Đang tải... (xem toàn văn)
Luận văn cứu về sự ổn định của vỏ cầu nhẫn làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên dưới tác dụng của áp suất phân bố đều và lực song song với trục đối xứng. Phương pháp được sử dụng để giải quyết bài toán là áp dụng tiêu chuẩn tĩnh về ổn định và phương pháp Bubnov – Galerkin, từ đó xác định lực tới hạn của vỏ cầu đồng thời khảo sát bằng số sự thay đổi của lực tới hạn phụ thuộc vào kích thước hình học và các đặc trưng cơ tính của vật liệu FGM.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ DUNG PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ DUNG PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn Mã số: 60 44 21 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. ĐÀO HUY BÍCH Hà Nội Năm 2014 LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận này em đã nhận được sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo hướng dẫn, sự ủng hộ của các thầy cơ giáo trong khoa Tốn – Cơ – Tin học và sự động viên của gia đình và bạn bè Với tất cả tình cảm của mình em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn GS.TSKH Đào Huy Bích đã tận tình giúp đỡ hướng dẫn em trong suốt thời gian thực hiện khóa luận Đồng thời em xin chân thành gửi lời cảm ơn tới các thầy cơ giáo trong khoa Tốn– Cơ – Tin học đã nhiệt tình bảo ban, truyền đạt kiến thức kinh nghiệm cho em trong suốt 4 năm đại học Cuối cùng em xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, các anh chị và bạn bè đã giúp đỡ em hồn thành khóa luận này Hà Nội, ngày 01 tháng 10 năm 2014 Học viên Nguyễn Thị Dung MỤC LỤC Trang Mở đầu………………………………………………………………… Chương 1: Các phương trình và hệ thức cơ sở 1.1: Quan hệ biến dạng chuyển vị vỏ cầu………………………… 1.2: Quan hệ nội lực biến dạng vỏ cầu…………………………… 1.3: Phương trình cân bằng……………………………………… 10 Chương 2: Phân tích ổn định của vỏ cầu 2.1: Trạng thái màng trước khi mất ổn định…………………………… 12 2.2: Phương trình ổn định……………………………………………… 13 2.3: Phương pháp ………………………………………………….15 Chương 3: Khảo sát số về ổn định của vỏ cầu bằng vật liệu giải có cơ tính biến thiên 3.1: Khảo sát ổn định vỏ cầu chịu tác dụng lực tới hạn 25 3.2: Khảo sát ổn định của vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của lực tới hạn q 27 3.3: Khảo sát ổn định của vỏ cầu chịu tác dụng đồng thời của p và q 30 Tài liệu tham khảo………………………………………………… 32 Phụ lục…………………………………………………… ……….