Đang tải... (xem toàn văn)
Phương trình bậc nhất một ẩn gồm lí thuyết cơ bản, phân dạng bài toán và bài tập tự luyện. Phân dạng bài toán: phương pháp giải được trình bày chi tiết và có ví dụ minh họa được giải chi tiết. Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.
MỤC LỤC Kiến thức 1.1 Định nghĩa phương trình bậc 1.2 Hai quy tắc biến đổi phương trình Phân dạng toán 2.1 Giải phương trình bậc ẩn 2.2 Giải biện luận phương trình ♣am bqx cm d ✏ 2.3 Tìm điều kiện Bài tập luyện tập 11 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN (Dành cho lớp ) Kiến thức 1.1 Định nghĩa phương trình bậc Định nghĩa Phương trình bậc ẩn phương trình có dạng ax b ✏ đó: + a b hai số cho a ✘ + x ẩn + ax b vế trái phương trình vế phải phương trình Chú ý Ẩn phương trình khơng thiết lúc x, y, z, t, Ví dụ Các phương trình sau phương trình bậc ẩn x 2x ✏ x ✏ x ✏ Ví dụ Các phương trình sau phương trình bậc ẩn t: 4t ✏ 2t ✏ 1.2 Hai quy tắc biến đổi phương trình a) Quy tắc chuyển vế Trong phương trình ta chuyển hạng tử từ vế sang vế đổi dấu hạng tử Ví dụ 4x ✏ ta chuyển hạng tử số từ vế phải sang vế trái đổi dấu hạng tử thành ✁1, phương trình cho trở thành 4x ✏ ✁1 Ví dụ 3x ✁ ✏ ta chuyển hạng tử số ✁4 từ vế phải sang vế trái đổi dấu hạng tử thành 4, phương trình cho trở thành 3x ✏ b) Quy tắc nhân với số Trong phương trình, ta nhân hai vế với số khác Ví dụ Ta nhân hai vế phương trình 2x ✏ với số (vì số khác số 0), tức 3♣2x 1q ✏ 3.0 (1) Vì a♣b cq ✏ ab ac 3.0 ✏ nên phương trình (1) trở thành 3.2x 3.1 ✏ (2) Vì 3.1 ✏ 3.2 ✏ nên phương trình (2) trở thành 6x ✏ Vậy nhân hai vế phương trinh 2x phương trình 6x ✏ ✏ với số ta Ví dụ Ta nhân hai vế phương trình 2x ✏ với 1 số (vì số khác số 0), tức 2 1 ♣ 2x 4q ✏ ☎ (3) 2 Vì a♣b cq ✏ ab ac ☎ ✏ nên phương trình (3) trở thành 2x 2 ✏0 (4) 2 Vì ✏ ✏ nên phương trình (4) trở thành x ✏ 2 Vậy nhân hai vế phương trình 2x ✏ cho số ta phương trình x ✏ Phân dạng tốn 2.1 Giải phương trình bậc ẩn Cách giải phương trình bậc ẩn Bước 1: Chuyển vế ax ✏ ✁b Bước 2: Nhân hai vế phương trình ax ✏ ✁b với số Bước 3: Vậy x ✏ ✁b ta x ✏ a a ✁b nghiệm phương trình cho a Tổng quát phương trình ax b ✏ (a khác 0) giải sau: ax b ✏ ô ax ✏ ✁b ô x ✏ Vậy x ✏ ✁b ✁b nghiệm phương trình cho a Ví dụ Giải phương trình sau a) 2x ✏ b) 2x ✁ ✏ a Giải a) 2x ✏ ô 2x ✏ ✁4 ô x ✏ ✁4 ô x ✏ ✁2 Vậy x ✏ ✁2 nghiệm phương trình cho b) 2x ✁ ✏ ô 2x ✏ ô x ✏ 21 Vậy x ✏ 12 nghiệm phương trình cho 2.2 Giải biện luận phương trình ♣am bqx cm d ✏ Để giải biện luận phương trình ♣am bqx cm d ✏ ta thực bước sau: Bước 1: Nếu am b ✘ ô am ✘ ✁b ô m ✘ ✁b ♣a ✘ 0q phương a trình cho có nghiệm x✏ ✁♣cm dq am b Bước 2: Nếu am b ✏ ô am ✏ ✁b ô m ✏ ✁b ♣a ✘ 0q phương a trình cho trở thành 0x c ☎ ✁b d ✏ a Và nếu: +) c ☎ ✁b d ✏ phương trình cho có vơ số nghiệm a ✁b +) c ☎ a d ✘ phương trình cho vơ nghiệm Bước 3: Kết luận Ví dụ Giải biện luận phương trình ♣m 1qx m ✏ Giải Nếu m ✘ ô m ✘ ✁1 phương trình có nghiệm x✏ ✁♣m 2q m 1 Nếu m ✏ m ✏ ✁1 phương trình cho trở thành 0x ♣✁1q ✏ ô 0x ✏ Vì ✘ nên với m ✏ ✁1 phương trình cho vơ nghiệm ✏ ✁1 phương trình cho vơ nghiệm với m ✘ ✁1 ✁♣m 2q phương trình cho có nghiệm x ✏ m 1 Vậy với m Ví dụ Giải biện luận phương trình ♣m 1qx 4m ✏ Giải Nếu m ✘ ô m ✘ ✁1 phương trình có nghiệm ✁♣4m 4q ✏ ✁4♣m 1q ✏ ✁4 m 1 m 1 Nếu m ✏ ô m ✏ ✁1 phương trình cho trở thành x✏ 0x 4.♣✁1q ✏ ô 0x ✏ 0x ✏ Do với m ✏ ✁1 phương trình cho có vơ số nghiệm Vậy với m ✏ ✁1 phương trình cho có vơ số nghiệm với m ✘ ✁1 phương trình cho có nghiệm x ✏ ✁4 2.3 Tìm điều kiện Bài tốn Tìm điều kiện để phương trình ♣am bqx cm d nghiệm Phương pháp giải ✏ có Điều kiện để phương trình ♣am bqx cm d ✏ có nghiệm ✁b (a ✘ 0) am b ✘ ô am ✘ ✁b m ✘ a Ví dụ 10 Tìm điều kiện để phương trình ♣m 1qx ✁ m ✏ có nghiệm Giải Điều kiện để phương trình ♣m 1qx ✁ m ✏ có nghiệm m ✘ m ✘ ✁1 Bài tốn Tìm điều kiện để phương trình ♣am bqx cm d ✏ có vơ số nghiệm Phương pháp giải Bước 1: Điều kiện để phương trình ♣am bqx cm d ✏ có vơ số nghiệm am b ✏ cm d ✏ ✏ ô m ✏ ✁ab (a ✘ 0), thay m ✏ ✁ab vào ✁b d Và nếu: cm d ta cm d ✏ c ☎ a ✁b d ✏ kết luận với m ✏ ✁b phương trình cho có +) Nếu c ☎ Bước 2: Ta có am b a vô số nghiệm +) Nếu c ☎ a ✁b d ✘ kết luận khơng có giá trị m để phương a trình cho có vơ số nghiệm Ví dụ 11 Tìm điều kiện để phương trình ♣2m 8qx ✁ m ✁ số nghiệm ✏ có vơ Giải Điều kiện để phương trình ♣2m 8qx ✁ m ✁ ✏ có vơ số nghiệm 2m ✏ ✁m ✁ ✏ ✁8 ô m ✏ ✁4, thay m ✏ ✁4 Ta có 2m ✏ ô 2m ✏ ✁8 ô m ✏ vào ✁m ✁ ta ✁m ✁ ✏ ✁♣✁4q ✁ ✏ ✁ ✏ Vậy điều kiện để phương trình cho có vơ số nghiệm m ✏ ✁4 Ví dụ 12 Tìm điều kiện để phương trình ♣m 3qx ✁ m ✏ có vơ số nghiệm Giải Điều kiện để phương trình ♣m 3qx ✁ m ✏ có vơ số nghiệm m ✏ ✁m ✏ Ta có m ✏ m ✏ ✁3, thay m ✏ ✁3 vào ✁m ta ✁m ✏ ✁♣✁3q ✏ ✏ ✘ Vậy khơng có giá trị m để phương trình cho có vơ số nghiệm Bài tốn Tìm điều kiện để phương trình ♣am bqx cm d ✏ có nghiệm Phương pháp giải Phương trình có nghiệm, tức phương trình có nghiệm phương trình có vơ số nghiệm Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình ♣am bqx cm d ✏ có nghiệm Bước 2: Tìm điều kiện để phương trình ♣am bqx cm d ✏ có vơ số nghiệm Bước 3: Kết luận Ví dụ 13 Tìm điều kiện để phương trình ♣m 1qx ✁ 4m ✁ ✏ có nghiệm Giải Điều kiện để phương trình ♣m 1qx ✁ 4m ✁ ✏ có nghiệm m ✘ ô m ✘ ✁1 Điều kiện để phương trình ♣m 1qx ✁ 4m ✁ ✏ có vơ số nghiệm m ✏ ✁4m ✁ ✏ Ta có m ✏ ô m ✏ ✁1, thay m ✏ ✁1 vào ✁4m ✁ ta ✁4m ✁ ✏ ✁4.♣✁1q ✁ ✏ ✁ ✏ Suy ra, với m ✏ ✁1 phương trình cho có vơ số nghiệm Vì với m ✘ ✁1 phương trình cho có nghiệm với m ✏ ✁1 phương trình cho có vơ số nghiệm nên phương trình cho có nghiệm với giá trị m Ví dụ 14 Tìm điều kiện để phương trình ♣m 2qx ✁ 4m ✁ ✏ có nghiệm Giải Điều kiện để phương trình ♣m 2qx ✁ 4m ✁ ✏ có nghiệm m ✘ ô m ✘ ✁2 Điều kiện để phương trình ♣m 2qx ✁ 4m ✁ ✏ có vơ số nghiệm m ✏ ✁4m ✁ ✏ Ta có m ✏ ô m ✏ ✁2, thay m ✏ ✁2 vào ✁4m ✁ ta ✁4m ✁ ✏ ✁4.♣✁2q ✁ ✏ ✁ ✏ ✘ Do khơng có giá trị m để phương trình cho có vơ số nghiệm Vậy với m ✘ ✁2 phương trình cho có nghiệm Bài tốn Tìm điều kiện để phương trình ♣am bqx cm d ✏ vô nghiệm Phương pháp giải Bước 1: Điều kiện để phương trình ♣am bqx cm d ✏ vô nghiệm am b ✏ cm d ✘ ✏ ô m ✏ ✁ab (a ✘ 0), thay m ✏ ✁ab vào ✁b Và cm d ta cm d ✏ c ☎ a ✁b ✏ kết luận khơng có giá trị m để phương +) cm d ✏ c ☎ Bước 2: Ta có am b a trình vơ nghiệm ✁b +) cm d ✏ c ☎ a ✁ b m ✏ a ✘ kết luận điều kiện để phương trình vơ nghiệm Ví dụ 15 Tìm điều kiện để phương trình ♣m 1qx 2m ✏ vô nghiệm Giải Điều kiện để phương trình ♣m 1qx 2m ✏ vô nghiệm m ✏ 2m ✘ ✏ ô m ✏ ✁1, thay m ✏ ✁1 vào 2m ta 2m ✏ 2.♣✁1q ✏ ✁2 ✏ Ta có m Vậy khơng có giá trị m để phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ 16 Tìm điều kiện để phương trình ♣m 1qx m ✏ vô nghiệm Giải Điều kiện để phương trình ♣m 1qx m ✏ vô nghiệm m ✏ m ✘ 10 1 ✏ ô m ✏ ✁1 ✏ ✘ Ta có m m ✏ ✁1, thay m ✏ ✁1 vào m 2 ta Vậy điều kiện để phương trình cho vơ nghiệm m ✏ ✁1 Bài tập luyện tập Bài tập Giải phương trình sau a) 2x ✏ c) x ✏ Đáp số: a) x ✏ b) 3x ✁ ✏ d) x ✏ ✁1 , b) x ✏ , c) x ✏ ✁9, d) x ✏ ✁6 Bài tập Giải biện luận phương trình sau: a) ♣2m 1qx 3m ✁ ✏ b) 9mx m ✁ ✏ c) m♣x ✁ mq ✏ x m ✁ d) 2x ✁ 2m ✏ x ✁ Hướng dẫn giải: c) d) Sử dụng quy tắc chuyển vế biến đổi phương trình cho dạng ♣am bqx cm d ✏ Đáp số: ✁1 : phương trình có nghiệm m ✏ ✁1 : phương trình a) m ✘ 2 vô nghiệm b) m ✘ 0: phương trình có nghiệm m ✏ 0: phương trình vơ nghiệm c) m ✏ 1: phương trình có vơ số nghiệm m ✘ 1: phương trình có nghiệm d) Phương trình ln có nghiệm Bài tập Tìm điều kiện để phương trình sau có nghiệm 11 a) ♣3m 2qx ✁ m ✁ ✏ b) ♣m ✁ 1qx m2 ✁ ✏ c) m♣x ✁ 2q x♣m ✁ 3q ✏ d) ♣m ✁ 3qx m2 ✁ ✏ 11 Hướng dẫn: Biến đổi phương trình dạng ♣am bqx cm d ✏ Bài tập Tìm điều kiện để phương trình ♣2m ✁ 4qx m2 nghiệm 12 ✁ ✏ vô ... trái phương trình vế phải phương trình Chú ý Ẩn phương trình khơng thiết lúc x, y, z, t, Ví dụ Các phương trình sau phương trình bậc ẩn x 2x ✏ x ✏ x ✏ Ví dụ Các phương trình sau phương trình. ..PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN (Dành cho lớp ) Kiến thức 1.1 Định nghĩa phương trình bậc Định nghĩa Phương trình bậc ẩn phương trình có dạng ax b ✏ đó: + a b hai số cho a ✘ + x ẩn + ax... Vì ✏ ✏ nên phương trình (4) trở thành x ✏ 2 Vậy nhân hai vế phương trình 2x ✏ cho số ta phương trình x ✏ Phân dạng toán 2.1 Giải phương trình bậc ẩn Cách giải phương trình bậc ẩn Bước 1: