BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ BÍCH LIỄU PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐẲNG HÌNH HỌC ĐỂ PHÂN TÍCH VÀ ĐIỀU KHIỂN ĐÁP ỨNG KẾT CẤU TẤM NHIỀU LỚP TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGÀNH: CƠ KỸ THUẬT MÃ NGÀNH: 9520101 Thành phố Hồ Chí Minh, 10/ 2019 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Người hướng dẫn 1: PGS.TS NGUYỄN XUÂN HÙNG Người hướng dẫn 2: PGS.TS ĐẶNG THIỆN NGÔN Luận án tiến sĩ bảo vệ trước HỘI ĐỒNG BẢO VỆ LUẬN ÁN TIẾN SĨ CẤP NHÀ NƯỚC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Ngày tháng năm NHỮNG ĐĨNG GĨP CỦA LUẬN ÁN Phương pháp số sử dụng cho luận án phương pháp phân tích đẳng hình học (IGA) Cách tiếp cận số trình bày vào năm 2005 Hughes cộng sự, nhiên, hạn chế Việt Nam IGA vượt qua phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) hiệu độ tin cậy việc tính toán toán kỹ thuật khác nhau, đặc biệt tốn có hình học phức tạp Một lý thuyết biến dạng cắt bậc cao không ràng buộc tổng quát (UHSDT) đưa Lý thuyết đề xuất không không ràng buộc ứng suất cắt bề mặt mà khơng u cầu hệ số hiệu chỉnh cắt Lý thuyết viết dạng tổng quát hàm phân bố Tác giả đề xuất hàm phân bố mà cung cấp kết tốt so với nghiệm tham khảo Thay sử dụng IGA truyền thống, tác giả sử dụng IGA dựa trích xuất Bézier cho tất chương Mục đích IGA dựa trích xuất Bézier thay hàm sở B-spline / NURBS (the B-spline or Non-uniform Rational B-spline) phân bố toàn cục hàm đa thức Bernstein sử dụng hàm dạng cho phần tử tương tự FEM Như dễ dàng tích hợp code FEM sẵn có phần mềm thương mại Bằng cách chọn đa thức Bernstein làm hàm sở, IGA thực dễ dàng tương tự cách triển khai FEM Các hàm sở B-spline / NURBS viết lại dạng kết hợp đa thức Bernstein tốn tử trích xuất Bézier Đó gọi trích xuất Bézier cho B-spline / NURBS Cả đáp ứng tuyến tính phi tuyến cho bốn loại vật liệu bao gồm composite nhiều lớp, composite nhiều lớp có dán lớp áp điện, vật liệu có lỗ rỗng thay đổi chức dán lớp áp điện gia cường graphene vật liệu áp điện thay đổi chức có lỗ rỗng nghiên cứu Tất toán liên quan đến bốn loại vật liệu khai thác phân tích kỹ thuật điều khiển chủ động để điều khiển đáp ứng tĩnh động loại trình bày luận án Cho đến nay, nhà nghiên cứu dường chưa có nghiên cứu đáp ứng có lỗ rỗng thay đổi chức dán lớp áp điện gia cường graphene (PFGP-GPLs) sử dụng IGA dựa trích xuất Bézier cho phân tích tuyến tính phi tuyến Tất kết đạt được so sánh với lời giải giải tích lời giải số cơng bố tạp chí quốc tế uy tín Một cơng thức phần tử hữu hạn đẳng hình học dựa trích xuất Bézier để phân tích dao động tự vật liệu áp điện chức có lỗ rỗng chứng minh trình bày Cơng thức chứng minh lần Trong công trình gần liên quan đến vấn đề này, tác giả đưa tần số dao động tự cho số hình học phức tạp chưa có giải giải tích lời giải số trước đưa Trong luận án này, tác gi đưa nhiều tốn có hình học phức tạp cách sử dụng kỹ thuật multipatches để tính tốn Điều khác với luận án sử dụng IGA trước Việt Nam -TÓM TẮT LUẬN ÁN Luận án bao gồm chương chương nói tổng quan nghiên cứu; chương trình bày cơng cụ sử dụng tính tốn phương pháp số đẳng hình học dựa trích xuất Bézier sở lý thuyết cho toán (bao gồm loại toán khác nhau), tương ứng; chương lại đưa ví dụ số minh hoạ cho phân tích tĩnh, dao động tự do, đáp ứng loại vật liệu mơ hình cho đáp ứng tuyến tính phi tuyến với dạng hình học khác từ đơn giản đến phức tạp Ngồi chương ví dụ số đưa ví dụ số điều khiển đáp ứng cho toán vật liệu có dán lớp áp điện Phân tích đẳng hình học (có tên viết tắt tiếng Anh IGA) giới thiệu năm 2005 Hughes cộng sự đột phá tính tốn mơ số Ưu điểm IGA sử dụng hàm