Đang tải... (xem toàn văn)
giúp bạn học tập thêm kiến thức cho môn toán.. toán là môn học rất khó yêu cầu các bạn thường xuyên học tập... tài liệu sẽ giúp các bạn hoàn chỉnh và đạt kết quả cao.. chúc các bạn đạt được kết quả tốt với môn toán... tích phân bội
Ơn Ngũ Minh Tích phân bội CHƯƠNG TÍCH PHÂN BỘI 3.1 Tích phân kép miền chữ nhật 3.1.1 Xem lại định nghĩa tích phân xác định 3.1.2 Thể tích tích phân kép 3.1.3 Quy tắc trung điểm 3.1.4 Giá trị trung bình 3.1.5 Các tính chất tích phân kép 3.2 Tích phân lặp 3.2.1 3.3 Khái niệm Tích phân kép miền tổng quát 10 3.3.1 Các dạng miền lấy tích phân kép 10 3.3.2 Các tính chất tích phân kép 15 3.4 Tích phân kép tọa độ cực 16 3.4.1 3.5 Tính tích phân kép tọa độ cực 16 Ứng dụng tích phân kép 19 3.5.1 Mật độ khối lượng 19 3.5.2 Mô men trọng tâm 20 3.5.3 Mô men quán tính 21 3.5.4 Xác suất 23 3.5.5 Kỳ vọng 24 3.6 Tích phân mặt 25 3.7 Tích phân bội ba 27 3.7.1 Khái niệm tích phân bội ba 27 3.7.2 Ứng dụng tích phân bội ba 31 3.8 Tích phân bội ba tọa độ trụ 33 3.8.1 Tọa độ trụ 33 3.8.2 Tính tích phân bội ba tọa độ trụ 34 3.9 Tích phân bội ba tọa độ cầu 35 3.9.1 Tọa độ cầu 36 3.9.2 Sự đánh giá tích phân bội ba với tọa độ cầu 37 3.10 Đổi biến tích phân bội 39 3.10.1 Đổi biến tích phân kép 39 3.10.2 Đổi biến tích phân bội ba 43 Ơn Ngũ Minh CHƯƠNG Tích phân bội TÍCH PHÂN BỘI Trong chương mở rộng ý nghĩa tích phân xác định tới tích phân hàm hai ba biến Các ý nghĩa sử dụng để tính thể tích, khối lượng trọng tâm miền tổng quát Chúng ta sử dụng tích phân kép để tính xác xuất hai biến ngẫu nhiên có liên quan Ta thấy hệ tọa độ cực (polar coordinates) hiệu tính tích phân kép số dạng miền đặc biệt Tương tự thế, giới thiệu hai hệ tọa độ không gian ba chiều – tọa độ trụ (cylindrical coordinates) tọa độ cầu (spherical coordinates) – đơn giản hóa việc tính tốn tích phân bội ba miền hay gặp khơng gian ba chiều 3.1 Tích phân kép miền chữ nhật Giống cách giải tốn tính diện tích dẫn đến định nghĩa tích phân xác định, tính thể tích vật thể trình dẫn đến định nghĩa tích phân kép 3.1.1 Xem lại định nghĩa tích phân xác định Trước hết nhớ lại kiện liên quan đến định nghĩa tích phân xác định hàm biến Nếu f(x) xác định [a, b], ta chia [a, b] thành n phần đoạn [xi–1, xi] với Dx = (b – a)/n chọn điểm xi* đoạn Sau lập tổng tích phân n [1] f x Dx * i k 1 lấy giới hạn tổng n + để nhận định nghĩa tích phân xác định hàm f từ a đến b: b [2] f x dx a n lim n f x Dx * i k 1 Trong trường hợp đặc biệt f(x) 0, tổng tích phân xem tổng b diện tích hình chữ nhật Hình 1, f x dx biểu thị diện tích miền nằm phía a đường cong y = f(x), từ a tới b 3.1.2 Thể tích tích phân kép Một cách tương tự, xem xét hàm hai biến xác định hình chữ nhật đóng R = [a, b][c, d] = {(x, y) R2 | a x b, c y d} giả sử f(x, y) Đồ thị f mặt cong với phương trình z = f(x, y) Trang Ơn Ngũ Minh Tích phân bội Giả sử S S vật thể nằm R đồ thị f, tức S = {(x, y, z) R3 | z f(x, y), (x, y) R2} (Xem Hình 2.) Đích ta tìm thể tích S Đầu tiên, chia hình chữ nhật R thành hình chữ nhật nhỏ Chúng ta thực điều cách chia đoạn [a, b] thành m đoạn [xi–1, xi] độ dài Dx = (b – a)/m chia đoạn [c, d] thành n đoạn độ dài Dy = (d – c)/n Bằng cách vẽ đường thẳng song song với trục tọa độ qua mút đoạn Hình 3, ta có dạng hình chữ nhật nhỏ Rij = [xi–1, xi][yj–1, yj] = {(x, y) | xi–1 x xi, yj–1 y yj} tất có diện tích DA = DxDy Nếu Rij ta chọn điểm ngẫu nhiên (xij*, yij*) xấp xỉ phần S nằm Rij khối hộp chữ nhật với đáy Rij chiều cao f(xij*, yij*), Hình Thể tích hình hộp chiều cáo nhân với diện tích đáy f(xij*, yij*)DA Nếu làm cho tất hình chữ nhật cộng thể tích hình hộp tương ứng, ta nhận giá trị xấp xỉ với thể tích S: m [3] n V f x*ij , yij* DA i 1 j 1 (Xem Hình 5.) Tổng kép có nghĩa với hình chữ nhật con, tính giá trị f điểm chọn nhân với diện tích hình chữ nhật con, cộng vào kết Trực giác ta mách bảo xấp xỉ cho [3] trở nên tốt m vag n lớn Trang Ơn Ngũ Minh Tích phân bội m V lim [4] m ,n n f x , y DA * ij * ij i 1 j 1 Chúng ta sử dụng biểu thức phương trình để xác định thể tích vật thể S nằm đồ thị f hình chữ nhật R Các giới hạn có dạng phương trình xảy thường xun, khơng tìm thể tích mà cịn loạt tình khác mà ta gặp phần 3.5, f không dương [5] Định nghĩa Tích phân kép f hình chữ nhật R m f x, y dA lim m ,n R n f x , y DA * ij * ij i 1 j 1 giới hạn tồn Ý nghĩa độ xác giới hạn Định nghĩa là, với > 0, tồn số N nguyên dương cho m n f x, y dA f x*ij , yij* D A i 1 j 1 R với số nguyên dương m n lớn N phép chọn điểm (xij*, yij*) Rij Hàm f gọi khả tích giới hạn Định nghĩa tồn Sự thật là, tích phân kép f tồn chứng tỏ f không "quá gián đoạn" Đặc biệt, f bị chặn [tức là, tồn số M cho |f(x, y)| M với (x, y) R], f liên tục đó, ngoại trừ hữu hạn điểm đường cong trơn f khả tích R Điểm (xij*, yij*) chọn tùy ý Rij, ta chọn góc trên–phải Rij [điểm (xi, yj), Hình 3] biểu thức tích phân kép nom đơn giản m [6] f x, y dA lim m ,n R n f x , y DA i j i 1 j 1 Bằng cách so sánh Định nghĩa Định nghĩa 5, ta thấy thể tích viết tích phân kép: Nếu f(x, y) thể tích V vật thể nằm hình chữ nhật R mặt cong z = f(x, y) V f x , y dA R m Tổng Định nghĩa 5, n f x , y DA , gọi tổng Riemann kép hay tổng * ij * ij i 1 j 1 tích phân kép dùng để xấp xỉ giá trị tích phân kép Nếu f hàm dương tổng tích phân kép biểu thị tổng thể tích cột, Hình 5, xấp xỉ thể tích nằm đồ thị f Ví dụ Ước lượng thể tích vật thể nằm hình vng R = [0, 2][0, 2] paraboloid elliptic z = 16 – x2 – 2y2 Chia R thành bốn hình vng chọn điểm mẫu góc trên–phải hình vng Rij Phác họa vật thể khối hộp chữ nhật xấp xỉ Trang Ơn Ngũ Minh Tích phân bội Các hình vng Hình Paraboloid đồ thị f(x, y) = 16 – Lời giải x2 – 2y2 diện tích hnhf vng DA = Xấp xỉ thể tích tổng Riemann với m = n = ta có 2 2 V f xi , y j DA f xi , y j = f(1,1) + f(1,2) + f(2,1) + f(2,2) = 34 i 1 j 1 i 1 j 1 Thể tích xấp xỉ khối hộp chữ nhật Hình Chúng ta nhận xấp xỉ tốt tăng số hình vng Hình cho thấy cột trơng giống vật thể thực xấp xỉ tương ứng trở nên xác sử dụng 16, 64, 256 ô vuông Trong phần thấy khối lượng xác 48 Ví dụ Cho R = {(x, y) | –1 x 1, –2 y 2}, ước lượng tích phân x dA R Lời giải Rất khó để ước lượng tích phân theo Định nghĩa 5, √1 − ≥0 nên ta tính tích phân cách ý đến thể tích Nếu = √1 − x2 + z2 = z 0, tích phân kép cho biểu thị thể tích vật thể nằm mặt trụ trịn x2 + y2 = hình chữ nhật R (Xem Hình 9.) Thể tích S diệc tích nửa hình trịn bán kính nhân với độ dài hình trụ Vì Trang Ôn Ngũ Minh Tích phân bội x dA R 1 2 3.1.3 Quy tắc trung điểm Các phương pháp mà sử dụng để tính xấp xỉ tích phân đơn Quy tắc Trung điểm (Midpoint Rule), Quy tắc Hình thang (Trapezoidal Rule), Quy tắc Simson (Simson's Rule) áp dụng với tích phân kép Ở xem xét Quy tắc Trung điểm cho tích phân kép Điều có nghĩa ta sử dụng tổng Riemann kép để xấp xỉ tích phân , kép, điểm (xij*, yij*) Rij chọn điểm tâm trung điểm [xi–1, xi] Rij Nói khác đi, trung điểm [yj–1, yj] Quy tắc Trung điểm tích phân kép m i 1 j 1 R n f x, y dA f xi , y j DA trung điểm [xi–1, xi] trung điểm [yj–1, yj] Sử dụng Quy tắc Trung điểm với m = n = để ước lượng giá trị tích phân Ví dụ x y dA , R = {(x, y) | x 2, y 2} R Khi sử dụng Quy tắc Trung điểm với m = n = 2, lượng giá hàm f(x, y) = x – 3y2 tâm bốn hình chữ nhật nhỏ Hình 10 Lời giải = , Vì = = , , = Diện tích hình chữ nhật nhỏ DA = Vì x y dA f x , y DA f x , y f x , y f x , y f x , y i = j 1 2 2 i 1 j 1 R 67 139 51 123 95 11.875 16 16 16 16 Chú ý Trong phần phát triển phương pháp hiệu để tính tích phân kép thấy giá trị xác tích phân kép Ví dụ –12 (Nhớ việc giải thích tích phân kép số đo thể tích hàm dấu tích phân f hàm dương Hàm f Ví dụ khơng phải hàm dương, tích phân khơng phải số đo thể tích Trong ví dụ phần 3.2, thảo luận làm để giải thích tích phân hàm mà luôn dương.) Nếu tiếp tục chia hình chữ nhật nhỏ Hình 10 thành bốn nhỏ với hình dạng tương tự, nhận xấp xỉ theo Quy tắc Trung điểm hiển thị biểu đồ bên Chú ý xấp xỉ tiến dần đến giá trị tích phân kép –12 3.1.4 Giá trị trung bình Nhớ lại giá trị trung bình hàm biến xác định [a, b] = ∫ ( ) Trang Ơn Ngũ Minh Tích phân bội Tương tự, ta định nghĩa giá trị trưng bình hàm hai biến xác định hình chữ nhật R = ( ) ∬ ( , ) A(R) diện tích R Nếu f(x, y) 0, phương trình ( ) =∬ ( , ) nói lên khối hộp với đáy R chiều cao fAB có thể tích với vật thể nằm đồ thị f [Nếu z = f(x, y) mô tả miền đồi núi Ví dụ bạn cắt ngang đỉnh núi độ cao fTB bạn dùng chúng lấp đầy vùng trũng (valley) để khu vực trở nên hồn tồn phẳng Xem Hình 11.] Bản đồ đồng mức Hình 12 cho thấy tuyết rơi (theo inches) xuống bang Colorado vào ngày 20 21 tháng 12 năm 2006 (Tiểu bang hình chữ nhật kích thước 388 dặm từ tây sang đông 276 dặm từ nam đến bắc.) Sử dụng đồ đồng mức để ước tính lượng tuyết rơi trung bình cho tồn tiểu bang Colorado vào ngày Lời giải Đặt gốc tọa độ góc tây nam tiểu bang Khi x 388, y 276 f(x, y) tuyết rơi (theo inches) vị vùng x dặm đông y dặm bắc tính từ gốc tọa độ Nếu R hình chữ nhật biểu thị Colorado trung bình tuyết roei ngày 20–12 tháng 12 = ( ) ( , ) A(R) = (388)(276) Để ước lượng giá trị tích phân kép này, sử dụng Quy tắc Trung điểm với m = n = Nói khác đi, chia R thành 16 hình chữ nhật nhỏ kích thước nhau, Hình 13 Diện tích hình chữ nhật nhỏ ∆ = ( )( ) (dặm)2 Sử dụng đồ đồng mức để ước lượng giá trị f tâm hình chữ nhật nhỏ: ( , ) ≈ , ∆ = = DA(0 + 15 + + + + 25 + 18.5 + 11 + 4.5 + 28 + 17 + 13.5 + 12 + 15 + 17.5 + 13] = (6693)(207) Trang Ơn Ngũ Minh Tích phân bội Vì fTB ≈ ( )( ) ( )( ) ≈ 12.9 Vào 20–21 tháng 12 năm 2006, lượng tuyết rơi trung bình Colorado xấp xỉ 13 inches 3.1.5 Các tính chất tích phân kép Chúng ta liệt kê ba tính chất tích phân kép tương tự với tích phân đơn Giả sử tất tích phân tồn Các tính chất gọi tuyến tính [7] ∬ [ ( , ) + ( , )] [8] ∬ ( , ) =∬ ( , ) ( , ) = ∬ +∬ ( , ) c số Nếu f(x, y) g(x, y) với (x, y) R [9] ∬ ( , ) ≥0 3.2 Tích phân lặp Nhớ lại thường khó để ước lượng tích phân đơn trực tiếp từ định nghĩa, định lý phép tính vi tích phân cung cấp phương pháp dễ dàng nhiều Đánh giá tích phân kép từ nguyên lý chí cịn khó khăn hơn, phần thấy cách biểu diễn tích phân kép tích phân lặp, mà sau đánh giá cách tính tốn hai tích phân đơn 3.2.1 Khái niệm Giả sử f hàm hai biến khả tích hình chữ nhật R = [a, b][c, d] Chúng ta sử dụng ký hiệu ∫ ( , ) nghĩa x cố định f(x, y) khả tích theo y từ c tới d Việc làm gọi tích phân phần theo biến y (Chú ý điều tương tự đạo hàm riêng.) Bây ∫ ( , ) biểu thức phụ thuộc x, xác định hàm x: ( )=∫ ( , ) Nếu tích phân hàm A theo x từ x = a tới x = b, ta nhận [1] ∫ ( ) ( , ) =∫ ∫ Tích phân bên vế phải phương trình gọi tích phân lặp Thường bỏ qua cặp ngoặc, [2] ∫ ∫ ( , ) =∫ ∫ ( , ) nghĩa tích phân theo y từ c tới d trước sau tích phân theo x từ a đến b Tương tự [3] ∫ ∫ ( , ) =∫ ∫ ( , ) nghĩa tích phân theo x từ a tới b trước sau tích phân theo y từ c đến d Ví dụ Ước lượng tích phân lặp sau (a) ∫ ∫ (b) ∫ ∫ Lời giải (a) Xem x số, ta nhận ( )=∫ = = Vì Trang Ơn Ngũ Minh Tích phân bội =∫ ∫ ∫ = = (b) Ta tính tích phân theo x trước =∫ ∫ ∫ ∫ =∫ =∫ = = Chý ý Ví dụ nhận đáp số Tổng quát, tích phân lặp phương trình nhau, tức trình tự lấy tích phân khơng quan trọng Điều tương tự Định lý Clairaut đạo hàm riêng chéo Định lý sau cung cấp phương pháp đánh giá tích phân kép cách biểu diễn tích phân lặp [4] Định lý Fubini Nếu f liên tục hình chữ nhật R = {(x, y) | a x b, c y d}, ( , ) ∬ ( , ) =∫ ∫ =∫ ∫ ( , ) Tổng quát hơn, điều f bị chặn R, gián đoạn số hữu hạn điểm tích phân lặp tồn Chứng minh định lý Fubini khó khăn để đưa vào sách này, đưa dấu hiệu trực quan cho trường hợp f(x, y) Nhớ ( , ) lại rằng, f dương giải thích tích phân kép ∬ thể tích V vật thể S nằm phía R phía mặt cong z = f(x, y) Nhưng có cơng thức khác sử dụng tích phân đơn =∫ ( ) A(x) diện tích thiết diện S mặt phẳng qua x vng góc với trục x Từ Hình ta thấy A(x) diện tích đường cong C có phương trình z = f(x, y) với x cố định c y d Do ( ) = ∫ ∬ ( , ) = =∫ ( ) ( , ) =∫ ∫ , ta có ( , ) Tương tự, sử dụng thiết diện vng góc với trục y Hình 2, ∬ Ví dụ ( , ) =∫ ∫ ( , ) Ước lượng tích phân kép ∬ ( − ) , R = {(x, y) | x 2, y 2} (So sánh với Ví dụ 3.1) Lời giải Định lý Fubini cho ∬ ( −3 ) =∫ ∫ ( −3 ) Trang =∫ [ − ] Ôn Ngũ Minh Tích phân bội = ∫ ( − 7) Lời giải = −7 = −12 Vẫn áp dụng Định lý Fubini, tích phân theo x trước, ta có ∬ ( −3 ) =∫ ∫ ( −3 ) =∫ = ∫ (2 − −3 = (2 − ) ) = −12 Chú ý kết Ví dụ số âm, khơng có mâu thuẫn Hàm f khơng dương, tích phân khơng biểu thị thể tích Từ Hình ta thấy f ln âm R, giá trị tích phân trái dấu với số đo thể tích vật thể nằm đồ thị f R ( Ví dụ Ước lượng tích phân ∬ Lời giải Tích phân theo x trước, ta ( ∬ ) ) ( =∫ ∫ =∫ (− Lời giải , ỏ R = [1, 2][0, ] ) + = ∫ − cos( ) =− )| =0 Nếu đảo trình tự lấy tích phân, ta nhận ( ∬ ) ( =∫ ∫ ) Ta sử dụng phương pháp tích phân phần với u=y ( ∬ ( =− ) ) ( =− + sin( ( =− dv = sin(xy)dy du = dy ) )| ) + ∫ cos( ( =− ) ) + Tích phân phần tích phân thứ nhất, u = –1/x, dv = cosxdx, ta có ∫ − ( ) ( Do ∫ − nên ∫ ∫ =− ( ) ) + ( ) ( ) =− ( −∫ ) =− ( ) = ( ) , ( ) − =0 Với hàm f nhận hai giá trị dương âm, ∬ ( , ) sai khác thể tích: V1 – V2, V1 thể tích R đồ thị cịn V2 thể tích R đồ thị Sự kiện tích phân Ví dụ chứng tỏ hai thể tích Ví dụ Tìm thể tích vật thể S giới hạn paraboloid elliptic Lời giải x2 + 2y2 + z = 16, mặt phẳng x = y = ba mặt phẳng tọa độ Trước hết ta thấy S vật thể nằm mặt cong z = 16 – x2 – 2y2 hình chữ nhật R = [0, 2][0, 2] (Xem Hình 5.) Vật thể xem xét Ví dụ mục 3.1, sử dụng Định lý Fubini để đánh giá tích phân kép Do Trang Ơn Ngũ Minh Tích phân bội Lời giải Miền E Hình Nếu xem loại cần phải xem xét chiếu lên mặt phẳng xy, D1, parabol Hình 10 Từ y = x2 + y2 ta nhận =− − =± − , nên biên E = − biên Do mơ tả E thuộc kiểu = {( , , ) | − ≤ ≤ 2, ≤ ≤ 4, − − ≤ ≤ − } ta nhận ∭ √ + =∫ ∫ ∫ + √ Mặc dù thể đúng, khó để tính Vì thay cách xem E loại Như vậy, chiếu lên mặt phẳng xz, D3, đĩa x2 + z2 (Hình 11) Như biên trái E paraboloid y = x2 + z2 biên phải mặt phẳng y = 4, thay u1(x, z) = x2 + z2 u2(x, z) = vào phương trình 11, ta có ∭ √ + =∬ = ∬ (4 − √ √ Mặc dù tích phân viết ∫ ∫ − ∫ √ )√ + (4 − − + )√ + , chuyển sang tọa độ cực mặt phẳng xz: x = rcos, z = rsin Ta nhận ∬ (4 − =2 Ví dụ − − )√ + =∫ ∫ (4 − ) =∫ ∫ (4 − ) = Đưa tích phân lặp ∫ ∫ ∫ ( , , ) dạng tích phân bội ba viết lại dạng tích phân lặp theo thứ tự theo x, theo z theo y Lời giải Ta viết ∫ ∫ ∫ ( , , ) =∭ ( , , ) E = {(x, y, z) | x 1, y x2, z y} Mô tả cho phép viết hình chiếu lên ba mặt phẳng tọa độ sau: Trên mặt phẳng xy: D1 = {(x, y) | x 1, y x2} = {(x, y) | y 1, Trên mặt phẳng yz: D2 = {(y, z) | y 1, z y} Trên mặt phẳng xz: D3 = {(x, z) | x 1, z x2} Trang 30 x 1} Ơn Ngũ Minh Tích phân bội Từ phác họa hình chiếu Hình 12, phác họa vật thể E Hình 13 Chúng ta thấy vật thể giới hạn mặt phẳng z = 0, x = 1, y = z mặt trụ y = x2 (hay x = ) Nếu tích phân theo trình tự x, z y, sử dụng biểu diễn sau: E = {(x, y, z) | y 1, z y, Vì ( , , ) ∭ =∫ ∫ ∫ √ x 1} ( , , ) 3.7.2 Ứng dụng tích phân bội ba Nhắc lại f(x, y) tích phân đơn ∫ ( ) thể diện tích miền nằm đường cong y = f(x) từ a tới b, f(x, y) tích phân kép ∬ ( , ) thể thể tích vật thể nằm mặt cong z = f(x, y) miền D Sự giải thích tương ứng tích phân bội ba ∭ ( , , ) với f(x, y, z) không hữu dụng cần "siêu thể tích" (hypervolume) đối tượng bốn chiều, tất nhiên điều khó hình dung (Nhớ E miền xác định hàm f, đồ thị f nằm không gian chiều.) Dù sao, tích phân bội ba giải thích theo cách khác tình vật lý khác, phụ thuộc vào sựu giải thích vật lý x, y, z f(x, y, z) Chúng ta bắt đầu với trường hợp đặc biệt f(x, y, z) = với điểm E Khi tích phân bội ba biểu thị thể tích E: [12] ( )=∭ Ví dụ, ta thấy điều trường hợp E thuộc loại cách đặt f(x, y, z) = vào công thức 6: ∭ =∬ ∫ ( , ) ( , ) =∬ [ ( , )− ( , )] từ mục 3.3 ta biết thể tích vật thể nằm mặt z = u1(x, y) z = u2(x, y) Ví dụ Sử dụng tích phân bội ba tính thể tích tứ diện T giới hạn mặt phẳng x + 2y + z = 2, x = 2y, x = z = Lời giải Tứ diện T hình chiếu D lên mặt phẳng xy Hình 14 Hình 15 Biên T mặt phẳng z = biên mặt phẳng x + 2y + z = 2, tức z = – x – 2y Trang 31 Ơn Ngũ Minh Tích phân bội Do ta có ( )=∭ / =∫ ∫/ =∫ ∫/ ∫ / (2 − −2 ) = theo cách tính Ví dụ mục 3.3 (Nhận thấy khơng phải cần thiết để sử dụng tích phân bội ba để tính thể tích mà đơn giản đưa phương pháp thay cho việc thiết lập tính tốn.) Tất cá ứng dụng tích phân kép mục 3.3 mở rộng trực tiếp tới tích phân bội ba Ví dụ, hàm mật độ vật thể choán miền E (x, y, z), đơn vị khối lượng/đơn vị thể tích, điểm dã cho (x, y, z) khối lượng [13] ( , , ) =∭ mơ men ba mặt phẳng tọa độ [14] ( , , ) =∭ ( , , ) =∭ =∭ ( , , ) Trọng tâm điểm ( , , ), [15] = = = Các