Chuyên đề: bất đẳng thức Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức BT1: CMR với mọi a; b dơng, ta có: 2 + a b b a . Khi nào xảy ra đẳng thức? BT2: CMR với mọi a; b; c; d dơng , ta có: abcd dcba +++ 4 4 . Khi nào xảy ra đẳng thức? BT3 CMR với mọi a; b; c; d dơng , ta có: 16 1111 )( ++++++ dcba dcba BT4 CMR với mọi a; b; c dơng , ta có: 9 111 )( ++++ cba cba BT5 CMR với mọi a; b; c dơng , ta có: 2 3 + + + + + ba c ca b cb a BT6 CMR nếu a, b, c là đội dài 3 cạnh của một tam giác, ta có: a) ab + bc + ca cabcabcba 222 222 ++<++ b) (a + b c)(b + c a)(c + a b) abc c) 333222 4)()()( cbaabcbacacbcba ++>+++ BT7 Cho hai số x ; y thoả mãn đẳng thức: 3x + y = 1 CMR: 10 1 22 + yx BT8 Cho hai số x ; y thoả mãn đẳng thức: 4x + 3y 1 CMR: 5 1 94 22 + yx BT9 Cho hai số a ; b thoả mãn đẳng thức: a + b = 1 . CMR: a) 2 1 22 + ba b) 8 1 44 + ba c) 2 25111 222 ++ ++ + c c b b a a BT10 Cho 0 > dcba . CMR: dcba a d b c c b d a ++++++ 2222 Dạng 2: Sử dụng BĐT để chứng minh BĐT BT1 : CMR: với mọi a > 0, b > 0, ta có: ab ba + 2 (BĐT Cô-si) BT2: CMR: với mọi a > 0, b > 0, ta có: a) 2+ a b b a b) 4 11 )( ++ ba ba BT3 CMR: với mọi a > 0, b > 0, c > 0 ta có: 9 111 )( ++++ cba cba BT4 CMR: với mọi a > 0, b > 0, c > 0 ta có: 2 3 + + + + + ac b cb a ba c ( BĐT Nes bit) HD: áp dụng BĐT BT3, ta có: [ ] 2 3 2 9 111 9 111 )(29 111 )()()( + + + + + + ++ + ++ + + + + + + + ++ + + + + + +++++ ac b cb a ba c ac b cb a ba c accbba cba accbba accbba BT5 CMR: với mọi a, b, c, d ta có: ))(( 2222 dcbabdac +++ (BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski ) BT6 CMR: với a, b, c, d R và c > 0, d > 0 ta có: dc ba d b c a + + + 222 )( BT7 Chứng minh rằng Với mọi số thực a + b 0 và m, n nguyên dơng, ta có: 22 . 2 nmnmnnmm bababa ++ + ++ HD: )(2))(( nmnmnnmm bababa ++ +++ 0 + ++ nmnmnmnm bababa 0)()( + nnmnnm abbbaa 0))( nnmm baba Do a, b có vai trò nh nhau, không mất tính tổng quát, giả sử ba (1) Theo bài: a + b 0 a - b (2) Từ (1) và (2): 0 ba Ta suy ra: 0 0 nn mm nn mm n n m m ba ba ba ba ba ba 0))(( nnmm baba , BĐT đợc chứng minh. BT8 Cho a + b 0 . Chứng minh rằng: (a + b)(a 3 + b 3 )(a 5 + b 5 ) 4(a 9 + b 9 ) HD: Theo bài: a + b 0 , áp dụng BĐT BT7: Ta có: + ++ + ++ 22 . 2 22 . 2 995544 4433 bababa bababa 2 . 22 . 2 . 2 99445533 bababababa ++ +++ 22 . 2 . 2 995533 babababa + +++ (a + b)(a 3 + b 3 )(a 5 + b 5 ) 4(a 9 + b 9 ) BT9: Cho a, b, c, d, e là các số thực. Chứng minh rằng: )( 22222 edcbaedcba +++++++ BT10: Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng: )( 444 cbaabccba ++++ BT11: Chứng minh rằng: nếu ad bc = 1 thì 3 2222 +++++ bdacdcba BT12: Cho a > 1, b > 1. Chứng minh rằng 8 11 22 + a b b a BT13: Cho 1,1 << ba . Chứng minh rằng: ab ba + 1 2 1 1 1 1 22 BT14: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng: 2 )( 41 ba ab + BT15: Cho a, b, c, d là các số dơng. Chứng minh rằng: 2 22 )( .3 dcba cbcada ca c cb a +++ +++ > + + + BT16: Cho a, b, c, d là các số dơng. Chứng minh rằng: +++ +++ + +++ +++ + + + + + + + 2 22 2 22 )()( .4 dcba dcdabb dcba cbcada ba d ad c dc b cb a BT17: Với mọi a, b. Chứng minh rằng: a) )(4)( 333 baba ++ b) )(3)()(3 2222 cbacbacabcab ++++++ BT18: Với mọi a, b, c, d. Chứng minh rằng: a) cabcabcba ++++ 222 b) abcddcba 4 4444 +++ BT19: CMR: a)Với a, b, c là các số dơng, ta có: a) (a + b)(b + c)(c + a) 8abc b) Với mọi a, b, c ta có: )(4)()( 22 cbaabccbba ++++ BT20: Cho a + b = 1. Chứng minh rằng: a) 2 1 22 + ba b) 8 1 44 + ba c) 128 1 88 + ba BT21: a) Cho a + b + c + d = 2. Chứng minh rằng: 1 2222 +++ dcba b) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng: b + c 16abc c) Cho a, b > 0 và a + b = 1. Chứmg minh rằng: 5,12 11 22 ++ + b b a a Dạng 3. Sử dụng BĐT để tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số. * Phơng pháp: - Ta đa các biểu thức đại số cần tìm GTLN, GTNN về một trong 2 trờng hợp: + TH1: A 2 + k k, (giá trị nhỏ nhất là k). + TH2: - A 2 + k k, (giá trị lớn nhất là k). - Tìm giá trị của biến (nếu có) để đẳng thức xảy ra. BT1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x + 1) 2 + (x - 3) 2 HD: Ta có: P = (x 2 + 2x + 1) + (x 2 6x + 9) = 2x 2 4x + 10 = 2(x 2 2x + 1) + 8 = 2(x 1) 2 + 8 Vì (x 1) 2 0 với mọi giá trị của x . P = 2(x 1) 2 + 8 8. Đẳng thức xảy ra x 1 = 0 x = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 8 x = 1. BT2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + 6y 2 + 14z 2 8yz + 6zx 4xy HD: P 222 3)(2)32( zzyzyx ++++= P 0 với mọi giá trị của x, y, z Đẳng thức xảy ra x = y = z = 0. Vậy GTNN của P = 0 x = y = z = 0 BT3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x 2 + 2y 2 + 3z 2 2xy + 2zx 2x 2y 8z + 2007 HD: 2001)1()2()1( 222 +++++= zzyzyx Ta có: (x y + z 1) 2 0, (y + z 2) 2 0, (z 1) 2 0 với mọi x, y, z. Q 2001. Đẳng thức xảy ra x = y = 1.Vậy GTNN của Q = 2001 x = y = 1. BT4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức E = xy + yz + zx, biết x + y + z = 3 BT5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x + 2005) 2 + (y + 2006) 2 + (z + 2007) 2 BT6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = (x + a) 2 + (y + b) 2 + (z + c) 2 , với a, b, c là các hằng số. BT7: Cho x, y là hai số thay đổi luôn thoả mãn điều kiện x + y = 1. Tìm GTNN của biêu thức A = x 3 + y 3 + x 2 + y 2 BT8: Cho x, y là hai số thay đổi luôn thoả mãn điều kiện x + 2y = 3. Tìm GTNN của biêu thức B = x 2 + 2y 2 BT9: Cho a, b, c, d là các số thực thoả mãn a + b = c + d . Tìm GTNN của biểu thức C = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) BT10: Tìm GTNN của biểu thức D = 2 20072007 2 22 2 11 )( .)()( axaxax ++++++ biết 200721 . xxx +++ = 2007 và 200721 , .,, aaa là các hằng số. BT11: Tìm GTNN của biểu thức E = (x + a) 2007 + (y + b) 2007 + (z + c) 2007 biết x + y + z = 6021 và a, b, c là các hằng số. BT12: Tìm GTLN của biểu thức G = 2 )2007( + x x , với x > 0. BT13: Tìm GTLN của biểu thức H = 22 22 yxyx yxyx + ++ với x > 0, y > 0. BT14: Cho x, y > 0 và x + y = 5. Tìm GTNN của biểu thức: A = yx 11 + Dạng 4. Sử dụng bất đẳng thức để tìm cực trị trong hình học BT1: Cho ABC. Qua một điểm M bất kì thuộc cạnh AC, kẻ các đờng thẳng song song với hai cạnh kia, chúng tạo thành với hai cạnh ấy một hình bình hành. Tìm vị trí của M để hình bình hành ấy có diện tích lớn nhất. HD: S' x y S2 S1 H B C a M FK Gọi hbh tạo thành là BEMF, diện tích (BEMF) = S , diện tích (ABC) = S. Ta cần tìm GTLN của S . Ta kẻ AK BC, AK cắt EM ở H. Ta có: S = EM . HK, S = 2 1 BC . AK, nên: AK KH BC EM S S 2 ' = Đặt MA = x, MC = y. Mặt khác ta có: yx y AK HK yx x BC EM + = + = ; (định lí Talet) 2' )( 2 yx xy S S + = . áp dụng BĐT ab ba + 2 2 hay (a + b) 2 4ab 2 1 )( 2 2' + = yx xy S S . Vậy GTLN của S = 2 1 S. Đẳng thức xảy ra x = y hay khi đó M là trung điểm của AC. BT2 : Cho hbh BEMF. Dựng đờng thẳng đi qua M cắt các cạnh của góc B tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất. HD: Xét 2 2 )( ' 2 + = xy yx S S BT3: Trong hình thang ABCD (BC // AD) có diện tích S không đổi, E là giao điểm của các đờng chéo, ở hình thang có thêm điều kiện gì thì ABE có diện tích lớn nhất. HD: S' S' S1 x x y S2 E A D B C K Ta có: dt(ABE) = dt(CDE) = S . Đặt dt(CEB) = S 1 , dt(AED) = S 2 . Trớc hết ta CM: 21 2 .' SSS = . Thật vậy: 21 2 2 1 2 1 .' ' ' ' ; ' SSS S S S S EA EC S S EA EC S S ==== (1) Đặt BC = x; AD = y, ta biểu thị các tỉ số S S S S S S ' ;; 21 theo x và y. Qua C kẻ đờng thẳng song song với BD, cắt AD ở K. Ta có DK = BC = x, dt(ACK) = S. Ta có: ACK đồng dạng với CEB và AED nên: 2 2 2 1 )( yx x AK BC S S + = = và 2 2 2 2 )( yx y AK AD S S + = = (2) Từ (1) và (2), ta có: 24 22 21 2 )( ' )( . ' yx xy S S yx yx S S S S S S + = + == Tiếp tục áp dụng BĐT ab ba + 2 2 , ta có: 4 1 )( ' 2 + = yx xy S S . Do đó: GTLN của S 4 1 = S. Đẳng thức xảy ra x = y hay khi đó hình thang ABCD là hình bình hành. BT4: Cho hình vuông và hình chữ nhật có cùng chu vi, hình nào có diện tích lớn hơn? Tại sao? Khi nào thì hai hình có diện tích bằng nhau? BT5: Cho hình vuông, hình thoi và hình chữ nhật có cùng chu vi, hình nào có diện tích lớn hơn? Tại sao? BT6: Trong các tam giác có diện tích bằng nhau thì tam giác nào có chu vi nhỏ nhất? Tại sao? BT7: Trong các tam giác vuông có đội dài cạnh huyền nh nhau thì tam giác nào có diện tích lớn nhất? Tại sao? BT8: Trong các tam giác có chu vi bằng nhau thì tam giác nào có diện tích lớn nhất? Tại sao? BT9: Cho a. b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR: cbacbacbacba 111111 ++ ++ + + + + BT10: Cho a. b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR: nnnnnn cbacbacbacba 111 )( 1 )( 1 )( 1 ++ ++ + + + + với mọi n N BT11: Cho a. b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR: 3 ++ + + + + cba a cba b cba c BT12: Cho a. b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR: 111 ++ ++ + + + + nnn nnn cba cba a cba b cba c mọi n N . Chuyên đề: bất đẳng thức Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức BT1: CMR với mọi a; b dơng, ta có: 2 + a b b a . Khi nào xảy ra đẳng thức? BT2: CMR. mãn đẳng thức: 3x + y = 1 CMR: 10 1 22 + yx BT8 Cho hai số x ; y thoả mãn đẳng thức: 4x + 3y 1 CMR: 5 1 94 22 + yx BT9 Cho hai số a ; b thoả mãn đẳng thức: