu hành nội bộ), 1996, 237 tr Hồng Kiếm, Dương Anh Đức, Lê Đình Duy, Vũ Hải Qn Giáo trình Cơ sở Đồ họa Máy Tính, NXB Giáo dục, 2000 Donald Hearn, M.Pauline Baker Computer Graphics, C version Prentice Hall International Inc, Upper Saddle River, New Jersey, 1997, 652tr Trang đầu Computer Graphics CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG ĐỒ HỌA HAI CHIỀU Một ưu điểm quan trọng đồ họa cho phép dễ dàng thao tác lên đối tượng tạo Một nhà quản lí có nhu cầu thu nhỏ biểu đồ báo cáo, kiến trúc sư muốn nhìn tòa nhà góc nhìn khác nhau, nhà thiết kế muốn quan sát chỉnh sửa mẫu đối tượng trình thiết kế, … Trang đầu Computer Graphics CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG ĐỒ HỌA HAI CHIỀU Tất thao tác hỗ trợ cách dễ dàng nhờ vào phép biến đổi hình học Các phép biến đổi hình học làm thay đổi mô tả tọa độ đối tượng, từ làm cho đối tượng bị thay đổi hướng, kích thước hình dạng Các phép biến đổi hình học sở bao gồm: tịnh tiến (translation), quay (rotation) biến đổi tỉ lệ (scaling) Ngoài số phép biến đổi khác thường áp dụng phép đối xứng (reflection) biến dạng (shearing) Trang đầu Computer Graphics CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG ĐỒ HỌA HAI CHIỀU Có hai quan điểm phép biến đổi hình học là: biến đổi đối tượng (object transformation) biến đổi hệ tọa độ (coordinate transformation) Biến đổi đối tượng thay đổi tọa độ điểm mơ tả theo quy tắc đó, Biến đổi hệ tọa độ tạo hệ tọa độ tất điểm mô tả đối tượng chuyển hệ tọa độ Hai cách có mối liên hệ chặt chẽ với cách có lợi riêng Trang đầu Computer Graphics CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH HỌC CƠ SỞ Một phép biến đổi hai chiều biến đổi điểm P mặt phẳng thành điểm có tọa độ Q theo quy luật Về mặt chất, phép biến đổi điểm ánh xạ T định nghĩa: Nói cách khác, T hàm số T(x,y) theo hai biến x,y: Phép biến đổi affine phép biến đổi với f(x,y) g(x,y) hàm tuyến tính Phép biến đổi có dạng: Trang đầu Computer Graphics CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH HỌC CƠ SỞ Phép tịnh tiến x y x tx , y y ty P P T P x x , P y P x , T y P T Shmuel Wimer, Bar Ilan Univ., School of Engineering Trang đầu tx ty Computer Graphics CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH HỌC CƠ SỞ Phép tịnh tiến Để tịnh tiến điểm P(x,y) từ vị trí sang vị trí khác mặt phẳng, ta cộng thêm giá trị mô tả độ dời vào tọa độ P Nếu gọi trx try độ dời theo trục hoành trục tung tọa độ điểm là: (trx,try) gọi vector tịnh tiến hay vector độ dời Có thể dịch chuyển tồn đối tượng cách áp dụng quy tắc cho điểm thuộc đối tượng Trang đầu Computer Graphics CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH HỌC CƠ SỞ Phép tịnh tiến 10 Để tịnh tiến điểm P(x,y) từ vị trí sang vị trí khác mặt phẳng, ta cộng thêm giá trị mô tả độ dời vào tọa độ P Nếu gọi trx try độ dời theo trục hoành trục tung tọa độ điểm là: (trx,try) gọi vector tịnh tiến hay vector độ dời Có thể dịch chuyển tồn đối tượng cách áp dụng quy tắc cho điểm thuộc đối tượng Trang đầu Computer Graphics MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI AFFINE Tính tỉ lệ khoảng cách bảo toàn 38 Trong tam giác đều, giao điểm ba đường trung tuyến chia đường theo tỉ số 1:2 Mặt khác, tam giác ảnh tam giác qua phép biến đổi affine, nên giao điểm đường trung tuyến chia chúng theo tỉ lệ 1:2 Một hệ quan trọng tính chất ảnh hình bình hành sau phép biến đổi hình bình hành Trang đầu Computer Graphics MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI KHÁC Phép đối xứng 39 Phép đối xứng trục xem phép quay quanh trục đối xứng góc 1800 Nếu trục đối xứng trục hoành hay trục tung, có biểu diễn phép đối xứng qua trục hoành, trục tung là: Trang đầu Computer Graphics MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI KHÁC Phép đối xứng 40 y y y x x x 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 Trang đầu Computer Graphics MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI KHÁC Phép đối xứng 41 y 1 0 0 x y x 1 0 0 Trang đầu Computer Graphics MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI KHÁC Phép biến dạng Biến dạng theo phương trục x làm thay đổi hồnh độ tung độ giữ nguyên Biến dạng theo phương trục y làm thay đổi tung độ hồnh độ giữ nguyên 42 Phép biến dạng phép biến đổi làm thay đổi, méo mó hình dạng đối tượng Hai dạng phép biến dạng thường gặp biến dạng theo phương trục x biến dạng theo phương trục y cách thay đổi tọa độ (x,y) điểm ban đầu theo cách sau: shxy shyx gọi hệ số biến dạng Phép biến dạng theo phương trục x với hệ số biến dạng shxy=3 Trang đầu Computer Graphics MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI KHÁC Phép biến đổi ngược 43 Chúng ta thường dùng phép biến đổi ngược để undo phép biến đổi thực Ta có Q ảnh P qua phép biến đổi T có ma trận biến đổi M Q=PM: , từ phép biến đổi ngược T-1 có ma trận biến đổi M-1 với M-1 ma trận nghịch đảo ma trận M Với giả thiết ban đầu ma trận M ad-bc 0, ta có cơng thức tính ma trận nghịch đảo M-1 là: Trang đầu Computer Graphics MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI KHÁC Phép biến đổi ngược 44 Như ta có ma trận phép biến đổi ngược phép biến đổi sở tịnh tiến, tỉ lệ, quay sau: Trang đầu Computer Graphics MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI KHÁC Phân rã phép biến đổi 45 Một phép biến đổi phân rã thành tích phép biến đổi sở tịnh tiến, quay, tỉ lệ Một phép biến dạng theo phương trục x phân rã thành tích phép biến đổi tỉ lệ phép biến dạng đơn vị, với phép biến đổi tỉ lệ khác theo công thức sau: Phép biến dạng đơn vị phân rã tiếp: Trang đầu Computer Graphics MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI KHÁC Phân rã phép biến đổi 46 Từ đó, phép biến đổi phân rã thành phép biến đổi sở sau: Với cách lập luận ta nhận thấy: phép biến đổi kết hợp từ phép biến dạng, tỉ lệ, quay, tịnh tiến Tuy nhiên, theo kết bước trước, phép biến dạng kết hợp phép quay, tỉ lệ, nên từ suy phép biến đổi kết hợp từ phép tịnh tiến, tỉ lệ quay Trang đầu Computer Graphics PHÉP BIẾN ĐỔI GIỮA CÁC HỆ TỌA ĐỘ 47 Để thuận tiện cho việc mô tả đối tượng, thông thường đối tượng mô tả hệ tọa độ cục gắn với chúng Tuy nhiên để hiển thị tồn ảnh bao gồm nhiều đối tượng thành phần, mô tả phải chuyển hệ tọa độ chung Việc chuyển đổi thường chia làm hai loại: chuyển từ hệ tọa độ hệ tọa độ Descartes hệ tọa độ cực, hệ tọa độ cầu, hệ tọa độ elliptic, … sang hệ tọa độ Descartes, chuyển đổi hai hệ tọa độ Descartes Trong phần khảo sát phép biến đổi hai hệ tọa độ Descartes với Trang đầu Computer Graphics PHÉP BIẾN ĐỔI GIỮA CÁC HỆ TỌA ĐỘ Giả sử ta có hệ tọa độ (I) có gốc tọa độ O vector đơn vị i,j Hệ tọa độ (II) ảnh hệ tọa độ (I) qua phép biến đổi T(M), có gốc tọa độ O’ vector đơn vị u,v Lúc điểm P(x,y) hệ tọa độ (I) biến đổi thành điểm Q(a,b) hệ tọa độ (II) Vấn đề đặt mối liên hệ a,b với x,y,M Người ta chứng minh Q=PM-1 Tọa độ điểm qua phép biến đổi hệ tọa độ 48 Trang đầu Computer Graphics TÓM TẮT 49 Các phép biến đổi hình học cho phép dễ dàng thao tác lên đối tượng tạo Chúng làm thay đổi mô tả tọa độ đối tượng, từ đối tượng thay đổi hướng, kích thước hình dạng Các phép biến đổi hình học sở bao gồm tịnh tiến, quay biến đổi tỉ lệ Ngoài số phép biến đổi khác thường áp dụng phép đối xứng biến dạng Có hai quan điểm phép biến đổi hình học là: biến đổi đối tượng biến đổi hệ tọa độ Biến đổi đối tượng thay đổi tọa độ điểm mơ tả theo quy tắc đó, Biến đổi hệ tọa độ tạo hệ tọa độ tất điểm mô tả đối tượng chuyển hệ tọa độ Trang đầu Computer Graphics TÓM TẮT 50 Các phép biến đổi hình học biểu diễn dạng ma trận 3x3 để tiện cho việc thực thao tác kết hợp chúng Trong hệ tọa độ nhất, tọa độ điểm mơ tả vector dòng bao gồm ba giá trị, hai giá trị đầu tương ứng với tọa độ Descartes điểm đó, giá trị thứ ba Với cách biểu diễn này, ma trận phép biến đổi có từ kết hợp phép biến đổi sở tích ma trận phép biến đổi thành phần Trang đầu Computer Graphics TÓM TẮT 51 Các phép biến đổi không làm thay đổi kết cấu tính cân xứng đối tượng tịnh tiến, quay gọi phép biến đổi bảo toàn kết cấu đối tượng, thuật ngữ tiếng Anh gọi rigid-body transformation Việc chuyển đổi hai hệ tọa độ Descartes với thường gặp công đoạn chuyển mô tả tọa độ đối tượng thành phần hệ tọa độ cục vị trí tương ứng hệ tọa độ chung Giữa hai hệ tọa độ Descartes với nhau, người ta thường sử dụng phép biến đổi bảo toàn kết cấu tịnh tiến, quay Trang đầu Computer Graphics Câu hỏi 52 https://sites.google.com/site/daonamanhedu/teaching/ computer-graphics Trang đầu ... Graphics NỘI DUNG I CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH HỌC CƠ SỞ II III IV V KẾT HỢP CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI AFFINE MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI KHÁC PHÉP BIẾN ĐỔI GIỮA CÁC HỆ TỌA ĐỘ Trang... đầu Computer Graphics CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG ĐỒ HỌA HAI CHIỀU Tất thao tác hỗ trợ cách dễ dàng nhờ vào phép biến đổi hình học Các phép biến đổi hình học làm thay đổi mô tả tọa độ đối tượng,... (reflection) biến dạng (shearing) Trang đầu Computer Graphics CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG ĐỒ HỌA HAI CHIỀU Có hai quan điểm phép biến đổi hình học là: biến đổi đối tượng (object transformation) biến đổi