Đang tải... (xem toàn văn)
Thác triển chỉnh hình kiểu HartogsChirka (Luận văn thạc sĩ)Thác triển chỉnh hình kiểu HartogsChirka (Luận văn thạc sĩ)Thác triển chỉnh hình kiểu HartogsChirka (Luận văn thạc sĩ)Thác triển chỉnh hình kiểu HartogsChirka (Luận văn thạc sĩ)Thác triển chỉnh hình kiểu HartogsChirka (Luận văn thạc sĩ)Thác triển chỉnh hình kiểu HartogsChirka (Luận văn thạc sĩ)Thác triển chỉnh hình kiểu HartogsChirka (Luận văn thạc sĩ)Thác triển chỉnh hình kiểu HartogsChirka (Luận văn thạc sĩ)Thác triển chỉnh hình kiểu HartogsChirka (Luận văn thạc sĩ)Thác triển chỉnh hình kiểu HartogsChirka (Luận văn thạc sĩ)Thác triển chỉnh hình kiểu HartogsChirka (Luận văn thạc sĩ)Thác triển chỉnh hình kiểu HartogsChirka (Luận văn thạc sĩ)Thác triển chỉnh hình kiểu HartogsChirka (Luận văn thạc sĩ)Thác triển chỉnh hình kiểu HartogsChirka (Luận văn thạc sĩ)Thác triển chỉnh hình kiểu HartogsChirka (Luận văn thạc sĩ)Thác triển chỉnh hình kiểu HartogsChirka (Luận văn thạc sĩ)Thác triển chỉnh hình kiểu HartogsChirka (Luận văn thạc sĩ)Thác triển chỉnh hình kiểu HartogsChirka (Luận văn thạc sĩ)Thác triển chỉnh hình kiểu HartogsChirka (Luận văn thạc sĩ)Thác triển chỉnh hình kiểu HartogsChirka (Luận văn thạc sĩ)
✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖ P❍❸▼ ❚❍➚ ◆●➴❈ ❚❍⑩❈ ❚❘■➎◆ ❈❍➓◆❍ ❍➐◆❍ ❑■➎❯ ❍❆❘❚❖●❙✲❈❍■❘❑❆ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✶✾ ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✲ P❍❸▼ ❚❍➚ ◆●➴❈ ❚❍⑩❈ ❚❘■➎◆ ❈❍➓◆❍ ❍➐◆❍ ❑■➎❯ ❍❆❘❚❖●❙✲❈❍■❘❑❆ ❈❍❯❨➊◆ ◆●⑨◆❍✿ ❚❖⑩◆ ●■❷■ ❚➑❈❍ ▼❶ ❙➮✿ ✽ ✹✻ ✵✶ ✵✷ ▲❯❾◆ ữớ ữợ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ◆●❯❨➍◆ ◗❯❆◆● ❉■➏❯ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✶✾ ▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ tr➯♥ ❧➔ tổ ự ữợ sỹ ữợ ◆❣✉②➵♥ ◗✉❛♥❣ ❉✐➺✉✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ♥➯✉ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ tr✉♥❣ t❤ü❝ ✈➔ ❝❤÷❛ tø♥❣ ✤÷đ❝ ❝ỉ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❜➜t ❦ý ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♥➔♦ ❦❤→❝✳ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✻ ♥➠♠ ✷✵✶✾ ❚→❝ ❣✐↔ P❤↕♠ ❚❤à ◆❣å❝ ❳⑩❈ ◆❍❾◆ ❈Õ❆ ❑❍❖❆ ❈❍❯❨➊◆ ▼➷◆ ❳⑩❈ ◆❍❾◆ ❈Õ❆ ◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆ ●❙✳❚❙❑❍ ◆❣✉②➵♥ ◗✉❛♥❣ ❉✐➺✉ ✐ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ tỉ✐ ✤➣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ sü ❣✐ó♣ ✤ï t t ữớ ữợ ❚ỉ✐ ❝ơ♥❣ ♠✉è♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❜ë ♠ỉ♥ ●✐↔✐ t➼❝❤✱ ❑❤♦❛ ❚♦→♥✱ ✤➣ t↕♦ ♠å✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧ñ✐✱ ữợ tổ õ t t tèt ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳ ❉♦ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❝â ❤↕♥✱ ❜↔♥ t❤➙♥ t→❝ ❣✐↔ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝â t❤➸ ❝â ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✳ ❚→❝ ❣✐↔ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ ♥❤➟♥ ữủ ỵ ỗ õ õ ỹ ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❝æ✱ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥✳ ❚æ✐ ①✐♥ tr➙♥ trå♥❣ ❝↔♠ ì♥✳ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✻ ♥➠♠ ✷✵✶✾ ❚→❝ ❣✐↔ P❤↕♠ ❚❤à ◆❣å❝ ✐✐ ▼ư❝ ❧ư❝ ▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ▼ư❝ ❧ư❝ ▲➼ ❞♦ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✐ ✐✐ ✐✐✐ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ◆❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ❈➜✉ tró❝ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✷ ✶✳✶ ❍➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ♠ët ❜✐➳♥ ✈➔ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỏ ữợ ỗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✸ ❈❤✉é✐ ❋♦✉r✐❡r ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ sü ❤ë✐ tö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ t tr rts rở ỵ t tr ❍❛rt♦❣s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ rtsr rở tr ỗ t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✽ ✽ ✾ ❑➳t ❧✉➟♥ ✷✸ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✷✹ ✐✐✐ ▼ð ✤➛✉ ✶✳ ▲➼ ❞♦ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐✳ ❚❤→❝ tr✐➸♥ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❧➔ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ ♠ët ❜✐➳♥✳❚r♦♥❣ C ♠å✐ ♠✐➲♥ ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ❧➔ ♠✐➲♥ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❝â ♥❣❤➽❛ tỗ t ởt ổ t rë♥❣ ❧➯♥ ♠ët ♠✐➲♥ rë♥❣ ❤ì♥ t❤➟t sü✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥❤✐➲✉ ❝❤✐➲✉ ✭C n ✱ ♥ ≥ 2✮ t❤➻ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ tr➯♥ ❦❤ỉ♥❣ ❝á♥ ✤ó♥❣ ♥ú❛ ỵ rts õ r ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ❜✐➯♥ ♠ët s♦♥❣ ✤➽❛ ✤➲✉ ♠ð rë♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❧➯♥ s♦♥❣ ✤➽❛✳ ✣à♥❤ ỵ ữủ r t tr tr ỗ t ởt sè ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ ✤➽❛ ✤ì♥ ✈à✳ ✣➙② ❧➔ ♠ët ♠ð rë♥❣ r➜t s→♥❣ t↕♦ ✈➔ ❧➔ ❝↔♠ ❤ù♥❣ ✤➸ ❝→❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ✤✐ s❛✉ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✿ ❚❤→❝ tr✐➸♥ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❦✐➸✉ ❍❛t♦❣s ✲ ❈❤✐r❦❛✳ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ ❝ì ❜↔♥ tr➻♥❤ ❜➔② t❤❡♦ ♠ët ❜➔✐ ❜→♦ ❝❤✉②➯♥ ❦❤↔♦ ❝õ❛ ❇❛rr❡t ✈➔ ❇❤❛r❛❧✐✳ ✸✳ ◆❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❤❛✐ ✤à♥❤ ỵ ỡ ỵ t tr ts ỵ r rở tr ởt ỗ t Pữỡ ự ũ ữỡ tt ỵ tt t❤➳ ✈à ✈➔ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝✳ ✺✳ ❈➜✉ tró❝ ❧✉➟♥ ỗ ữỡ ữỡ ✶✿ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à✳ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tỉ✐ s➩ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ●✐↔✐ t➼❝❤ ự ử ữỡ ữỡ ỵ t tr rt rở r ữỡ s tr ỵ rts ỵ rtsr t tr tr ỗ t ữỡ tự ❝❤✉➞♥ ❜à ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✈➲ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ♠ët ❜✐➳♥ ✈➔ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ s➩ ✤÷đ❝ ❞ò♥❣ ✈➲ s❛✉✳ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ q✉❛♥ trå♥❣ ❧➔ ♠✐➲♥ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤✱ ♠✐➲♥ ❣✐↔ ỗ ũ ợ ỵ tử t ỗ ởt ✈➔ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ❍➔♠ f ①→❝ ✤à♥❤ tr♦♥❣ ♠✐➲♥ D ⊂ C ✈ỵ✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ t↕✐ z0 ∈ D ♥➳✉ tỗ t r > f C t↕✐ ♠å✐ z ∈ ∆(z0 , r) ⊂ D ◆➳✉ f ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ t↕✐ ♠å✐ z ∈ D t❤➻ t❛ ♥â✐ f ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ D✳ ❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✷✳ ❈→❝ ❤➔♠ ✤❛ t❤ù❝ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ t♦➔♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝ C✳ ❈→❝ ❤➔♠ ❤ú✉ t✛ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ C trø r❛ t↕✐ ❝→❝ ✤✐➸♠ ♠➔ ♥â ❦❤æ♥❣ ①→❝ ✤à♥❤✳ ❈æ♥❣ tự t s ỵ t t t ự ởt ỵ ✶✳✶✳✸✳ ❈❤♦ ❤➔♠ f (z) ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠✐➲♥ D ✈➔ γ ❧➔ ♠ët ❝❤✉ t✉②➳♥ tr♦♥❣ D s❛♦ ❝❤♦ ♠✐➲♥ γ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❜ð✐ γ ♥➡♠ tr♦♥❣ D✳ ❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ♠å✐ z0 ∈ γ ✱ t❛ ❝â ❛✮ f (z0 ) = 2πi ✷ γ f (z) dz z − z0 ✭✶✳✶✮ ❱ỵ✐ n ≥ t❛ ❝â ❜✮ f (n) (z0 ) = ❈❤ù♥❣ ợ >0 ỵ ❤✐➺✉ n! 2πi γ f (z) dz (z − z0 )n+1 ✤õ ❜➨ ✤➸ ❤➻♥❤ trá♥ Cδ ❧➔ ❜✐➯♥ ❝õ❛ ∆(z0 , δ) ∆(z0 , δ) ⊂ γ , ✭✶✳✷✮ ♣❤➛♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ✈➔ ✤➦t Dγ,δ = γ \∆(z0 , δ) ❉♦ Dγ,δ ❧➔ ♠✐➲♥ ✷✲❧✐➯♥✱ ♥➯♥ t❛ ❝â γ∪Cδ− f (ν) dν = ν − z0 ❚ø ✤â ❝â ✤➥♥❣ t❤ù❝ γ ❇➔♥❣ ❝→❝❤ t❤❛♠ sè ❤â❛ Cδ f (ν) dν = ν − z0 Cδ f (η) dη η − z0 η = a + δeiφ , dη = iδeiφ dφ 2π f (η) dη = η − z0 ✭✶✳✸✮ t❛ ❝â f (z0 + ρeiϕ ) iϕ ρe dϕ ρeiϕ 2π f (z0 + ρeiϕ )dϕ =i 2π [f (z0 + ρeiϕ ) − f (z0 )]dϕ + 2πif (z0 ) =i ❈❤♦ δ→0 t❛ ❝â 2π [f (z0 + ρeiϕ ) − f (z0 )]dϕ = lim δ→0 ❱➟② t❛ ❝â lim δ→0 γ f (η) dη = 2πif (z0 ) η − z0 ✭✶✳✹✮ ❑➳t ❤ñ♣ ❧↕✐ t❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❜✳ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ ✤↕♦ ữợ t t õ ổ tự ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ◆❤í ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❈❛✉❝❤② t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ ❦➳t q✉↔ s❛✉ ✈➲ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ởt t ởt ộ tứ ỵ ✶✳✶✳✹✳ ❈❤♦ f ❧➔ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠✐➲♥ ♠ð D✳ ❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ♠å✐ a ∈ D✱ ❤➔♠ f ❝â t❤➸ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ t❤➔♥❤ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ tr♦♥❣ ♠å✐ ❧➙♥ ❝➟♥ ✤õ ♥❤ä ❝õ❛ a ∞ cn (z − a)n f (z) = n=0 ✸ ✭✶✳✺✮ ❍ì♥ ♥ú❛ ❝→❝ ❤➺ sè ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❧➔ ✤÷đ❝ t➼♥❤ t❤❡♦ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ f (n) (a) n! cn := ❚ø ✤à♥❤ ỵ tr ú t õ t ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ ♥❤÷ s❛✉✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✺✳ ❍➔♠ f ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ t↕✐ z ∈ Cn ♥➳✉ f ❝â t❤➸ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ✤÷đ❝ t❤➔♥❤ ❝❤✉é✐ ❧✉ÿ t❤ø❛ tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➙♥ ❝õ❛ z ✳ ❍➔♠ f ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠✐➲♥ D ♥➳✉ ♥â ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ t↕✐ ♠å✐ z D ữỡ tỹ ữ ỵ ❝❤♦ ❤➔♠ ♠ët ❜✐➳♥ ♣❤ù❝✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â ❦➳t q✉↔ s ỵ sỷ U = U (a, r) = {z ∈ Cn : |zj − aj | < rj ∀j = 1, , n} ❧➔ ✤❛ ✤➽❛ t➙♠ a ✤❛ ❜→♥ ❦➼♥❤ r = (r1 , , rn ) ✈➔ Γ = {z ∈ Cn : |zj − aj | = rj ∀j = 1, , n} ◆➳✉ f ❧➔ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ U ✈➔ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ U t❤➻ f (z) = 2πi n Γ f (η)dη1 · · · dηn (η1 − z1 ) · · · (ηn − zn ) ∀z ∈ U ỵ s ữủ ự tữỡ tỹ ữ ởt ỵ sỷ {fn} ❤ë✐ tư ✤➲✉ tr➯♥ ♠å✐ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣ D tỵ✐ ❤➔♠ f ✱ t❤➻ ❤➔♠ f ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ D✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ z0 ∈ D✳ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❈❛✉❝❤② ✈ỵ✐ ♠å✐ ❈❤å♥ z ∈ U (z0 , r) fn (z) = ❉♦ (fn ) ❤ë✐ tư ✤➲✉ tỵ✐ f r >0 tr➯♥ 2πi ∂D(z0 , r) ✤õ ❜➨ ✤➸ U (z0 , r) ⊂ D✳ ❚❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝ t❛ ❝â ∂D(z0 ,r) fn (η) dη η−z ❜➡♥❣ ❝→❝❤ t✐➳♥ ợ ữợ t t ữủ fn (z) = ✈ỵ✐ ♠å✐ z ∈ D(z0 , r)✳ ❱➻ t❤➳ f 2πi ∂D(z0 ,r) ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ fn (η) dη η−z D(z0 , r)✳ ❙û ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ỵ tr ú t õ ỵ s t➼♥❤ ❝♦♠♣❛❝t ❝õ❛ ❤å ❝→❝ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤✿ ✹ ✣à♥❤ ỵ sỷ D ởt tr C F H(D) ỵ t õ F ❜à ❝❤➦♥ ✤➲✉ tr➯♥ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ♠å✐ ❞➣② {fn } ⊂ F ❝❤ù❛ ♠ët ❞➣② ❝♦♥ fnk ❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t✳ ỏ ữợ ỗ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳ ❈❤♦ D ❧➔ t➟♣ ♠ð tr♦♥❣ C✳ ❍➔♠ u : D → [−∞, +∞) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ỏ ữợ tr D u ỷ tö❝ tr➯♥ tr➯♥ D, u = −∞ tr➯♥ ❜➜t ❦➻ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ❝õ❛ D ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ❜➜t tự ữợ tr ữợ tr D ợ x D tỗ t r > s❛♦ ❝❤♦ ∆(x, ρ) ⊂ D ✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ ≤ r < r t❛ ❝â u(x) ≤ 2π u(x + reit )dt ỵ u ỏ ữợ tr t D1 v ỏ ữợ tr t D2 ⊂ D1 ✳ ●✐↔ sû ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ D1 ∩ ∂D2 t❛ ❝â lim sup v(z) ≤ u(x) z→x ❑❤✐ ✤â ❤➔♠ u˜ = max{u, v} tr➯♥D2 u tr D1 \ D2 ỏ ữợ tr D1 ❑➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙② ❣✐ó♣ ❝❤ó♥❣ t❛ trì♥ õ ỏ ữợ ỵ u ỏ ữợ tr t D ⊂ C ✈ỵ✐ u = −∞✳ ❍➔♠ θ ❧➔ ❤➔♠ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ − 1− 1x θ(x) = λe ♥➳✉ x < ♥➳✉ x ≥ ❱ỵ✐ r > ❞÷ì♥❣ t❛ ✤➦t θr (z) = z θ 2 r r z ∈ C ❑❤✐ õ u r ỏ ữợ trỡ tr➯♥ Dr ✈➔ ❤ì♥ ♥ú❛ u ∗ χ ↓ u tr➯♥ D ▼è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ✈➔ ữợ ữủ t ữ s ✺ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✷✳ ●å✐ G(reiθ ) = ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✿ N n=−N N n=−N gn (r)einθ ✈➔ ❣✐↔ sû G ∈ C ∞ (∆; C) t❤ä❛ ♠➣♥ |gn (r)| 0 ✤õ ♥❤ä s❛♦ ❝❤♦ n0 ỗ t số tỹ |F (reiθ ) − σN (θ, r)| < δ/2 s❛♦ ❝❤♦ ∀(θ, r) ∈ [0, 2π) × [0, 1] ❑➳t q tr q ỵ r ợ r [0, 1] t ỵ r →♣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ ❤➔♠ t✉➛♥ ❤♦➔♥ ✭✷✳✽✮ ❝è ✤à♥❤✱ ✭✷✳✽✮ ❝❤➼♥❤ ❧➔ F (rei )✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❦✐➸♠ tr❛ ❝❤ù♥❣ ỵ r t t r t tử ỗ {F (rei )}r[0,1] C(T)✱ ❝→❝❤ ❝❤å♥ N ◆➳✉ t❛ ✈✐➳t tr♦♥❣ ✭✷✳✽✮ ❧➔ t❤è♥❣ ♥❤➜t ✈ỵ✐ r ∈ [0, 1]✳ N aj (r)eijθ , σN (θ, r) = j=−N t❤➻ t❛ t❤➜② ♥❣❛② C−j (r) ✭✐✮ ✭✐✐✮ ✭✐✐✐✮ |aj (r)| ≤ |aj (r)| ∀r ∈ [0, 1]✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ j = 1, 2, , N, t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿ C−j ∈ C ∞ ([0, 1]; C), C−j tr✐➺t t✐➯✉ tỵ✐ ❝➜♣ ✈ỉ ❤↕♥ t↕✐ r0 , ✈➔ |a−j (r) − C−j (r)| ≤ δ/2(2N + 1) ∀r ∈ [0, 1]✱ ❚❤❡♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✈➲ ❤➺ sè ❋♦✉r✐❡r t❛ ❝â ✤→♥❤ ❣✐→ {An (r)}n∈Z , |aj (r)| ≤ |aj (r)| ≤ rj ∀j = 1, 2, , N, r ∈ [0, 1) ❈❤♦ < R0 < ❧➔ ♠ët sè ✤õ ♥❤ä s❛♦ ❝❤♦ R0 ≤ δ 4(2N + 1) 1/j ∀j = 1, 2, , N ✶✸ t❛ ❝❤å♥ ❤➔♠ ❱ỵ✐ ♠é✐ j = 1, 2, , N t❛ ✤✐♥❤ ♥❣❤➽❛ ❤➔♠ Cj (r) αj (r)rj , ♥➳✉ r ≤ R0 , βj (r), ♥➳✉ r ≥ R0 , Cj (r) := ♥❤÷ s❛✉✿ t❤ä❛ ♠➣♥ ∗ Cj ∈ C ∞ ([0, 1]; C), ∗ αj ❜à tr✐➺t t✐➯✉ tỵ✐ ❝➜♣ ✈ỉ ❤↕♥ t↕✐ ∗ αj t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✐ ✮ ✭✐✐ ✮ ✭✐✐✐ ✮ r = 0, |aj (s)| sj |αj (r)| ≤ sup s≤1 ∗ ✭✐✈ ✮ βj ∀s ∈ [0, R0 ], t❤ä❛ ♠➣♥ R0j δ |βj (r) − aj (r)| ≤ 2(2N + 1) ❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ C0 (r) ❧➔ ❤➔♠ C∞ |C0 (r) − a0 (r)| < ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ C0 − C0 (0) ∀r ∈ [R0 , 1] ❜➜t ❦ý s❛♦ ❝❤♦ δ ∀r ∈ [0, 1] 2(2N + 1) tr✐➺t t✐➯✉ tỵ✐ ❝➜♣ ✈ỉ ❤↕♥ t↕✐ r = ❇➙② ❣✐í ✤➦t N iθ Cj (r)eijθ G(re ) = j=−N ❈❤ó♥❣ t❛ ❝â ♠ët sè ✤→♥❤ ❣✐→ ✈➲ ❝→❝ ❤➺ sè Cj ✳ ✣➛✉ t✐➯♥ ①➨t C−j (r), j = 1, 2, , N ú ỵ r ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉ ✈➝♥ ✤ó♥❣ ♥➳✉ N N |C−j (r) − a−j (r)| ≤ j=1 j=1 δN δ ≤ 2(2N + 1) 2(2N + 1) N N rj j |C−j (r)|r ≤ |a−j (r)| + j=1 j=1 N |a−j (r)|rj + ≤ j=1 ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ ①➨t Cj (r), j = 1, 2, , N ∗ ❝❤➜t ✭✐✐✐ ✮ tr♦♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ Cj (r) N δ 2(2N + 1) ∀r ∈ [0, 1] ≤ r ≤ R0 ✳ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ N rj αj (r) − j=1 ✶✹ ✭✷✳✾✮ δ 2(2N + 1) rữợ t |Cj (r) aj (r)| j=1 C−j ≡ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦ý j = 1, 2, , N |aj (r)| rj ✭✷✳✶✵✮ ❙û ❞ö♥❣ t➼♥❤ N 2R0j sup ≤ s≤1 j=1 N δ 4(2N + 1) ≤ j=1 ≤ N j=1 ❱➔ ❦❤✐ ①➨t R0 ≤ r ≤ 1, |Cj (r)| ≤ rj |aj (s)| sj sup s≤1 |aj (s)| sj δN , 2(2N + 1) N sup j=1 s≤1 ✭✷✳✶✶✮ |aj (s)| sj ∀r ∈ [0, R0 ] ∗ t❛ sû ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ✭✐✈ ✮ tr♦♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ ✭✷✳✶✷✮ Cj (r) ✤➸ t❤✉ ✤÷đ❝ N N |Cj (r) − aj (r)| ≤ j=1 j=1 N j=1 |Cj (r)| ≤ rj R0j δ δN ≤ , 2(2N + 1) 2(2N + 1) N R0j δ |aj (r)| + rj 2(2N + 1)R0j j=1 N ≤ j=1 ✭✷✳✶✸✮ |aj (r)| δN + j r 2(2N + 1) ∀r ∈ [R0 , 1] ✭✷✳✶✹✮ ❚ø ✭✷✳✶✵✮ ✈➔ ✭✷✳✶✷✮✱ t❛ ❝â N j=−N |Cj (r)| ≤ rj N |a−j (r)|rj + j=1 δN + |a0 (r)| 2(2N + 1) δ + + 2(2N + 1) N ≤ sup j=−N s≤1 N ≤ sup j=−N s≤1 N sup j=1 s≤1 |aj (s)| sj |aj (s)| δ(N + 1) + j s 2(2N + 1) |aj (s)| k +