Đang tải... (xem toàn văn)
Bài viết xét bài toán biên và ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến; đây là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho sinh viên chuyên ngành Toán. Mời các bạn cùng tham khảo bài viết để nắm chi tiết nội dung.
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Nguyễn Văn Ý VỀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH SĨNG PHI TUYẾN u tt (u x f (u )) u t F ( x, t ) x LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET THUẦN NHẤT Nguyễn Văn Ý* Mở đầu Trong này, xét tốn biên ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến utt (u x f (u )) ut F ( x, t ), x 1, t T , x (1.1) u (0, t ) u(1, t ) 0, (1.2) u ( x, 0) u0 ( x), ut ( x, 0) u1 ( x), (1.3) , hai số cho trước f , F , u0 , u1 hàm cho trước thỏa giả thiết mà ta đặt sau Phương trình (1.1) viết lại dạng utt ( x, t ) ut F ( x, t ), x 1, t T , x (1.4) đó, ( x, t ) u x f (u ) (1.5) Trường hợp ( x, t ) (u x , u xt ) có nhiều cơng trình nghiên cứu Khởi đầu với trường hợp (u x ) uxt , 0, C ( ), (0) 0, 0, toán (1.2) – (1.4) xét Greenberg, MacCamy, Mizel [10] Đây mơ hình tốn học mơ tả dao động dọc đàn hồi nhớt phi tuyến, u ( x, t ) độ dịch chuyển so với vị trí cân Từ xuất cơng trình [10], có nhiều cơng trình cơng bố liên quan đến toán này, chẳng hạn như: Greenberg [11], Greenberg, MacCamy [12], Dafermos [6], Andrews [2], Clements [4] * ThS, Trường THPT chuyên Hùng Vương – Bình Dương 63 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 Về mặt hình thức phương trình (1.1) có dạng (1.6) utt uxx g ( x, t , u, ux , ut ), g ( x, t, u, ux , ut ) F ( x, t ) f (u )u x ut , nhiên mặt ý nghĩa có điểm khác biệt riêng Trong [9], Ficken Fleishman chứng minh tồn nghiệm phương trình uxx utt 21ut 2u u b, với bé (1.7) Trong báo Caughey Ellison [5], hợp xấp xỉ trường hợp trước để bàn tồn tại, tính ổn định tiệm cận nghiệm cổ điển cho hệ động lực phi tuyến liên tục Bài gồm phần Trong phần 1, với điều kiện 0, 0, u0 H 01 H , u1 H 01 , F, F L (0, ; L2 ), x F (0, t ) F (1, t ) 0, t 0, f C ( ) thỏa f (0) 0, chứng minh tồn nghiệm yếu u toán (1.1) – (1.3) Trong phần 2, với giả thiết thích hợp chúng tơi nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm u u( ) theo tham số bé Sự tồn nghiệm Chúng ta bỏ qua định nghĩa khơng gian hàm thơng dụng Ta kí hiệu: p L Lp (), H m H m () W m ,2 (), W m , p W m , p ( ), (0,1), QT (0, T ), T Ta dùng kí hiệu , để tích vơ hướng L2 hay cặp tích đối ngẫu phiếm hàm tuyến tính liên tục với phần tử khơng gian hàm Kí hiệu || || để chuẩn L2 kí hiệu || ||X dùng để chuẩn không gian Banach X Gọi X không gian đối ngẫu X Ta kí hiệu Lp (0, T ; X ) , p không gian Banach hàm đo u : (0, T ) X , cho u 64 Lp (0,T ; X ) T u (t ) 0 p p X dt , p , Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Nguyễn Văn Ý u L (0,T ; X ) ess sup u ( t ) 0 t T p X Ta kí hiệu u(t ), ut (t ) u (t ), utt (t ) u(t ), ux (t ) u(t ), u xx (t ) u(t ) để u ( x, t ), 2u u u u ( x, t ), ( x, t ) ( x, t ), ( x, t ), t t x x Bây ta đặt a (u , v) u x ( x)vx ( x)dx (2.1) Khi H 01 hai chuẩn v H1 vx a (v, v ) v H 01 tương đương Chúng ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.1 Phép nhúng H C () compact v C0 () v Bổ đề 2.2 Phép nhúng H 01 H1 , v H (2.2) C ( ) compact v H 01 , ta có v C0 () vx , v H1 vx v H1 (2.3) Bổ đề 2.3 Dạng song tuyến tính a(, ) định nghĩa (2.1) liên tục H 01 H 01 cưỡng H 01 Việc chứng minh bổ đề 2.1 2.2 khơng có khó khăn, ta bỏ qua Ta thành lập giả thiết sau đây: 0, 0, ( H1 ) u0 H 01 H , u1 H 01 , (H2 ) F, F L 0, ; L2 thỏa F (0, t ) F (1, t ) 0, t 0, x ( H3 ) 65 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 f C ( ) f (0) (H4 ) Bài toán (1.1) – (1.3) viết lại u u u f ( x, t , u , u x ), x 1, t T , u (0, t ) u(1, t ) 0, u ( x,0) u ( x ), u( x, 0) u ( x ), (2.4) f ( x, t, u, u x ) F ( x, t ) f (u )u x (2.5) Với M 0, T 0, ta đặt: K i K i ( M , f ) sup f ( i ) (u ) : u M (i 1, 2), (2.6) W ( M , T ) {v L (0, T ; H H ) : v L (0, T ; H ), v L (QT ), v L (0,T ; H H ) , v L (0,T ;H ) , v L2 ( Q ) M }, 0 T W1 ( M , T ) v W ( M , T ) : v L (0, T ; L ) (2.7) Ta liên kết toán (2.4) với dãy qui nạp tuyến tính xác định sau: Trước hết chọn số hạng đầu u0 W1 ( M , T ) Giả sử um1 W1 ( M , T ) (2.8) Ta tìm um W1 (M , T ) thỏa tốn biến phân tuyến tính um ( t ), v a ( um ( t ), v ) um ( t ), v Fm (t ), v v H 01, (2.9) um (0) u0 , u m (0) u1 , (2.10) Fm ( t ) f ( x, t , um 1 (t ), um 1 ( t )) F ( x, t ) f (um 1 (t ))um 1 (t ) (2.11) Sự tồn u m cho định lí sau Định lí 2.4 Giả sử ( H1 ) ( H ) Khi đó, tồn số dương M , T dãy qui nạp tuyến tính {um } W1 ( M , T ) xác định (2.9) – (2.11) 66 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Nguyễn Văn Ý Chứng minh Việc chứng minh định lí bao gồm nhiều bước Bước Xấp xỉ Galerkin (xem Lions [8]) Xét sở {w j } H 01, w j sin( j x), j 1, 2, lập từ hàm riêng toán tử Laplace 2 : x w j j2 w j , j j , w j H 01 H , j 1, 2, , (2.12) Đặt k (k ) um( k ) (t ) cmj (t ) w j , (2.13) j 1 cmj( k ) (t ) thỏa hệ phương trình vi phân tuyến tính sau: um( k ) ( t ), w j a ( um( k ) ( t ), w j ) u m( k ) ( t ), w j Fm ( t ), w j , j k , (2.14) um( k ) (0) u0 k , um( k ) (0) u1k , (2.15) k (k ) u0 k mj w j u0 mạnh H 01 H , (2.16) j 1 k u1k mj( k ) w j u1 mạnh H 01 (2.17) j 1 Từ giả thiết um1 W1 (M , T ) ta suy hệ phương trình (2.14), (2.15) có nghiệm um( k ) (t ) khoảng t T Bước Đánh giá tiên nghiệm Bổ đề 2.5 Với giả thiết ( H1 ) ( H ) Khi tồn số dương M T độc lập với k , m cho S m( k ) (t ) M , t T , (2.18) 67 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 t (k ) (k ) (k ) (k ) S ( t ) X ( t ) Y ( t ) m m m 0 um ( s) ds, t 2 (k ) (k ) (k ) (k ) (k ) X ( t ) u ( t ) a ( u ( t ), u ( t )) m m m m 0 um ( s) ds, t 2 Ym( k ) (t ) a (um( k ) (t ), um( k ) (t )) um( k ) (t ) 2 um( k ) ( s ) ds (2.19) Chứng minh Bổ đề 2.5 chứng minh qua nhiều bước với đánh giá tiên nghiệm dài dòng Các số dương M T chọn sau: Đầu tiên ta chọn M , độc lập với k , m cho Sm( k ) (0) u1k a (u0k , u0k ) a (u1k , u1k ) u0 k M2 (2.20) với k , m Sau chọn T đủ nhỏ cho M2 D1 ( M , T ) M exp((8 3 )T ), (2.21) D1 ( M , T ) 20 T F L (0,T ; L2 ) T F L (0,T ;L2 ) 20 M 2T K12 ( K1 MK ) (2.22) Vậy ta có um( k ) W ( M , T ) m, k (2.23) Từ (2.23) ta trích từ dãy {um( k ) } dãy {um( k ) } cho: i 68 um( ki ) um L (0, T ; H 01 H ) yếu*, (2.24) um( ki ) um L (0, T ; H 01 ) yếu*, (2.25) um( ki ) um L2 (QT ) yếu, (2.26) um W ( M , T ) (2.27) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Nguyễn Văn Ý Qua giới hạn (2.14), (2.15) (2.23) – (2.27), ta có u m thỏa (2.9), (2.10) L2 (0, T ) yếu Mặt khác, ta suy từ (2.9) um um um f ( x, t , um 1 , um 1 ) L (0, T ; L2 ) (2.28) Do um W1 (M , T ) Vậy định lí 2.4 chứng minh xong Chú ý W1 (T ) v L (0, T ; H 01 ) : v L (0, T ; L2 ) (2.29) không gian Banach chuẩn: v W (T ) v x L (0,T ;L2 ) v L (0,T ; L2 ) (2.30) Định lí 2.6 Giả sử ( H1 ) ( H ) Khi tồn số M 0, T cho tốn (2.4) có nghiệm yếu u W1 (M , T ) Mặt khác, dãy qui nạp tuyến tính um xác định (2.9) – (2.11) hội tụ mạnh u không gian W1 (T ) Hơn nữa, ta có đánh giá sai số um u W ( T ) CkT m m, (2.31) kT 2 ( K1 MK 2)T 1, C số phụ thuộc vào T , u0 , u1 kT Chứng minh a) Sự tồn nghiệm Ta chứng minh {um } dãy Cauchy W1 (T ) Đặt vm u m 1 um Khi vm thỏa tốn biến phân sau: vm , v a (vm , v) vm , v Fm 1 (t ) Fm (t ), v v H 01 , vm (0) vm (0) (2.32) Ta lấy v vm (2.32)1 sau tích phân theo t, ta 69 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM vm W1 (T ) kT vm 1 Số 18 năm 2009 W1 ( T ) với m (2.33) kT m m, p W1 (T ) kT (2.34) Do um p um W1 (T ) u1 u0 Từ (2.34) ta suy {um } dãy Cauchy W1 (T ) Do tồn u W1 (T ) cho um u mạnh W1 (T ) (2.35) Ta ý um W1 (M , T ) , lấy từ {um } dãy {um } j cho (2.39) um j u L (0, T ; H 01 H ) yếu*, (2.36) u m j u L (0, T ; H 01 ) yếu*, (2.37) um j u L2 (QT ) yếu, (2.38) u W (M , T ) Ta ý Fm j f ( x, t , u, u x ) L (0,T ; L2 ) ( K1 MK 2) um j 1 u W1 ( T ) (2.40) Từ (2.35) (2.40) ta thu Fm j (t ) f ( x, t , u, u x ) mạnh L (0, T ; L2 ) (2.41) Khi qua giới hạn (2.9), (2.10), (2.11) m m j , ta thu từ (2.36) – (2.38) (2.41) u( t ), v a ( u (t ), v ) u (t ), v f ( x , t, u, u x ), v , v H 01 (2.42) điều kiện đầu u(0) u0 , u (0) u1 Mặt khác, từ (2.39) (2.42) ta có 70 (2.43) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Nguyễn Văn Ý u u xx u f ( x, t , u, u x ) L (0, T ; L2 ) (2.44) Vậy ta thu (2.45) u W1 (M , T ) Sự tồn nghiệm chứng minh hoàn tất b) Sự nghiệm Giả sử u1 , u2 hai nghiệm yếu toán (2.4) cho (2.46) ui W1 ( M , T ), i 1, Khi u(t ) u1 (t ) u2 (t ) thỏa toán biến phân sau: u( t ), v a ( u (t ), v ) u (t ), v F1 ( t ) F2 ( t ), v , v H 01 , (2.47) điều kiện đầu u (0) u (0) 0, (2.48) Fi ( t ) f ( x, t , ui , uix )(i 1, 2) (2.49) Lấy v u (2.47) tích phân theo t, ta t (t ) u (t ) a (u (t ), u (t )) ( K1 MK 2) ( s )ds, t [0, T ] (2.50) 2 Áp dụng bổ đề Gronwall ta thu u (t ) ux (t ) 0, có nghĩa u1 u2 Vậy định lí 2.6 chứng minh hoàn tất Khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé 3.1 Dáng điệu nghiệm Ta xét toán nhiễu (Q ) theo tham số bé , * , với * số cố định 71 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 utt x u x f (u ) ut F ( x, t ), x 1, t T , u (0, t ) u (1, t ) 0, u ( x, 0) u ( x), u ( x, 0) u ( x) t (Q ) với u0 , u1 , F , f thỏa giả thiết ( H ) ( H ) Khi theo định lí 2.6, tốn (Q ) có nghiệm yếu phụ thuộc vào , kí hiệu u Ta chứng minh giới hạn u0 không gian hàm thích hợp họ u 0 , nghiệm yếu toán (Q ) tương ứng với thỏa u0 W1 ( M , T ) Hơn nữa, ta có định lí sau Định lí 3.1 Giả sử giả thiết ( H ) ( H ) Khi tồn số M 0, T cho, với , với * , toán (Q ) có nghiệm yếu u W1 ( M , T ) thỏa mãn i) Bài toán (Q ) tương ứng với có nghiệm yếu u0 W1 ( M , T ) ii) Nghiệm yếu u toán (Q ) hội tụ mạnh u0 không gian W1 (T ) Hơn nữa, ta có đánh giá u u0 W1 (T ) C1 , (3.1) C1 số phụ thuộc vào M , T , * 3.2 Khai triển tiệm cận theo tham số đến cấp N Ta định nghĩa số kí hiệu sau: Với đa số (1 , , N ) N x ( x1 , , xN ) N 1 N , ! 1 ! N !, x x11 xNN Trước hết ta sử dụng bổ đề sau Bổ đề 3.2 Cho m, N , x ( x1 , , xN ) 72 N , Khi , ta đặt (3.2.) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Nguyễn Văn Ý m mN N i x Pk[ m ] ( x) k , i k m i 1 (3.3) hệ số Pk[ m ] ( x), m k mN phụ thuộc vào x ( x1 , , xN ) xác định công thức m! [m ] Pk ( x ) ( m ) ! x , m k mN , Ak N A( m ) N : m, i k k i i 1 (3.4) Việc chứng minh bổ đề 3.2 nghiệm lại từ phép tính đại số thơng thường nên bỏ qua chi tiết Bây giờ, giả thiết thêm f C N ( ) (H5 ) Ta xét hàm ui , i 1, 2, , N ui W1 ( M , T ), (với M 0, T chọn thích hợp), nghiệm toán sau: ui ui Fi , x 1, t T , ui (0, t ) ui (1, t ) 0, u ( x,0) u ( x,0) 0, i 1, , N , i i (Q i ) i (m) f (u0 ) Pi [ m ] (u ) , i 1, , N , Fi ui 1 x m1 m ! u (u , , u ) N (3.5) Giả sử u W1 ( M , T ) nghiệm yếu tốn (Q ) Khi N v u i ui u h (3.6) i 0 thỏa tốn 73 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 v v v x f (v h ) f (h ) E ( x, t ), x 1, t T , v (0, t ) v (1, t ) 0, v ( x,0) v( x, 0) 0, (3.7) N E ( x, t ) h f (h ) f (u0 ) i Fi x i 1 (3.8) Khi ta thu đánh giá sau Bổ đề 3.3 Giả sử N 1, ( H ) ( H ), ( H ) Khi E L (0,T ; L2 ) C N N 1 , (0, * ) (3.9) Chứng minh Việc chứng minh bổ đề 3.3 trình bày chi tiết [14] Ta có kết khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán (Q ) theo đến cấp N sau: Định lí 3.4 Giả sử giả thiết ( H ) ( H ), ( H ) Khi tồn số M 0, T cho, [0, * ], tốn (Q ) có nghiệm yếu u W1 ( M , T ) thỏa đánh giá tiệm cận đến cấp N+1 theo sau N || u iui ||W1 (T ) K T N 1 i 0 74 (3.10) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Nguyễn Văn Ý TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] G Andrews (1980), On the existence of solutions to the equation utt u xxt (u x ) x , J Differential Equations 35, 200 – 231 [2] H Brézis (1983), Analyse fonctionnelle, Théorie Applications, Masson Paris [3] J Clements (1975), On the existence and uniqueness of solutions of the equation utt i (u xi ) N ut f , Canad Math Bull 18, 181 – 187 xi [4] J M Greenberg, R.C MacCamy, V J Mizel (1968), On the existence, uniqueness and stability of solutions of the equation (ux )uxx uxtx 0utt , J Math Mech 17, 707 – 728 [5] J M Greenberg (1969), On the existence, uniqueness and stability of solutions of the equation 0 X tt E ( X x ) X xx X xtx , J Math Anal Appl 25, 575 – 591 [6] J M Greenberg, R.C MacCamy (1970), On the exponential stability of solutions of E (ux )uxx u xtx utt , J Math Anal Appl 31, 406 – 417 [7] J.L Lions (1969), Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non-linéaires, Dunod; Gauthier-Villars, Paris [8] Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định (1992), On the quasilinear wave equation utt u f (u , u ) associated with a mixed nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal 19 (7), 613 – 623 [9] Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Trần Ngọc Diễm (2002), Linear recursive schemes and asymptotic expansion associated with the Kirchhoff – Carrier operator, J Math Anal Appl 267 (1), 116 – 134 [10] Nguyễn Thành Long, Nguyễn Công Tâm, Nguyễn Thị Thảo Trúc (2005), On the nonlinear wave equation with the mixed 75 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 nonhomogeneous condition: Linear approximation and asymptotic expansion of solution, Demonstratio Math 38 (2), 365 – 386 [11] Nguyễn Thành Long, Lê Thị Phương Ngọc (2009), On nonlinear boundary value problems for nonlinear wave equations, Vietnam J Math 37 (2 – 3), 141 – 178 [12] Lê Thị Phương Ngọc, Lê Khánh Luận, Trần Minh Thuyết, Nguyễn Thành Long (2009), On the nonlinear wave equation with the mixed nonhomogeneous conditions: Linear approximation and asymptotic expansion of solutions, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 71 (11), 5799 – 5819 [13] Lê Xuân Trường, Lê Thị Phương Ngọc, Alain Phạm Ngọc Định, Nguyễn Thành Long, The regularity and exponential decay of solution for a linear wave equation associated with two-point boundary conditions, Nonlinear Analysis Series B: Real World Applications (to appear) [14] Nguyễn Văn Ý (2008), Phương trình sóng phi tuyến bị nhiễu: Xấp xỉ tuyến tính dáng điệu tiệm cận nghiệm, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, 59 trang Tóm tắt Trong này, chúng tơi xét tốn biên ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến (1) utt x (u x f (u )) ut F ( x, t ), x 1, t T , u (0, t ) u (1, t ) 0, u ( x, 0) u ( x), u ( x, 0) u ( x), t , hai số cho trước f , F , u0 , u1 hàm cho trước Chúng chứng minh tồn nghiệm yếu toán, thu khai triển tiệm cận nghiệm u u( ) theo tham số bé 76 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Nguyễn Văn Ý Abstract On a nonlinear wave equation utt (u x f (u )) u t F ( x, t ) x associated with the pure dirichlet non-homogeneous conditions In this paper, we consider the initial and boundary problem for the nonlinear wave equation (1) utt x (u x f (u )) ut F ( x, t ), x 1, t T , u (0, t ) u (1, t ) 0, u ( x, 0) u ( x), u ( x, 0) u ( x), t where , are two given constants and f , F , u0 , u1 are given functions We prove the existence and uniqueness of weak solution to the problem, and obtain an asymptotic expansion of the solution u u( ) in accordance with the small parameter 77 ... (2008), Phương trình sóng phi tuyến bị nhiễu: Xấp xỉ tuyến tính dáng điệu tiệm cận nghiệm, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, 59 trang Tóm tắt Trong này, chúng tơi xét tốn biên ban... để bàn tồn tại, tính ổn định tiệm cận nghiệm cổ điển cho hệ động lực phi tuyến liên tục Bài gồm phần Trong phần 1, với điều kiện 0, 0, u0 H 01 H , u1 H 01 , F, F L (0, ; L2... (2.7) Ta liên kết tốn (2.4) với dãy qui nạp tuyến tính xác định sau: Trước hết chọn số hạng đầu u0 W1 ( M , T ) Giả sử um1 W1 ( M , T ) (2.8) Ta tìm um W1 (M , T ) thỏa toán biến phân tuyến