Đang tải... (xem toàn văn)
Toán rời rạc là một dạng toán khó và có vai trò quan trọng trong việc rèn luyện kĩ năng giải toán và giải quyết các vấn đề trong thực tiễn cho sinh viên. Các bài toán rời rạc được coi trọng trong chương trình môn toán phổ thông và đại học, cao đẳng của nhiều nước trên thế giới. Ở nước ta, do nhiều nguyên nhân khác nhau, dạng toán này còn chưa đề cập nhiều trong chương trình, chủ yếu được bổ sung cho học sinh giỏi thi các đội tuyển toán.
No.10_Dec2018|Số 10 – Tháng 12 năm 2018|p.12-21 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO ISSN: 2354 - 1431 http://tckh.daihoctantrao.edu.vn/ Sử dụng số ngun lí tốn rời rạc vào toán đếm bồi dưỡng sinh viên Olympic Lê Thiếu Tránga* a Trường Đại học Tân Trào Email: lttrang0466@tuyenquang.edu.vn * Thơng tin viết Tóm tắt Ngày nhận bài: 07/11/2018 Ngày duyệt đăng: 10/12/2018 Toán rời rạc dạng tốn khó có vai trò quan trọng việc rèn luyện kĩ giải toán giải vấn đề thực tiễn cho sinh viên Các tốn rời rạc coi trọng chương trình mơn tốn phổ thơng đại học, cao đẳng nhiều nước giới Ở nước ta, nhiều ngun nhân khác nhau, dạng tốn chưa đề cập nhiều chương trình, chủ yếu bổ sung cho học sinh giỏi thi đội tuyển toán Tuy nhiên, không nắm mạch kiến thức phân loại đầy đủ, sinh viên đội tuyển Olympic toán làm chưa tốt dạng toán Do vậy, việc trang bị kiến thức từ đến nâng cao giúp cho sinh viên giải tốt dạng toán Từ khoá: Sinh viên; tổ hợp; toán đếm; nguyên lí; qui tắc; rời rạc I Một số kiến thức tổ hợp X a, b, c X1 Qui tắc đếm a Qui tắc cộng: Một công việc thực theo k phương án A1 , A2 , , Ak Có n1 cách thực phương án thực phương án án A1 , n cách A2 , , n k cách thực phương Ak Khi có n1 n2 nk cách thực hợp n tập hợp đôi rời X X , X , , X n số phần tử tập hợp X tập hợp loại có chữ số X abc , acb, bca , bac , cab, cba X X1 X X X ) b Qui tắc nhân: Một công việc thực bao k công đoạn Công đoạn A1 , A2 , , Ak A1 có n1 cách thực hiện; Mỗi cách thực cơng đoạn Ví dụ 1: Từ tập X a, b, c , lập số tự nhiên, số có chữ số khác nhau? Giải: Lập phương án đếm: Đếm loại có chữ số, loại có chữ số loại có chữ số X tập hợp loại có chữ số đoạn A1 có có n cách thực công A2 ; … ; Mỗi cách thực công đoạn A1 , A2 ,…, Ak 1 có n k cách thực cơng đoạn Ak Khi cơng việc thực n1 n2 nk cách Quan điểm tập hợp: Nếu tập hợp hữu hạn thì: 12 =3+6+6=15 số thỏa mãn toán gồm X X X X n , X Vậy có tất cả: Quan điểm tập hợp: Nếu tập hợp hữu hạn ( X ab, ac, ba , bc, ca , cb X phương án X tập hợp loại có chữ số X , X , , X n L.T.Trang / No.10_Dec 2018|p.12-21 X1 X X n X1 X X n ( X1 Số hoán vị lặp tập hợp , X X n tích Đề n tập hợp) Pn Ví dụ 2: Một cặp số, mã khóa số kết hợp vòng số, vòng gồm 10 số: 0, 1,…, Một người quên mã khóa, hỏi người phải thử nhiều mã khóa mở cặp số đó? Giải: Gọi tập X 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} X 10 Một mã khóa có dạng abc , a, b, c có 10 lựa chọn từ X, nên số mã Giải: Có mẫu tự, xếp vào vị trí, chữ E N lặp lại lần, nên số từ khác là: 6! 