SỞ GD&ĐT NGHỆ AN Đề thi thức KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2012- 2013 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (7,0 điểm) a) Giải phương trình: ( x   1)(5  x )  2x  x  xy  x  y   b) Giải hệ phương trình:  2  y  x  xy  x   Câu (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x y thoả mãn x   y Câu (2,0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thoả mãn 1    Chứng minh rằng: x y z x  yz  y  zx  z  xy  xyz  x  y  z Câu (6,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm D khác A DAB  600 Trên đường kính AB lấy điểm C (C khác A, B) kẻ CH vng góc với AD H Phân giác góc DAB cắt đường tròn E cắt CH F Đường thẳng DF cắt đường tròn điểm thứ hai N a) Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn ba điểm N, C, E thẳng hàng b) Cho AD = BC, chứng minh DN qua trung điểm AC Câu (2,0 điểm) Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh số tự nhiên cho tổng ba số chúng chia hết cho số lại Chứng minh tứ giác có hai cạnh - Hết -Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký Giám thị 1: Chữ ký Giám thị 2: SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2012- 2013 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MƠN TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn biểu điểm gồm có trang) 7,0 điểm Câu ĐK : x    x  1 0,25 Với x  không nghiệm phương trình 0,5 Với x  , nhân vế với x 5  x   2x a) 4,0 điểm b)  x    ta  x 1 1  x 1   x 7  x   4  x  1    x  x    x  18 x  45  x     x    x  15  0,5  x  (thoả mãn điều kiện) 0,5 Vậy phương trình có nghiệm x  0,25 0,5 0,5 0,5 2    x  xy  x  y   (1) 2 x  xy  x  y     2  y  x  xy  x   (2)   y  x  xy  x    0,5  x  y  xy  x  y   0,5   x  y  2  0,5  y  x  Thay vào pt (1) ta 0,5 x2  5x    x  3,0 điểm 0,5 5  21 0,5 Vậy hệ có hai nghiệm ( x; y)  5  21 1  21   5  21 1  21  ; ;  ,   2 2     0,5 3,0 điểm Câu 2 x   y  x  y   x   y  1 y  1 0,5 Đặt y   2m , y   2n ( m, n  ; m  n ) 0,5 Khi 2m  2n  y    y  1  0,5    2n 2mn   0,5 n  2    mn  n  1; m  ; thoả mãn đk m, n  ; m  n     Vậy x  3; y  0,5 0,5 2,0 điểm Câu Bất đẳng thức cho tương đương với a  bc  b  ca  c  ab   ab  bc  ca , 1 với a  , b  , c  , a  b  c  x y z Ta có: 0,5 a  bc  a(a  b  c)  bc 0,75  a  a(b  c)  bc  a  2a bc  bc  a  bc Tương tự: b  ca  b  ca ; c  ab  c  ab 0,25 Từ ta có đpcm Dấu xảy x  y  z  0,5 6,0 điểm Câu E D H F A O C B M a) N 4,0 điểm Ta có : ACH  ABD (so le trong) (1) 0,5 mà AND  ABD (góc nội tiếp chắn cung) (2) 0,5 từ (1) (2) suy AND  ACH hay ANF  ACF 0,5 suy tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn 0,5 AFCN nội tiếp đường tròn  CNF  CAF hay CND  BAE (3) 0,5 Mặt khác BAE  DAE  DNE 0,5 (4) b) 2,0 điểm từ (3) (4) suy CND  END 0,5  N, C, E thẳng hàng 0,5 Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia DN M 0,25 Ta có DAB  ACM (so le trong) 0,25 Mà DAB  DNB (góc nội tiếp chắn cung) 0,25  ACM  DNB  tứ giác BCMN nội tiếp đường tròn  CBM  END; CMB  ENB (vì N, C, E thẳng hàng) 0,25 mặt khác END  ENB  CBM  CMB  CB = CM lại có CB = AD (gt)  AD = CM 0,25 AD = CM, AD//CM suy ADCM hình bình hành  đpcm 0,25 0,25 0,25 2,0 điểm Câu Gọi độ dài cạnh tứ giác a, b, c, d (a, b, c, d * ) Giả sử khơng có cạnh tứ giác Khơng tính 0,5 tổng qt, giả sử a > b > c > d (*) Do tứ giác lồi nên a < b + c +d  a < b + c + d < 3a 0,5  2a < a + b + c + d < 4a Từ giả thiết toán suy a + b + c + d chia hết cho số 0.25 a, b, c, d nên ta có : a + b + c + d = 3a Đặt a + b + c + d = mb với m a + b + c + d = nc với n Do a > b > c  n > m > (1) * (2) 0,25 * (3)  n  5, m  0,25 Cộng (1), (2), (3) 3(a + b + c + d) = 3a + mb + nc  3a +4b + 5c  (b – d) + 2(c – d)  , mâu thuẫn (*)  Tứ giác có cạnh (Thí sinh làm cách khác cho điểm tối đa) 0,25 ...SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2012- 2013 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MƠN TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn biểu điểm gồm có trang) 7,0 điểm... M a) N 4,0 điểm Ta có : ACH  ABD (so le trong) (1) 0,5 mà AND  ABD (góc nội tiếp chắn cung) (2) 0,5 từ (1) (2) suy AND  ACH hay ANF  ACF 0,5 suy tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn 0,5 AFCN...   y  x  xy  x    0,5  x  y  xy  x  y   0,5   x  y  2  0,5  y  x  Thay vào pt (1) ta 0,5 x2  5x    x  3,0 điểm 0,5 5  21 0,5 Vậy hệ có hai nghiệm ( x; y)  5 