dạng sở để mơ tả hình học xấp xỉ nghiệm số Nó tích hợp việc thiết kế dựa máy tính cơng nghệ liên quan đến việc sử dụng hệ thống máy tính để phân tích đối tượng hình học CAD (CAE) cơng cụ số hiệu khác để phân tích nhiều lớp tốn kỹ thuật khác Chi phí tính tốn giảm đáng kể hình học xác tạo CAD, sau đưa vào tính tốn mà khơng bị sai số hình học IGA cho kết với độ xác cao tính trơn tính liên tục bậc cao phần tử Trong thập kỷ phát triển gần đây, phân tích đẳng hình học vượt qua phân tích phần tử hữu hạn (FEM) tính hiệu độ tin cậy toán khác nhau, đặc biệt tốn có hình học phức tạp Bởi đóng vai trò quan trọng nhiều kết cấu kỹ thuật công nghiệp đại, kết cấu nhiều lớp sử dụng rộng rãi nhiều mảng kỹ thuật khác chẳng hạn hàng khơng, đóng tàu, kỹ thuật dân dụng, vv Kết cấu nhiều lớp có tính chất học tuyệt vời, bao gồm độ bền độ cứng cao, khả chống mài mòn, trọng lượng nhẹ nhiều đặc tính khác Bên cạnh việc sở hữu đặc tính vật liệu ưu việt, vật liệu tổng hợp nhiều lớp cung cấp thiết kế thuận lợi thơng qua việc xếp trình tự xếp chồng độ dày lớp để có đặc tính mong muốn, lý chúng nhận quan tâm nghiên cứu đáng kể nhiều nhà nghiên cứu toàn giới Trong luận án này, cơng thức phần tử hữu hạn đẳng hình học phát triển dựa trích xuất Bézier để giải toán khác nhau, sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao bậc tự cho phân tích điều khiển đáp ứng cấu trúc Một điểm luận án sử dụng trích xuất Bézier Trong phân tích đẳng hình học thơng thường, hàm sở B-spline hàm trải rộng toàn miền cấu trúc không miền cục hàm hình dạng Lagrangian FEM Việc hàm dạng phân bố toàn cục gây việc thực tính tốn phức tạp Do sử dụng trích xuất Bézier coi giải pháp khắc phục nhược điểm hàm đệ quy NURBS tích hợp vào code FEM sẵn có Mặc dù IGA phù hợp với tốn có tính liên tục bậc cao, nghiên cứu sinh sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao với liên tục C0, bậc tự do, để thống cho tất chương Để có thống biến xấp xỉ, số hình học phức tạp với điều kiện biên đối xứng, thường khó áp điều kiện biên cho thành phần đạo hàm nên luận văn nghiên cứu sinh sử dụng IGA dựa trích xuất Bézier với bậc tự cho nút Hơn nữa, nghiên cứu sinh nghiên cứu đáp ứng tuyến tính phi tuyến cho bốn loại vật liệu bao gồm composite nhiều lớp, composite nhiều lớp có lớp áp điện, vật liệu chức dán lớp áp điện có lỗ rỗng gia cường graphene vật liệu áp điện chức có lỗ rỗng Các thuật tốn điều khiển dựa tín hiệu phản hồi chuyển vị vận tốc không đổi áp dụng để điều khiển đáp ứng tĩnh động cho tuyến tính phi tuyến hình học, hiệu ứng giảm chấn cấu trúc xem xét, dựa điều khiển kín với cảm biến truyền động áp điện Các kết đạt phương pháp đề xuất phù hợp tốt với lời giải giải tích số phương pháp tiếp cận có sẵn khác Thơng qua phân tích phần ví dụ số, kết đạt phương pháp đề xuất đạt độ tin cậy cao so với giải pháp khác cơng bố tạp chí uy tín Ngồi ra, số lời giải số cho vật liệu chức dán lớp áp điện có lỗ rỗng gia cường graphene vật liệu áp điện chức có lỗ rỗng coi nguồn tài liệu tham khảo cho nghiên cứu khác tương lai chưa có lời giải giải tích đưa CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN 1.1 Tổng quan phân tích đẳng hình học (IGA) Năm 2005, Hughes, Cottrell & Bazilievs giới thiệu kỹ thuật mới, có tên phân tích đẳng hình học (IGA) Ưu điểm phương pháp có khả tính tốn trực tiếp sở liệu lấy từ chương trình thiết kế hình học Catia, Auto Cad, Rhino,… Điều thực cách sử dụng hàm sở mơ tả hình học CAD (tức B-splines / NURBS) để xấp xỉ nghiệm số Có thể thấy Hình 1.1, tương tác trực tiếp từ mơ hình hình học đến phân tích khơng thể, q trình phân tích phần tử hữu hạn (FEA) phải thông qua