Đang tải... (xem toàn văn)
Bài toán 1: Tiếp tuyến tại điểm M x ; y ( 0 0) thuộc đồ thị hàm số: Cho hàm số (C : y f x ) = ( ) và điểm M x ; y C ( 0 0)∈( ) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M. Tính đạo hàm f x ( ) . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là f x ( 0) phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y f x x x y = − + ( )( 0 0 )
Phần Hàm số - Giải tích 12 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A – KIẾN THỨC CHUNG Bài toán 1: Tiếp tuyến điểm M ( x ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số: Cho hàm số ( C ) : y = f ( x ) điểm M ( x ; y0 ) ∈ ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) M - Tính đạo hàm f ' ( x ) Tìm hệ số góc tiếp tuyến f ' ( x ) - phương trình tiếp tuyến điểm M là: y = f ' ( x )( x − x ) + y0 Bài tốn 2: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước - Gọi ( ∆ ) tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k - Giả sử M ( x ; y0 ) tiếp điểm Khi x thỏa mãn: f ' ( x ) = k (*) - Giải (*) tìm x Suy y = f ( x ) - Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = k ( x − x ) + y0 Bài toán 3: Tiếp tuyến qua điểm Cho hàm số ( C ) : y = f ( x ) điểm A ( a; b ) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua A - Gọi ( ∆ ) đường thẳng qua A có hệ số góc k Khi ( ∆ ) : y = k ( x − a ) + b (*) f ( x ) = k ( x − a ) + b (1) - Để ( ∆ ) tiếp tuyến (C) ⇔ có nghiệm ( 2) f ' ( x ) = k - Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm * Chú ý: Hệ số góc tiếp tuyến với (C) điểm M ( x ; y0 ) thuộc (C) là: k = f ' ( x ) Cho đường thẳng ( d ) : y = k d x + b +) ( ∆ ) / / ( d ) ⇒ k ∆ = k d +) ( ∆, d ) = α ⇒ tan α = +) ( ∆ ) ⊥ ( d ) ⇒ k ∆ k d = −1 ⇔ k ∆ = − k∆ − kd + k ∆ k d kd +) ( ∆, Ox ) = α ⇒ k ∆ = ± tan α Tiếp tuyến điểm cực trị đồ thị (C) có phương song song trùng với trục hoành Cho hàm số bậc 3: y = ax + bx + cx + d, ( a ≠ ) +) Khi a > : Tiếp tuyến tâm đối xứng (C) có hệ số góc nhỏ +) Khi a < : Tiếp tuyến tâm đối xứng (C) có hệ số góc lớn B – BÀI TẬP DẠNG 1: TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ: Câu Tìm phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x + điểm A y = x + 11 B y = x − 11 C y = x − Câu Phương trình tiếp tuyến đường cong ( C ) : y = x − 3x + điểm A y = x + B y = x + C y = −2 x + M ( −1; −2 ) ? D y = x + A (1;2 ) D y = −2 x Phần Hàm số - Giải tích 12 Câu Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − 3x + điểm M ( 2; ) A y = −3 x + 10 B y = −9 x + 14 C y = x − 14 D y = x − 2x −1 Câu Cho hàm số y = Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M ( 0; −1) x +1 A y = x + B y = x − C y = −3 x − D y = −3 x + Câu 5.Cho hàm số y = x + x − có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm có hồnh độ –3 A y = 30 x + 25 B y = x − 25 Câu Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) = A y = x + B y = − x + C y = 30 x − 25 D y = x + 25 điểm có hồnh độ x0 = −1 có phương trình x −1 C y = x − D y = − x − 2x −1 điểm có hồnh độ ? x +1 C y = x − D y = x − Câu Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = B y = x − A y = x + Câu Tìm phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x + x + điểm có tung độ A y = x B y = x − 11 C y = x y = x + 32 27 D y = x + 2x − điểm có tung độ x−4 C x + y − 20 = D x + y − = Câu Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = A x + y − 20 = B x + y − = Câu 10.Cho đường cong ( C ) : y = x3 − 3x Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm thuộc ( C ) có hồnh độ x0 = −1 A y = −9 x + B y = −9 x − C y = x − D y = x + 2x − Câu 11 Cho hàm số y = có đồ thị ( H ) Phương trình tiếp tuyến giao điểm ( H ) với x−3 trục hoành là: B y = −3 x + C y = x − D y = x A y = −2 x + Câu 12 Cho hàm số y = − x + x − x − 11 có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) giao điểm ( C ) với trục tung là: A y = x − 11 y = x − B y = x − 11 C y = −6 x − 11 y = −6 x − D y = −6 x − 11 Câu 13 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x + điểm thuộc đồ thị có hồnh độ x0 thỏa điều kiện y '' ( x0 ) = A y = −3 x + B y = x + C y = D y = −3 x − x − x + 3x − A Song song với đường thẳng x = B Song song với trục hồnh C Có hệ số góc dương D Có hệ số góc −1 x−2 Câu 15 Gọi A giao điểm đồ thị hàm số y = với trục Ox Tiếp tuyến A đồ thị 2x −1 hàm số cho có hệ số góc k Câu 14 Tiếp tuyến điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = Phần Hàm số - Giải tích 12 A k = − B k = C k = − D k = x +1 điểm A ( −1;0 ) có hệ số góc x−5 1 6 A B − C D − 6 25 25 Câu 17 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x + x + x + điểm A ( −3; −2 ) cắt đồ thị điểm thứ hai B Điểm B có tọa độ B B (1;10 ) C B ( 2;33) D B ( −2;1) A B ( −1;0 ) Câu 16 Tiếp tuyến đồ thị hàmsố y = Câu 18 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x + điểm có hồnh độ x0 thỏa y′′ ( x0 ) + y′ ( x0 ) + 15 = A y = x + B y = x + C y = x D y = x + 2x + Câu 19 Gọi M ∈ ( C ) : y = có tung độ Tiếp tuyến ( C ) M cắt trục tọa độ x −1 Ox , Oy A B Hãy tính diện tích tam giác OAB ? 121 119 123 125 A B C D 6 6 2x +1 Câu 20 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = điểm có hồnh độ cắt hai trục tọa độ x +1 A B Tính diện tích tam giác OAB 1 A B C D 2 Câu 21 Cho hàm số có đồ thị ( C ) : y = x3 − 3x + Tìm ( C ) điểm M cho tiếp tuyến ( C ) M cắt trục tung điểm có tung độ A M ( 0;8) B M ( −1; −4 ) C M (1;0 ) D M ( −1;8 ) 2x −1 có đồ thị (C ) Gọi I giao điểm đường tiệm cận Gọi x +1 M ( x0 , y0 ) , x0 > điểm (C ) cho tiếp tuyến với (C ) M cắt hai đường tiệm cận lần Câu 22 Cho hàm số y = lượt A, B thỏa mãn AI + IB = 40 Khi tích x0 y0 bằng: 15 A B C D Phần Hàm số - Giải tích 12 DẠNG 2: TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC K CHO TRƯỚC Câu Cho hàm số y = x − x + có đồ thị (C ) điểm M thuộc (C ) có hồnh độ Tìm hệ số góc k tiếp tuyến với đồ thị (C ) M A k = −6 B k = −7 C k = −8 D k = −9 Câu Tìm phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − 3x biết tiếp tuyến có hệ số góc −3 B y = −3 C y = −3 x − D y = −3 x + A y = −3 x − 2x −1 Câu 3.Tìm tọa độ điểm M đồ thị (C): y = , biết tiếp tuyến M có hệ số góc −1 x −1 5 5 B M (0;1), M ( −1;3) C M (0;1), M (2;3) D M −2; A M 3; 3 Câu Cho hàm số y = 2x +1 có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến ( C ) có hệ số góc x−2 −5 là: A y = −5 x + y = −5 x + 22 C y = x + y = −5 x + 22 B y = −5 x + y = −5 x − 22 D y = −5 x − y = −5 x + 22 Câu 5: Cho hàm số y = x − x + x có đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng d : y = x có phương trình B y = x − 40 C y = x + 32 D y = x − 32 A y = x + 40 x3 − x + x + Có hai tiếp tuyến ( C ) song song với đường thẳng y = −2 x + Hai tiếp tuyến : 10 A y = −2 x + y = −2 x + B y = −2 x + y = −2 x − C y = −2 x − y = −2 x − D y = −2 x + y = −2 x – x+b Câu 7.Cho hàm số y = có đồ thị hàm số ( C ) Biết a , b giá trị thực cho tiếp ax − tuyến ( C ) điểm M (1; −2 ) song song với đương thẳng d : x + y − = Khi giá trị a + b B −1 C D A Câu Gọi ( C ) đồ thị hàm số y = Câu Hỏi có tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = đường thẳng y = A x? B 2x + , biết tiếp tuyến vng góc với 2x −1 C D Câu Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 − 3x + vng góc với đường thẳng y = − x 1 A y = x + 18; y = x − 14 B y = − x + 18; y = − x + 9 1 C y = x + 18; y = x + D y = x + 18; y = x − 14 9 Phần Hàm số - Giải tích 12 x−2 có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) , biết tiếp tuyến 2x +1 vng góc với đường thẳng y = − x + A y = x + y = x − B y = x − y = x − Câu 10 Cho hàm số y = C y = x + y = x − D y = x + y = x + Câu 11.Tiếp tuyến đường cong (C) vng góc với đường thẳng x + y + 2017 = có hệ số góc : 3 A B C − D − 3 Câu 12 Cho hàm số y = x3 + ax + bx + c qua điểm A ( 0; −4 ) đạt cực đại điểm B (1; 0) hệ số góc k tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm có hồnh độ −1 là: A k = B k = 24 C k = −18 D k = 18 Câu 13 Trong tiếp tuyến điểm đồ thị hàm số y = x − 3x + , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ bằng: A - B C - D Câu 14.Cho đường cong (C ) : y = x − x + x + 2017 Trong tiếp tuyến (C), tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ bằng: A B C D Phần Hàm số - Giải tích 12 DẠNG 3: TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM Câu 1.Cho hàm số y = x + x − có đồ thị ( C ) Số tiếp tuyến với đồ thị ( C ) qua điểm J ( −1; −2 ) là: A B C D Câu Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị hàm số sau y = f ( x) = 53 y = g ( x) = − x + x + 6 A y = 13 B y = 15 C y = −13 x + 3x − x−2 D y = −15 Câu Đồ thị hàm số y = x ( x − 3) tiếp xúc với đường thẳng y = x điểm? A B C D Câu Cho hàm số y = x − x + x − ( C ) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A ( −1;1) vng góc với đường thẳng qua hai điểm cực trị ( C ) A y = x+ 2 B x − y − = C y = − x + 2 D y = x + Phần Hàm số - Giải tích 12 MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC VỀ HÀM SỐ Câu 1: Hỏi điểm I (0; −2) thuộc đồ thị hàm số nào? A y = x +1 B y = 2x + x −1 C y = x − x D y = x + x Câu 2: Tìm tọa độ tâm đối xứng đồ thị hàm số y = x3 + 3x − x + A ( −1;6 ) B ( −1;12 ) C (1; ) D ( −3; 28 ) Câu 3: Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x − x + 2m qua điểm A ( −1;6 ) A m = B m = −3 C m = −2 D m = Câu 4: Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số y = x + 2mx − 2m + qua điểm N (−2; 0) A B − 17 C 17 D 2 D Câu 5: Cho hàm số y = mx + ( m + ) x − có đồ thị ( Cm ) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị ( Cm ) qua điểm M (1;2 ) ? A B C 3x − có điểm có toạ độ nguyên? x +1 A B C D 2x − Câu 7: Có điểm thuộc đồ thị hàm số C : y = mà tọa độ số nguyên? x +1 A B C D Câu 6: Tìm đồ thị hàm số y = ( ) Câu 8: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − x + m có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ A m > B m ≤ C < m < D m > Câu 9: Tìm m để đồ thị hàm số y = x + ( 2m − 1) x + ( m − 1) x + m – có hai điểm A, B phân biệt đối xứng qua gốc toạ độ ≤ m ≤ C m ∈ ( −∞; ) ∪ (1; +∞ ) A B m > D < m < 2 Câu 10: Tìm trục đối xứng đồ thị hàm số y = x − x + ? A Đường thẳng y = B Trục hoành C Trục tung D Đường thẳng y = x+2 Câu 11: Có điểm M thuộc đồ thị hàm số y = cho khoảng cách từ M đến x −1 trục tung hai lần khoảng cách từ M đến trục hoành A B C D x+3 Câu 12: Tìm hai nhánh đồ thị hàm số y = hai điểm M N cho độ dài đoạn thẳng x +1 MN nhỏ Phần Hàm số - Giải tích 12 A M ( −3;0 ) N ( 0;3) C M ( ) B M ( 0;3) N ( −3; ) ( ) − 1;1 + N − − 1;1 − D M ( ) ( ) 2; N − 2; − x −3 Biết rằng, có hai điểm phân biệt thuộc đồ thị (C ) cách hai x +1 trục toạ độ Giả sử điểm M N Tìm độ dài đoạn thẳng MN B MN = 2 C MN = D MN = A MN = Câu 13: Cho đồ thị (C ) : y = Phần Hàm số - Giải tích 12 C – HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ: Câu Tìm phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x + điểm M ( −1; −2 ) ? A y = x + 11 B y = x − 11 C y = x − D y = x + Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D y ' = 3x − x ⇒ y ' ( −1) = Vậy phương trình tiếp tuyến : y = ( x + 1) − ⇔ y = x + Câu Phương trình tiếp tuyến đường cong ( C ) : y = x − 3x + điểm A (1;2 ) A y = x + B y = x + C y = −2 x + D y = −2 x Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D y ' = x3 − x ⇒ y ' (1) = −2 Vậy phương trình tiếp tuyến: y = −2 ( x − 1) + ⇔ y = −2 x Câu Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x + điểm M ( 2; ) A y = −3 x + 10 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C Ta có y′ = x − B y = −9 x + 14 C y = x − 14 D y = x − Do : phương trình tiếp tuyến đồ thị M ( 2; ) : y = y′ ( )( x − ) + = ( x − ) + = x − 14 Câu Cho hàm số y = A y = 3x + Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B Ta có: y′ = ( x + 1) 2x −1 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M ( 0; −1) x +1 B y = 3x − C y = −3x − D y = −3x + Hệ số góc tiếp tuyến : y′ ( ) = Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M ( 0; −1) y = ( x − ) − = 3x − Câu 5.Cho hàm số y = x + x − có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm có hồnh độ –3 A y = 30 x + 25 B y = x − 25 C y = 30 x − 25 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D y ( −3) = −2 Ta có y ′ = x + x nên , phương trình tiếp tuyến y ′ ( −3) = y = ( x + 3) − ⇔ y = x + 25 D y = x + 25 Phần Hàm số - Giải tích 12 Câu Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) = điểm có hồnh độ x0 = −1 có phương trình x −1 C y = x − D y = − x − A y = x + B y = − x + Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D Phương trình tiếp đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x0 = −1 f / ( x) = − ( x − 1) y = f / ( −1)( x + 1) + f ( −1) = − ( x + 1) − Vậy y = − x − 2x −1 điểm có hồnh độ ? x +1 C y = x − D y = x − Câu Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = A y = x + B y = x − Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B ⇒ y ' ( ) = y' = ( x + 1) x0 = ⇒ y0 = −1 Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = ( x − ) − ⇔ y = 3x − Câu Tìm phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x + x + điểm có tung độ A y = x B y = x − 11 C y = x y = x + 32 27 D y = x + Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A TXĐ: D = ℝ Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm đồ thị hàm số với tiếp tuyến Ta có y0 = ⇒ x03 − x02 + x0 − = ⇔ ( x0 − 1) ( x02 + 1) = ⇒ x0 = y ′ = x − x + ⇒ y′ (1) = Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có tung độ hai y = x 2x − điểm có tung độ x−4 C x + y − 20 = D x + y − = Câu Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = A x + y − 20 = B x + y − = Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A Gọi M ( x0 , y0 ) tiếp điểm Theo đề ta có y0 = ⇒ x0 = y'= −4 ( x − 4) ⇒ y '(8) = − Vậy tiếp tuyến điểm M (3;8) có phương trình là: y = − x + hay x + y − 20 = Câu 10.Cho đường cong ( C ) : y = x − 3x Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm thuộc ( C ) có hồnh độ x0 = −1 A y = −9 x + 10 B y = −9 x − C y = x − D y = x + Phần Hàm số - Giải tích 12 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D Ta có y ' = x − x Với x0 = −1 ⇒ y0 = −4, y′ ( −1) = Vậy phương trình tiếp tuyến ( −1; −4 ) y = ( x + 1) − = x + Câu 11 Cho hàm số y = 2x − có đồ thị ( H ) Phương trình tiếp tuyến giao điểm ( H ) với x−3 trục hoành là: A y = −2 x + B y = −3 x + Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A 2x − −2 ⇒ y′ = y= x −3 ( x − 3) C y = x − D y = x Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm A ( 2;0 ) ⇒ y′ ( ) = −2 Phương trình tiếp tuyến điểm A : y = −2 x + Câu 12 Cho hàm số y = − x + x − x − 11 có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) giao điểm ( C ) với trục tung là: A y = x − 11 y = x − C y = −6 x − 11 y = −6 x − Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D Giao điểm đồ thị với trục tung A ( 0; −11) B y = x − 11 D y = −6 x − 11 y = − x3 + 3x − x − 11 ⇒ y′ = −3x + x − ⇒ y′ ( ) = −6 Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A ( 0; −11) y = −6 ( x − ) − 11 = −6 x − 11 Câu 13 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x + điểm thuộc đồ thị có hoành độ x0 thỏa điều kiện y '' ( x0 ) = A y = −3 x + Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A Ta có: y = x − x + B y = x + C y = D y = −3 x − y ' = 3x − x y '' = x − y ''( x0 ) = ⇔ x0 − = ⇔ x0 = ⇒ y0 = Tiếp tuyến x0 = có phương trình là: y = f '( x0 )( x − x0 ) + y0 = −3 x + x − x + 3x − B Song song với trục hồnh D Có hệ số góc −1 Câu 14 Tiếp tuyến điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = A Song song với đường thẳng x = C Có hệ số góc dương Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B Tập xác định D = ℝ 11 Phần Hàm số - Giải tích 12 11 x = 1, y = − Ta có y′ = x − x + , y′ = ⇔ x = 3, y = −5 Vì hai điểm cực trị khơng thuộc trục hồnh điểm có y′ ( x0 ) = nên tiếp tuyến song song với trục hoành x−2 Câu 15 Gọi A giao điểm đồ thị hàm số y = với trục Ox Tiếp tuyến A đồ thị 2x −1 hàm số cho có hệ số góc k 1 B k = C k = − D k = A k = − 3 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B Giao điểm đồ thị trục hoành A ( 2; ) x−2 y= ⇒ y′ = ⇒ y′ ( ) = 2x −1 ( x − 1) Vậy hệ số góc tiếp tuyến k = Câu 16 Tiếp tuyến đồ thị hàmsố y = x +1 điểm A ( −1;0 ) có hệ số góc x−5 6 C D − 25 25 1 B − 6 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B −6 Ta có : y ' = ⇒ hệ số góc tiếp tuyến A ( −1;0 ) y ' ( −1) = − ( x − 5) A Câu 17 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 + x + x + điểm A ( −3; −2 ) cắt đồ thị điểm thứ hai B Điểm B có tọa độ B B (1;10 ) C B ( 2;33) D B ( −2;1) A B ( −1;0 ) Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C y′ = 3x2 + 8x + Phương trình tiếp tuyến A ( −3; − ) , y′ ( −3) = y = x + 19 x = 2; y = 33 Phương trình hồnh độ giao điểm x + x + x + = x + 19 ⇔ x = −3; y = −2 Vậy B ( 2; 33) Câu 18 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x + điểm có hồnh độ x0 thỏa y′′ ( x0 ) + y′ ( x0 ) + 15 = A y = x + B y = x + Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B Ta có: y′ = x − x y′′ = x − Thay vào điều kiện đề ta có: C y = x y′′ ( x0 ) + y′ ( x0 ) + 15 = ⇔ ( x0 − ) + x02 − x0 + 15 = ⇔ x02 + x0 + = ⇔ x0 = −1 12 D y = x + Phần Hàm số - Giải tích 12 Phương trình tiếp tuyến điểm có hoành độ x0 = là: y = y′ ( −1)( x + 1) + y ( −1) = ( x − 1) − = x + 2x + có tung độ Tiếp tuyến ( C ) M cắt trục tọa độ x −1 Ox , Oy A B Hãy tính diện tích tam giác OAB ? 121 119 123 125 A B C D 6 6 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A 2x +1 Theo đề bài, ta có yM = ⇔ M = ⇔ xM = xM − −3 Ta có y′ = ⇒ y ′ ( ) = −3 ( x − 1) Câu 19 Gọi M ∈ ( C ) : y = Phương trình tiếp tuyến ∆ ( C ) M y = −3 x + 11 11 11 ⇒ A ; 3 Giao điểm ∆ với Oy : cho x = ⇒ y = 11 ⇒ B ( 0;11) Giao điểm ∆ với Ox : cho y = ⇒ x = 121 11 11 + 121 = 10 , d ( O, ∆ ) = 10 121 Diện tích tam giác OAB S = d ( O, ∆ ) AB = 2x +1 Câu 20 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = điểm có hồnh độ cắt hai trục tọa độ x +1 A B Tính diện tích tam giác OAB 1 A B C D 2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A y′ = ( x + 1) Ta có AB = x = ⇒ y = , y′ ( ) = Phương trình tiếp tuyến y = x + , ta A ( 0;1) , B ( −1;0 ) S ∆OAB = 1 OA.OB = 2 Câu 21 Cho hàm số có đồ thị ( C ) : y = x3 − 3x + Tìm ( C ) điểm M cho tiếp tuyến ( C ) M cắt trục tung điểm có tung độ A M ( 0;8) B M ( −1; −4 ) C M (1; ) Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D Ta có : y′ = x − x Gọi tọa độ M ( a ; a − 3a + 1) Khi phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M : 13 D M ( −1;8 ) Phần Hàm số - Giải tích 12 y = y′ ( a )( x − a ) + a3 − 3a + ⇔ y = ( 6a − 6a ) x − 4a + 3a + Vì tiếp tuyến cắt trục tung điểm có tung độ nên tiếp tuyến qua điểm A ( 0;8) Do ta có phương trình : = −4a + 3a + ⇔ −4a + 3a − = ⇔ a = −1 ⇔ M ( −1; −4 ) 2x −1 có đồ thị (C ) Gọi I giao điểm đường tiệm cận Gọi x +1 M ( x0 , y0 ) , x0 > điểm (C ) cho tiếp tuyến với (C ) M cắt hai đường tiệm cận lần Câu 22 Cho hàm số y = lượt A, B thỏa mãn AI + IB = 40 Khi tích x0 y0 bằng: 15 B C A Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D 2x − I ( −1;2), M ( x0 ; ), x0 > x0 + 2x − Có A(−1; ), B(2 x0 + 1;2) x0 + 2x − 2 ) = 40 IA2 + IB = 40 ⇔ AB = 40 ⇔ (2 x0 + ) + (2 − x0 + ( x + 1)2 = ⇔ 4(x0 + 1) − 40(x0 + 1) + 36 = ⇔ ⇔ x0 = > 0, y0 = ( ) + = x Vậy x0 y0 = 14 D Phần Hàm số - Giải tích 12 DẠNG 2: TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC K CHO TRƯỚC Câu Cho hàm số y = x − x + có đồ thị (C ) điểm M thuộc (C ) có hồnh độ Tìm hệ số góc k tiếp tuyến với đồ thị (C ) M A k = −6 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C Ta có y′ = x3 − 16 x B k = −7 C k = −8 Do hệ số góc k tiếp tuyến với đồ thị (C ) M k = D k = −9 ( 2) − 16 = −8 Câu Tìm phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 biết tiếp tuyến có hệ số góc −3 A y = −3 x − B y = −3 C y = −3 x − D y = −3 x + Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D Ta có y′ = 3x2 − x Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình y′ = −3 ⇔ 3x2 − x = −3 ⇔ x = Với x = ⇒ y (1) = −2 Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = −3 ( x − 1) − ⇔ y = −3x + 2x −1 , biết tiếp tuyến M có hệ số góc −1 x −1 5 B M (0;1), M ( −1;3) C M (0;1), M (2;3) D M −2; 3 Câu 3.Tìm tọa độ điểm M đồ thị (C): y = 5 A M 3; 2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C 2x −1 TXĐ D = ℝ \ {1} y= x −1 y′ = −1 ( x − 1) , M ∈ ( C ) ⇒ M x0 ; x0 − x0 − Tiếp tuyến M có hệ số góc −1 ⇒ y ( x0 ) = −1 ⇔ −1 ( x0 − 1) = −1 x0 − = x0 = ⇔ ⇔ x0 − = −1 x0 = Vậy M (0;1), M (2;3) Câu Cho hàm số y = 2x +1 có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến ( C ) có hệ số góc x−2 −5 là: A y = −5 x + y = −5 x + 22 B y = −5 x + y = −5 x − 22 C y = x + y = −5 x + 22 D y = −5 x − y = −5 x + 22 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A 2x +1 −5 Ta có: y ′ = Gọi tọa độ tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) , y0 = x0 ≠ 2 x0 − ( x − 2) 15 Phần Hàm số - Giải tích 12 Theo giả thiết: y′ ( x0 ) = −5 ⇔ −5 ( x0 − ) x0 = ⇒ y0 = = −5 ⇔ x0 = ⇒ y0 = −3 Phương trình tiếp tuyến cần tìm điểm M ( 3; ) là: y = −5 ( x − 3) + ⇔ y = −5 x + 22 Phương trình tiếp tuyến cần tìm điểm M (1; −3 ) là: y = −5 ( x − 1) − ⇔ y = −5x + Câu 5: Cho hàm số y = x − x + x có đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng d : y = x có phương trình B y = x − 40 C y = x + 32 D y = x − 32 A y = x + 40 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D Ta có : y ' = 3x − 12 x + ; x = ⇒ y = Theo đề : y ' = ⇔ x = ⇒ y = PTTT : y = x PTTT : y = ( x − ) + ⇔ y = x − 32 Suy chọn đáp án D x3 − x + x + Có hai tiếp tuyến ( C ) song song với đường thẳng y = −2 x + Hai tiếp tuyến : 10 A y = −2 x + y = −2 x + B y = −2 x + y = −2 x − D y = −2 x + y = −2 x – C y = −2 x − y = −2 x − Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A Gọi M ( x0 , y0 ) tọa độ tiếp điểm Ta có: y′ = x − x + Câu Gọi ( C ) đồ thị hàm số y = x0 = ⇒ y0 = Do đó: y′ ( x0 ) = −2 ⇔ x − x0 + = −2 ⇔ x0 = ⇒ y0 = −4 x+b Câu 7.Cho hàm số y = có đồ thị hàm số ( C ) Biết a , b giá trị thực cho tiếp ax − tuyến ( C ) điểm M (1; −2 ) song song với đương thẳng d : x + y − = Khi giá trị a + b A B −1 C D Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C a ≠ 1+ b a − ≠ (1) Ta có : M (1; −2 ) ∈ ( C ) ⇔ −2 = ⇔ ⇔ a−2 b = − 2a −2 ( a − ) = + b Ta lại có: y ' = −2 − ab ( ax − ) Hệ số góc tiếp tuyến y ' (1) = −3 ⇔ −2 − ab ( a − 2) a ≠ ⇔ a = ⇒ b = ⇒ a + b = Thế (1) vào (2), ta : 5a − 15a + 10 = 16 = −3 (2) Phần Hàm số - Giải tích 12 Câu Hỏi có tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = đường thẳng y = x? A Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C B 2x + , biết tiếp tuyến vng góc với 2x −1 C D 3 x0 = y ' ( x0 ) = = −2 ⇔ ( x0 − 1) x = − Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán −8 Câu Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 − 3x + vng góc với đường thẳng y = − x 1 A y = x + 18; y = x − 14 B y = − x + 18; y = − x + 9 1 C y = x + 18; y = x + D y = x + 18; y = x − 14 9 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A + TXĐ: D = R + y ' = 3x − + Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M ( x0 ; y0 ) có dạng: y − y0 = f ' ( x0 )( x − x0 ) + Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = − x ⇒ tiếp tuyến có hệ số góc k = 9 x0 = y0 = ⇒ f ' ( x0 ) = ⇔ x0 − = ⇔ x0 = ⇔ ⇒ x0 = −2 y0 = y − = ( x − 2) y = x − 14 + Vậy có tiếp tuyến thỏa yêu cầu ⇔ y = x + 18 y − = ( x + ) x−2 Câu 10 Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) , biết tiếp tuyến 2x +1 vng góc với đường thẳng y = − x + A y = x + y = x − B y = x − y = x − C y = x + y = x − Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C 1 TXĐ: D = ℝ \ − 2 D y = x + y = x + Gọi đường thẳng ∆ có phương trình y = k ( x − x0 ) + y0 tiếp tuyến với đồ thị ( C ) , tiếp tuyến 1 song song với đường thẳng y = − x + nên ta có k − = −1 ⇒ k = 5 17 Phần Hàm số - Giải tích 12 Vậy ta có k = ( x0 + 1) x0 = =5 ⇒ x0 = −1 Với x0 = ⇒ y0 = −2 k = nên đường thẳng ∆ có phương trình y = x − Với x0 = −1 ⇒ y0 = k = nên đường thẳng ∆ có phương trình y = x + Vậy có hai tiếp tuyến đồ thị ( C ) song song với đường thẳng y = − x + Câu 11.Tiếp tuyến đường cong (C) vng góc với đường thẳng x + y + 2017 = có hệ số góc : 3 A B C − D − 3 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A Ta có: 2017 x + y + 2017 = ⇔ y = − x − ⇒ Hệ số góc tiếp tuyến 3 Câu 12 Cho hàm số y = x3 + ax + bx + c qua điểm A ( 0; −4 ) đạt cực đại điểm B (1; 0) hệ số góc k tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm có hồnh độ −1 là: A k = B k = 24 C k = −18 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B y ( ) = −4 c = −4 a = −6 1 + a + b + c = y (1) = ⇔ ⇔ b = Ta có: y′ (1) = 3 + 2a + b = c = −4 y′′ < 6 + 2a < ( ) D k = 18 Do k = y′ ( −1) = − 2a + b = 24 Câu 13 Trong tiếp tuyến điểm đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ bằng: A - B C - D Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A Tập xác định: D = ℝ Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị hàm số Hệ số góc tiếp tuyến: k = 3x02 − x0 = 3( x0 − 1)2 − ≥ −3 Vậy hệ số góc tiếp tuyến nhỏ -3 Câu 14.Cho đường cong (C ) : y = x − x + x + 2017 Trong tiếp tuyến (C), tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ bằng: A B C D Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B (C ) : y = x − x + x + 2017 y ' = 3x − x + Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm 18 Phần Hàm số - Giải tích 12 2 Hệ số góc tiếp tuyến M ( x0 ; y0 ) k = y '( x0 ) = 3x0 − x0 + = 3( x − 1) + ≥ 19 Phần Hàm số - Giải tích 12 DẠNG 3: TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM Câu 1.Cho hàm số y = x + x − có đồ thị ( C ) Số tiếp tuyến với đồ thị ( C ) qua điểm J ( −1; −2 ) là: A B C D Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C Ta có y ′ = x + x Gọi a hoành độ tiếp điểm phương trình tiếp tuyến có dạng y = ( 3a + 6a ) ( x − a ) + a + 3a − Vì tiếp tuyến qua J ( −1; −2 ) nên −2 = ( 3a + 6a ) ( −1 − a ) + a + 3a − ⇔ −2a − 6a − 6a − = ⇔ a = −1 Vậy qua điểm J ( −1; −2 ) có tiếp tuyến với ( C ) Chú ý: y ′′ = x + = ⇔ x = −1 y ( −1) = −2 nên J ( −1; −2 ) điểm uốn ( C ) đo qua J ( −1; −2 ) có tiếp tuyến với ( C ) Câu Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị hàm số sau y = f ( x) = 53 y = g ( x) = − x + x + 6 A y = 13 B y = 15 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A C y = −13 x + 3x − x−2 D y = −15 x02 + x0 − 1 53 = − x02 + x0 + 6 x0 − Gọi x0 hoành độ tiếp xúc f ( x ) g ( x ) x0 − x0 − = − x0 + ( x − )2 3 (1) ( 2) Lưu ý: Hệ có nghiệm phương trình có nhiêu tiếp tuyến chung x = −4 Giải (1) ⇒ x03 − x02 − 15 x0 + 100 = ⇒ x = Giải ( ) ⇒ x03 − x02 + 12 x0 − 35 = ⇒ x0 = Suy x0 = nghiệm hệ (Chỉ có tiếp tuyến chung) Do tọa độ tiếp điểm A ( 5;13) hệ số góc k = f ′ ( 5) = g ′ ( 5) = Khi phương trình tiếp tuyến chung có dạng y = ( x − ) + 13 ⇔ y = 13 Câu Đồ thị hàm số y = x ( x − 3) tiếp xúc với đường thẳng y = x điểm? A Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B Xét hệ phương trình 20 B C D Phần Hàm số - Giải tích 12 x = x − 3x = 2x 3 x − x = x = ⇔ ⇔ ⇔ x = −1 4x − 6x = 4x − 6x = x = −1 4x − 6x = ( Hệ phương trình có nghiệm nên đồ thị hàm số y = x x − ) tiếp xúc với đường thẳng y = x điểm Câu Cho hàm số y = x3 − x2 + x − ( C ) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A ( −1;1) vng góc với đường thẳng qua hai điểm cực trị ( C ) x+ B x − y − = 2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A Ta có: y′ = 3x2 − 12 x + A y = C y = − x + 2 D y = x + 2 1 Lấy y chia y′ ta được: y = x − y′ + ( −2 x + ) Suy phương trình đường thẳng qua hai 3 3 điểm cực trị đồ thị hàm số là: y = −2 x + Đường thẳng d vng góc với đường thẳng y = −2 x + có dạng: − x + y + c = Vì d qua A ( −1;1) nên c = −3 Vậy d : − x + y − = ⇒ y = 21 x+ 2 Phần Hàm số - Giải tích 12 MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC VỀ HÀM SỐ Câu 1: Hỏi điểm I (0; −2) thuộc đồ thị hàm số nào? 2x + B y = C y = x − x x +1 x −1 Hướng dẫn giải: Chọn B Thay tọa độ điểm I (0; −2) vào đáp án ta đáp án.B A y = D y = x + x Câu 2: Tìm tọa độ tâm đối xứng đồ thị hàm số y = x3 + 3x − x + B ( −1;12 ) A ( −1;6 ) C (1; ) D ( −3; 28 ) Hướng dẫn giải: Chọn B y′ = x + x − y ′′ = x + y ′′ = ⇔ x = −1 Thay x = −1 vào hàm số y = 12 Câu 3: Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x − x + 2m qua điểm A ( −1;6 ) A m = B m = −3 C m = −2 D m = Hướng dẫn giải: Chọn D Đồ thị hàm số y = x3 − 3x + 2m qua điểm A ( −1;6 ) nên −1 + + 2m = ⇔ m = Câu 4: Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số y = x + 2mx − 2m + qua điểm N (−2; 0) 17 17 B − C 6 Hướng dẫn giải: Chọn B Đồ thị hàm số y = x + 2mx − 2m + qua điểm N (−2; 0) A D (−2)4 + 2m(−2)2 − 2m + = ⇔ 6m + 17 = −17 ⇔m = Câu 5: Cho hàm số y = mx + ( m + ) x − có đồ thị ( Cm ) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị ( Cm ) qua điểm M (1;2 ) ? A B C Hướng dẫn giải: Chọn A Ta thay tọa độ điểm M (1;2 ) vào hàm số y = mx + ( m + ) x − : = m.13 + ( m + ) − ⇔ m = 22 D Phần Hàm số - Giải tích 12 3x − có điểm có toạ độ nguyên? x +1 B C D Câu 6: Tìm đồ thị hàm số y = A Hướng dẫn giải: Chọn C 3x − = 3− y= x +1 x +1 Để y nguyên x + ước ⇔ x + ∈ {±1; ±5} ⇔ x ∈ {0; −2;4; −6} ( ) 2x − mà tọa độ số nguyên? x +1 C D Câu 7: Có điểm thuộc đồ thị hàm số C : y = A B Hướng dẫn giải: Chọn D 2x − Ta có : y = = 2− x +1 x +1 Do : điểm thuộc đồ thị thỏa mãn điều kiện có tọa độ nguyên : x, y ∈ Z Suy : 4⋮ ( x + 1) ⇔ ( x + 1) ∈ U ( ) = {±1; ±2; ±4} Do có giá trị x nên có điểm thuộc đồ thị có tọa độ nguyên Câu 8: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − x + m có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ A m > B m ≤ C < m < D m > Hướng dẫn giải: Chọn A Để đồ thị hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ hệ phương trình sau có nghiệm khác ( 0;0 ) : x − 3x + m = y ( − x ) − ( − x ) + m = − y (1) ( 2) Lấy (1) + ( ) vế theo vế ta có : 2m − x = ⇔ x = Ycbt thỏa mãn ⇔ m m > ⇔ m > Câu 9: Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + ( 2m − 1) x + ( m − 1) x + m – có hai điểm A, B phân biệt đối xứng qua gốc toạ độ B m > ≤ m ≤ 1 D < m < C m ∈ ( −∞; ) ∪ (1; +∞) 2 Hướng dẫn giải: Chọn D Để đồ thị hàm số cho có hai điểm A, B phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ hệ phương trình sau có nghiệm khác ( 0;0 ) : A x3 + ( 2m − 1) x + ( m − 1) x + m − = y (1) ( − x ) + ( 2m − 1)( − x ) + ( m − 1)( − x ) + m − = − y ( ) Lấy (1) + ( ) vế theo vế ta có : ( 2m − 1) x + ( m − ) = 23 ( 3) Phần Hàm số - Giải tích 12 2−m điều kiện m ≠ 2m − Ycbt ⇔ ( 3) có hai nghiệm phân biệt khác Do ta có : ( 3) ⇔ x = Để ( 3) có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ 2−m >0 ⇔