… Mở đầu : VẬT LIỆU CĨ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN ( FGM ) Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) là lớp vật liệu mới được tạo ra nhằm để cải thiện tính kết cấu trong cấu trúc khơng gian. FGM là một loại vật liệu composite có đặc điểm là những thuộc tính của chúng thay đổi từ từ và liên tục từ mặt này sang mặt khác của kết cấu do đó làm giảm ứng suất tập trung, giảm ứng suất nhiệt và ứng suất dư. Những vật liệu này thường được sản xuất từ hỗn hợp gốm và kim loại hoặc là tổ hợp của nhiều kim loại khác nhau. Loại vật liệu này có thể chịu được sự thay đổi nhiệt độ lớn, đảm bảo ổn định hình dạng, chịu va chạm, mài mòn hay rung động. Với những đặc điểm ưu việt đó mà lớp vật liệu này đang được nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi trong thực tế đặc biệt là trong các nghành cơng nghiệp đóng tàu, hàng khơng, vũ trụ, cơ khí, xây dựng v.v Đáp ứng những đòi hỏi của thực tiễn, trong những năm gần đây, đã có nhiều cơng trình nghiên cứu cho kết quả về sự ổn định của kết cấu bằng loại vật liệu này. Đối tượng được nghiên cứu nhiều về ổn định và dao động thường là bản hoặc vỏ. V. Birman [13] đã đưa ra các hệ thức về ổn định của bản composite FGM, E. Feldman và J. Abouli [5] nghiên cứu về ổn định đàn hồi của bản FGM bị nén, J. N. Reddy [6] đưa ra phương pháp nghiên cứu về sự uốn của bản tròn và bản hình vành khăn FGM. Đối với vỏ nón, Tani đã nghiên cứu tính mất ổn định động của vỏ nón cụt đẳng hướng dưới tải dọc trục tuần hồn khi đã bỏ qua biến dạng uốn trước khi mất ổn định [10] và dưới áp lực thay đổi chu kỳ có tính đến các biến dạng này [11] bằng việc sử dụng lý thuyết vỏ Donnell và phương pháp sai phân hữu hạn. Cũng sử dụng phương pháp này ơng đã phân tích ảnh hưởng của độ võng ban đầu đến ổn định nhiệt của vỏ nón cụt đẳng hướng [12]. Xu và đồng sự sử dụng phương pháp Galerkin và phương pháp cân bằng điều hòa để nghiên cứu dao động tự do của vỏ nón cụt dày bằng vật liệu composite lớp [14]. Paczos và Zielnica áp dụng phương pháp Ritz để nghiên cứu sự ổn định của panel vỏ nón có lớp kép đàn hồi dẻo dưới tác động của tải nén và áp suất [9]. Đào Huy Bích và đồng sự đã sử dụng phương pháp Bubnov – Galerkin giải bài toán theo chuyển vị và nghiên cứu ổn định của panel nón FGM dưới tác dụng của lực nén và áp suất đều [1] Nath và Alwar [7] đã sử dụng phương pháp khai triển chuỗi Chebyshev để nghiên cứu và phân tích đáp ứng phi tuyến tĩnh và động của vỏ cầu được ngàm. Dumir đã tìm được đáp ứng cực đại tức thời trong dao động phi tuyến của chỏm cầu trên nền đàn hồi dưới tác dụng của tải phân bố đều song song với trục đối xứng [8]. Phân tích phi tuyến về ổn định của vỏ cầu thoải FGM chịu áp suất ngồi bằng phương pháp giải tích gần đúng được trình bày trong cơng trình của Đào Huy Bích [3]. Gần đây, Đ. H. Bích cùng Đ.V.Dũng và L.K Hòa tiến hành phân tích ổn định phi tuyến tính tĩnh và động của vỏ cầu FGM có tính đến ảnh hưởng của nhiệt độ [4]. Trong bài viết đó, các tác giả đã sử dụng lý thuyết vỏ cổ điển và phương pháp Bubnov – Galerkin để xác định lực tới hạn tác dụng lên vỏ trong trường hợp ổn định tĩnh và phương pháp số Runge – Kutta để nghiên cứu ổn