việc chia lưới để xấp xỉ hình học, thơng tin xác mơ tả hình học ban đầu khơng đạt Tuy nhiên, Hình 1.2, bỏ qua bước chia lưới, hình học phân tích hình học xác khơng có sai số hình học Kỹ thuật dẫn đến hợp tác tốt FEA CAD Kể từ báo sách IGA xuất năm 2009, số lượng lớn nghiên cứu thực chủ đề áp dụng thành công cho nhiều tốn từ phân tích cấu trúc, tương tác cấu trúc chất lỏng, điện từ phương trình vi phân phần bậc cao Hình 1.1: Sơ đồ phân tích phần tử hữu hạn Bởi chia lưới, miền tính tốn hình học CAD xấp xỉ Hình 1.2: Sơ đồ phân tích IGA Khơng cần chia lưới, miền tính tốn hình học xác 1.2 Tổng quan vật liệu sử dụng luận án Trong luận án này, bốn loại vật liệu xem xét bao gồm composite nhiều lớp, composite nhiều lớp có dán lớp áp điện, có lỗ rỗng thay đổi chức dán lớp áp điện gia cường graphene (PFGP-GPLs) vật liệu áp điện chức có lỗ rỗng (FGPMP) 1.2.1 Tấm composite nhiều lớp Tấm - cấu trúc tiếng, thông dụng phần quan trọng nhiều cấu kết kỹ thuật Chúng sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực dân dụng, kỹ thuật hàng không, vũ trụ, kỹ thuật ô tô nhiều lĩnh vực khác Một cấu trúc thường sử dụng nghiên cứu composite nhiều lớp Các composite nhiều lớp có tính chất học tuyệt vời Bên cạnh việc sở hữu đặc tính vật liệu ưu việt, vật liệu tổng hợp nhiều lớp cung cấp thiết kế thuận lợi thơng qua trình tự xếp chồng lớp độ dày lớp để có đặc tính học mong muốn cho nhiều ứng dụng kỹ thuật, điều giải thích lý chúng nhận ý đáng kể nhiều nhà nghiên cứu toàn giới Điều quan trọng hơn, hiệu sử dụng chúng phụ thuộc vào việc nghiên cứu triệt để ứng xử uốn cong, phân phối ứng suất dao động tự nhiên Do đó, nghiên cứu phản ứng tĩnh động chúng thực cần thiết cho ứng dụng kỹ thuật 1.2.2 Tấm composite nhiều lớp có dán lớp áp điện Vật liệu áp điện loại vật liệu thơng minh, tính chất điện học ghép nối Một tính vật liệu áp điện khả thực chuyển đổi lượng điện Theo đó, cấu trúc dán lớp áp điện chịu tải trọng học, vật liệu áp điện tạo điện Ngược lại, cấu trúc thay đổi hình dạng đặt điện trường Do tính chất học điện, vật liệu áp điện áp dụng rộng rãi để tạo cấu trúc thông minh lĩnh vực hàng không, vũ trụ, ô tô, quân sự, y tế lĩnh vực khác Liên quan đến tích hợp với lớp áp điện, có nhiều phương pháp số khác đưa để dự đoán ứng xử chúng 1.2.3 Tấm có lỗ rỗng thay đổi chức dán lớp áp điện gia cường graphene (PFGP-GPLs) Các vật liệu xốp (vật liệu có lỗ rỗng) có đặc tính nhẹ, hấp thụ lượng tuyệt vời, kháng nhiệt sử dụng rộng rãi lĩnh vực kỹ thuật khác bao gồm hàng không, vũ trụ, ô tô, y sinh lĩnh vực khác Tuy nhiên, tồn lỗ rỗng bên dẫn đến giảm đáng kể độ cứng cấu trúc Để khắc phục nhược điểm này, việc gia cố ống nano carbon ống nano carbon (CNTs) graphene (GPL) vào vật liệu xốp lựa chọn tuyệt vời thiết thực để tăng cường tính chất học chúng Trong năm gần đây, vật liệu xốp gia cố GPLs nhà nghiên cứu ý nhiều đặc tính ưu việt chúng so với ống nano carbon Các vật liệu xốp nhân tạo bọt kim loại có kết hợp hai tính chất vật lý đặc tính học áp dụng phổ biến vật liệu cấu trúc nhẹ vật liệu sinh học Các GPL gia cường cách phân tán vật liệu để tăng khả làm việc kết cấu độ cứng chúng trọng lượng kết cấu giảm theo độ xốp Với ưu điểm kết hợp GPL lỗ rỗng, tính chất học vật liệu gia tăng đáng kể trì ưu điểm cấu trúc nhẹ 1.2.4 Tấm vật liệu áp điện chức có lỗ rỗng (FGPMP) Các vật liệu áp điện truyền thống thường tạo từ số lớp vật liệu áp điện khác composite nhiều lớp tích hợp (dán) với lớp áp điện đóng vai trò cảm biến áp điện truyền động để điều khiển dao động Mặc dù có ưu điểm bật ứng dụng rộng rãi, chúng số nhược điểm nứt, tách lớp có tập trung ứng suất chỗ tiếp