BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II TIẾT 45 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TIẾÙP TUYẾN CÂU HỎI 1) Viết (không chứng minh ) phương trình đường thẳng qua M(x0; y0) có hệ số góc k? Trả lời: y – y0 = k( x – x0 ) hay: y = k(x – x0) + y0 2) Cho biết ý nghóa hình học đạo hàm? Trả lời: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm x0, có đồ thị ( C) M(x0; y0) điểm thuộc (C), hệ số góc tiếp tuyến (C) M(x0; y0) laø: k = f’(x0) y (C) y0 M O x0 x 3) Nêu (không chứng minh) phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M(x0; y0) thuộc đồ thị Trả lời: y – y0 = f’(x0)(x – x0 ), hay y= f’(x0)(x – x0) + y0 CÁC BÀI TOÁN TÌM PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ? Hãy nêu dạng toán phương trình tiếp tuyến học? Trả lời: Biết tọa độ tiếp điểm (hoặc biết hoành độ x0 biết tung độ y0 tiếp điểm Ta nói tiếp tuyến điểm M(x0; y0) ) Biết hệ số góc k tiếp tuyến Biết tiếp tuyến qua điểm M(x0; y0) cho trước Hai đường tiếp xúc 1)Trường hợp1: Biết tọa độ (x0;y0) tiếp điểm Phương trình cần tìm là: y = f’(x0).(x – x0) + y0 ∗Nếu biết x0, ta thay x0 vào công thức hàm số để tính y0 ∗Nếu biết y0, ta thay y0 vào công thức hàm số để tính x0 (1) (C) : y = f(x) y M  y0 O x0 x ∗Tính f′(x) tính f′(x0) ∗Thay giá trị x0, y0, f′(x0) vào phương trình (1) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm Ví dụ 1: Cho đường cong (C): y = f( x) = x − x−1 Tìm phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ x = Giải: Phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ x0 là: y = f′(x0).(x – x0) + y0 Theo đầu x0 = Suy y0 = vaø f′(x0) = Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2(x – 2) + 1, hay y = 2x – 2)Trường hợp2: Biết hệ số góc k tiếp tuyến • Gọi (x0 , y0) tọa độ tiếp điểm • Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = k(x – x0) + y0 (2) ; [với: k = f’(x0) ] • Tính f′(x) giải phương trình f′(x0) = k để tính x0 • Thay x0 vào hàm số để tính y0 • Áp dụng vào (2) ta có phương trình tiếp tuyến x −2 Ví dụ 2: Cho đường cong (C): y= f(x)= x +2 Tìm phương trình tiếp tuyến (C) Biết tiếp tuyến song song với đường phân giác thứ Giải: Vì tiếp tuyến song song với y = x, nên k =1 Gọi (x0; y0) tọa độ tiếp điểm Phương trình có dạng: y = (x – x0) + y0 Theo giả thiết: f′(x0) = (1) (1) ⇔ = ⇔ x0 = hoaëc x0 = – ( x0 + 2) Với x0 = y0 = – Với x0 = – y0 = Vậy ta có hai tiếp tuyến : y = x – y = x + 3)Trường hợp 3: Biết tiếp tuyến (C) qua điểm M Chú ý: M thuộc (C) không thuộc (C), cách giải Gọi k hệ số góc đường thẳng (d) qua M(xM, yM) tiếp xúc với (C) Phương trình đường thẳng (d) là: y = k(x − xM) +yM hay: y = kx – kxM + yM (a) (d) Tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm y yM • M O xM x y yM M x O f(x) = kx - kxM + yM xM  f' (x) =k Giải hệ tính k, thay k vào phương trình (a), ta tìm phương trình tiếp tuyến (C) qua M Ví duï 3: Cho (C): y = f(x) = 2x3+ 3x2 -1.Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua M(0; -1) Giải: Phương trình đường thẳng d qua M(0; −1) laø: y = k(x − xM) + yM ⇔ y = kx − d tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm:  2x3 + 3x − = kx −  =k  6x + 6x (1) (2 ) Thay giá trị k (2) vào (1), ta phương trình: 2x3 + 3x2 − 1= (6x2 + 6x)x − ⇔ 4x3 + 3x2 = ⇔ x = x = − 3/4 Với x = ta có k = 0, với x = − 3/4, ta có k = − 9/8 Vậy có hai tiếp tuyến với (C) qua M, phương trình là: y = − vaø y = − x −1 10 4) Trường hợp : Hai đường cong tiếp xúc Hai đường cong gọi tiếp xúc điểm M chúng có chung điểm M tiếp tuyến M hai đường cong truøng nhau.(SGK ; tr 101) y y = f(x)  M y = g(x) O x Đồ thị hàm số y = f(x) đồ thị hàm số y = g(x) tiếp xúc hệ sau có nghiệm : f  (x) = g(x) (Hệ cho ta hoành độ tiếp điểm)  f  ' (x) =g' (x) 11 Ví dụ 4: Xác định a để đồ thị (C) hàm số : x3 y = f (x) = − x + 4x tiếp xúc với đồ thị Parabol (P): y = g(x) = x2 + a Giải : Hoành độ tiếp điểm (C) (P) nghiệm heä : f(x) = g(x)  f' (x) = g' (x) x 2  − x + 4x = x + a (1) ⇔3 x − 2x + = x ( 2)  (2) ⇔ x2 − 4x + = ⇔ x = Thay x = vào (1), ta : a = ÑS : Khi a = (C) tiếp xúc (P) 12 CÁC BÀI TOÁN ĐỂ RÈN LUYỆN 13 (2m −1)x −m2 Cho hàm số : y = x −1 Bài số 1: (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng có phương trình: y = x Gợi ý: Như ví dụ Điều kiện tiếp xúc (2m − 1)x − m2 =x (1) x −1 − (2m −1) + m2 ( 2) =1 (x −1) { Đi đến: (x − m)2 = ý tập xác định  2 (x − 1) = (m − 1) ĐS: Mọi m khác 14 Bài số 2: x Cho hàm số: y = f(x) = 1+ x Gọi (C) đồ thị Tìm phương trình tiếp đồ thị qua tâm đối xứng (nếu có) Gợi ý: Tâm đối xứng I(– 1; 1) Giống ví dụ Phương trình tiếp tuyến qua điểm I ĐS: Không có tiếp tuyến qua tâm đối xứng x + 3x + Bài số 3: Cho hàm số y = f(x) = x+2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số Biết vuông góc với đường thẳng (a): x – 3y + = Gợi ý: Gọi (d) tiếp tuyến Vì (a) có hệ số góc 1/3 nên (d) có hệ số góc – 15 ĐS: y = – 3x – vaø y = – 3x – 11 Bài số 4: Cho (C): y = f(x) = x3 − 3x2 + Tìm đường thẳng y = − điểm từ kẻ đến đồ thị hai tiếp tuyến vuông góc Gợi ý: Gọi A(a; – 2) điểm cần tìm Phương trình tiếp tuyến qua A là: y = k(x – a) – Hoành độ tiếp điểm nghiệm hệ: x3 − 3x + = k(x − a) − (1)  (2)  3x(x − 2) = k Thế (2) vào (1) ta được: (x – 2)[2x2 – (3a – 1)x+2] = + Với x = 2: Ta có tiếp tuyến y = – (loại) + Với 2x2 – (3a –1)x+ = (*) Để toán thỏa (*) phải có nghiệm x1,x2 thỏa f’(x1).f’(x2) = – ∆ = (3a – 1)2 – 16 > Giải hệ ta ⇔ (3x12 – 6x1)(3x22 – 6x2) = – 16 a = 55/27 { Cho hàm số y = f(x) = x4 – 12x2 + Bài số 5: Tìm trục tung điểm mà từ vẽ tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số Gợi ý: Gọi A(0; m) điểm cần tìm Phương trình tiếp tuyến: y = kx + m Điều kiện tiếp xúc: { x4 – 12x2 + = kx + m 4x3 – 24x = k Đi đến: 3x4 – 12x2 + m – = (1) (2) (3) Do có tiếp tuyến nên (3) phương trình trùng phương có nghiệm cần thử lại ĐS: Điểm A(0;4) 17 CHÚC SỨC KHỎE CÁC THẦY , CÔ GIÁO CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG TRONG CÁC KỲ THI SẮP TỚI ... + y0 CÁC BÀI TOÁN TÌM PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ? Hãy nêu dạng toán phương trình tiếp tuyến học? Trả lời: Biết tọa độ tiếp điểm (hoặc biết hoành độ x0 biết tung độ y0 tiếp điểm Ta nói tiếp tuyến. .. ta có phương trình tiếp tuyến x −2 Ví dụ 2: Cho đường cong (C): y= f(x)= x +2 Tìm phương trình tiếp tuyến (C) Biết tiếp tuyến song song với đường phân giác thứ Giải: Vì tiếp tuyến song song với... Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2(x – 2) + 1, hay y = 2x – 2)Trường hợp2: Biết hệ số góc k tiếp tuyến • Gọi (x0 , y0) tọa độ tiếp điểm • Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = k(x –