định động của vỏ. Ngồi ra, Đ.H.Bích và H.V Tùng cũng đã cơng bố kết quả phân tích phi tuyến vỏ cầu đối xứng trục bằng vật liệu có cơ tính biến thiên dưới tác dụng của lực phân bố đều đồng thời chịu ảnh hưởng của nhiệt độ [2]. Luận văn nghiên cứu sự ổn định của vỏ cầu nhẫn có cơ tính biên thiên tác dụng lực song song với trục đối xứng áp suất ngồi. Phương pháp được sử dụng trong bài là phương pháp Bubnov – Galerkin và áp dụng tiêu chuẩn tĩnh về ổn định từ đó xác định lực tới hạn của vỏ cầu Tác giả cũng đã sử dụng phần mềm Matlab để tính tốn số nhằm khảo sát lực tới hạn khi các yếu tố về tính chất vật liệu, kích thước kết cấu thay đổi và đưa ra một vài nhận xét tương ứng Chương 1: CÁC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ THỨC CƠ SỞ Trong phần này trình bày mối quan hệ biến dạng, chuyển vị, mối quan hệ nội lực biến dạng, phương trình cân bằng của bài tốn vỏ cầu nhẫn chịu lực phân bố đều song song trục đối xứng và áp suất ngồi 1.1 Quan hệ biến dạng, chuyển vị của vỏ cầu Xét vỏ cầu với độ dày h, bán kính đáy , bán kính vỏ cầu là R. Vỏ cầu được làm từ hỗn hợp kim loại và gốm. Gắn hệ trục tọa độ φ, theo hướng kinh tuyến và vĩ tuyến tương ứng và z theo hướng bán kính của vỏ cầu như hình 1 Hình 1 Chất liệu của bề mặt ngồi và bề mặt trong của vỏ cầu tương ứng là gốm và kim loại. Cấu tạo gốm của vật liệu đã cải thiện được khả năng chịu nhiệt độ cao nhờ tính dẫn nhiệt thấp. Thành phần kim loại dễ uốn giúp vật liệu tránh bị đứt gẫy bởi ứng suất nhiệt gây ra do sự biến thiên nhiệt độ cao trong thời gian rất ngắn. Hỗn hợp này gồm các phân tố thể tích của vật liệu thành phần thay đổi liên tục theo độ dày của vỏ. Theo Javaheri và Eslami, modul đàn hồi E và hệ số Poisson thay đổi theo chiều dày z, theo quy luật hàm lũy thừa tại (m, n) = (4, 1). Lực p ứng với n = 1 được biểu thị trong hình 2 và bảng Hình 2. Đồ thị biểu diễn lực p theo m khi n=1 với R/h = 1000; ; Bảng 1. Giá trị cực tiểu của lực tới hạn k p (m,n), GPa 1,0852 (2,1) 0,6580 (3,1) 0,6233 (4,1) 0,7378 (5,1) 0,9392 (6,1) 0,6358 (2,1) 0,3710 (3,1) 0,3350 (4,1) 0,3834 (5,1) 0,4790 (6,1) 0,4908 (2,1) 0,2871 (3,1) 0,2601 (4,1) 0,2983 (5,1) 0,3732 (6,1) 0,4200 (2,1) 0,2492 (3,1) 0,2298 (4,1) 0,2671 (5,1) 0,3366 (6,1) 26 Nhận xét: Từ hình 2 và các giá trị trong bảng 1 cho thấy với n = 1 giá trị lực nhỏ nhất tương ứng với m = 4. Khi số mũ đặc trưng k tăng tức là tỉ phần thể tích của gốm giảm nên lực tới hạn p cũng giảm Khảo sát ảnh hưởng của tỉ số R/h đến lực tới hạn p thu được kết quả thể hiện trong bảng 2 Bảng 2. Ảnh hưởng của tỷ số R/h đến lực tới hạn với ; p (m,n), GPa R/h k 800 1000 1200 1400 1500 0,7660 (4,1) 0,4197 (4,1) 0,3253 (4,1) 0,2854 (4,1) 0,6233 (4,1) 0,335 0 (4,1) 0,260 1 (4,1) 0,229 8 (4,1) 0,5458 (4,1) 0,2890 (4,1) 0,2246 (4,1) 0,1997 (4,1) 0,4991 (4,1) 0,2613 (4,1) 0,2032 (4,1) 0,1815 (4,1) 0,4824 (4,1) 0,2514 (4,1) 0,1956 (4,1) 0,1750 (4,1) Nhận xét: Kết quả khảo sát trong bảng 2 cho thấy khi tỷ số R/h tăng thì lực tới hạn p giảm. Trên thực tế khi tỉ số này tăng tức là bán kính vỏ cầu tăng hoặc độ dày giảm thì vỏ cầu dễ bị biến dạng hơn. Điều này cũng phù hợp với tính chất của kết cấu Tiếp tục khảo sát ảnh hưởng của các tỉ số ; tới lực tới hạn p ta nhận được kết quả thể hiện trong bảng 3: Bảng 3. Ảnh hưởng của tỷ số theo m, n với 27 ; đến lực tới hạn p (m,n), GPa r1/R 0,3 0,4 0,5 0,1 0,7083 (4,1) 1,2307 (6,1) 1,9021 (2,22) 0,15 0,4126 (4,1) 0,5949 (4,1) 0,8763 (6,1) 0,2 0,2105 (2,1) 0,3350 (4,1) 0,4993 (6,1) 0,1772 (2,1) 0,2467 (4,1) r0/R 0,3 Nhận xét: Qua khảo sát ta thấy cùng tỉ số r1/R mà tỉ số r0/R tăng có nghĩa là bề rộng của cầu nhẫn hẹp lại dẫn đến lực tới hạn p giảm 3.2. Khảo sát lực tới hạn khi vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của áp suất q Khi vỏ cầu chịu tác dụng áp suất q, với R/h = 1000; ; Trong đó R = 5m; h = 0.005m, sử dụng chương trình Matlab tìm giá trị nhỏ nhất ta tìm được lực q đạt nhỏ nhất tại m = 2, n = 18 (với k = 1 hoặc k = 2) và n = 17 (với k = 0 hoặc k = 3). Kết quả khảo sát được thể hiện cụ thể trên hình 3 và bảng 4 28 Hình 3. Đồ thị biểu diễn lực tới hạn q theo n khi m=2 với R/h = 1000; ; Bảng 4. Giá trị cực tiểu của lực tới hạn = 1000; ; q (m,n), 105 k theo n với m = 2; R/h 4,0403 (2,16) 2,2063 (2,16) 1,7127 (2,16) 1,5066 (2,16) 4,0221 (2,17) 2,1812 (2,17) 1,6945 (2,17) 1,4951 (2,17) 4,0394 (2,18) 2,1760 (2,18) 1,6916 (2,18) 1,4968 (2,18) 4,0882 (2,19) 2,1882 (2,19) 1,7023 (2,19) 1,5102 (2,19) 4,1652 (2,20) 2,2161 (2,20) 1,7250 (2,20) 1,5342 (2,20) Nhận xét: Do tính chất của vật liệu có thể thấy rằng khi chỉ số k giảm thì giá trị lực tới hạn q tăng lên. Tương tự như khi khảo sát lực p, ta cũng kiểm tra ảnh hưởng của các đại lượng ; ; và thu được các kết quả trong bảng 5 và bảng 6 Bảng 5. Ảnh hưởng của tỷ số đến lực tới hạn ; q (m,n), 105 29 theo m, n; R/h k 800 1000 1200 1400 1500 6,1301 (2,19) 3,3278 (2,20) 2,5871 (2,20) 2,2848 (2,20) 4,0251 (2,17) 2,1776 (2,18) 1,6929 (2,18) 1,4961 (2,17) 2,8718 (2,15) 1,5471 (2,16) 1,2023 (2,16) 1,0641 (2,16) 2,1673 (2,14) 1,1647 (2,15) 0,9053 (2,15) 0,8.010 (2,14) 1,9160 (2,13) 1,0263 (2,14) 0,7974 (2,14) 0,7066 (2,14) Từ các kết quả đạt được trên ta thấy giá trị lực tới hạn giảm khi tăng tỉ số R/h và tăng chỉ số k. Trong trường hợp k = 0, vỏ cầu là vật liệu đồng chất bằng oxit nhơm (gốm) có modun đàn hồi cao. Đây là ngun nhân làm cho giá trị lực tới hạn có giá trị cao hơn Bảng 6. Ảnh hưởng của tỷ số ; đến lực tới hạn với ; k=1 q (m,n), 105 r1/R r0/R 0,1 0,15 0,2 0,3 0,3 0,4 0,5 2,4942 (2,12) 2,3904 (2,13) 3,2905 (2,15) 2,6911 (4,13) 2,3831 (2,17) 