Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn phòng giáo dục - đào tạo huyện ba chẽ trờng thcs thị trấn sáng kiến kinh nghiệm Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn Họ và tên giáo viên: Nguyễn Thị Ngọc Linh Năm học 2008 - 2009 Nguyễn Thị Ngọc Linh TRờng THCS Thị TRấn Ba Chẽ Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn A. phần mở đầu I. Lí do chọn đề tài Trong nhà trờng phổ thông, môn Toán nói chung và môn hình học nói riêng giữ một vị trí rất quan trọng. Trong môn học này, học sinh đợc học nhiều kiến thức, nhiều phơng pháp suy luận, rèn luyện kĩ năng tính toán, vẽ hình. Ngoài ra môn học này còn góp phần bồi dỡng cho học sinh những phẩm chất đạo đức, tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo, . Nhng do tính trừu tợng của môn học và là môn học khó đối với học sinh cấp THCS. Gặp bài chứng minh hình, học sinh thờng lúng túng không biết bắt đầu từ đâu, vận dụng kiến thức nào để giải quyết vấn đề. Do vậy bài làm của nhiều học sinh bị sai, không hoàn chỉnh hoặc không tìm đợc phơng pháp giải . dẫn đến học sinh ngại học môn hình. Việc chứng minh " Tứ giác nội tiếp một đờng tròn " đối với học sinh các huyện thị lớn có lẽ không phải là vấn đề khó, nhng đối với học sinh trờng Trung học cơ sở Thị Trấn Ba Chẽ thì không phải là vấn đề đơn giản, vì các em có nhiều mặt hạn chế: hoàn cảnh gia đình khó khăn, điều kiện học tập thiếu thốn, khả năng học tập yếu, . Vì vậy tôi chọn đề tài " Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn " một cách có hệ thống. Làm học sinh hiểu và cảm thấy không " sợ " khi gặp bài tập dạng này. II. mục đích nghiên cứu của đề tài. Phần chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn nằm trong phần hình học lớp 9. Thông thờng các bài tập dạng này là một phần trong bài tập tổng hợp, ôn tập, kiểm tra hoặc bài thi. Nếu học sinh nắm chắc các bớc giải và giải đợc thì các em sẽ tự tin hơn khi làm các phần còn lại của bài. Qua việc hớng dẫn các em làm bài tập giúp các em củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản về tứ giác nội tiếp cũng nh các kiến thức về hình học nói chung. Rèn cho học sinh các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ dàng các môn học khác, mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế, bồi dỡng cho học sinh các kĩ năng và thói quen giải bài tập chứng minh, giúp học sinh Nguyễn Thị Ngọc Linh TRờng THCS Thị TRấn Ba Chẽ Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn phát triển t duy trừu tợng, rèn cho học sinh khả năng độc lập suy nghĩ sáng tạo và khả năng suy luận, đồng thời góp phần hình thành và củng cố phẩm chất đạo đức. Thông qua việc nghiên cứu đề tài giúp cho bản thân tự bồi dõng thêm chuyên môn nghiệp vụ và góp phần nghiên cứu kinh nghiệm giải bài tập chứng minh hình học nói chung cũng nh giải các bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đợc đờng tròn nói riêng. III. các phơng pháp nghiên cứu. Để thực hiện đề tài này, tôi chủ yếu dùng hai phơng pháp sau: - Phơng pháp quan sát - Phơng pháp thực nghiệm. 1. Phơng pháp quan sát. Tiến hành quan sát tại lớp qua các tiết học, nhất là tiết Luyện tập. Hầu hết học sinh khi làm bài tập thờng bắt tay vào chứng minh luôn, hoặc loay hoay cả buổi vẫn không chứng minh đợc gì cả, hoặc cầu cứu sự viện trợ của bạn ngồi bên cạnh khi thấy bạn ngồi bên cạnh làm đợc ( Không cần biết đúng hay sai) cứ chép vào vở của mình và coi nh xong, không cần kiểm tra. Tiến hành kiểm tra vở bài tập ở nhà thì hầu hết học sinh có làm bài tập đầy đủ. Nếu yêu cầu trình bày lại ( không nhìn vào vở ) thì không làm đợc. Điều đó chứng tỏ các em chép lại bài giải sẵn hoặc chép bài của bạn. Quan sát khi giáo viên chữa bài trên lớp, nhiều em cố gắng ghi chép hết những gì cô giáo ghi trên bảng và coi đó là đã hoàn thành nhiệm vụ, không cần biết điều ghi đợc có hiểu hay không. Ví dụ: Cho bài tập: Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M. Dựng đờng tròn đờng kính MC. Nối BM và kéo dài gặp đờng tròn tại D. Chứng minh rằng Nguyễn Thị Ngọc Linh TRờng THCS Thị TRấn Ba Chẽ Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn ABCD là một tứ giác nội tiếp đợc đờng tròn. D O A B C M Cách chứng minh bài này là là chứng minh ã ã 90 o BAC BDC = = . từ đó suy ra tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đòng kính BC ( theo quỹ tích cung chứa góc ) Với bài tập trên, sau khi vẽ hình học sinh không biết chứng minh ã ã 90 o BAC BDC = = , nghĩa là học sinh cha biết gắn điều phải chứng minh với những gì đã học, đã biết về tứ giác nội tiếp. Đối với bài tập này, tôi quan sát thấy trên 80% học sinh cha làm đợc nếu không có sự gợi ý của giáo viên. 2. Phơng pháp thực nghiệm so sánh. Ví dụ ở năm học trớc, tôi cho một bài tập: Cho tam giác ABC, các đờng phân giác của các góc trong tại đỉnh B và C gặp nhau tại S. Các đờng thẳng chứa phân giác của hai góc ngoài tại đỉnh B và C gặp nhau tại E. Tôi chia lớp thành hai nhóm ( Hai nhóm có trình độ tơng đơng nhau ) Nhóm 1: Làm bài với câu hỏi: Chứng minh tứ giác BSCE nội tiếp đợc đờng tròn Nhóm 2: Nguyễn Thị Ngọc Linh TRờng THCS Thị TRấn Ba Chẽ Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn Chứng minh ã ã 180 o SBE SCE + = . E S A C B Sau khi ra bài tập và phân nhóm với hai câu hỏi trên, tôi nhận thấy rằng các em ở nhóm 2 làm đợc bài tốt hơn so với nhóm 1 ( số lợng em làm đợc bài nhiều hơn ). Nghĩa là các em chứng minh đợc ã ã 90 , 90 o o SBE SCE = = , suy ra ã ã 180 o SBE SCE + = . Còn nhóm 1, các em lúng túng hơn vì cha tìm đợc hớng chứng minh. Qua thực nghiệm cho thấy rằng việc học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn vẫn là khó đối với học sinh hơn là chứng minh hai góc bằng nhau hay bù nhau. Vì chứng minh hai góc bằng nhau hay bù nhau các em đã đợc làm quen từ trớc đến nay, còn chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn bây giờ mới gặp và không chỉ từ một định lí cụ thể nào đó suy ra đợc. Do vậy, học sinh lúng túng không biết bắt đầu từ đâu để giải quyết vấn đề. Nguyễn Thị Ngọc Linh TRờng THCS Thị TRấn Ba Chẽ Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn Trở lại với bài toán thực nghiệm trên, nếu hỏi số học sinh nhóm 2: " Tứ giác BSCE có nội tiếp đợc đờng tròn không? " thì học sinh dễ dàng trả lời là " có " theo định lí đảo của tứ giác nội tiếp. Từ hai phơng pháp quan sát và thực nghiệm so sánh trên, tôi thấy rằng nếu học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn mà không biết vận dụng những kiến thức đã học vào từng trờng hợp cụ thể thì có thể không chứng minh đợc. Vậy, để giúp học sinh biết các cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn, tôi thấy cần phải hớng dẫn các em một số cách chứng minh cụ thể. IV. đối tợng nghiên cứu. Học sinh lớp 9 trờng Trung học cơ sở Thị Trấn Ba Chẽ. V. Thời gian nghiên cứu. Năm học 2008 - 2009. b. nội dung I. các cách giải cơ bản 1. Những phơng pháp suy luận thờng dùng. Thông thờng, trong chứng minh hình học ta dùng phơng pháp chứng minh tổng hợp: Chứng minh mệnh đề A B ( A là giả thiết, B là kết luận ). Sơ đồ chứng minh tổng hợp đợc biểu thị nh sau: 1 2 3 . n A A A A A B . Khi sử dụng phơng pháp chứng minh này, tôi hớng dẫn học sinh phân tích nắm vững giả thiết, kết luận, hớng dẫn học sinh ôn tập định nghĩa, định lí, quy tắc suy luận cần vận dụng trong các bớc suy luận. Để tìm đợc những mệnh đề A n , A n-1 , A n-2 , . đến A 1 , tôi thờng xuyên cho học sinh phân tích đi lên: muốn có B phải có A n , muốn có A n phải có A n-1 , . Rèn cho học sinh kĩ năng trình bày theo phơng pháp đi xuống: Từ mệnh đề A ( giả thiết ) ta suy ra đợc A 1 , từ A 1 suy ra đợcA 2 , . từ A n suy ra đợc B. Khi chứng minh cần phải lí luận chặt chẽ, những lí do dùng làm căn cứ cho phần chứng minh nhất thiết phải bám vào những điều kiện sau: Nguyễn Thị Ngọc Linh TRờng THCS Thị TRấn Ba Chẽ Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn + Giả thiết của bài toán + Những tiên đề đã học + Những định nghĩa đã đợc nghiên cứu + Những định lí đã đợc chứng minh. Đây là phần học sinh hay bỏ qua không trình bày vào bài do đó cần phải thờng xuyên nhắc nhở. Để nhận rõ sự liên hệ giữa các yếu tố trong hình vẽ, ngời ta thờng dùng những kí hiệu để đánh dấu yếu tố bằng nhau. Hình vẽ phải rõ ràng, đẹp, phần này giáo viên phải rèn luyện cho chính mình và cho học sinh. Hình vẽ của cô trên bảng phải rõ ràng, đẹp thì học sinh mới vẽ đẹp và đúng đợc. Trong khi chứng minh nên dùng những hệ thức thay cho lời nói trong những trờng hợp cụ thể làm bài chứng minh rõ ràng hơn, lời chứng minh cần ngắn gọ nhng không đợc thiếu hay bỏ sót. Sau khi chứng minh một yếu tố mà có một yếu tố khác cần chứng minh tơng tự, ta có thể giảm bớt phần chứng minh yếu tố sau và chỉ cần viết lại kết quả phần chứng minh trớc đó Dó là những phơng pháp chung trong chứng minh hình mà giáo viên cần hình thành cho học sinh. 2. Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn. Cách 1: Sử dụng định nghĩa Cách 2: Sử dụng định lí đảo của định lí về tứ giác nội tiếp Cách 3: Sử dụng quĩ tích cung chứa góc ( chứng minh hai đỉnh liên tiếp nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dới các góc bằng nhau ) Cách 4: Chứng minh tứ giác là một hình đặc biệt 3. Phần áp dụng cụ thể. Cách 1: Sử dụng định nghĩa. Phơng pháp dạy: Nguyễn Thị Ngọc Linh TRờng THCS Thị TRấn Ba Chẽ Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn O C A B D Để chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp, ta chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đờng tròn, hay nói cách khác 4 điểm A, B, C, D cách đều một điểm O nào đó cố định. Điều cốt yếu của phơng pháp này là phải chỉ ra đợc điểm cố định O nào đó và chứng minh điểm O đó cách đều 4 đỉnh A, B, C, D của tứ giác ABCD, thì khi đó tồn tại đờng tròn tâm O đi qua 4 đỉnh của tứ giác ABCD hay tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O. Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC. M và N là các trung điểm của các cạnh AB và AC. Chứng minh rằng tứ giác BMNC nội tiếp đợc trong một đờng tròn GT ABC đều ,M AB N AC ,MA MB NA NC= = KL Tứ giác BMNC nội tiếp O M N A B C Phân tích Nguyễn Thị Ngọc Linh TRờng THCS Thị TRấn Ba Chẽ Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn Để chứng minh đợc tứ giác BMNC nội tiếp, ta cần chỉ ra đợc tứ giác đó có 4 đỉnh B, M, N, C cùng nằm trên một đờng tròn, có nghĩa là 4 điểm B, M, N, C cách đều một điểm O cố định nào đó. Ta thấy nếu gọi O là trung điểm của BC thì ta có ngay: 2 BC OB OC= = Nhng do O là trung điểm của BC, M và N là trung điểm của AB, AC nên theo tính chất đờng trung bình trong tam giác đều ABC ta cũng có: ( ) 2 BC OM ON OB OC= = = = Từ đây ta có điều cần chứng minh. Chứng minh: Gọi O là trung điểm của BC 2 BC OB OC= = . Nối OM, ON. ta có: 2 AC OM = , 2 AB ON = Vì AB = AC = BC (gt) suy ra 2 2 2 AB AC BC = = ( ) 2 BC OM ON OB OC= = = = Suy ra M, N, B, C cùng thuộc (O; OB) ( theo định nghĩa đờn tròn) Tứ giác BMNC nội tiếp đờng tròn tâm O, bán kính OB Nhận xét: Phơng pháp sử dụng định nghĩa không chỉ dùng để chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn mà còn đợc dùng để chứng minh ba điểm hay nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn. Trong thực tế, học sinh thờng cha phát hiện ngay đợc điểm cách đều các đỉnh của tam giác, tứ giác, hay đa giác. Vì vậy, trong quá trình h- ớng dẫn học sinh làm bài tập dạng này, giáo viên cần dẫn dắt học sinh chỉ ra đợc điểm cách đều đó. Nh vậy, các vấn đề còn lại sẽ đợc giải quyết dễ dàng hơn Cách 2: Sử dụng định lí đảo của định lí về tứ giác nội tiếp Nguyễn Thị Ngọc Linh TRờng THCS Thị TRấn Ba Chẽ Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn Để chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp trong một đờng tròn B A D C Ví dụ 1: Cho đờng tròn (O), hai dây cung AB và CD ( AB > CD ). Các đờng thẳng chứa hai dây cung đó cắt nhau tại điểm I ở bên ngoài đờng tròn. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh tứ giác OEIF nội tiếp đ- ợc một đờng tròn. Xác định tâm và bán kính của đờng tròn. Nguyễn Thị Ngọc Linh TRờng THCS Thị TRấn Ba Chẽ [...]... khi cha áp dụng đề tài) Đã tạo cho học sinh niềm tin trong học tập Một số học sinh vơn lên học tốt môn này, chiếm tỉ lệ 10% Học sinh biết vận dụng phơng pháp chứng minh sau khi đọc đề toán và chọn đợc phơng pháp giải hợp lý Bớc đầu học sinh đã biết phân loại để tìm phơng pháp Do sự tiến bộ của học sinh trong việc chứng minh hình học nên trong kết quả bài kiểm tra hình vừa qua đă đạt đợc 90 % trung bình... cũng rút ra những bài học kinh nghiệm khi áp dụng phơng pháp giảng dạy tích cực trong giảng dạy hình học 9 nói chung và dạy học sinh " chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn nói riêng" nh sau: 1 Ngời giáo viên phải nghiên cứu kĩ yêu cầu của việc dạy và học chơng trình Hình học 9, kết hợp với tình hình thực tế của các đối tợng học sinh trong lớp để tìm ra phơng pháp dạy và học phù hợp nhằm phát... cần hớng dẫn học sinh cách học bài, làm bài ở nhà và liên hệ với thực tế để khắc sâu kiến thức cho học sinh 7 Tăng cờng kiểm tra việc ghi nhớ hệ thống lí thuyết và các kĩ năng chứng minh hình học cơ bản của học sinh bằng nhiều hình thức II Kiến nghị Phòng giáo dục - đào tạo và nhà trờng mua bổ sung đầy đủ các đồ dùng dạy học phục vụ cho môn Toán nh: Tranh ảnh, dụng cụ vẽ hình, mô hình toán học, dụng cụ... học 4 Trong các tiết học, giáo viên và học sinh phải có đầy đủ dụng cụ vẽ hình Những bài học cần mô hình trực quan thì giáo viên cần phải chuẩn bị đầy đủ, đẹp và chính xác Có thể sử dụng công nghệ thông tin để làm nổi bật kiến thức muốn truyền thụ 5 Trong các tiết học phải tạo ra các tình huống có vấn đề và hệ thống câu hỏi hợp lí lôi cuốn cả ba đối tợng học sinh trong lớp tham gia 6 Sau mỗi tiết học, ... dụng vào việc dạy học Tổ chức thờng xuyên các chuyên đề cho các giáo viên trao đổi, học hỏi * * * Đề tài hoàn thành nhờ sự giúp đỡ của BGH nhà trờng, học sinh lớp 9, các bạn đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu đó Nguyễn Thị Ngọc Linh TRờng THCS Thị TRấn Ba Chẽ Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn Mục lục A: Phần mở đầu I Lý do chọn đề tài II Mục... bài tập đã tạo đợc không khí lớp học sôi nổi, khắc phục phần nào tâm lý sợ học môn hình, nâng kết quả học tập lên một bớc đáng kể Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp đã đợc thể nghiệm và vận dụng thành công là: + Sử dụng định nghĩa + Sử dụng định lý đảo của tứ giác nội tiếp + Quỹ tích cung chứa góc + Tứ giác là một trong những hình đặc biệt: hình vuông, hình chữ nhật, hình thang cân Sau một thời gian... khoa toán 9 tập 1+2 2 sách bài tập toán 9 tập 1+2 3 sách giáo viên toán 9 tập 1+2 4 thiết kế bài giảng toán 9 tập 1+2 5 tâm lí học lứa tuổi - giáo trình CĐSP 6 phơng pháp dạy học môn toán - giáo trình ĐHSP Và một số tài liệu khác Nguyễn Thị Ngọc Linh TRờng THCS Thị TRấn Ba Chẽ Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn Nhận xét, đánh giá của hội đồng khoa học cấp trờng,... dàng suy ra đợc ã E1 = 90 0 , ã F1 = 90 0 Ta có điều phải chứng minh Chứng minh Nguyễn Thị Ngọc Linh TRờng THCS Thị TRấn Ba Chẽ Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn E là trung điểm của dây AB (gt) OE AB ( theo định lý quan hệ giữ đờng kính và dây cung) ã E1 = 90 0 Chứng minh tơng tự ta có ã F1 = 90 0 Tứ giác OEIF có ã E1 + ã F1 = 90 0 + 90 0 =180 O Nên Tứ giác... sách giáo khoa, sách bài tập, sách ôn tập Để học sinh vận dụng kiến thức đã học một cách linh hoạt II Kết quả đạt đợc Trên cơ sở lí luận và thực tiễn của học sinh lớp 9, sau một thời gian áp dụng các nghiên cứu và thực nghiệm đề tài Hớng dẫn học sinh cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn đã đạt những kết quả nhất định Học sinh đã biết phơng pháp và vận dụng các phơng pháp chứng minh tứ giác... giác OBPA ã OAC = 90 0 ( chứng minh trên) OAP = 90 0 ã ã Ta có OAP + OBP =90 0 + 90 0 = 180 0 Vậy tứ giác OBPA nội tiếp đợc trong một đờng tròn ( theo định lý đảo của tứ giác nội tiếp) b Chứng minh tứ giác CODP nội tiếp Có tứ giác OBPA nội tiếp ( theo chứng minh trên) ã APO =ã ABO (3) ( hai góc nội tiếp cùng chắn một cung) Nguyễn Thị Ngọc Linh TRờng THCS Thị TRấn Ba Chẽ Hớng dẫn học sinh giải bài . phổ thông, môn Toán nói chung và môn hình học nói riêng giữ một vị trí rất quan trọng. Trong môn học này, học sinh đợc học nhiều kiến thức, nhiều phơng pháp. tạo, . Nhng do tính trừu tợng của môn học và là môn học khó đối với học sinh cấp THCS. Gặp bài chứng minh hình, học sinh thờng lúng túng không biết bắt