mơ men qn tính ba trục tọa độ [16] =∭ ( ) ( , , ) + =∭ ( =∭ ( + ) ( , , ) + ) ( , , ) Như mục 3.5, tổng điện tích vật thể chốn miền E có mật độ điện tích (x, y, z) =∭ ( , , ) Nếu ta có ba biến ngẫu nhiên X, Y Z, hàm mật độ chung chúng hàm ba biến, xác suất mà (X, Y, Z) thuộc E ( , , ) ∈ =∭ ( , , ) Đặc biệt, ( ≤ ≤ , ≤ ≤ , ≤ ≤ )=∫ ∫ ∫ ( , , ) Hàm mật độ chung thỏa mãn ( , , )≥0 ∫ ∫ ∫ ( , , ) =1 Ví dụ Tìm trọng tâm vật thể đồng chất giới hạn trụ x = y2 mặt phẳng x = z, z = x = Lời giải Vật thể E hình chiếu lên mặt phẳng xy Hình 16 Các mặt cuae E mặt phẳng z = z = x, mơ tả E loại 1: E = {(x, y, z) | –1 y 1, y2 x 1, z x} Trang 32 Ơn Ngũ Minh Tích phân bội Nếu mật độ (x, y, z) = , khối lượng =∭ =∫ ∫ ∫ = ∫ (1 − ) = ∫ (1 − ) = ∫ ∫ = − = ∫ = Vì đối xứng E qua mặt phẳng xz, trực tiếp nói Mxz = = Các mô men khác =∭ = =∫ ∫ ∫ ∫ (1 − =∭ ) = = − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = ∫ = = ∫ ∫ ∫ (1 − = Do trọng tâm ( , , ) = , , ) = = , 0, 3.8 Tích phân bội ba tọa độ trụ Trong hình học phẳng, hệ tọa độ cực sử dụng để mô tả thuận tiện số đường miền định Hình cho phép nhớ lại mối liên hệ tọa độ cực tọa độ Đề Với điểm P, tọa độ Đề (x, y) tọa độ cực (r, ) từ hình vẽ, x = rcos y = rsin r2 = x2 + y2 tan = y/x Trong khơng gian ba chiều có hệ tọa độ, gọi tọa độ trụ (cylindrical coordinates), tương tự tọa độ cực cho phép mô tả thuận tiện số mặt cong vật thể hay thông dụng Ta thấy, số tích phân bội ba dễ dàng tính tọa độ trụ 3.8.1 Tọa độ trụ Trong tọa độ trụ, điểm P không gian ba chiều biểu diễn theo ba có thứ tự (r, , z), r tọa độ trụ chiếu P lên mặt phẳng xy z khoảng cách định hướng từ mặt phẳng xy tới P (Xem Hình 2.) Để chuyển từ tọa độ trụ tới tọa độ Đề các, ta sử dụng phương trình [1] x = rcos y = rsin z=z chuyển từ tọa độ Đề tới tọa độ cực ta dùng phương trình [2] r2 = x2 + y2 tan = y/x z=z Ví dụ (a) Vẽ điểm với tọa độ trụ (2, 2/3, 1) tìm tọa độ Đề (b) Tìm tọa độ trụ điểm với tọa độ Đề (3, –3, –7) Lời giải Trang 33 Ôn Ngũ Minh Tích phân bội (a) Điểm với tọa độ trụ (2, 2/3, 1) vẽ Hình Từ phương trình 1, tọa độ Đề là: =2 =2 − = −1 =2 =2 √ = √3 =1 Vậy tọa độ Đề điểm −1, √3, (b) Từ phương trình ta có = + (−3) = 3√2 = − = −1 ê Do tập tọa độ trụ 3√2, = + =7 + , −7 Tọa độ hình trụ hữu ích vấn đề có liên quan đến tính đối xứng quanh trục trục z chọn để trùng với trục đối xứng Ví dụ, trục mặt trụ trịn với phương trình x2 + y2 = c2 trục z Trong tọa độ trụ, mặt trụ có phương trình đơn giản r = c (Xem Hình 4) Đây lý cho tên tọa độ "trụ" Ví dụ Mơ tả mặt cong mà phương trình tọa độ trụ z = r Lời giải Phương trình nói lên giá trị z, hay chiều cao, điểm mặt cong r, khoảng cách từ điểm tới trục z Bởi khơng có mặt nên thay đổi Vì vết ngang mặt phẳng z = k (k > 0) đường trịn bán kính k Những vết cho thấy mặt cong hình nón Dự đốn xác nhận cách chuyển đổi phương trình tọa độ Đề Từ phương trình [2] có z2 = r2 = x2 + y2 Chúng ta ghi nhận phương trình z2 = x2 + y2 hình nón trịn mà trục trục z (xem Hình 5) 3.8.2 Tính tích phân bội ba tọa độ trụ Giả sử E miền loại với hình chiếu D lên mặt phẳng xy mơ tả tọa độ cực (xem Hình 6) Đặc biệt, giả thiết f liên tục E = {(x, y, z) | (x, y) ∈ D, u1(x, y) ≤ x ≤ u2(x, y)} D cho tọa độ cực D = {(r, θ) | α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ)} Chúng ta biết từ phương trình 3.7.6 [3] ∭ ∬ ∫ ( , ) ( , ) ( , , ) = ( , , ) Trang 34 Ôn Ngũ Minh Tích phân bội Nhưng biết cách tính tích phân kép tọa độ cực Thực tế, kết hợp phương trình với phương trình 3.4.3 ta nhận [4] ( , , ) ∭ ( ) ( ∫ ( ( ) =∫ ∫ , ) ) , ( , ) , Công thức cơng thức tính tích phân bội ba tọa độ cực Nó nói lên chuyển tích phân bội ba tọa độ Đề sang tọa độ trụ cách viết x = rcosθ, y = rsinθ, z giữ nguyên, sử dụng cận thích hợp tích phân z, r θ, thay dV rdzdrdθ (Hình cách nhớ điều đó.) Cơng thức sử dụng E vật thể dễ dàng mô tả tọa độ trụ đặc biệt hàm f(x, y, z) liên quan tới biểu thức x2 + y2 Ví dụ Một vật thể bên hình trụ x2 + y2 = 1, bên mặt phẳng z = 4, bên paraboloid z = – x2 – y2 (Xem Hình 8.) Mật độ điểm tỷ lệ với khoảng cách từ tới trục hình trụ Tính khối lượng E Lời giải Trong tọa độ trụ, phương trình hình trụ r = phương