Đang tải... (xem toàn văn)
Luận án đưa ra điều kiện để thu được sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2).
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THỦY LUẬT SỐ LỚN VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ THEO TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, năm 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THỦY LUẬT SỐ LỚN VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ THEO TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 9460106 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Lê Văn Thành GS TSKH Nguyễn Duy Tiến Nghệ An, năm 2018 i LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành Trường Đại học Vinh, hướng dẫn PGS TS Lê Văn Thành GS TSKH Nguyễn Duy Tiến Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết trình bày luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố trước Tác giả Nguyễn Thị Thủy ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn PGS TS Lê Văn Thành GS TSKH Nguyễn Duy Tiến Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn sâu sắc tới hai Thầy- người đặt toán, hướng dẫn, động viên, giúp đỡ tận tình chu đáo suốt trình tác giả học tập thực luận án Tác giả xin cảm ơn ThS Vũ Thị Ngọc Ánh TS Dương Xuân Giáp thảo luận góp ý từ lúc viết thảo hồn thiện luận án Trong q trình hồn thành luận án, tác giả nhận quan tâm góp ý GS TS Nguyễn Văn Quảng, TS Nguyễn Thị Thế, TS Nguyễn Trung Hòa, TS Nguyễn Thanh Diệu, TS Võ Thị Hồng Vân, PGS TS Kiều Phương Chi, PGS TS Phan Đức Thành, ThS Nguyễn Ngọc Tứ, nhà khoa học bạn bè đồng nghiệp Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Viện Sư phạm tự nhiên Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Viện Nghiên cứu cao cấp Tốn hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả học tập nghiên cứu Viện Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Nghệ An, Trường THPT Thanh Chương Tổ Toán Trường THPT Thanh Chương 3, đặc biệt ThS Trịnh Văn Thạch cô Trần Thị Lương tạo điều kiện giúp đỡ tác giả thời gian thực nhiệm vụ nghiên cứu sinh Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình ln chỗ dựa vững cho tác giả yên tâm học tập, nghiên cứu công tác Nguyễn Thị Thủy iii MỤC LỤC Một số kí hiệu thường dùng luận án Mở đầu Chương Một số luật số lớn mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 9 1.2 Luật số lớn mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 22 Chương Sự hội tụ đầy đủ theo trung bình hội tụ đầy đủ mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 41 2.1 Sự hội tụ đầy đủ theo trung bình mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 41 2.2 Sự hội tụ đầy đủ mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi nhận giá trị không gian Banach 54 Chương Dạng tổng quát số bất đẳng thức cực đại mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 3.1 Một số kiến thức chuẩn bị 68 68 3.2 Dạng tổng quát số bất đẳng thức cực đại mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 71 3.3 Luật mạnh số lớn dạng (p, q) 83 Kết luận kiến nghị 96 Danh mục cơng trình liên quan trực tiếp đến luận án 97 Tài liệu tham khảo 98 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN N R R+ (Ω, F, P) E B(E) logx log+ x E∗ EX Var(X) I(A) h.c.c m∨n m∧n tr i tr i-j µ( X ) d(k) [x] d X=Y lim inf Amn lim sup Amn Xs f (n) ∼ g(n) Tập hợp số nguyên dương Tập hợp số thực Tập hợp số thực không âm Không gian xác suất đầy đủ Không gian Banach thực khả li σ - đại số Borel E Logarit số tự nhiên số thực x log(x ∨ e), x ∈ R Không gian liên hợp không gian E Kì vọng phần tử ngẫu nhiên X Phương sai X Hàm tiêu tập hợp A Hầu chắn Giá trị lớn hai số thực m n Giá trị nhỏ hai số thực m n Trang thứ i tài liệu trích dẫn Từ trang thứ i đến trang thứ j tài liệu trích dẫn Median biến ngẫu nhiên X Số ước nguyên dương số nguyên k Phần nguyên số thực x Phần tử ngẫu nhiên X Y phân phối Giới hạn mảng biến cố Amn Giới hạn mảng biến cố Amn Phần tử ngẫu nhiên đối xứng hóa phần tử ngẫu nhiên X Hàm f (n) tương đương với hàm g(n) n → ∞, theo nghĩa f (n) =1 n→∞ g(n) lim ✷ C Kết thúc chứng minh Kí hiệu cho số dương khơng giống lần xuất MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Luật số lớn toán cổ điển lý thuyết xác suất, khẳng định trung bình cộng biến ngẫu nhiên độc lập phân phối hội tụ kì vọng biến ngẫu nhiên theo nghĩa Trong nhiều năm gần đây, luật số lớn nhiều nhà toán học tiếp tục quan tâm nghiên cứu Luật số lớn có nhiều ứng dụng thống kê, tốn kinh tế, khoa học tự nhiên nhiều lĩnh vực khác Chính vậy, việc nghiên cứu luật số lớn khơng có ý nghĩa lý thuyết mà có ý nghĩa thực tiễn 1.2 Logic tự nhiên phát triển định lý giới hạn lý thuyết xác suất dẫn đến nhiều kết tổng quát kết cổ điển Một hướng tổng quát từ kết có biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng sang cho phần tử nhận giá trị không gian Banach, từ kết có dãy mở rộng sang kết mảng hai hay nhiều số phần tử ngẫu nhiên Có nhiều câu hỏi đặt “từ kết cho dãy số có, liệu thiết lập kết tương tự cho mảng nhiều số không?”, “phương pháp chứng minh kết cho dãy số có vận dụng trường hợp mảng nhiều số không?”, Trong luận án này, nghiên cứu số định lý giới hạn dạng luật số lớn mảng hai số phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach thực khả li Các kết thu mảng hai số tổng quát thành mảng nhiều số phương pháp hoàn toàn tương tự Đối với cấu trúc nhiều số, quan hệ thứ tự thơng thường tập số khơng có tính chất tuyến tính Vì vậy, mở rộng định lý giới hạn đối từ trường hợp dãy số sang trường hợp mảng nhiều số gặp nhiều khó khăn Điều góp phần làm cho kết nghiên cứu định lý giới hạn mảng nhiều số có nhiều ý nghĩa 1.3 Bên cạnh dạng hội tụ hầu chắn, hội tụ đầy đủ, hội tụ theo xác suất, hội tụ theo trung bình, lý thuyết xác suất ta xét đến hội tụ đầy đủ theo trung bình Hội tụ đầy đủ theo trung bình dạng hội tụ mạnh hội tụ đầy đủ hội tụ theo trung bình Tuy nhiên, kết hội tụ chưa thật phong phú 1.4 Xác suất không gian Banach hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết xác suất Có nhiều định lý giới hạn khơng gian thực khơng không gian Banach Với lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: “Luật số lớn hội tụ đầy đủ theo trung bình mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach” Mục đích nghiên cứu Trong luận án này, chúng tơi đưa điều kiện để luật mạnh số lớn luật yếu số lớn mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach tương đương với Bên cạnh đó, luận án đưa điều kiện để thu hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2) Trong trường hợp không gian Banach không không gian Rademacher dạng p, chứng minh hội tụ đầy đủ theo trung bình kéo theo luật mạnh số lớn Luận án nghiên cứu điều kiện cần đủ cho hội tụ đầy đủ tổng kép có trọng số phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một, phân phối Cuối cùng, chúng tơi trình bày dạng tổng quát số bất đẳng thức cổ điển ứng dụng bất đẳng thức để chứng minh luật mạnh số lớn dạng (p, q) mảng phần tử ngẫu nhiên kéo theo luật mạnh số lớn Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập phân phối, độc lập không phân phối độc lập đôi phân phối nhận giá trị không gian Banach thực khả li 4 Phạm vi nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu luật số lớn, hội tụ đầy đủ theo trung bình hội tụ đầy đủ mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach thực, khả li với giả thiết độc lập độc lập đôi Đồng thời, luận án nghiên cứu dạng tổng quát số bất đẳng thức cổ điển bất đẳng thức Etemadi, Lévy, Ottaviani, Hoffmann-Jørgensen cho mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập Sau đó, chúng tơi vận dụng dạng tổng quát bất đẳng thức Ottaviani để chứng minh luật mạnh số lớn dạng (p, q) mảng phần tử ngẫu nhiên kéo theo luật mạnh số lớn Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp độc lập nghiên cứu tài liệu, seminar theo nhóm chủ trì thầy hướng dẫn, trao đổi với nhà khoa học nước Các công cụ chủ yếu sử dụng luận án bất đẳng thức cực đại bất đẳng thức de Acosta, bất đẳng thức Lévy, bất đẳng thức Hoffmann-Jørgensen, bất đẳng thức Ottaviani, bất đẳng thức đối xứng yếu, bất đẳng thức đối xứng mạnh Đặc biệt, luận án sử dụng phương pháp dãy con, phương pháp xấp xỉ, phương pháp đối xứng hóa để chứng minh kết luật số lớn hội tụ mảng phần tử ngẫu nhiên Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng nghiên cứu luật số lớn, hội tụ đầy đủ, hội tụ đầy đủ theo trung bình mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Luận án tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh chuyên ngành Lý thuyết xác suất Thống kê toán học Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án Không để nói lịch sử lý thuyết xác suất câu chuyện định lý giới hạn, có luật mạnh số lớn luật yếu số lớn Luật số lớn Bernoulli [4] công bố vào năm 1713 Về sau kết mở rộng Poisson, Chebyshev, Markov Khintchin Tuy nhiên phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn Borel [5] phát kết Kolmogorov [23] hoàn thiện vào năm 1933 Luật mạnh số lớn Kolmogorov trường hợp dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} độc lập có moment cấp hữu hạn, ∞ E(Xn − EXn )2 n=1 n i=1 (Xi n − EXi ) n2 < ∞, → h.c.c n → ∞ Đồng thời, Kolmogorov dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} độc lập phân phối điều kiện cần đủ để luật mạnh số lớn xảy biến ngẫu nhiên có kỳ vọng hữu hạn Sau kết mở rộng Marcinkiewicz Zygmund [30], [31] Đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực, năm 1973 Smythe [47] thiết lập luật mạnh số lớn dạng Kolmogorov Sau đó, luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-Zygmund mảng nhiều số nghiên cứu Gut [16], Klesov [21] Ở Việt Nam, luật số lớn mảng hai số biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực nghiên cứu tác giả Giang Tiến [15], Thành [50], Quảng Huy [39], Quảng Huấn [38], Trong năm gần đây, nhiều tác giả tiếp tục nghiên cứu định lý giới hạn mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian p khả trơn Quảng Huấn [40], [41] không gian Banach Rademacher dạng p Rosalsky Thành [43], [45] Trong luận án, tiếp tục nghiên cứu luật số lớn mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị khơng gian Banach Cụ thể hơn, đưa điều kiện để luật mạnh số lớn luật yếu số lớn tương đương với Về dạng hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p (p > 0), khái niệm đưa Chow [7] cho trường hợp dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực Năm 2006, tác giả Rosalsky, Thành Volodin [44] thiết lập hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị ... 2.1 Sự hội tụ đầy đủ theo trung bình mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 41 2.2 Sự hội tụ đầy đủ mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi nhận giá trị không gian Banach. .. chắn, hội tụ đầy đủ, hội tụ theo xác suất, hội tụ theo trung bình, lý thuyết xác suất ta xét đến hội tụ đầy đủ theo trung bình Hội tụ đầy đủ theo trung bình dạng hội tụ mạnh hội tụ đầy đủ hội tụ theo. .. mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 22 Chương Sự hội tụ đầy đủ theo trung bình hội tụ đầy đủ mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach