TIẾT 45 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TIẾÙP TUYẾN BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II 1 CÂU HỎI 1) Viết (không chứng minh ) phương trình đường thẳng qua M(x 0 ; y 0 ) có hệ số góc k? Trả lời: y – y 0 = k( x – x 0 ) hay: y = k(x – x 0 ) + y 0 2) Cho biết ý nghóa hình học của đạo hàm? Trả lời: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm tại x 0 , có đồ thò ( C) và M(x 0 ; y 0 ) là một điểm thuộc (C), khi đó hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại M(x 0 ; y 0 ) là: k = f’(x 0 ). y x M O x 0 y 0 (C) 2 CÁC BÀI TOÁN TÌM PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 3) Nêu (không chứng minh) phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số tại M(x 0 ; y 0 ) thuộc đồ thò. Trả lời: y – y 0 = f’(x 0 )(x – x 0 ), hay y= f’(x 0 )(x – x 0 ) + y 0 Hãy nêu các dạng toán về phương trình tiếp tuyến đã học? 3 ? 1. Biết tọa độ tiếp điểm (hoặc biết hoành độ x 0 hoặc biết tung độ y 0 của tiếp điểm. Ta nói tiếp tuyến tại điểm M(x 0 ; y 0 ) ). 2. Biết hệ số góc k của tiếp tuyến. 3. Biết tiếp tuyến qua một điểm M(x 0 ; y 0 ) cho trước. 4. Hai đường tiếp xúc nhau. 4 Trả lời: O x y (C) : y = f(x) M x 0 y 0  ∗ Nếu chỉ biết x 0 , ta thay x 0 vào công thức của hàm số để tính y 0 . ∗Tính f′(x) rồi tính f′(x 0 ). ∗Thay các giá trò x 0 , y 0 , f′(x 0 ) vào phương trình (1) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm. 5 1)Trường hợp1: Biết tọa độ (x 0; y 0 ) của tiếp điểm Phương trình cần tìm là: y = f’(x 0 ).(x – x 0 ) + y 0 (1) ∗ Nếu chỉ biết y 0 , ta thay y 0 vào công thức của hàm số để tính x 0 . Ví dụ 1: Cho đường cong (C): Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2 Giải: Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng x 0 là: y = f′(x 0 ).(x – x 0 ) + y 0 Theo đầu bài x 0 = 2. Suy ra y 0 = 1 và f′(x 0 ) = 2 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2(x – 2) + 1, hay y = 2x – 3 6 ( ) 1 1 − −== x xxfy • Gọi (x 0 , y 0 ) là tọa độ tiếp điểm • • Tính f′(x) rồi giải phương trình f′(x 0 ) = k để tính x 0 . • • Thay x 0 vào hàm số để tính y 0 . • • Áp dụng vào (2) ta có phương trình tiếp tuyến 7 • Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = k(x – x 0 ) + y 0 (2) ; [với: k = f’(x 0 ) ] 2)Trường hợp2: Biết hệ số góc k của tiếp tuyến Gọi (x 0 ; y 0 ) là tọa độ tiếp điểm. Phương trình có dạng: Theo giả thiết: f′(x 0 ) = 1 (1) Với x 0 = 0 thì y 0 = – 1. Với x 0 = – 4 thì y 0 = 3 8 Ví dụ 2: Cho đường cong (C): y= f(x)= Tìm phương trình các tiếp tuyến của (C). Biết tiếp tuyến ấy song song với đường phân giác thứ nhất. Giải: Vì tiếp tuyến song song với y = x, nên k =1 2 2 + − x x ( ) 1 2 4 1 2 0 = + ⇔ x )( ⇔ x 0 = 0 hoặc x 0 = – 4 Vậy ta có hai tiếp tuyến là : y = x – 1 và y = x + 7 y = (x – x 0 ) + y 0 3)Trường hợp 3: Biết tiếp tuyến của (C) qua điểm M Chú ý: M thuộc (C) hoặc không thuộc (C), cách giải như nhau. Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) qua M(x M , y M ) và tiếp xúc với (C). Phương trình đường thẳng (d) là: y = k(x − x M ) +y M hay: y = kx – kx M + y M (a) (d) Tiếp xúc với (C) khi hệ sau đây có nghiệm Giải hệ trên tính được k, thay k vào phương trình (a), ta tìm được phương trình tiếp tuyến của (C) qua M. 9    = += k)x('f ykx-kxf(x) MM x M x M y M O y  • M  M x y M x M y M  O Phương trình đường thẳng d qua M(0; −1) là: y = k(x − x M ) + y M ⇔ y = kx − 1 d là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm: Thay giá trò của k ở (2) vào (1), ta được phương trình: 2x 3 + 3x 2 − 1= (6x 2 + 6x)x − 1 ⇔ 4x 3 + 3x 2 = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = − 3/4 Với x = 0 ta có k = 0, với x = − 3/4, ta có k = − 9/8 Vậy có hai tiếp tuyến với (C) qua M, phương trình là: Ví dụ 3: Cho (C): y = f(x) = 2x 3 + 3x 2 -1.Tìm phương trình các tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua M(0; -1) 10 Giải:    =+ −=−+ )(kxx )(kxxx 266 11132 2 23 1 8 9 1 −−=−= xyvày [...]... – a) – 2 Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ: x3 − 3x 2 + 2 = k(x − a) − 2 (1)  (2)  3x(x − 2) = k Thế (2) vào (1) ta được: (x – 2) [2x2 – (3a – 1)x +2] = 0 + Với x = 2: Ta có tiếp tuyến là y = – 2 (loại) + Với 2x2 – (3a –1)x+ 2 = 0 (*) Để bài toán được thỏa thì (*) phải có nghiệm x1,x2 thỏa f’(x1).f’(x2) = – 1 ∆ = (3a – 1 )2 – 16 > 0 Giải hệ ta được ⇔ (3x 12 – 6x1)(3x 22 – 6x2) = – 1 16 a = 55 /27 { Cho... x3 y = f (x) = − x 2 + 4x 3 tiếp xúc với đồ thò Parabol (P): y = g(x) = x2 + a Giải : Hoành độ tiếp điểm của (C) và (P) là nghiệm của hệ : f(x) = g(x)  f' (x) = g' (x) x 2 2  − x + 4x = x + a (1) ⇔3 x 2 − 2 x + 4 = 2 x ( 2)  3 (2) ⇔ x2 − 4x + 4 = 0 ⇔ x = 2 8 Thay x = 2 vào (1), ta được : a = 3 8 ĐS : Khi a = 3 thì (C) tiếp xúc (P) 12 CÁC BÀI TOÁN ĐỂ RÈN LUYỆN 13 (2m − 1)x − m2 Cho hàm số : y... xúc (2m − 1)x − m2 =x (1) x −1 − (2m − 1) + m2 ( 2) =1 2 (x − 1) { Đi đến: (x − m )2 = 0 chú ý tập xác đònh  2 2 (x − 1) = (m − 1) ĐS: Mọi m khác 1 14 Bài số 2: x Cho hàm số: y = f(x) = 1+ x Gọi (C) là đồ thò Tìm phương trình tiếp của đồ thò đi qua tâm đối xứng (nếu có) Gợi ý: Tâm đối xứng I(– 1; 1) Giống ví dụ 3 Phương trình tiếp tuyến qua điểm I ĐS: Không có tiếp tuyến nào qua tâm đối xứng x 2 +... 6x1)(3x 22 – 6x2) = – 1 16 a = 55 /27 { Cho hàm số y = f(x) = x4 – 12x2 + 4 Bài số 5: Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó vẽ được đúng 3 tiếp tuyến với đồ thò (C) của hàm số Gợi ý: Gọi A(0; m) là điểm cần tìm Phương trình tiếp tuyến: y = kx + m Điều kiện tiếp xúc: { x4 – 12x2 + 4 = kx + m 4x3 – 24 x = k Đi đến: 3x4 – 12x2 + m – 4 = 0 (1) (2) (3) Do có đúng 3 tiếp tuyến nên (3) là phương trình trùng phương... = f(x) = x +2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C) của hàm số Biết nó vuông góc với đường thẳng (a): x – 3y + 6 = 0 Gợi ý: Gọi (d) là tiếp tuyến Vì (a) có hệ số góc 1/3 nên (d) có hệ số góc là – 3 15 ĐS: y = – 3x – 3 và y = – 3x – 11 Bài số 4: Cho (C): y = f(x) = x3 − 3x2 + 2 Tìm trên đường thẳng y = − 2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thò hai tiếp tuyến vuông góc Gợi ý: Gọi A(a; – 2) là điểm... k Đi đến: 3x4 – 12x2 + m – 4 = 0 (1) (2) (3) Do có đúng 3 tiếp tuyến nên (3) là phương trình trùng phương có 3 nghiệm cần thử lại ĐS: Điểm A(0;4) 17 CHÚC SỨC KHỎE CÁC THẦY , CÔ GIÁO CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG TRONG CÁC KỲ THI SẮP TỚI . 22 3 122 3 23 Phương trình tiếp tuyến qua A là: y = k(x – a) – 2 Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ: Thế (2) vào (1) ta được: (x – 2) [2x 2 – (3a – 1)x +2] .  =+− +=+− ⇔ 22 42 14 3 2 22 3 xxx axxx x 3 8 =a )P(xúctiếp)C(thìaKhi:ĐS 3 8 = CAC BAỉI TOAN ẹE REỉN LUYEN 13 14 Cho hàm số : )( )( 1 1 12 2 − −− = x mxm