2,1760 (2,18) 3,2942 (2,23) 2,6874 (8,3) 2,6255 (2,21) 2,3023 (2,22) 2,0201 (2,24) Từ bảng 6 ta thấy khi thay đổi các tỉ số và lực tới hạn khơng thay đổi theo quy luật xác định 3.3. Khảo sát lực tới hạn khi vỏ cầu chịu tác dụng đồng thời của lực p và q Bằng cách đặt và khi đó, tiếp tục khảo sát ổn định của vỏ cầu theo q ta thu được các kết quả trong bảng 7 khi α và k thay đổi 30 Bảng 7. Giá trị cực tiểu của lực tới hạn với ; α k theo m, n khi α thay đổi ; p,q (m,n), 105, ?=1/2 ∞ (0;4,0221) (2,17) (0;2,1760) (2,18) (0;1,6916) (2,18) (0;1,4951) (2,17) (4,0236;4,0236) (2,17) (2,1768;2,1768) (2,18) (1,6923;1,6923) (2,18) (1,4956;1,4956) (2,17) (8,0502;4,0251) (2,18) (4,3552;2,1776) (2,18) (3,3858;1,6929) (2,18) (2,9922;1,4961) (2,17) (0,6233;0) (4,1) (0,3350;0) (4,1) (0,2601;0) (4,1) (0,2298;0) (4,1) Bảng 8 cho kết quả của lực tới hạn khi vỏ chịu tác dụng đồng thời của tỉ số R/h với α=1,5 khi thay đổi Bảng 8. Ảnh hưởng của tỷ số R/h đến lực tới hạn với ; q (m,n), 105, α =1,5 R/h k 800 1000 1200 1400 1500 6,1286 (2,19) 3,3270 (2,20) 2,5864 (2,20) 2,2842 4,0243 (2,17) 2,1772 (2,18) 1,6926 (2,18) 1,4959 2,8715 (2,15) 1,5469 (2,16) 1,2021 (2,16) 1,0639 2,1671 (2,14) 1,1646 (2,15) 0,9052 (2,15) 0,8009 1,9158 (2,13) 1,0262 (2,14) 0,7973 (2,14) 0,7065 31 (2,20) (2,17) (2,16) (2,14) (2,14) Rõ ràng trong trường hợp này quy luật thay đổi của lực tới hạn cũng tương tự như các trường hợp tác dụng đơn lực, có nghĩa là các lực này giảm khi chỉ số k tăng và tỉ số R/h tăng Bảng 9. Ảnh hưởng của tỷ số ; đến lực tới hạn với ; k=1 q (m,n), 105, α =1,5 r1/R 0,3 r0/R 0,1 0,15 0,2 0,3 0,4 2,4950 (2,12) 2,3912 (2,13) 3,2902 (2,15) 0,5 2,6912 (4,13) 2,3842 (2,17) 2,1772 (2,18) 3,2945 (2,23) Bảng 9 biểu diễn ảnh hưởng của các tỉ số 2,6868 (8,3) 2,6266 (2,21) 2,3037 (2,22) 2,0215 (2,24) ; đến lực tới hạn q với α=1,5. So sánh với trường hợp vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của lực q, trong trường hợp này lực tới hạn có giá trị nhỏ hơn. Điều này hồn tồn phù hợp vì khi vỏ chịu tác dụng của cả lực p và áp suất q thì vỏ dễ bị biến dạng hơn NHẬN XÉT CHUNG: Bài tốn ổn định của vỏ cầu bằng vật liệu có cơ tính biến thiên chịu tác dụng của lực phân bố song song với trục đối xứng và áp suất ngồi dần đến bài tốn tìm nghiệm khác khơng của hệ phương trình (2.14). Phương pháp chung để giải bài tốn là ta đi chọn nghiệm 32 thỏa mãn các điều kiện biên, sau đó thay vào phương trình ổn định của vỏ cầu và từ điều kiện tồn tại nghiệm khơng tầm thường suy ra phương trình xác định lực tới hạn. Giá trị nhỏ nhất của nó chính là lực tới hạn cần tìm.Trong bài tốn này đã sử dụng tiêu chuẩn tĩnh về ổn định ( tiêu chuẩn tồn tại các dạng cân bằng lân cận ) để nghiên cứu và phần mềm Matlab để tính tốn số KẾT LUẬN: Trong bài luận văn này đã đạt được những kết quả như sau: Sử dụng tiêu chuẩn ổn định tĩnh và trình bày chi tiết hệ phương trình ổn định tuyến tính của vỏ cầu nhẫn bằng vật liệu có cơ tính biến thiên dưới tác dụng của lực phân bố song song với trục đối xứng và áp suất ngồi. Sử dụng phương pháp Bubnov – Garlerkin dẫn đến hệ thức hiển xác định lực tới hạn của vỏ cầu nhẫn Tính tốn số lực tới hạn trong trường hợp vỏ cầu chỉ chịu tác dụng lực p, chỉ chịu tác dụng của áp suất q và trong trường hợp có đồng thời cả hai lực tác dụng. Tương ứng với mỗi trường hợp riêng khảo sát ảnh hưởng khi các tỉ số thay đổi. Từ các kết quả nhận được đưa ra các nhận xét phù hợp về ảnh hưởng của các yếu tố như chỉ số k vật liệu, các tỉ số về kích thước hình học của vỏ, tìm giá trị của lực tới hạn trong trường hợp tác dụng đơn lực và tác dụng đồng thời của hai lực Đã trình bày một báo cáo khoa học tại Hội nghị Cơ học tồn quốc lần thứ IX, Hà Nội 12/2012 33 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Bich D.H, Tung H.V, Phuong N.T. Buckling of functionally graded conical panels under mechanical loads. Composite Structure 94 (2012); 1379 1384 Bich D.H, Tung H.V Nonlinear axisymmetric response of functionally graded shallow spherical shells under uniform external pressure including temperature effects. Int J Nonlinear Mech (2011); 46: 1195 – 1204 Bich D.H, Non – linear buckling analysis of functionally graded shallow spherical shells, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol. 31, No. 1 (2009), pp. 17 – 31 Bich D.H, Dung D.V, Hoa L.K Nonlinear static and dynamic buckling analysis of functionally graded shallow spherical shells including temperature effects. Composite Structures 94 (2012) 2952 – 2960 5. E. Feldman, J. Aboudi, Buckling analysis of FGM plates subjected to uniaxial loading, Composite Structures 38 (1997) 29 – 36. J N Reddy et al., Axisymmetric bending of FGM circular and annular plates, European J. of Mech. 18 (1999) 185 – 199. N Nath, R.S Alwar, Nonlinear static and dynamic response of spherical shells, Int. J. Nonlinear Mech. 13(1978) 157170 P.C Dumir, Nonlinear axisymmetric response of orthotropic thin spherical caps on elastic foundations, Int. J. Mech. Sci. 27(1985) 751760 9. Paczos P. Zielnica J. Stability of ortrotropic elastic – plastic open conical shells. Thin – Wall Struct (2008); 46: 530 – 540 35 10.Tani J Dynamic instability of truncated conical shells underperiodicaxial load. Int J Solid Struct (1974); 10:169 – 176 11. Tani J. Influence of deformations before instability on the parametric instability of conical sheels under periodic pressure J Sound Vib (1976); 45(2): 253 – 258 12. Tani J. Influence of axisymmetric initial deflections on the thermal buckling of truncated conical shells. Nucl Eng Des (1978); 48: 393 – 403 