180 2!.2! c Hoán vị vòng tròn phần tử phân biệt Cho tập hợp hốn vị tròn Một số khái niệm cơng thức tổ hợp thường dùng X có n phần tử n 1 , cách xếp thứ tự n phần tử ta hốn vị (khơng lặp) phần tử tập X Số hốn vị khơng lặp tập hợp X là: Pn n ! a) Các học sinh xếp tùy ý; b) Học sinh nam bàn học sinh nữ ngồi bàn Giải: a) Nếu học sinh xếp tùy ý: Đó số hốn vị phần tử, nên có: P8 8!=40320 cách xếp b Hoán vị lặp: Cho tập hợp n 1 , cách xếp thứ tự X có n phần tử n phần tử, phần n1 lặp lại k1 lần, phần tử n2 lặp lại k lần,…, tử np lặp k1 k2 k p n , n phần tử có n phần tử n 1 , cách n phần tử X Số hốn vị tròn n phần tử : X lại kp lần, với gọi hoán vị lặp Pn n 1 ! n Ví dụ 5: Có người ngồi họp bàn tròn, có cử người điều hành Hỏi có cách xếp chỗ ngồi khác nhau? Giải: Trừ vị trí người điều hành, người xếp vào vị trí lại Vì cử làm P6 5! 120 d Chỉnh hợp không lặp: Cho tập hợp n 1 phần tử, cách xếp thứ tự k X có n phần tử 1 k n , gọi chỉnh hợp (không lặp) chập k n phần tử X Số chỉnh hợp không lặp chập b) Xếp học sinh nam vào bàn, học sinh nữ vào bàn lại Mỗi cách xếp bàn hốn vị phần tử, sau đảo thứ tự bàn, nên số cách xếp là: 2.4!.4!=1152 phần X người điều hành, nên số cách xếp là: Ví dụ 3: Có học sinh, gồm nam nữ Có cách xếp học sinh vào hai bàn, bàn có chỗ ngồi hai trường hợp: tử BENZEN , lập bao xếp n phần tử đường tròn ta Vậy người phải thử tối đa 1000 mã khóa mở cặp số a Hốn vị khơng lặp: Cho tập hợp là: n! k1 !k ! k p ! Ví dụ 4: Từ chữ nhiêu từ khác nhau? khóa là: X X X X X X 103 1000 X X là: Ank k n phần tử n! n k ! Ví dụ 6: Từ 10 điểm phân biệt, lập vectơ khác vectơ-không? Giải: Cứ hai điểm phân biệt, chẳng hạn lập hai vectơ khác vectơ-không có tất cả: A10 AB A, B ta BA , 10! 90 vectơ khác 10 ! vectơ-khơng X có n phần tử phần tử 1 k n , e Chỉnh hợp lặp: Cho tập hợp n 1 , cách xếp thứ tự k phần tử lặp lại hữu hạn lần, gọi 13 L.T.Trang / No.10_Dec 2018|p.12-21 chỉnh hợp lặp chập chỉnh hợp lặp chập k k k X Số n phần tử X là: n phần tử của k An n Ví dụ 7: Từ tập X 0,1, 2,3, 4,5,6 Lập số tự nhiên, số gồm chữ số? Giải: Gọi số cần tìm abc Vì a , nên a có cách chọn, b c chọn từ số cho Vậy số số thỏa mãn là: 6.72=294 X có n phần tử 1 k n gọi e Tổ hợp không lặp: Cho tập hợp n 1 , tập k phần tử k tổ hợp (không lặp) chập n phần tử Số tổ hợp không lặp chập X là: Cnk k Gọi T tập hợp học sinh đạt hạnh kiểm tốt T =20 đề thi thành lập là: Gọi B tập hợp học sinh lớp vừa không đạt học lực giỏi vừa không đạt hạnh kiểm tốt Từ giả thiết phần tử