giáp lớp Như biết, vật liệu phân lớp theo chức (FGM) loại cấu trúc composite hỗn hợp thu hút ý nhiều nhà nghiên cứu năm gần Các tính chất vật liệu FGM thay đổi liên tục theo độ dày cách trộn hai vật liệu khác Vì vậy, FGM giảm chí loại bỏ số nhược điểm vật liệu composite nhiều lớp áp điện Dựa khái niệm FGM, kết hợp hai loại vật liệu áp điện theo hướng thu vật liệu áp điện phân lớp chức (FGPM), có nhiều đặc tính bật so với vật liệu áp điện truyền thống Do đó, FGPM thu hút ý mạnh mẽ nhà nghiên cứu để phân tích thiết kế thiết bị thông minh năm gần 1.3 Mục tiêu luận văn Luận án tập trung vào phát triển phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học để phân tích điều khiển đáp ứng cấu trúc nhiều lớp Vì vậy, có hai mục tiêu nghiên cứu Thứ nhất, cơng thức đẳng hình học dựa trích xuất Bézier để phân tích cấu trúc composite trình bày Tác giả nghiên cứu ba dạng tốn bao gồm tĩnh, rung tự phân tích đáp ứng transient cho cấu trúc nhiều lớp bao gồm: composite nhiều lớp, composite nhiều lớp có dán lớp áp điện, có lỗ rỗng thay đổi chức dán lớp áp điện gia cường graphene (PFGP-GPLs) vật liệu áp điện chức có lỗ rỗng (FGPMP) Thứ hai, thuật toán điều khiển chủ động đáp ứng sử dụng để điều khiển đáp ứng tĩnh đáp ứng động học tức thời nhiều lớp áp điện trường hợp tuyến tính phi tuyến 1.4 Cấu trúc luận án Luận án bao gồm bảy chương bố trí sau: Chương 1: Giới thiệu lịch sử phát triển IGA đưa Tình hình nghiên cứu bốn loại vật liệu sử dụng luận án này, tác giả có đóng góp mục tiêu tính luận án mô tả rõ ràng Và, chương mục luận án đề cập để người đọc có nhìn tổng qt nội dung luận án Chương 2: Trình bày phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học (IGA), bao gồm hàm sở B-spline, hàm sở NURBS, đường cong NURBS, bề mặt NURBS, hình học B-spline làm mịn Hơn nữa, trích xuất Bézier so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) trình bày chương Ưu điểm nhược điểm IGA đưa Chương 3: Tổng quan lý thuyết mô tả thuộc tính vật liệu sử dụng cho chương đưa Thứ nhất, mô tả nhiều lý thuyết bao gồm số lý thuyết áp dụng chương Thứ hai, trình bày bốn loại vật liệu luận án bao gồm composite nhiều lớp, composite nhiều lớp có dán lớp áp điện, có lỗ rỗng thay đổi chức dán lớp áp điện gia cường graphene (PFGP-GPLs) vật liệu áp điện chức có lỗ rỗng (FGPMP) Chương 4: Đây chương phần ví dụ số Tác giả trình bày kết thu cho phân tích tĩnh, dao động tự phân tích đáp ứng tức thời composite nhiều lớp với nhiều dạng hình học, hướng lớp lamina điều kiện biên khác sử dụng lý thuyết không ràng buộc bậc cao tổng quát (UHSDT) IGA dựa trích xuất Bézier sử dụng cho tất chương Ngoài ra, hai lớp áp điện dán bề mặt composite nhiều lớp xem xét để phân tích tĩnh, dao động tự phân tích đáp ứng Sau đó, để điều khiển đáp ứng tĩnh động, thuật toán điều khiển phản hồi chuyển vị vận tốc thực Các ví dụ số chương cho thấy độ xác độ tin cậy phương pháp đề xuất Chương 5: Lần công thức phần tử hữu hạn Bézier đưa cho phân tích tĩnh động học có lỗ rỗng thay đổi chức dán lớp áp điện gia cường graphene (PFGP-GPLs) Ảnh hưởng phân số trọng lượng mơ hình phân bố GPL, hệ số loại phân phối lỗ rỗng, điện áp bên ứng xử cấu trúc nghiên cứu thông qua số ví dụ số Những kết này, chưa thu trước đây, coi giải pháp tham khảo cho cơng trình tương lai Trong chương này, nghiên cứu sinh mở rộng phân tích đáp ứng tĩnh động học phi tuyến PFGP-GPL Sau đó, thuật điều khiển hồi tiếp chuyển vị vận tốc không đổi áp dụng để điều khiển chủ động phi tuyến hình học phản ứng động tấm, hiệu ứng giảm chấn cấu trúc xem xét, dựa điều khiển vòng kín Chương 6: Để khắc phục số nhược điểm cấu trúc nhiều lớp