Đang tải... (xem toàn văn)
Bài viết giới thiệu với bạn đọc một số vấn đề xuất hiện khi sử dụng máy tính trong chứng minh Toán học và hơn nữa, trong việc thay thế dần lao động của nhà Toán học.
diễn đàn khoa học - công nghệ Diễn đàn Khoa học - Cơng nghệ Tốn học thời 4.0 GS Hà Huy Khoái Trường Đại học Thăng Long “Nghề làm toán thời đại 4.0” khác với hiểu hàng ngàn năm Cuộc cách mạng công nghiệp lần thứ không tạo gió mới, mà chí “cơn bão” tốn học, kéo theo nó, khơng hứng khởi, hân hoan, mà nghi ngờ, tranh cãi Những vấn đề cốt lõi lại lần đặt ra: “chân lý toán học”, “chứng minh”? Bài viết giới thiệu với bạn đọc số vấn đề xuất sử dụng máy tính chứng minh tốn học, nữa, việc thay dần lao động nhà toán học Chứng minh toán học vào trực giác Vào kỷ VI VII TCN, học giả Hy Lạp đưa mà sau gọi suy luận logic: chuỗi suy luận - phép tam đoạn luận - chúng buộc người đối thoại chấp nhận khẳng định Q đồng ý khẳng định P trước Ta biết rằng, từ kỷ thứ V TCN, nhà tư tưởng Hy Lạp bậc thầy nghệ thuật xếp lý luận thành chuỗi liên tiếp kết luận logic, điều thấy rõ tác phẩm nhà ngụy biện, đoạn đối thoại Platon Họ khám phá rằng, lý luận lấy hoạt động người làm đối tượng, đặc biệt cơng thức tốn học hình học, hầu hết số đến từ văn minh Ai Cập Babylon Những lý luận trở thành chứng minh kết nối định lý với Những chứng minh tìm thấy Analytica Posteriora Aristotle, theo đó, định lý suy từ chuỗi lập luận mà người đọc hiểu khơng cần giải thích thêm, số tiên đề chấp nhận Bỏ qua nhiều lập luận logic trung gian nghĩa lập luận, nhà tốn học ln dừng lại mức mà người đọc “hiểu được” Chính mà cơng việc thầy giáo toán, phần lớn làm cho học sinh hiểu lập luận logic trung gian bị bỏ qua chứng minh Mặt khác, yếu tố trực giác thường sử dụng, chứng minh hình học, lĩnh vực tốn học đại Tơ pơ Các nhà toán học sử dụng trực giác để làm ngắn gọn trình bày chứng minh, tất nhiên cần, họ phải có lập luận logic chặt chẽ mà khơng viện đến trực giác Chứng minh tốn học theo hình mẫu Aristotle Euclid có hai đặc điểm bật bỏ qua nhiều suy luận logic trung gian dựa nhiều Với việc bỏ qua số lập luận logic tham gia trực giác, vấn đề đặt là: định lý tốn học có đáng tin cậy hay không? Chúng ta thường tin sử dụng cơng việc định lý mới, kết tốn học, kết nhà tốn học “có uy tín”, đăng tải tạp chí “đáng tin cậy” Tuy nhiên, rõ ràng điều không đảm bảo tuyệt đối cho đắn định lý Nhà tốn học sai lầm bỏ qua lập luận logic trung gian, người duyệt đăng Trong này, Số năm 2019 đưa số ví dụ sai lầm nhà toán học Với định lý mà chứng minh tương đối ngắn, người ta kiểm tra dòng chứng minh để bảo đảm lập luận trung gian bị bỏ qua thực đắn Tuy nhiên điều không dễ chứng minh dài khoảng 100 trang, hay Đặc biệt, với chứng minh có trợ giúp máy tính tính đắn điều khơng dễ chấp nhận Đặc điểm chung chứng minh có trợ giúp máy tính là: lập luận toán học, người ta đưa toán việc kiểm tra hữu hạn trường hợp Tuy nhiên, nhiều chứng minh, số hữu hạn trường hợp lớn, người ta khó tin hồn tồn vào cơng việc máy tính Sự tranh luận giới tốn học việc xem chứng minh với trợ giúp máy tính chứng minh hay khơng trở nên