X có n phần tử 1 k n , 50 B 15 20 12 n phần tử Số tổ hợp lặp chập X k tập hợp X là: Cnk k 1 Nguyên lý bù trừ X Kí hiệu hợp hữu hạn Sử dụng phương pháp ánh xạ giả sử Xi, 1 i n tập hữu hạn ta có: n a Nếu X i thì: i 1 n b.Nếu Xi i 1 thì: 14 Cùng với tập hợp, ánh xạ khái niệm quan trọng tốn học Nó có mặt tất lĩnh vực tốn học Khái niệm ánh xạ mở rộng tự nhiên khái niệm số học Ta nhắc lại số khái niệm bản: số phần tử (hay lực lượng) tập X, n n i 1 i 1 Xi Xi B 50-(15+20-12)=27 Vậy số học sinh vừa không đạt học lực giỏi vừa không đạt hạnh kiểm tốt 27 học sinh phần tử lặp lại hữu hạn lần, gọi tổ hợp lặp k =12 Nếu gọi B tập hợp học sinh A B G T 50 B G T G T f Tổ hợp lặp: Cho tập hợp chập G T vừa không đạt học lực giỏi vừa không đạt hạnh kiểm tốt, thì: 10 10 10 C50 C40 C30 n 1 , tập k A tập hợp học sinh lớp A =50; G tập hợp học sinh đạt học lực giỏi G =15; n phần tử Ví dụ 8: Một đề thi tổ hợp 30 câu gồm: 10 câu Tốn, 10 câu Lý 10 câu Hóa Trong 10 câu Tốn lấy ngân hàng đề có 50 câu, 10 câu Lý lấy ngân hàng đề có 40 câu, 10 câu Hóa lấy ngân hàng đề có 30 câu Hỏi có cách lập đề thi thế? Giải: X n! n k !k ! Giải: Số Ví dụ 10: Một lớp có 50 học sinh, có 15 học sinh có học lực giỏi, 20 học sinh có hạnh kiểm tốt 12 học sinh có học lực giỏi hạnh kiểm tốt Hỏi có học sinh lớp vừa không đạt học lực giỏi vừa không đạt hạnh kiểm tốt? f từ tập X đến tập a Định nghĩa: Một ánh xạ Y X quy tắc đặt tương ứng phần tử với phần tử x y Y y gọi ảnh x qua ánh xạ f kí hiệu y = f ( x ) Tập X gọi tập nguồn (hay tập xác định) f Tập Y gọi Phần tử tập đích (hay tập giá trị) f L.T.Trang / No.10_Dec 2018|p.12-21 f Ánh xạ từ X đến Y kí hiệu là: f :X Y X Y tập tập số thực, ánh xạ a X ; y Y Nếu f ( a ) y y ảnh a a Mỗi phần tử a phần tử tạo ảnh X ta nói y qua ánh xạ f có ảnh (là f ( a ) ) Mỗi phần tử y Y có nhiều tạo ảnh khơng có tạo ảnh f ( X ) y Y | x X , y f ( x) Tập f Nói cách khác, tập ảnh f ( X ) gọi tập ảnh tập tất phần tử Y mà có tạo ảnh f : X Y gọi đơn + Đơn ánh: Ánh xạ với a X ,b Y mà ab f ( a ) f (b ) , tức hai phần tử phân biệt có hai đơn ánh với a X ,b Y mà f ( a ) f (b ) a b f : X Y gọi toàn + Toàn ánh: Ánh xạ y Y ánh với phần tử tử x X cho tồn phần + Song ánh: Ánh xạ f : X Y gọi song ánh vừa đơn ánh vừa tồn ánh f song ánh Với y Y , tồn x X để f ( x) y + Ánh xạ ngược song ánh: Cho f : X Y song ánh Khi đó, với y Y , tồn phần tử x X để f ( x ) y Phần tử x X gọi ảnh phần tử qua ánh xạ ngược ta có định nghĩa: Ánh xạ ngược đến tập B f ánh xạ từ tập B đến tập C Nếu g ( a ) B với a A (tức g ( A ) B ) ta xác định ánh xạ từ A đến C theo quy tắc sau: Đặt tương ứng phần tử a A với phần tử f ( g ( a )) C Ánh xạ gọi ánh f ánh xạ g , kí hiệu f g xạ hợp ánh xạ Như g:A B ta có: f :BC g ( A) B f g:AC Nếu ánh xạ hợp xác định bởi: ( f g )( a ) f ( g ( a )) x X : y f ( x) c f : X Y , gọi ánh xạ + Ánh xạ đồng nhất: Cho ánh xạ f :X Y , y f ( x) x gọi ánh xạ x X : * Sử dụng ánh xạ vào phép đếm: Qua phép song ánh, ta hồn tồn ước lượng số phần tử tập hợp A thơng qua tập hợp B mà ta biết số phần tử nhờ phép tương ứng A B Định lí: Cho A B hai tập hợp hữu hạn: Nếu có đơn ánh f ( x) y f toàn ánh Y f ( X ) phần tử A đồng ảnh phân biệt f f ( x) y f 1 ( y ) x f ( x ) y + Ánh xạ hằng: Cho ánh xạ b Phân loại ánh xạ ánh để + Ánh xạ tích: Cho g ánh xạ từ tập f gọi hàm số xác định X - Cho x X phần tử Như vậy: x y f ( x) - Khi y Y f Như f , kí hiệu f 1 , ánh xạ từ Y đến X gán cho phần tử f : A B A B ; Nếu có tồn ánh f : A B A B ; Nếu có song ánh: f : A B A B Ví dụ 11: Có nhóm người mà cặp khơng quen có hai người quen chung, cặp quen khơng có người quen chung Chứng minh số người quen người Giải: b tập người quen a b (không kể a , b ) A B Mỗi người a ' thuộc A quen với người thuộc B (do a ' b khơng quen nhau, họ có người quen chung a ) Tương tự người thuộc B quen với người thuộc A Vậy tồn - Nếu a quen 15 L.T.Trang / No.10_Dec 2018|p.12-21 song ánh từ A tới B , tức a b người quen - Nếu a khơng quen b tồn c b quen a Từ tập tập X 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 , lập số tự nhiên thỏa mãn điều kiện đặt Bài mẫu 1: Cho tập X 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 1) Từ chữ số? X b, c, d Vậy có tất cả: 104-103=9000 số 4- 10410 số thỏa mãn toán a 0, b, c, d , e Dạng 1: tốn đếm 1: chọn có 10 cách chọn, nên có 103 cách abcde , 2) Gọi số cần tìm II Bài tập ứng dụng toán b, c, d số b Do số người quen a số người quen c (suy từ trên) Bài Xét trường hợp a , có cách chọn a , có số lập số tự nhiên, số có X lấy từ Nếu e n (e) 1; n(a ) 9, n (b ) 8, n (c ) 7, n (d ) Vậy trường hợp có: 1.9.8.7.6= 3024 số thỏa mãn - Nếu e 2;4;6;8 n(e) Do a X \ 0 nên n ( a ) =8, n(b) 8, n(c ) 7, n(d ) 2) Từ X lập số tự nhiên chẵn, số có chữ số khác nhau? Vậy trường hợp có: 4.8.8.7.6= 10752 số thỏa mãn 3) Từ X lập số tự nhiên khơng lớn 5789, số có chữ số khác nhau? Do có tất cả: 3024+10752= 13776 số thỏa mãn toán 4) Từ X lập số tự nhiên chia hết cho 3, số có chữ số khác nhau? 5) Từ X lập số tự nhiên số gồm 15 chữ số, đó: số có mặt hai lần, số có mặt lần, số có mặt lần, số khác có mặt lần? 6) Từ X \ 0;9 lập số tự nhiên, số có chữ số khác nhau? Tính tổng số tìm được? 7) Từ X lập số tự nhiên, số có chữ số khác nhau? Tính tổng số tìm được? 8) Từ X \ 0 số có chữ số khác nhau, số không đứng cạnh nhau? 1) + Cách 1: Gọi từ X n( x ) số cách chọn x Giả sử a X \ 0 nên n( a ) =9; 9.103 9000 số thỏa mãn toán + Cách 2: Mỗi số a , b, c , d có 10 cách chọn, kể a , nên có 104 số 16 X b, c , d tùy ý n(b) 9, n(c) 8, n(d ) Trường hợp có: 4.9.8.7=2018 số thỏa mãn - Nếu a=5 n(a) , b 0;1;2;3;4;6 n(b) , c, d tùy ý n(c) 8, n(d ) Trường hợp có: 1.6.8.7=336 số thỏa mãn Nếu a=5, b=7 n ( a ) n (b ) , c 0;1;2;3;4;6 n(c) , n(d ) Trường hợp có: 1.1.6.7=42 số thỏa mãn Nếu a=5, b=7, c=8 d=9 n(a ) n(b) n(c ) n(d ) Trường hợp Vậy có tất cả: 2018+336+42+1= 2397 số thỏa mãn tốn Cách 2: Dùng ngun lí loại trừ: Đếm số có bốn chữ số khác lấy từ X , trừ số không thỏa mãn n(b) n(c) n(d ) 10 Vậy có tất cả: lấy từ có số thỏa mãn abcd , a 0, b, c, d lấy Vì a 0, b, c, d - Nếu a 1;2;3;4 n(a ) , - Giải: số cần tìm lập số tự nhiên, abcd , 3) Cách 1: Đếm trực tiếp: Gọi số cần tìm 4) Ta có: 0;3;6;9 mod3 1; 4;7 1 mod 3 2;5;8 mod 3 (I); (II); (III) L.T.Trang / No.10_Dec 2018|p.12-21 Các ba số có tổng chia hết cho thành lập sau: Trong nhóm (I) có =4 C bộ; Trong nhóm (II) có bộ; Trong nhóm (III) có bộ; Kết hợp ba nhóm có: 4.3.3=36 Vậy có tất 42 ba số có tổng chia hết cho Trong đó: Có 12 chứa số Số số lập từ là: 12 P3 P2 =48 số Có 30 khơng chứa số Số số lập từ là: 30.P3 180 số Vậy có tất cả: 48+180=228 số thỏa mãn toán Chú ý: Bài toán đa số sách hướng dẫn làm theo cách lập ba số có tổng chia hết cho Cách dài dễ sai sót Nếu làm theo đồng dư đơn giản hiệu Có thể áp dụng cho tốn tương tự 5) Xét số thỏa mãn toán, chẳng hạn: 110222345678999 - Nếu tính số đứng đầu hốn vị 15 chữ số, số lặp lần, số số lặp lần số số là: P15 2!3!3! Cách 2: Gọi số cần tìm a1a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 , X \ 0;9 , i 1,8 Ta có: a1a2 a3a4 a5a6a7 a8 = a1.107 a2 106 a3.105 a4 10 a5 103 a6 102 a7 10 a8 Mỗi số , i 1,8 xuất hàng P7 lần (bằng số hốn vị phần tử lại) Do S = P7 1 107 106 10 7) Áp dụng cách ý Gọi số cần tìm a1a2 a3a4 a5 a6 , X \ 0;9 , i 1, Ta có: a1a2 a3a4 a5a6 = a1.105 a2 104 a3.103 a4 102 a5.10 a6 Mỗi số , i 1, xuất hàng A85 lần (bằng số xếp phần tử lấy từ phẩn tử lại vào vị trí) Do đó: S = A85 1 8 105 104 10 1 8) Ta dùng nguyên lí loại trừ: Số số có chữ số khác lập từ X \ 0 A97 - Xét số đứng đầu, hốn vị 14 chữ Xét số khơng thỏa mãn tốn, chẳng hạn: số, số lặp lần, số số lặp lần số 12abcde Hai số 1, 2, đứng cạnh nhau, có vị trí Mỗi vị trí thế, vị trí lấy số là: là: P14 Vậy số số thỏa mãn toán 2!3!3! P15 - P14 2!3!3! 2!3!3! cả: 2.5.A75 =25200 số thỏa mãn 6) Số số cần tìm số hốn vị số X \ 0;9 P8 8! Để tính tổng hai cách sau: S số tìm được, ta phân tích theo Cách 1: Dùng tính chất hốn vị liên tục từ đến 8: Mỗi số x số tìm được, ln tồn số x’ số mà: x+x’=99999999 (chẳng hạn x =12345678 x’=87654321) Có tất P8 cặp từ số lại, số số A75 Vậy có tất Vậy số số cần tìm là: A97 2.5 A75 =156240 Bài mẫu 2: Cho tam giác ABC Xét đường thẳng song song AB, đường thẳng song song BC, đường thẳng song song CA Hỏi đường thẳng tạo thành: 1) Bao nhiêu tam giác? 2) Bao nhiêu hình thang (khơng phải hình bình hành)? 3) Bao nhiêu hình bình hành? x; x ' Do tổng cần tìm là: S 99999999 P8 17 L.T.Trang / No.10_Dec 2018|p.12-21 Bài mẫu 1: Một lớp có 40 học sinh, có 20 em giỏi Tốn, 21 em giỏi Lí, 22 em giỏi Hố; em giỏi Tốn Hố, 11 em giỏi Lí Hố, em giỏi ba mơn Biết học sinh lớp giỏi mơn Tìm số học sinh giỏi hai mơn Tốn Lý A (I) (III) Giải: B Cách 1: Biểu diễn sơ đồ Ven: C Dùng sơ đồ Ven, biểu diễn phần tử tập hợp (II) Giải: Gọi đường thẳng song song AB loại (I); Các đường thẳng song song BC loại (II); Các đường thẳng song song CA loại (III) 1) Mỗi đường thẳng loại (I) cắt đường thẳng loại (II), kết hợp với đường thẳng loại (III) tạo nên tam giác Khi tráo đổi đỉnh đáy tam giác trùng Vậy số tam giác tạo thành là: C31.C41 C51 =60 2) Cứ hai đường thẳng loại (I) kết hợp đường loại (II) đường loại (III), tạo nên hình thang (khơng phải hình bình hành) Có trường hợp đỉnh tam giác Do số hình thang tạo thành là: C32 C41 C51 C42 C31.C51 C52 C41 C31 270 theo giả thiết, ta thấy số học sinh vừ giỏi Tốn, vừa giỏi Lí học sinh Cách 2: Dùng nguyên lí bù trừ: Gọi L, H , T tập hợp học sinh giỏi Toán, Lý, Hoá Giả thiết cho: T 20 ; L 21 ; H 22 ; T H ; L H 11 ; T L H 5; T L H 40 Ta phải tìm T L Ta có: Hay 40=20+21+22- T L -8-11+5 T L = 20+21+22-8-11+5- 40=9 3) Cứ hai đường thẳng loại (I) kết hợp hai đường thẳng loại (II) tạo nên hình bình hành Có trường hợp Do số hình bình hành là: C32 C 42 C42 C52 C52 C32 108 * Tổng qt tốn có m, n, p đường thẳng song song AB, BC , CA Dạng 2: Các toán đếm nâng cao Bài tốn 2: Một tập hợp có n phần tử, phần tử có tính chất riêng biệt chung số tính chất Tìm số phần tử có chung tính chất theo yêu cầu đặt Vậy có học sinh giỏi hai mơn Tốn Lý Bài mẫu 2: Cho tập A gồm 16 số nguyên dương Hãy tìm số ngun dương k nhỏ có tính chất: Trong tập có k phần tử A tồn hai số phân biệt a , b cho a b số nguyên tố Giải: Giả sử k số nguyên dương cho tập có k phần tử tập A tồn hai số phân biệt a , b cho a b số nguyên tố Ta xét tập T gồm số chẵn thuộc tập A Khi T =8 với a,b T , ta có a b hợp số k Xét cặp số sau: TOAN LY A 1;2 3;4 5;16 6;15 7;12 8;13 9;10 11;14 Xét T tập A T =9, theo nguyên lí Dirichlet, T chứa cặp nói trên, hay nói cách khác T ln tồn hai số phân biệt 2 a , b cho a b số nguyên tố Vậy số k nhỏ HOA 18 cần tìm k =9 Ta thấy tổng bình p L.T.Trang / No.10_Dec 2018|p.12-21 Vậy: Chú ý: 1) Vì giả thiết a b số nguyên tố nên a b số chẵn hay a , b phải khác tính chẵn, lẻ Dựa vào ta xây dựng tập T 2) Để tìm phân hoạch tập A thành hợp cặp rời ta làm sau: Ta liệt kê Dạng 3: Các toán đếm sử dụng phương pháp ánh xạ tất số A, i 1,16 cho i ai2 ,(i 1,16) số nguyên tố Từ ta có phân hoạch trên, phân hoạch khơng phải Bài tốn 3: Xây dựng ánh xạ để đếm số phần tử tập hợp hữu hạn Bài mẫu 3: Có số tự nhiên khác không vượt 1000 bội 10, 15, 35, 55 gọi an số xâu không chứa số liên tiếp 0, 1, bn số xâu không chứa số liên tiếp 0,0,1,1 Đặt: S1 1 n 1000, n10 ; S2 1 n 1000, n15 S3 1 n 1000, n35 ; S4 1 n 1000, n55 Khi đó: Bài mẫu 1: Trong xâu nhị phân có độ dài n, 1,1,0,0 Chứng minh bn 1 2an Giải: Ta gọi xâu thuộc loại A khơng chứa số liên tiếp 0, 1, Một xâu thuộc loại B khơng chứa số hạng liên tiếp 0, 0, 1, 1, 1, 0, Với xâu X x1 , x2 , , xn , ta xây dựng Ta có: f ( X ) y1 , y2 , , yn , yn1 sau: y1 0; yk x1 x2 xk 1 (mod 2), k {2,3, , n 1} Khi X chứa số liên tiếp 0, 1, f ( X ) chứa số hạng liên tiếp 0, 0, 1, 1, 1, 0, Hay X thuộc loại A f ( X ) thuộc loại B Vậy f song ánh từ tập xâu loại A độ Vì vậy: dài n đến tập xâu loại B độ dài n mà bắt đầu Nhưng từ xâu X thuộc loại B ta nhận xâu X thuộc loại B cách đổi phần tử X theo quy tắc 0, nên số xâu loại B độ dài n gấp đôi số xâu loại B độ dài Mặt khác: n mà bắt đầu số Từ ta có điều phải chứng minh Nên: Bài mẫu 2: Gọi M số số nguyên dương viết hệ thập phân có 2n chữ số, có n chữ số n chữ số Gọi N số tất số viết hệ thập phân có n chữ số, có chữ số 1, 2, 3, số chữ số số chữ số Chứng minh M N C2nn Do: S1 S2 S3 S4 1 n 1000, n 2310 1000 S1 S2 S3 S4 0 2310 Giải: Ta có M C2nn Ta chứng minh M N Với số có n chữ số gồm chữ số 1, 2, 3, số chữ số số chữ số 2, ta “nhân đơi” thành số có 2n chữ số theo quy tắc sau: 19 L.T.Trang / No.10_Dec 2018|p.12-21 Đầu tiên, hai phiên số viết kề thành số có hai chữ số Kết là: Cn k 1 m Sau chữ số n chữ số đầu chữ số n chữ số sau đổi thành chữ số 1, chữ số III Kết luận n chữ số sau chữ số n chữ số đầu đổi thành chữ số Ví dụ: 12341421234142123414212121221221112 Như thế, ta thu số có n chữ số n chữ số Rõ ràng đơn ánh từ tập số n chữ số sang tập số 2n chữ số Để chứng minh song ánh, ta xây dựng ánh xạ ngược sau: với số có n chữ số n chữ số 2, ta cắt n chữ số đầu n chữ số cuối cộng chúng theo cột với quy tắc: 1+1=1, 2+2=2, 1+2=3, 2+1=4, ta thu số có n chữ số gồm chữ số 1, 2, 3, với số chữ số số số Chẳng hạn: 1212122 12121221221112 1221112 1234142 1234142 Như song ánh hai tập hợp thiết lập Bài mẫu 3: Có cách chọn k số từ n số nguyên dương cho với hai số a , b chọn ta ln có a b m (ở không quan tâm thứ tự chọn số này) Ta cần tìm số phần tử tập Xét tập B b1 ; b2 ; ; bk | bi bi 1 ; bi n k 1 m m; a3 2m; ; ak k 1 m Ta dễ dàng chứng minh song ánh k A B số cách chọn k số n k 1 m số mà không quan tâm thứ tự 20 Bộ Giáo dục Đào tạo - Hội Toán học Việt Nam, Tuyển tập Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, Nxb Giáo dục, 2003 Chuyên đề Trại hè Hùng Vương tỉnh miền núi phía Bắc 2015-2017 