Đang tải... (xem toàn văn)
Mời các bạn cùng tìm hiểu các quy luật phân phối rời rạc cơ bản; các quy luật phân phối liên tục; các định lý giới hạn; các công thức tính gần đúng;... được trình bày cụ thể trong Bài giảng Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất cơ bản.
Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất §1 Các quy luật phân phối rời rạc Phân phối rời rạc: X x1 x2……xk P 1/k 1/k…….1/k Phân phối không – A(p): Định nghĩa 1.1: X có phân phối A(p) X P q p Định lý 1.1: X có phân phối A(P) E(X) = P, D(X) = p.q Phân phối nhị thức B(n,p): k k n−k Định nghĩa 1.2: Χ : Β ( n, p ) � Ρ ( Χ = k ) = Cn p q , k = 1, n ( n + 1) p � Định lý1.2: Χ : Β ( n, p ) � Ε ( X ) = np, D ( Χ ) = npq, Mod Χ = k0 = � � � Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Phân phối siêu bội Bài tốn: Cho hộp có N bi có M bi trắng lại đen Lấy ngẫu nhiên từ hộp n bi (khơng hồn lại), n không lớn M N-M Hãy lập bảng phân phối xác suất X số bi trắng lấy k n−k Giải: CM C N −M Ρ( Χ = k) = C n N , k = 0, n Định nghĩa 1.3: Phân phối nói gọi phân phối siêu bội H(N,M,n) Χ : H ( N , M , n) � Ε ( Χ ) = np, Định lý 1.3: Giả sử N −n M D ( Χ ) = npq ,p= N −1 N Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Ghi nhớ: lấy bi có hồn lại: phân phối nhị thức lấy bi khơng hồn lại: phân phối siêu bội Phân phối Poisson P(a),a>0: k a −a Χ : Ρ a � Ρ Χ = k = e , k = 0,1, ( ) ( ) Định nghĩa 1.4: k! Định lý 1.4: X có phân phối P(a) E(X) = D(X) = a Ví dụ 1.1: Giả sử X có phân phối P(8) Khi ấy: P(X=6) = 0,122138 (cột 8, hàng bảng phân phối Poisson) Ρ ( x 12 ) = 0,936204 (cột 8, hàng 12 bảng giá trị hàm …) Ρ ( X 12 ) = Ρ ( X 12 ) − Ρ ( Χ ) Chú ý: Nếu gọi X số người ngẫu nhiên sử dụng dịch vụ cơng cộng X tn theo quy luật phân phối Poisson P(a) với a số người trung bình sử dụng dịch vụ Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Ví dụ 1.2: Quan sát 20 phút có 10 người vào trạm bưu điện Tính xác suất 10 phút có người vào trạm đó Giải: Gọi X là số người ngẫu nhiên vào trạm đó 10 phút thì X có phân phối P(a), a = Khi ấy: Ρ ( Χ = ) = e −5 4! Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 §2: Các quy luật phân phối liên tục Phân phối chuẩn Ν ( a, σ ) , σ > Định nghĩa 2.1: Χ : Ν ( a, σ ) � f ( x ) = e σ 2π −( x − a ) 2σ 2 Định lý 2.1: X có phân phối Ν ( a, σ ) thì E(X) = a, D(X) = σ Định nghĩa 2.2: Đại lượng ngẫu nhiên U có phân phối chuẩn − u /2 (hàm mật độ tắc N(0,1) nếu: f ( u) = e Gauss) 2π u Định lý 2.2: FU ( u ) = 0,5 + U có phân phới N(0,1) với Φ(U ) −t /2 e dt = 0,5 + Φ ( U ) 2π là tích phân Laplace (hàm lẻ) Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Định lý 2.3: Giả sử U có phân phối N(0,1) Khi ta có: ( 1) Ρ ( u1 < U < u2 ) = Φ ( u2 ) − Φ ( u1 ) ; ( ) Ρ ( U < ε ) = 2Φ ( ε ) ( ) Định lý 2.4: Giả sử Χ : Ν a, σ � U = Khoa Khoa Học Máy Tính X −a : Ν ( 0,1) σ Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Định lý 2.5: Giả sử Χ : Ν ( a, σ ) Khi ta có: �β − a � �α − a � Ρ α < Χ < β = Φ () ( ) � �− Φ � � �σ � �σ � ε� ( ) Ρ ( Χ − a < ε ) = 2.Φ � �� �σ � Ví dụ 2.1:Chiều cao X niên có phân phối chuẩn N(165, ).Một niên bị coi lùn có chiều cao nhỏ 160 cm.Hãy tính tỷ lệ niên lùn 160 − 165 � � Ρ ( − < X < 160 ) = Φ � �− Φ ( − � � = −Φ ( 1) + Φ ( + Khoa Khoa Học Máy Tính ) ) = −0, 34134 + 0, Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Ví dụ 2.2: Cho U : Ν ( 0,1) • Giải: Ε(U m ) = + − tính kỳ vọng U m −u /2 u e du = m lẻ cận đối xứng, 2π m hàm dấu tích phân hàm lẻ + − u /2 − u /2 Ε ( U ) = �u e du = �u.u e du − − 2π 2π − u /2 − u /2 dv = u e �v = − e 2π 2π + − u /2 + − u /2 � Ε ( U ) = −u e + e du = − − 2π 2π + Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Tương tự: Ε(U ) = + − −u2 /2 u u e du 2π −u /2 = −u e 2π + − + + − Ε ( U ) = 5Ε ( U ) = 5.3.1; u −u /2 e du = 3.Ε ( U ) = 3.1; 2π Ε ( U n ) = ( 2n − 1) !! Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Ví dụ 2.3: Trong hộp bi có trắng, đen, vàng Lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại gặp vàng dừng Tính xác suất để lấy trắng, đen Giải:Lấy bi cuối vàng nên: C 63 C52 P = 15 C 10 Phân phối liên tục: (Xem SGK) λ e Phân phối mũ :(Xem SGK) Phân phối bình phương:(Xem SGK) Phân phối Student:(Xem SGK) Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 10 §3 Các định lý giới hạn Định lý Chebyshev (Xem SGK) Định lý Bernoulli (Xem SGK) Các định lý giới hạn trung tâm Định lý 3.1(Lyapounov): Giả sử Χ1 , Χ , , Χ n đôi độc n lập E X k − E( X k ) lim k =1 =0 3/2 n n � � D Χ � ( k)� �k =1 � Khi ta có: U= n n Χ i − �E ( Χ i ) � n i =1 n i =1 n n i =1 Khoa Khoa Học Máy Tính D ( xi ) N ( 0,1) n đủ lớn ( n Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 30 ) 11 Hệ 3.1:Giả sử thêm vào ta có E ( X i ) = a, D ( X i ) = σ , i = 1, n n ( X i − a ) n n i =1 �U = �N (0,1) σ m − p) n U= n p(1 − p ) ( Hệ 3.2: Khoa Khoa Học Máy Tính N (0,1) n đủ lớn n đủ lớn Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 12 Ví dụ 3.1:Biến ngẫu nhiên X trung bình cộng n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối: Χ1 , Χ , Χ n với phương sai: D ( Χ k ) = ( k = 1, 2, n ) Xác định n cho với xác suất không bé 0,9973 a) Hiệu cuả X-E(X) không vượt 0,01 b) Trị tuyệt đối X-E(X) không vượt 0,005 Bài giải: Χ= n n i =1 Χi , E (Χi ) = a � E ( X ) = a � D ( Χi ) = σ = Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 13 a )Ρ ( Χ − E ( Χ ) 0, 01) 0, 9973 � ( Χ − a ) n 0, 01 n � � Ρ� U= � ��0, 9973 � � σ � � �0, 01 n � � Φ� + 0, �0, 9973 � � � � � �0, 01 n � � Φ� � 0, 4973 = Φ 2, 785 ( ) � � � � � 0, 01 n ۳ Khoa Khoa Học Máy Tính 2, 785 ۳ n �2,875 � � � 0, 01 � � � � Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 14 b) Ρ( U = Χ − E ( Χ ) < 0, 005) 0, 9973 � 0, 005 n � � 2.Φ � � 0, 9973 � � � � � � 0, 005 n � 0, 9973 � Φ� � = Φ ( 3) � � � � � 0, 005 n ۳ Khoa Khoa Học Máy Tính n �3 � � � � � 0, 005 � � Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 15 $4.Các cơng thức tính gần Công thức gần siêu bội nhị thức Định lý 4.1:Khi n0: k a −a Χ : Ρ a � Ρ Χ = k = e , k = 0,1, ( ) ( ) Định nghĩa 1 .4: k! Định lý 1 .4: X có phân phối P(a)... người ngẫu nhiên sử dụng dịch vụ cơng cộng X tn theo quy luật phân phối Poisson P(a) với a số người trung bình sử dụng dịch vụ Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Ví dụ