trình paraboloid z = – r2, ta viết E = {(r, θ, z) | ≤ θ ≤ 2π, ≤ r ≤ 1, – r2 ≤ z ≤ 4} Vì mật độ (x, y, z) tỷ lệ với khoảng cách từ đến trục z nên hàm mật độ ( , , ) = + = K số tỷ lệ Từ công thức 3.7.13, khối lượng E =∭ =∫ ∫ =2 √ √ + =∫ [4 − (1 − )] + ∫ ∫ ( = ∫ ∫ (3 ( ∫ + ) Tính ∫ ∫ Lời giải Tích phân lặp tích phân bội ba miền ≤ 2, −√4 − ≤ ≤ √4 − , + hình chiếu E lên mặt phẳng xy đĩa E nón ) + = Ví dụ = {( , , ) | − ≤ ) = + x2 + ≤ y2 ≤2 ≤ Mặt mặt mặt phẳng z = (Xem Hình 9.) Mơ tả E tọa độ trụ E = {(r, θ, z) | ≤ θ ≤ 2π, ≤ r ≤ 2, r ≤ z ≤ 2} Do ta có ∫ ∫ =∫ ∫ ∫ √ √ =∫ ( ∫ ∫ + ) (2 − ) =∭ ( =2 − ) + = 3.9 Tích phân bội ba tọa độ cầu Một hệ tọa độ không gian ba chiều tọa độ cầu (spherical) Nó đơn giản hóa cách tính tích phân bội ba miền giới hạn hình cầu hình nón Trang 35 Ơn Ngũ Minh Tích phân bội 3.9.1 Tọa độ cầu Tọa độ cầu (ρ,θ, ϕ) điểm P không gian Hình 1, ρ = |OP| khoảng cách từ gốc tọa độ đến P, θ giống góc tọa độ trụ, ϕ góc hướng dương trục z với OP Chú ý ρ ≥ 0 ≤ ϕ ≤ π Hệ tọa độ cầu đặc biệt hữu ích tốn có điểm đối xứng gốc tọa độ đặt điểm Ví dụ, hình cầu với tâm gốc tọa độ bán kính c có phương trình đơn giản ρ = c (xem Hình 2), điều giải thích tên tọa độ "cầu" Đồ thị phương trình θ = c nửa mặt phẳng (sem Hình 3), phương trình ϕ = c biểu thị nửa hình nón với trục z trục (xem Hình 4) Mối liên hệ tọa độ Đề tọa độ cầu thấy từ Hình Từ tam giác OPQ OPP' ta có z = ρcosϕ r = ρsinϕ Nhưng x = rcosθ y = rsinθ nên để chuyển từ tọa độ cầu sang tọa độ Đề các, ta sử dụng [1] x = ρsinϕ cosθ y = ρsinϕ sinθ z = ρcosϕ Ngồi ra, cơng thức khoảng cách [2] ρ2 = x2 + y2 + z2 Chúng ta sử dụng phương trình để chuyển từ tọa độ Đề sang tọa độ cầu Ví dụ Điểm (2, π/4, π/3) cho tọa độ cầu Vẽ điểm tìm tọa độ Đề Lời giải Chúng ta vẽ điểm Hình Từ phương trình ta có x = ρsinϕcosθ = 2sin =2 y = ρsinϕsinθ = 2sin =2 z = ρcosϕ = 2cos = √ = √ √ = √ =1 Vậy tọa độ Đề điểm 3/2, 3/2, Ví dụ Điểm 0, 2√3, −2 cho tọa độ Đề các, tìm tọa độ cầu Lời giải Từ phương trình ta có = + + = √0 + 12 + = phương trình cho = = =− ⟹ = = Trang 36 =0⟹ = Ơn Ngũ Minh Tích phân bội Chú ý θ ≠ 3π/2 y = 2√3 > Do tọa độ cầu điểm cho (4, π/2, 2π/3) 3.9.2 Sự đánh giá tích phân bội ba với tọa độ cầu Trong tọa độ cầu, tương ứng với khối hộp chữ nhật tọa độ Đề nêm cầu (spherical wedge) E = {(ρ, θ, ϕ) | a ≤ ρ ≤ b, α ≤ θ ≤ β, c ≤ ϕ ≤ d} a ≥ β – α ≤ 2π, d – c ≤ π Mặc dù định nghĩa tích phân bội ba cách chia vật thể thành nhiều khối hộp chữ nhật nhỏ, chia thành nhiều nêm cầu nhỏ cho kết Vì chia E thành nêm cầu nhỏ Eijk mặt cầu ρ = ρi, nửa mặt phẳng θ = θj nửa hình nón ϕ = ϕk Hình Eijk xấp xỉ với khối hộp chữ nhật có ba kích thước Δρ, ρiΔϕ (cung đường trịn bán kính ρi, góc Δθ), ρisinϕkΔθ (cung đường trịn bán kính ρisinϕk, góc Δθ) = (D)( ∆ )( Vì xấp xỉ thể tích Eijk ∆ Δ )= Δ Δ Δ Thực tế, rằng, với hỗ trợ Định lý giá trị trung bình, thể tích Eijk xác ∆ Giả sử = ∗ , Δ Δ Δ , ∗ ∭ = lim ∑ , , → ∗ , điểm Eijk tọa độ Đề điểm đó, ( , , ) ∑ , = lim ∑ , , → ∑ ∑ ∗ ∑ , , ∗ , ∗ , ∆ Δ Δ Δ Nhưng tổng Riemann hàm ( ( , , )= ( , , ) Do đa đến cơng thức tích phân bội ba tọa độ cầu [3] ∭ ( , , ) =∫ ∫ ∫ ( , , ) E nêm cầu cho E = {(ρ, θ, ϕ) | a ≤ ρ ≤ b, α ≤ θ ≤ β, c ≤ ϕ ≤ d} Công thức nói lên rằng, chuyển tích phân bội ba từ tọa độ Đề sang tọa độ cầu cách viết x = ρsinϕ cosθ y = ρsinϕ sinθ z = ρcosϕ sử dụng cận tích phân thích hợp, thay dV ρ2sinϕdρdθdϕ Điều minh họa Hình Cơng thức mở rộng cho miền tổng quát E = {(ρ, θ, ϕ) | α ≤ θ ≤ β, c ≤ ϕ ≤ d, g1(θ, ϕ) ≤ ρ ≤ g2(θ, ϕ)} Trong trường hợp công thức giống [3] ngoại trừ cận tích phân ρ g1(θ, ϕ) g2(θ, ϕ) Thông thường, tọa độ cầu sử dụng tích phân bội ba biên miền lấy tích phân mặt cong có dạng hình nón hình cầu hình / Ví dụ Tính ∭ Lời giải B = {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 ≤ 1} Vì biên B mặt cầu nên sử dụng tọa độ cầu: , B hình cầu đơn vị (unit ball): Trang 37 Ơn Ngũ Minh Tích phân bội B = {(ρ, θ, ϕ) | ≤ ρ ≤ 1, ≤ θ ≤ 2π, ≤ ϕ ≤ π} Hơn nữa, tọa độ cầu thuận lợi x2 + y2 + z2 = ρ2 Vì từ [3] ta nhận / ∭ =∫ ∫ =∫ ∫ / ∫ = [− ∫ ] (2 ) ( − 1) = Chú ý: Sẽ vơ khó khăn để tính tích phân bội ba Ví dụ mà khơng dùng tọa độ cầu Trong tọa độ Đề tích phân lặp ∫ ∫ √ √ / ∫ Sử dụng tọa độ cầu tính thể tích vật thể nằm mặt nón = Ví dụ + mặt cầu x2 + y2 + z2 = (Hình 9) Lời giải Chú ý mặt cầu qua gốc tọa độ có tậm (0, 0, 1/2) Chúng ta viết phương trình mặt cầu tọa độ cầu: ρ2 = ρcosϕ hay ρ = cosϕ Phương trình nặt nón viết = + = ⟹ = ⟹ = /4 Do mơ tả E tọa độ cầu E = {(ρ, θ, ϕ) | ≤ θ ≤ 2π, ≤ ϕ ≤ π/4 , ≤ ρ ≤ cosϕ} Hình 11 cho thấy cách mà E lan tích phân theo biến ρ trước, sau đến ϕ θ Thể tích E là: ( )=∭ =∫ ∫ / =∫ ∫ / ∫ = ∫ / Trang 38 = − / = Ơn Ngũ Minh Tích phân bội 3.10 Đổi biến tích phân bội 3.10.1 Đổi biến tích phân kép Với tích phân đơn, ta có quy tắc đổi biến: Nếu u = g(x) ∫ ( ) ( ) =∫ ( ) Bằng cách hoán đổi vai trị x u, ta viết lại [1] ∫ ( ) =∫ ( ( )) ′( ) x = g(u) a = g(c), b = g(d) Một cách viết khác công thức sau: [2] ∫ ( ) =∫ ( ( )) Sự đổi biến hiệu tích phân kép Chúng ta biết ví dụ đổi biến: chuyển sang tọa độ cực Các biến r θ có quan hệ với biến cũ theo phương trình x = rcosθ y = rsinθ với đổi biến, cơng thức 3.4.2 viết ∬ ( , ) =∬ ( , ) S miền mặt phẳng rθ tương ứng với miền R mặt phẳng xy Tổng quát hơn, xem xét đổi biến cho phép biến đổi T từ mặt phẳng uv sang mặt phẳng xy: T(u, v) = (x, y), x y quan hệ với u v theo phương trình [3] x = g(u, v) y = h(u, v) [oặc ta viết: x = x(u, v) y = y(u, v)] Chúng ta thường cho g h có đạo hàm riêng cấp liên tục Phép đổi biến T thực hàm mà miền xác định miền giá trị tập ℝ2 Nếu T(u1, v1) = (x1, y1) điểm (x1, y1) gọi ảnh điểm (u1, v1) Nếu khơng có hai điểm chung ảnh T gọi 1–1 (one–to–one) Hình mơ tả phép đổi biến T miền S thuộc mặt phẳng uv T biến S thành miền R mặt phẳng xy, gọi ảnh S, bao gồm ảnh tất điểm S Nếu T 1–1 tồn phép biến đổi ngược T–1 từ mặt phẳng xy sang mặt phẳng uv giải phương trình u v theo x y: u = G(x, y) v = H(x, y) Ví dụ Sự đổi biến xác định phương trình x = u2 – v2 y = 2uv Tìm ảnh hình vng S = {(u, v) | ≤ u ≤ 1, ≤ v ≤ 1} Trang 39 Ôn Ngũ Minh Lời giải Tích phân bội Phép đổi biến ánh xạ biên S thành biên ảnh Vì bắt đầu tìm ảnh cạnh S Cạnh đàu tiên, S1, cho v = (0 ≤ u ≤ 1) (Xem Hình 2.) Từ phương trình cho ta có x = u2, y = 0, ≤ x ≤ Vì S1 ánh xạ thành đoạn từ (0, 0) tới (1, 0) mặt phẳng xy Cạnh thứ hai, S2, u = (0 ≤ v ≤ 1), thay u = vào phương trình, ta nhận x = – v2 y = 2v Loại bỏ v ta nhận [4] =1− 0≤ ≤2 mpptj phần parabola Tương tự, S3 cho v = (0 ≤ u ≤ 1), ảnh cung parabola = [5] −1 0≤ ≤2 Cuối cùng, S4 cho u = (0 ≤ v ≤ 1), ảnh x = – v2 , y = 0, tức –1 ≤ x ≤ (Chú ý di chuyển quanh hình vng theo hướng ngược chiều kim đồng hồ, ta di chuyển quanh miền parabolic theo hướng ngược chiều kim đồng hồ.) Ảnh S miền R (trên Hình 2) giới hạn trục x parabola cho phương trình phương trình Bây xem đổi biến ảnh hưởng đến tích phân kép Chúng ta bắt đầu với hình chữ nhật nhỏ S mặt phẳng uv, có góc bên trái điểm (u0, v0) kích thước Δu Δv (xem Hình 3) Ảnh S miền R mặt phẳng xy, điểm biên (x0, y0) = T(u0, v0) Véc tơ r(u, v) = g(u, v)i + h(u, v)j véc tơ vị trí ảnh điểm (u, v) Phương trình cạnh S v = v0, đường cong ảnh đường cong cho hàm véc tơ r(u, v0) Véc tơ tiếp tuyến (x0, y0) đường cong ảnh = ( , ) +ℎ ( , ) = + Tương tự, véc tơ tiếp tuyến (x0, y0) đường cong ảnh cạnh trái S (tên u = u0) = ( , ) +ℎ ( , ) = + Chúng ta xấp xỉ miền ảnh R = T(S) hình bình hành xác định vectơ cát tuyến (Hình 4): a = r(u0 + Δu, v0) – r(u0, v0) b = r(u0, v0 + Δv) – r(u0, v0) Trang 40 Ôn Ngũ Minh Tích phân bội = lim Nhưng ( ) ∆ , ( , ) ∆ ∆ → r(u0 + Δu, v0) – r(u0, v0) Duru Tương tự r(u0, v0 + Δv) – r(u0, v0) Dvrv Điều có nghĩa xấp xỉ R hình bình hành xác định véc tơ Δuru Δvrv (xem Hình 5) Do xấp xỉ diện tích R diện tích hình bình hành này: [6] |(Δuru) (Δvrv)| = |ru rv|ΔuΔv Tính tích vơ hướng ta nhận × = = = Định thức cuối gọi Jacobian phép đổi biến ký hiệu đặc biệt [7] Định nghĩa Jacobian phép đổi biến T: x = g(u, v), y = h(u, v) ( , ) ( , ) = = − Với ký hiệu này, sử dụng phương trình để đưa xấp xỉ diện tích ΔA R: ∆ ≈ [8] ( , ) ( , ) ∆ ∆ Jacobian ước lượng (u0, v0) Tiếp theo chia miền S mặt phẳng uv thành hình chữ nhật Sij gọi ảnh chúng mặt phẳng xy Rij (Hình 6) Thực xấp xỉ [8] cho Rij, ta xấp xỉ tích phân kép f R sau: ∬ ( , ) ≈∑ ∑ , ≈∑ ∑ ( ( , ∆ ), ℎ( , )) ( , ) ( , ) ∆ ∆ Jacobian ước lượng (ui, vj) Chú ý tổng kép tổng Riemann tích phân ∬ ( ( , ), ℎ( , )) ( , ) ( , ) Lập luận gợi ý định lý sau (Chứng minh đầy đủ trình bày sách giải tích nâng cao) Trang 41 Ơn Ngũ Minh Tích phân bội [9] Định lý (đổi biến tích phân kép) Giả sử T phép đổi biến có đạo hàm riêng liên tục Jacobian khác ánh xạ miền S mặt phẳng uv thành miền R mặt phẳng xy Giả sử f liên tục R, R S miền phẳng loại loại Giả sử T 1–1, loại trừ biên S Khi ( , ) ∬ ( , ) ( ( , ), ( , )) =∬ ( , ) Định lý nói lên thay việc tính tích phân theo x y tích phân theo u v cách biểu diễn x y theo u v, viết ( , ) = ( , ) Nhận thấy giống Định lý công thức phương trình Thay cho đạo hàm dx/du, ta có trị tuyệt đối Jacobian, tức |(x,y)/ (u,v)| Để làm minh họa cho Định lý 9, cơng thức tích phân tọa độ cực trường hợp đặc biệt Ở phép biến đổi T từ mặt phẳng rθ tới mặt phẳng xy cho x = g(r, θ) = rcosθ y = h(r, θ) = rsinθ tính hình học phép biến đổi Hình T ánh xạ hình chữ nhật thơng thường mặt phẳng rθ tới hình chữ nhật cực mặt phẳng xy Jacobian T ( , ) ( , ) = − = = + = >0 Vì Định lý cho ( , ) ( = ) , ( , ) ( , ) ( = , ) hồn tồn trùng với cơng thức 3.4.2 Sử dụng phép đổi biến x = u2 – v2, y = 2uv để tính tích phân ∬ Ví dụ , R miền giới hạn trục x parabola y2 = – 4x y2 = + 4x, y ≥ Lời giải Miền R Hình Trong Ví dụ phát T(S) = R, S hình vng [0, 1][0, 1] Thật vậy, lý đổi biến để tính tích phân S so với R miền đơn giản nhiều Trước hết tính Jacobian: ( , ) ( , ) = = 2 + =4 =∬ Theo Định lý 9, ∬ = 8∫ ∫ ( −2 ) = 8∫ +4 ( , ) >0 = ∫ ∫ (2 ( , ) + Trang 42 )4( + ) Ơn Ngũ Minh Tích phân bội = ∫ (2 + Chú ý ) =[ ] =2 + Ví dụ khơng phải vấn đề khó giải đưa phép đổi biến phù hợp Nếu khơng cung cấp phép đổi biến, nghĩ đổi biến thích hợp Nếu f(x, y) khó lấy tích phân, dạng f(x, y) gợi ý phép đổi biến Nếu miền lấy tích phân phức tạp, phép đổi biến phải chọn cho miền S tương ứng mặt phẳng uv mô tả thuận tiện Ví dụ Tính tích phân ∬ , R hình thang với đỉnh (1, 0), (2, 0), (0, Vì khó tính tích phân nên đổi biến theo gợi ý hàm –2) (0, –1) Lời giải [10] u=x+y v=x–y Các phương trình xác định phép đổi biến T–1 từ mặt phẳng xy sang mặt phẳng uv Định lý nói phép đổi biến T từ mặt phẳng uv sang mặt phẳng xy Nó nhận cách giải phương trình 10 x y: [11] x = (u + v)/2 Jacobian T ( , ) ( , ) = y = (u – v)/2 = − =− Để tìm miền S mặt phẳng uv tương ứng với R, ý cạnh R nằm đường thẳng y=0 x–y=2 x=0 x–y=1 từ phương trình 10 11, đường thẳng ảnh mặt phẳng uv u=v v=2 u = –v v=1 Vì miền S hình thang với đỉnh (1, 1), (2, 2), (–2, 2) (–1, 1) Hình Do S = {(u, v) | ≤ v ≤ 2, –v ≤ u ≤ v} Định lý cho ∬ =∬ =∫ ∫ = ∫ ( − ) = ( − ) 3.10.2 Đổi biến tích phân bội ba Có cơng thức đổi biến tương tự tích phân bội ba Giả sử T phép đổi biến ánh xạ miền S không gian uvw sang mặt phẳng R không gian xyz theo nghĩa phương trình x = g(u, v, w) y = h(u, v, w) z = k(u, v, w) Jacobian T định thức cấp 3: Trang 43 Ôn Ngũ Minh Tích phân bội ( , , ) [12] ( , , ) = Với giả thiết tương tự Định lý 9, ta có cơng thức sau cho tích phân bội ba: [13] ∭ ( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) =∭ ( , , ) ( , , ) Sử dụng công thức 13 để rút cơng thức cho tích phân bội ba tọa độ cầu Phép đổi biến x = ρsinϕ cosθ y = ρsinϕ sinθ z = ρcosϕ Chúng ta tính Jacobian sau: − ( , , ) = ( , , ) − − − = − Ví dụ Lời giải ( =− )− + =− Vì ≤ − ≥ 0, ( , , ) = |− ( , , ) công thức 13 viết lại ∭ ( =− ≤ π nên ( , , ) =∭ |= ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) tương đương với cơng thức 3.9.3 Trang 44 + ) ... Minh Tích phân bội ∙ (1 + ) =2 = 37 ? ?37 − 3. 7 Tích phân bội ba 3. 7.1 Khái niệm tích phân bội ba Cũng định nghĩa tích phân đơn cho hàm biến tích phân kép cho hàm hai biến, định nghĩa tích phân bội. .. + + = √0 + 12 + = phương trình cho = = =− ⟹ = = Trang 36 =0⟹ = Ơn Ngũ Minh Tích phân bội Chú ý θ ≠ 3? ? /2 y = 2? ? ?3 > Do tọa độ cầu điểm cho (4, π /2, 2? ? /3) 3. 9 .2 Sự đánh giá tích phân bội ba với tọa... {(x, y) | –1 x 1, 2x2 y + x2} 2, Bởi cận y = 2x2 cận y = + x2, phương trình trở thành ∬ ( +2 ) =∫ [ + − +2 = ∫ (? ?3 ( +2 ) =∫ ∫ ] + + 1) =− = Khi thiết lập tích phân kép Ví dụ 1, cần phác