đặc biệt sôi sau xuất chứng minh Bài toán màu Bài toán màu chứng minh hình thức Có thể dễ dàng chứng minh rằng, với đồ tuỳ ý, ta dùng màu để tô, nước màu, cho hai nước có chung phần biên giới tô hai màu khác Diễn đàn khoa học - công nghệ Năm 1852, Francis Guthrie đưa giả thuyết rằng, dùng màu để tơ đồ tuỳ ý với yêu cầu hai nước có phần biên giới chung phải có màu khác Giả thuyết Cayley phát biểu thức vào năm 1878, tiếng với tên gọi Bài toán màu Sau đó, Bài tốn màu nhận nhiều “chứng minh”, lại “chứng minh” sai, kể chứng minh số nhà toán học tiếng Xin kể vài ví dụ: - Năm 1879, Kempe cơng bố chứng minh - Năm1880, Tait công bố chứng minh khác - Năm 1890, Heawood sai chứng minh Kempe (11 năm sau chứng minh công bố) - Năm 1891, Petersen phát chứng minh Tait sai! Năm 1976, kiện gây xơn xao giới tốn học: Appel Haken cơng bố chứng minh Giả thuyết màu, chứng minh có trợ giúp máy tính Có thể tóm tắt chứng minh Appel Haken sau: trước tiên, ta đưa toán màu toán đồ thị Mỗi nước thay đỉnh đồ thị, hai đỉnh đồ thị nối cạnh hai nước tương ứng có chung phần biên giới Như vậy, giả thuyết màu đưa giả thuyết sau: dùng màu để tô đỉnh đồ thị phẳng tuỳ ý, cho hai đỉnh kề có màu khác Bằng lập luận tốn học, Appel Haken đưa toán tổng quát việc kiểm tra 1.478 đồ thị cụ thể Phần “lập luận toán học” dài 1.000 trang, để kiểm tra 1.478 đồ thị, cần phải viết chương trình máy tính Liệu tin vào chứng minh hay khơng? Phần lớn nhà tốn học chưa thừa nhận rằng, toán màu giải Năm 1996, Robertson, Sanders, Seymour Thomas tiến bước dài cơng bố cơng trình “Một chứng minh Định lý màu”, phần lập luận tốn học khoảng 20 trang, viết chương trình ngơn ngữ C để kiểm tra lớp đồ thị cụ thể, mà số lượng chúng từ 1.478 rút xuống 633 Có thể tin vào chứng minh họ không? Nếu cho 20 trang lập luận tốn học kiểm tra kỹ lưỡng có đảm bảo chương trình máy tính viết xác? Và có đảm bảo máy tính chạy nhiều (hàng ngàn giờ) để kiểm tra mà khơng gặp sai sót? Trên thực tế, người ta thấy rằng, trung bình dòng lệnh người lập trình mắc 1,5 lỗi Nói chung lỗi lập trình viên kiểm tra sửa chữa ngay, cuối cùng, trung bình 100 dòng lệnh có lỗi chưa chữa Thường lỗi nhỏ khơng để lại ảnh hưởng lớn ứng dụng, lỗi xem phần “văn hố lập trình”! Tuy nhiên, có số lỗi lập trình dẫn đến hậu nghiêm trọng, vụ nổ tàu vũ trụ Ariane tốn hàng trăm triệu USD Shamir, ba người sáng lập hệ mã RSA, có lần phát biểu New York Times rằng: lỗi nhỏ toán chip sử dụng rộng rãi dẫn đến sai sót mã hố, đặt an ninh thương mại tồn cầu vào tình trạng nguy hiểm Như vậy, khơng thể hồn tồn tin vào chứng minh nhà tốn học, họ sai Cũng khơng thể hồn tồn tin vào chứng minh có trợ giúp máy tính, chương trình mắc lỗi, máy tính hoạt động sai! Làm để đạt tin cậy cao vào kết toán học? Vấn đề nêu dẫn đến phát triển mạnh mẽ năm gần lý thuyết chứng minh kiểm tra tự động Xa nữa, toán học đứng trước mục tiêu “lãng mạn”: đến lúc máy tính thay người lao động toán học Điều khác biệt việc “kiểm tra” máy người gì? Người phản biện báo gửi đến tạp chí chấp nhận khâu chứng minh báo thấy “hiển nhiên đúng” Mức độ “hiển nhiên” phụ thuộc nhiều vào trình độ người thẩm định Máy tính khơng vậy: “nó” chấp nhận kết luận suy luận logic trình bày, dẫn dắt từ chân lý đầu tiên, tức tiên đề Để làm ví dụ, ta thử xem máy tính chứng minh “1+1=2” nào: 1+1=1+S(0)=S(1+0)=S(1)=2, S ký hiệu “phần tử liền sau” hệ tiên đề số học Peano, phép tính thực theo quy định quan hệ phép cộng “đi liền sau” Trong chứng minh trên, khơng có lập luận bị bỏ qua, khơng có chỗ dựa vào trực giác Tiếc rằng, định lý khác không đơn giản “1+1=2”, để quay đến tận tiên đề, định lý đơn giản cần đến hàng chục ngàn dòng lệnh Chính mà nhóm Bourbaki đặt cho nhiệm vụ xây dựng lại sở toán học, họ nói khơng nhằm mục tiêu dẫn đến chứng minh hình thức, đòi hỏi dung lượng lớn cho chứng minh Lý thuyết chứng minh hình thức (formal proof) có mục tiêu nhờ máy tính làm thay người công việc nhọc nhằn kiểm tra khâu chứng minh Vấn đề cho máy tính “hiểu” ngơn ngữ tốn học, từ kiểm tra khâu chứng minh xem có lập luận mâu thuẫn có lập luận bị bỏ Số năm 2019 Diễn đàn Khoa học - Công nghệ trống Chứng minh hình thức phần lĩnh vực rộng lớn hơn, tự động hố q trình tư tốn học, từ phát giả thuyết đến xây dựng lý thuyết với chứng minh hình thức, bắt đầu kiện gây xơn xao giới tốn học năm 1998: Thomas Hales chứng minh Giả thuyết Kepler (tồn 400 năm) Thực ra, ý tưởng xây dựng tồn tốn học ngơn ngữ hình thức có từ lâu, đặc biệt Hilbert khởi xướng chủ nghĩa hình thức (formalism) tốn học, với mục tiêu đưa toán học vượt qua khủng hoảng sở lý thuyết tập hợp Cantor Tham vọng Hilbert hình thức hố tồn toán học, xuất phát từ tiên đề quy tắc logic, định lý mệnh đề “đúng ngữ pháp” Tuy nhiên, chương trình Hilbert sụp đổ sau xuất cơng trình tiếng Goedel: định lý tính khơng đầy đủ (incompleteness theorem, gọi định lý bất tồn) Theo định lý Goedel, hệ tiên đề phi mâu thuẫn khơng đầy đủ, tức ln tồn mệnh đề chứng minh hay bác bỏ sử dụng lập luận nội hệ tiên đề Hệ hiển nhiên khơng thể hình thức hố tồn tốn học Năm 1611 Thomas Harriot hỏi Kepler làm cách để xếp viên đạn đại bác hình cầu cho đảm bảo xếp nhiều Kepler đưa giả thuyết: tốt xếp bà bán cam chợ, tức bắt đầu xếp lớp cầu lưới lục giác, sau đặt lớp điểm thấp mà bạn đặt bên lớp đầu tiên, tiếp tục Mặc dù đạt mục tiêu cuối cùng, chủ nghĩa hình thức Hilbert mang lại diện mạo cho toán học Các lý thuyết toán học trở nên chặt chẽ hơn, nhiều hệ chứng minh hình thức đời Nổi tiếng hệ Coq, HOL Light, Isabelle Người ta xây dựng nhiều chứng minh hình thức cho định lý tiếng toán học, Định lý tính khơng đầy đủ Goedel (1986), Luật thuận nghịch toàn phương Gauss (1990), Định lý giải tích (1996), Định lý đại số (2000), Bài toán màu (2004), Định lý điểm bất động Brouwer (2005), Định lý đường cong Jordan (2005), Định lý thặng dư Cauchy (2007), Định lý số nguyên tố (2008), Giả thuyết Kepler (2014) Để làm rõ số vấn đề đặt đối Cách xếp cho mật độ sử dụng không gian tối ưu, khoảng Thomas Hales đưa chứng minh khó kiểm tra: chứng minh ông bao gồm 300 trang lập luận tốn học chương trình tính tốn khoảng 50.000 dòng lệnh! Năm 1996, ơng gửi cơng trình đến tạp chí tốn học uy tín Annals of Mathematics Toà soạn phải làm việc chưa có: nhờ 12 người phản biện Các phản biện tiến hành seminar năm trời để kiểm tra, khơng tìm thấy sai sót Tuy nhiên họ thừa nhận khơng thể đủ sức kiểm tra tồn bộ, đề nghị tồ soạn đăng “tin chứng minh hoàn toàn đúng”! Bài báo Hales đăng năm 2005 Số năm 2019 Đây trường hợp hoi, báo đăng mà người phản biện không dám tin 100% chứng minh báo đúng! Tuy nhiên, cần lưu ý rằng, cơng trình đăng sau năm, kể từ gửi đến tồ soạn Thomas Hales khơng lòng với việc cơng trình “tin đúng”, mà chưa kiểm tra trọn vẹn Ơng định nhờ máy tính kiểm tra, có máy tính tiến hành cơng việc nhọc nhằn Để kiểm tra chứng minh tính đắn giả thuyết Kepler, Hales xây dựng đề án lấy tên Flyspeck, gợi ý từ ba chữ FPK (Formal proof of Kepler Conjecture) Dự án kết thúc vào năm 2014, vậy, chứng minh Hales kiểm tra đầy đủ Tuy nhiên, tin hay khơng vào “sự kiểm tra” đó? Nói cách khác, cần kiểm tra tính đắn việc kiểm tra chứng minh máy tính! Khi xây dựng đề án mình, Hales dùng hệ HOL Light (Lightweight implementation of Higher Order Logic) HOL Light vừa hệ tiên đề toán học, vừa chương trình máy tính Phần quan trọng HOL Light dòng lệnh liên quan tiên đề quy tắc logic, gọi hạt nhân hệ thống Mỗi lỗi hạt nhân dẫn đến sai lầm thảm họa hệ thống Chẳng hạn, tiên đề viết sai phá vỡ tính phi mâu thuẫn hệ thống Rất may, hạt nhân chiếm 500 dòng lệnh, kiểm tra kỹ lưỡng để tin hạt nhân khơng có lỗi Tuy nhiên kinh nghiệm sử dụng hệ chứng minh hình thức cho thấy hệ, người ta tìm lỗi sau khoảng 10-15 năm sử dụng Mặt khác, theo định lý Goedel, hệ chứng minh hình thức khơng thể “tự mình” kiểm tra chân lý Để khắc phục điều đó, người ta dùng Diễn đàn khoa học - cơng nghệ hệ hình thức để kiểm tra tính đắn hệ hình thức khác Giả sử hệ hình thức có xác suất sai lầm p, kiểm tra hệ cách sử dụng n hệ khác, ta đưa xác suất sai lầm đến pn Với n đủ lớn xác suất gần Những lập luận rằng, chân lý tốn học, khơng phải q phức tạp, dù chứng minh nhà toán học, hay có trợ giúp máy tính, chân lý tương đối! Điều thực không dễ chấp nhận nhiều nhà toán học truyền thống Một số nhà tốn học cực đoan đến mức cho rằng, chân lý toán học chứng minh mà không cần đến trợ giúp máy tính là… chân lý tầm thường! Họ cho sau 20, 30 năm thơi, tất mà tốn học ngày làm trở thành dễ với máy tính! Với nhà tốn học theo quan điểm đó, tốn học cuối có số phận mơn cờ vua, mà nhà vơ địch giới bị đánh bại dễ dàng máy đánh cờ! Dự án FAB FAB (Formal Abstracts in Mathematics) dự án có tham vọng lớn: làm cho máy tính khơng kiểm tra tính đắn chứng minh, mà phát định lý mới, chứng minh chặt chẽ định lý Nói cách khác, máy tính làm thay cơng việc nhà tốn học Nói cho cùng, cơng việc nhà toán học là: sở quan sát kiện toán học hay tượng tự nhiên xã hội, phát đoán số kết có, tức đặt giả thuyết Bước chứng minh bác bỏ giả thuyết đặt Để làm việc này, nhiều phải xây dựng khái niệm lý thuyết Một chứng minh chuỗi suy luận logic để tạo đường nối từ giả thiết đến kết luận, thông qua định lý có sẵn Xuất phát từ giả thiết, nhà tốn học bắt đầu vận dụng kiến thức mà có được, bổ sung thêm kiến thức cần thiết, từ đống “hỗn độn” đó, tìm đường cần thiết Làm để máy tính thực cơng việc nêu nhà tốn học? Trước tiên cần cung cấp cho máy tính kiến thức toán học Dự án FAB nhằm viết lại định lý tốn học ngơn ngữ hình thức để máy “hiểu” Khi có đủ nhiều kiến thức, với khả xử lý tín hiệu lớn, máy tính có lợi nhiều so với người việc phát quy luật, tức đưa giả thuyết, đồng thời tìm kiếm nhanh đường từ giả thiết đến kết luận Ví dụ chứng minh “1+1=2” nêu phần cho ta thấy khó khăn cơng việc mà FAB phải làm: để đưa định lý thành ngơn ngữ hình thức, cần phải hình thức hố nhiều khái niệm toán học Dự án FAB năm 2018, với hợp tác nhóm nghiên cứu thuộc ba trường đại học University of Pittsburgh, Carnerie Mellon University (Hoa Kỳ) Trường Đại học Thăng Long (Việt Nam) Dự án tài trợ Sloan Foundation, giáo sư Thomas Hales, nhà toán học hàng đầu lĩnh vực chứng minh hình thức, lãnh đạo Lời kết Trong “Cái bóng tư duy”, Penrose có nói đại ý: nay, tri thức nhân loại phải nằm óc cụ thể (nói nơm na, “nhân loại” biết điều có nghĩa người biết điều đó!) Mà óc cá nhân có giới hạn Như vậy, nhân loại có ý định vượt qua giới hạn tri thức cách dựa vào máy tính Sẽ đến ngày tri thức nhân loại lưu giữ hệ thống máy tính, máy cho ta tri thức mà ta biết chúng từ đâu ra, tức chúng “chứng minh” Thật khó chấp nhận ngày mà máy tính cho ta lý thuyết toán học mới, kết mới, mà “nó” biết cách chứng minh! Tuy nhiên, nhà tốn học biết cách tìm chỗ đứng khơng thể thay bão 4.0, với máy tính biết tư duy! Voevodsky (1966-2017), nhà toán học Nga giải thưởng Fields năm 2002, đề chương trình lớn gọi “Univalent Foundations of Mathematics”, với tham vọng xây dựng lại toàn sở tốn học theo ngơn ngữ hình thức Khác với công việc Bourbaki, dự án Voevodsky hoàn thành giúp kiểm tra tự động chứng minh tốn học Theo ơng, đến ngày đó, nhà tốn học gửi cơng trình đến tồ soạn, phải gửi thêm chương trình kiểm tra tự động Như vậy, người phản biện không cần kiểm tra tính đắn báo nữa, mà nhận xét tầm quan trọng mà Tiếc Voevodsky sớm, dự án đầy tham vọng ơng dang dở ? TÀI LIỆU THAM KHẢO Th Hales (1994), “The status of the Kepler Conjecture”, The Mathematical Intelligencer, 16(3), pp.47-58 Th Hales (2005), “A proof of the Kepler conjecture”, Annals of Mathematics, 162, pp.1065-1185 Th Hales (2015), Formal proof, Notices of the AMS V Voevodsky (2014), Computer Proof Assistants and Univalent Foundations of Mathematics, CMA 2014 R Penrose (1989), Shadows of the Mind: A Search for the Missing Science of Consciousness, Oxford University Press Soá naêm 2019 ... kết toán học? Vấn đề nêu dẫn đến phát triển mạnh mẽ năm gần lý thuyết chứng minh kiểm tra tự động Xa nữa, toán học đứng trước mục tiêu “lãng mạn”: đến lúc máy tính thay người lao động toán học. .. chân lý tốn học, khơng phải phức tạp, dù chứng minh nhà tốn học, hay có trợ giúp máy tính, chân lý tương đối! Điều thực không dễ chấp nhận nhiều nhà toán học truyền thống Một số nhà toán học cực... thuyết tốn học mới, kết mới, mà “nó” biết cách chứng minh! Tuy nhiên, nhà toán học biết cách tìm chỗ đứng khơng thể thay bão 4.0, với máy tính biết tư duy! Voevodsky (1966-2017), nhà toán học Nga