SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học : 2011-2012 MƠN: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu (3,0 điểm) a) Cho x  1 1  Tính giá trị biểu thức A   x4  x3  x2  2x  1 2012 1 1 b) Chứng minh biểu thị P  n3  n2    36n chia hết cho với số nguyên n Câu (3,0 điểm) a) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng  có phương trình y  x  Tìm đường thẳng  điểm M(x;y) thỏa mãn đẳng thức y2  3y x  2x  b) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình y  ax  b Tìm a, b để d qua điểm B(1;2) tiếp xúc với Parabol (P) có phương trình y  2x2 Câu (4,0 điểm) x  y  a) Giải hệ phương trình   x  y  b) Gọi x1 ;x2 hai nghiệm phương trình 2012x2   20a  11 x  2012  (a số thực)  x x 1  Tìm giá tri nhỏ biểu thức P   x1  x2       x1 x   2 Câu (4,0 điểm) a) Cho số thực a, b, c cho  a,b,c  Chứng minh  a  b  c       10 a b c  1  b) Trong hội trại ngày 26 tháng 3, lớp 9A có học sinh tham gia trò chơi ném bóng vào rổ học sinh ném tất 100 bóng vào rổ Số bóng ném vào rổ học sinh khác Chứng minh có học sinh ném tổng số bóng vào rổ khơng 50 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) có đường cao AH trung tuyến AM (H, M thuộc BC) Đường tròn tâm H bán kính HA, cắt đường thẳng AB đường thẳng AC D E (D E khác điểm A) a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng MA vuông góc với DE b) Chứng minh điểm B, E, D, C thuộc đường tròn Gọi O tâm đường tròn qua điểm B, E, C, D Tứ giác AMOH hình ? c) Đặt ACB  ;AMB   Chứng minh  sin   cos     sin  ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI LỚP GIA LAI NĂM 2011-2012 Câu a) Rút gọn x  Thay x  vào biểu thức A ta A = b)     P  n  n  7n  36   n n  7n  n  7n     n  n  n  n  n  6(n  1)   n  n   n  1    n  3 n   n  1 n  n  1 n   n  3    Ta có P tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Câu a) Điều kiện x  Tọa độ M (x;y) nghiệm hệ phương trình  x  y  x  Vậy M (1;2)   y  y  3y x  2x     b) Vì đường thẳng d qua B (1;2) nên b   a Khi phương trình đường thẳng d có dạng y  ax   a Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) là: 2x2  ax  a   0(1) (d) tiếp xúc với (P) phương trình (1) có nghiệm kép     a  Với a = suy b = - Vậy a = 4; b = - thõa mãn yêu cầu toán Câu a) Ta xét hai trường hợp x  2y  x  3 (thỏa mãn điều kiện)  x  y  y  TH1: y  ta có hệ phương trình   x  x  2y   (thỏa mãn điều kiện ) TH2: y  ta có hệ phương trình   x  y  x  4  4   3  Vậy nghiệm hệ phương trình  3;4  ;  ; b) Ta có ac  nên phương trình cho ln có hai nghiệm trái dấu Ta có : x1  x2  20a  11 ; x1x  1 2012 x  x  Do P   x1  x2      x1  x2  (do x1.x2  1    2 2  x1  x2    x1  x2    x1  x2    x1  x2   4x1.x2  2 20a  11  20a  11  ;x1.x  1)  24 với a  6  24 (do x1  x2   2012  2012  11 Vậy GTNN P = 24 Dấu “=” xảy a  20 Câu 1 a b c b c a a)  a  b  c       10        a b c b c a a b c Không tính tổng quát , giả sử a  b  c Khi ta có  a  b  b  c   Suy ab  bc  b2  ca a a b c c b 1   ; 1   c b c a b a a b c b c a a c Suy           b c a a b c c a Từ suy a c Ta cần chứng minh     c a   2a 2c  Tức chứng minh   1    0(*)  a   c  a c c a Bất đẳng thức (*) ln  a  c    1;  Từ suy điều phải chứng minh b) Gọi số bóng ném vào rổ học sinh a1;a ;a3 ; ;a7 xếp từ nhỏ đến lớn a1  a  a3  a  a  a6  a (1) Xét hai trường hợp: TH1: a  16 Suy a6  17;a  18 Do ta có a  a6  a  51 (2) TH2: a  15 suy a  14;a3  13;a  12;a1  11 Ta có a1  a  a3  a  50 Suy a  a6  a  50(3) Từ (2) (3) ta có điều phải chứng minh Câu A E B C H M D O a) Do DAE  900 nên DE đường kính đường tròn tâm H, bán kính HA suy D, H, E thẳng hàng Ta có : MAE  MCA  HAD  ADE Vì ADE  AED  900 nên MAE  AED  900 Suy MA vng góc với DE b) Từ ADE  MCA suy tứ giác DBEC nội tiếp đường tròn (O) Do OM vng góc với BC AH vng góc với BC nên AH // OM Do OH vng góc với DE AM vng góc với DE nên OH // AM Vậy tứ giác AMOH hình bình hành c) Do AB < AC nên H thuộc đoạn BM Ta có : AH  AM.sin   BC.sin  (1) Mặt khác AH  AC.sin   BC.sin .cos  (2) Từ (1) (2) suy sin   2.sin .cos  Ma`  sin   cos     2sin .cos   (dpcm) ...ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI LỚP GIA LAI NĂM 2011- 2012 Câu a) Rút gọn x  Thay x  vào biểu thức A ta A = b)     P  n  n  7n  36... E B C H M D O a) Do DAE  90 0 nên DE đường kính đường tròn tâm H, bán kính HA suy D, H, E thẳng hàng Ta có : MAE  MCA  HAD  ADE Vì ADE  AED  90 0 nên MAE  AED  90 0 Suy MA vng góc với DE...  x2   4x1.x2  2 20a  11  20a  11  ;x1.x  1)  24 với a  6  24 (do x1  x2   2012  2012  11 Vậy GTNN P = 24 Dấu “=” xảy a  20 Câu 1 a b c b c a a)  a  b  c      