13. V. Birman, Buckling of functionally graded hybrid composite plates, Proc. of Conf. on Eng. Mech. Boulder, USA, (1995) 14. Xu CS, Xia ZQ Chia CY. Non – linear theory and vibration analysis of laminated truncated, thick conical sheels Int J Nonlinear Mech (1996); 31(2): 139 – 54 15. Đào Huy Bích, Lý thuyết đàn hồi, NXB ĐHQG HN, 2000 36 PHỤ LỤC CHƯƠNG TRÌNH MATLAB TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT min=6E+12; for n=1:1:50 for l=1:1:50 ec=380*10^9; em=70*10^9; h=0.005; nuy=0.3; R=800*h; r1=2; r0=1; k=1; alpha=2; landa=r0/r1; csi=r1/R; m=2*l; denta=h/r1; 37 E1=em+(ecem)./(k+1); E2=(ecem).*k./(2*(k+1).*(k+2)); E3=em/12+(ecem).*(1./(k+3)1./(k+2)+1./(4*k+4)); %m=[1:1:1000];n=[1:1:1000]; a111=((m*pi).^2*(r1.^4r0.^4)./(r1r0).^2/8+3*(r1.^2r0.^2)/8+(1 nuy)*n.^2*(r1.*r1r0.*r0)/8)/(r1^2); a121=(m.*n*pi^2*(r1.^3r0.^3).*(1+nuy)./(r1r0)./12/pi+4*n.*(r1 r0).^2/8./m/pi)/(r1^2); a131=E2/E1*denta*((m*pi).^3*(1landa^4)/8/(1landa)^3+3*(m*pi)*(1 landa^2)/8/(1landa)+m.*n.^2*pi*(1+landa)/4)(1+nuy)/8*csi*(m*pi*(1 landa^4)/(1landa)+3*(1landa)*(1landa^2)./m/pi); a211=(1+nuy)*m.*n.*pi*(1landa^3)/12/(1landa)+n.*(1nuy).*(1 landa)^2/4./m/pi; a221=(1nuy).*(1landa^2)/16+m.^2.*pi^2*(1nuy).*(1landa^4)/16/(1 landa)^2+n.^2*(1landa^2)/4; a231=E2*denta/E1*(n.^3*(1landa)/2+n.*m.^2*pi^2*(1landa^3)/6/(1 landa)^2n.*(1landa)/4+n.*(2nuy)*(1landa)/4)+csi*(n.*(1+nuy)*(1 landa^3)/6n.*(1+nuy)*(1landa)^3/4./m.^2/pi^2); a311=E2*denta/E1*(m.^3*pi^3*(1landa^5)/10/(1 landa)^3+m.*n.^2*pi*(1landa^3)/6/(1landa)(1landa)^2/2./m/pi+m.*pi*(1 landa^3)/6/(1landa))csi*(1+nuy)*(m.*pi*(1landa^5)/10/(1landa) (1landa)*(1landa^3)/4./m/pi+3*(1landa)^4/8./m.^3/pi^3); a321=E2*denta/E1*(n.*m.^2*pi^2*(1landa^4)/8/(1landa)^27.*n.*(1 landa^2)/8+n.^3*(1landa^2)/4)+csi*(1+nuy)*(3*n*(1landa)^2*(1 landa^2)/8./m.^2/pi^2n.*(1landa^4)/8); 38 a331=E3*denta^2/E1*(m.^4*pi^4*(1landa^5)/10/(1 landa)^4+m.^2.*n.^2*pi^2*(1landa^3)/3/(1landa)^23*n.^2*(1+nuy)*(1 landa)/2+m.^2*pi^2*(1landa^3)/6/(1landa)^2(1landa)/2+n.^4*(1landa) /2)+(1+nuy)*E2*denta*csi/E1*(m.^2*pi^2*(1landa^5)/5/(1 landa)^2(1landa^3)/2+3*(1landa)^3/4./m.^2/pi^2+n.^2*(1landa^3)/3 n.^2*(1landa)^3/2./m.^2/pi^2)(1+nuy)*csi^2*((1landa^5)/5 (1landa)^2*(1landa^3)./m.^2/pi^2+3*(1landa)^5/2./m.^4/pi^4); a341=(1nuy^2)/4/denta/csi*(n.^2*(1landa^3)/3n.^2*(1 landa)^3/2./m.^2/pi^2+n.^2*landa^2*(1landa)(1landa^3)/2+3*(1 landa)^3/4./m.^2/pi^2+landa^2*(1landa)+m.^2*pi^2*(1landa^5)/5/(1 landa)^2m.^2*pi^2*landa^2*(1landa^3)/3/(1landa)^2); a351=(1nuy^2)*landa^2/2*(m.^2*pi^2*(1landa^3)/3/(1landa)^2 (n.^2+1)*(1landa)); %[m,n]=meshgrid([1:1:30],[1:1:30]); A=(a311.*(a121.*a231a131.*a221)+a321.*(a131.*a211 a111.*a231)+a331.*(a111.*a221a121.*a211))./(a121.*a211a111.*a221); p1=abs(A./a351*E1); q1=abs(A./(a341+alpha.*a351)*E1); if q1