Diễn đàn MATHCOPE.ORG Tuyển tập chuyên đề Tổ hợp, Nguyễn Đễ - Nguyễn Khánh Ngun (dịch), Một số đề thi vơ địch Tốn Olympic nước, Nxb Giáo dục, 1996 Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tơ Thanh, Tốn rời rạc, Nxb Giáo dục 1999 Đồn Quỳnh, Tài liệu chun tốn Đại số 10, 11, Nxb Giáo dục, 2006 f : A B: a ; a ; a ; ; a a ; a TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Văn Nho, OLYMPIC toán học Châu Á Thái bình dương, Nxb Giáo dục 2003 A a1 ; a2 ; ; ak | 1 m,1 n Thiết lập ánh xạ Qua theo dõi đề thi khu vực, quốc gia, quốc tế cho học sinh sinh viên, nhận thấy dạng tốn rời rạc cho đơi bản, đơi tích hợp từ tốn Do đó, để học sinh giải tốt dạng toán này, em cần trang bị kiến thức thật bản, phân loại dạng tốn thật tốt em xử lí tốn phức tạp Trong q trình nghiên cứu tổng hợp tài liệu, khả thời gian có hạn nên số kết chuyên đề dừng lại kết luận ban đầu, số vấn đề chuyên đề chưa phát triển sâu cách làm chưa tối ưu Vì mong quan tâm đóng góp ý kiến thầy giáo, bạn đồng nghiệp để bổ sung tốt chuyên đề Chuyên đề Trại hè tỉnh duyên hải đồng Bắc 2016-2017 ta có M N C2nn Giải: k từ L.T.Trang / No.10_Dec 2018|p.12-21 Using some principles of discrete mathematics in counting problems for Olympic students Le Thieu Trang Article info Recieved: 07/11/2018 Accepted: 10/12/2018 Keywords: Student; combination; counting problem; principle; rule; discrete Abstract Discrete mathematics is a challenging form of math and plays an important role in training the skill of math solving and problem solving in reality for students Discrete problems are highly focused in the math syllabus of high schools, universities and colleges of many countries in the world In our country, this form of mathematics has been insignificantly mentioned in the syllabus, and mainly taught for good students in Mathematics teams due to different reasons However, if knowledge flow and classification are not mastered completely, even students in Mathematical Olympiad teams will face challenges in solving this form of math Therefore, equipping students with basic and advanced knowledge will help them to master this form of math well 21 ... 13776 số thỏa mãn toán 4) Từ X lập số tự nhiên chia hết cho 3, số có chữ số khác nhau? 5) Từ X lập số tự nhiên số gồm 15 chữ số, đó: số có mặt hai lần, số có mặt lần, số có mặt lần, số khác có mặt... 0;9 lập số tự nhiên, số có chữ số khác nhau? Tính tổng số tìm được? 7) Từ X lập số tự nhiên, số có chữ số khác nhau? Tính tổng số tìm được? 8) Từ X 0 số có chữ số khác nhau, số không đứng... 42 ba số có tổng chia hết cho Trong đó: Có 12 chứa số Số số lập từ là: 12 P3 P2 =48 số Có 30 khơng chứa số Số số lập từ là: 30.P3 180 số Vậy có tất cả: 48+180=228 số thỏa mãn toán