có dán lớp áp điện nứt, tách lớp tập trung ứng suất lớp giao diện, tác giả giới thiệu chương vật liệu áp điện chức có lỗ rỗng (FGPMP) Các đặc tính vật liệu áp điện chức phân bố liên tục theo độ dày thông qua công thức định luật điện biến đổi Hai mơ hình lỗ rỗng, phân bố khơng đồng đều, sử dụng Để thỏa mãn phương trình Maxwell, phép tính gần tĩnh, trường điện dạng hỗn hợp cosin biến đổi tuyến tính sử dụng Ngồi ra, nghiên cứu sinh nghiên cứu thêm số FGPMP với hình học phức tạp, mà chưa có lời giải giải tích Các kết coi lời giải tham khảo cho cơng trình nghiên cứu tương lai Chương 7: Cuối cùng, chương trình bày nhận xét kết luận số khuyến nghị cho công việc tương lai CHAPTER 2: ISOGEOMETRIC ANALYSIS FRAMEWORK 2.1 Ưu điểm IGA so với FEM Thứ nhất, miền tính tốn bảo tồn xác tất cấp lưới lưới thô hay lưới mịn Trong lĩnh vực học tiếp xúc, tính chất đưa đến việc đơn giản hóa phát tiếp xúc mặt chung hai bề mặt tiếp xúc, đặc biệt trường hợp biến dạng lớn vị trí tương đối hai bề mặt thường thay đổi đáng kể Bên cạnh đó, tiếp xúc trượt mặt mơ lại cách xác Tính chất hữu ích cho tốn nhạy với sai lệch hình học phân tích bất ổn định vỏ hiệu ứng lớp biên phân tích động lực học chất lỏng Thứ hai, mơ hình CAD dựa NURBS làm cho bước tạo lưới thực tự động mà không cần phải tinh giản loại bỏ đặc trưng hình học Điều dẫn đến việc giảm đáng kể khoảng thời gian dành cho bước chia lưới đơn giản hoá hình học, chiếm khoảng 80% tổng thời gian phân tích toán Thứ ba, làm mịn lưới dễ dàng tốn thời gian thao tác trực tiếp hình học CAD Lợi bắt nguồn từ việc sử dụng chung hàm dạng cho mơ hình hóa phân tích Chúng ta dễ dàng xác định xác vị trí để chia nhỏ hình học việc làm mịn lưới miền tính tốn đơn giản hóa thành thuật tốn chèn knot thực tự động Các phần phân chia sau trở thành phần tử đó, lưới giữ xác Cuối cùng, liên tục bậc cao phần tử với tối đa C p −1 trường hợp khơng có knot lặp làm cho phương pháp phù hợp cách tự nhiên vấn đề học có đạo hàm bậc cao công thức vỏ Kirchhoff-Love, gradient elasticity, phương trình Cahn-Hilliard tách pha Đặc điểm kết việc sử dụng trực tiếp hàm sở B-spline / NURBS cho phân tích Trái ngược với hàm sở FEM cổ điển, định nghĩa cục bên phần tử có độ liên tục C biên phần tử (và xấp xỉ số C ), hàm sở IGA không nằm phần tử (khoảng knot) Thay vào đó, hàm định nghĩa qua vài phần tử liền kề để đảm bảo tính liên tục kết nối cao đó, xấp xỉ số đạt liên tục bậc cao Một lợi ích khác liên tục bậc cao tốc độ hội tụ cao so với phương pháp thông thường, đặc biệt kết hợp với kỹ thuật làm mịn mới, gọi k-refinement Tuy nhiên, cần lưu ý hàm sở IGA có miền bao phủ lớn khơng dẫn đến tăng băng thông xấp xỉ số băng thơng ma trận thưa trì hàm sở FEM cổ điển 2.2 Nhược điểm IGA Phương pháp này, nhiên, có số nhược điểm sau: Thách thức đáng kể việc sử dụng B-splines / NURBS IGA cấu trúc sản phẩm tenor không cho phép sàng lọc cục thực sự, thao tác chèn nút dẫn đến lan truyền tồn cầu miền tính tốn Ngồi ra, thiếu thuộc tính delta Kronecker, việc áp dụng điều kiện biên Dirichlet không đồng trao đổi lực / liệu vật lý phân tích kết hợp có liên quan nhiều chút 10 is investigated to verify the accuracy of the proposed approach The FG plate composed of Ti-6A1-4V and aluminum oxide materials with material index 𝑛𝑛 = and has the side length 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 = 0.2𝑚𝑚 while the thickness of core FG layer and each piezoelectric layer are taken to be mm and 0.1 mm, respectively Figure 5.6 illustrates the linear static deflections of the FG plate with various displacement feedback control gains 𝐺𝐺𝑑𝑑 As can be observed that the present results agree well with the reference solutions who employed the CS-DSG3 based on FSDT As expected, when the displacement feedback control gain 𝐺𝐺𝑑𝑑 increases, the linear static deflection of the FG plate decreases Furthermore, the active control for the linear dynamic responses of the FG plate is also investigated based on a constant velocity feedback control algorithm 𝐺𝐺𝑣𝑣 and closed-loop control In this specific example, the FG plate is initially subjected to a uniform load 𝑞𝑞0 = 100𝑁𝑁/𝑚𝑚2 and then the load is suddenly removed In this study, the modal superposition is adopted in order to reduce the computational cost and the first six modes are considered in the modal space analysis, while the initial modal damping ratio for each mode is assumed to be 0.8 % Figure 5.7 shows the linear dynamic responses of the central deflection of the FG plate The results which are generated from the present method agree well with the reference solution Figure 5.6: Effect of the displacement feedback control gain Gd on the linear static responses of the SSSS plate subjected to uniformly distributed load Figure 5.7: Effect of the velocity feedback control gain Gv on the linear dynamic response of the SSSS FG square plate 44 Next, the active control for the nonlinear static responses of the SSSS FG porous plate reinforced with GPLs is further investigated in this part The FG plate consisting of the combination of the porosity distribution and GPL dispersion pattern 𝐴𝐴, which provides the best structural performance, is selected to study The plate has a side length 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 = 0.4𝑚𝑚, the thickness of the FG porous core layer ℎ𝑐𝑐 = 20 mm and thickness of each piezoelectric layer ℎ𝑝𝑝 = mm under sinusoidally distributed load which is defined as 𝑞𝑞 = 𝑞𝑞0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜋𝜋𝜋𝜋/𝑎𝑎)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜋𝜋𝜋𝜋/𝑏𝑏) with 𝑞𝑞0 = 1.0𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 Figure 5.8 depicts the nonlinear static deflection of the FG porous reinforced by GPLs with the porosity coefficient 𝑒𝑒0 = 0.4 and the GPL weight fraction 𝛬𝛬𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 = 1.0𝑤𝑤𝑤𝑤.% corresponding to various displacement feedback control gains It can be observed that the deflection of the FG porous plate decreases significantly when the displacement feedback control gain increase In the last example, the active control for the geometrically nonlinear dynamic responses of the CCCC FG porous plate reinforced by GPLs is conducted The plate has both length and width set the same at 0.2 𝑚𝑚 with the thickness of core layer ℎ𝑐𝑐 = 10 mm and each piezoelectric layer ℎ𝑝𝑝 = 0.1 mm The FG plate with the porosity distribution (𝑒𝑒0 = 0.4) and dispersion pattern 𝐴𝐴 (𝛬𝛬𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 = 1.0𝑤𝑤𝑤𝑤 %) is subjected to sinusoidally distributed transverse loads Figure 5.9 illustrates the nonlinear dynamic responses of the central deflection of the FG plate corresponding to various velocity feedback control gains 𝐺𝐺𝑣𝑣 It can be observed that when the control gain 𝐺𝐺𝑣𝑣 is equal to zero corresponding to without control case, the nonlinear dynamic response of the FG porous plate still attenuates with respect to time since the effect of the structural damping is considered in this study More importantly, the geometrically nonlinear dynamic response can be suppressed faster in the case controlled by higher velocity feedback control gain values As a result, depending on the specific cases, the responses of the FG porous plate structures including deflection, oscillation time or even both can be controlled to satisfy an expectation by designing an appropriate value for the velocity feedback control gain It should be noted that the feedback control gain values could not be increased without limit since piezoelectric materials have their own breakdown voltage values In addition, Figure 5.10 depicts the influence of the velocity feedback control gain 𝐺𝐺𝑣𝑣 on the linear and nonlinear responses of the CCCC FG porous square plate subjected to step load As expected, the geometrically nonlinear dynamic responses provide smaller magnitudes of the deflection and periods of motion 45 Figure 5.8: Effect of the displacement feedback control gain G d on the nonlinear static responses of the SSSS FG porous plate with porosity distribution (e0 = 0.2) and dispersion pattern A ( Λ GPL = 1wt % ) (a) Step load (b) Triangular load (c) Sinusoidal load (d) Explosive blast load Figure 5.9: Effect of the velocity feedback control gain Gv on the nonlinear dynamic responses of the CCCC FG porous square plate subjected to dynamic loadings 46 Figure 5.10: Effect of the velocity feedback control gain Gv on the linear and nonlinear dynamic responses of the CCCC FG porous square plate subjected to step load CHAPTER 6: FREE VIBRATION ANALYSIS OF THE FUNCTIONALLY GRADED PIEZOELECTRIC MATERIAL POROUS PLATES 6.1 Overview In this chapter, the functionally graded piezoelectric material (FGPM) plates with the presence of porosities are investigated It has name the FGPMP plate for short The FGPMP plate is made of a mixture of PZT-4 and PZT-5H materials The FGPMP plate is considered in both perfect and imperfect forms The material properties of FG piezoelectric plate vary continuously in the thickness direction through a modified power-law formulation Two porosity models, even and uneven distributions, are employed To satisfy Maxwell’s equation in the quasistatic approximation, an electric potential field in the form of a mixture of a cosine and linear variation is adopted A C0-type higher-order shear deformation theory (C0-type HSDT) is used in this chapter An isogeometric finite element method based on Bézier extraction also is performed The FGPMP plates with the influence of external electric voltages, power-law index, porosity coefficient, porosity distribution; geometrical parameters with several complex geometries, aspect ratios, and various boundary conditions are studied Obtained results are compared with the analytical solution as well as those of several available numerical approaches In addition, several FGPMP plates with curved geometries, which the analytical solution is unknown is studed further, being considered as reference solutions for future work 6.2 Kinematics of FGPMP plates 47 The function of the electrical potential is chosen so that the distribution of electric and magnetic potentials through the plate thickness is fulfilled Maxwell’s equation in the quasi-static approximation by: 2z = Φ ( x, y, z , t ) g ( z ) φ ( x, y, t ) + V0 eiω t (6 1) h where V0 is the applied electric voltage, g ( z ) is an arbitrary distributed function of z-coordinate, φ ( x, y, t ) expresses the function of the electrical potential in reference plane and ω is the eigen value In this paper, g ( z ) is given as g ( z ) = − cos(π z ) h According to Eq.(6.1), the electric fields ( Ex , E y and Ez ) become: −Φ, y = − g ( z ) φ, y ; Ex = −Φ, x = − g ( z ) φ, x ; E y = (6 2) 2V0 iω t e h For a piezo-electrically actuated FG piezoelectric porous plate, the constitutive relations are described by: = σ ij Cijkl ε kl − ekij Ek (6 3) = Di eikl ε kl + kik Ek −Φ, z = − g ′ ( z )φ − Ez = where σ ij , ε kl , Di and Ek are stress, strain, electric displacement and electric field components, respectively; Cijkl , eijk and kik define elastic, piezoelectric and dielectric constants, respectively The electric field vector E can be expressed as E = −gradφ = −∇φ as: (6 4) The formulations in Eq.(6 3) are also clearly rewritten following matrix forms σ xx   c11 c12  ε xx  0 e31                σ = Cb ε b − Cbc E σ yy  = c12 c22  ε yy  − 0 e31    Ez = σ   0 c66  ε xy  0 0   Ez   xy   b τ xz  c55  γ xz  e15   Ex  τs = Cs γ − Ccs E s  =  c  γ  −  e   E  = τ  yz    y  44   14    yz     Dx  e15  γ xz   k11   Ex  Dp = Ccs γ + Ck E s   =  =   +   Dy   e14  γ yz   k22   E y  48 (6 5) D z = e31ε x + e32ε y + k33 Ez where cij , eij and kij define the reduced constants of FGPMP plates and they are expressed by: c11 = c11 − c132 c2 , c12 = c12 − 13 , c66 = c66 c33 c33 c e e2 e31 = e31 + 13 33 , k11 = k11 , k33 = k33 + 33 c33 c33 (6 6) Now, Hamilton’s principle is used to obtain the governing equations of free vibration for FGPMP plates: t ∫ (δΠ S − δΠ K + δΠ I )dt =0 (6 7) where Π S , Π K and Π I are strain energy, kinetic energy and potential energy from initial stress which is generated from applying electric voltage, respectively The strain energy δΠ S is defined as  σ xxδε xx + σ yyδε yy + τ xyδγ xy + τ xz δγ xz + τ yz δγ yz −  dVˆ Dxδ Ex − Dyδ E y − Dz δ Ez Vˆ   δΠ S =∫  (6 8) Substituting Eq (6 5) into Eq (6 8), the discrete Galerkin weak form can be rewritten as  (δε b )T Cb ε b − (δε b )T Cb Eb + δγ T Cs γ − δγ T Cs E s −  c c dVˆ − δΠ S ∫  T T   s s s k s ˆ  V (δ E ) C γ − (δ E ) C E c   (6 9) T  ˆ   + + δ ε ε E e e k E V d ( ) ∫ z 31 x 32 y 33 z Vˆ in which ( ) ε x =ε x0 + zε 1x + f ( z )ε x2 ; ε y =ε y0 + zε 1y + f ( z )ε y2 (6 10) Eq (6 9) can be split into two independent integrals following to middle surface and z-axis direction as: 49 ˆ bδεˆ b dΩ +  ( φb )T C ˆ b1ε dΩ + ( φb )T C ˆ b ε1dΩ + ( φb )T C ˆ b ε dΩ  + C c c c ∫ ∫ ∫ Ω Ω Ω Ω  s T ˆs s s T ˆs s s T ˆs s s T ˆk s ( εˆ ) C δε dΩ + ( φ ) C δε dΩ + ( ε ) C δφ dΩ + ( φ ) C δφ dΩ + = δΠ S ∫ ∫ ( εˆ ) b T ∫ Ω ∫ c Ω ∫ c Ω Ω z  ε e δφ dΩ + ε e δφ dΩ + ε e δφ dΩ + ε e δφ z dΩ + ε 1y e32 ∫Ω ∫Ω ∫Ω ∫Ω δφ dΩ +   Ω∫    ε e δφ z dΩ + φ z kˆ δφ z dΩ − eiωt h / g ′ ( z ) dz 2V0 k δφ z dΩ  y 32 33 33 ∫ ∫− h / ∫ h ∫  Ω  Ω Ω x 31 x 31 z x 31 z y 32 z The left side of Eq (6 11) can be rewritten under compact forms as: δ Π S = δΠ1 + δΠ + δΠ + δΠ + δΠ + δΠ + δΠ where T = δΠ ( εˆ b ) Cˆ bδεˆ b dΩ; (6 11) (6 12) ∫ Ω δΠ = ∫ (φ ) ˆ b1ε dΩ + ( φb )T C ˆ b ε1dΩ + ( φb )T C ˆ b ε dΩ; C c c c ∫ ∫ ∫ ( εˆ ) ˆ δ= C ε dΩ; δΠ ∫ (ε ) s ˆ s δ= C c φ dΩ; δΠ b T Ω = δΠ s T Ω s s Ω = δΠ s T ∫ (φ ) ˆ δε s dΩ; C ∫ (φ ) ˆ k δφ s dΩ; C s c Ω Ω = δΠ Ω s T s T (6.13) Ω z z z z 1 2 ∫ ε x e31δφ dΩ + ∫ ε x e31δφ dΩ + ∫ ε x e31δφ dΩ + ∫ ε y e32δφ dΩ + ∫ ε Ω Ω Ω Ω Ω 2V0 z z ˆ z iω t z ∫Ω ε y e32δφ dΩ + Ω∫ φ k33δφ dΩ − e ∫− h / g ′ ( z ) dz Ω∫ h k33δφ dΩ For details about each therm and approximated formulation, please see the thesis h/2 6.3 Numerical example Consider a square domain with a complicated cutout, as shown in Figure 6.1a Figure 6.1b illustrates a mesh of 336 control points with quadratic Bézier elements The simply supported and fully clamped boundary conditions are used First, in order to validate the effectiveness and accuracy of the present solution in comparison with other ones, the FG square plate is studied with a hole of complicated shape which is made of zirconia (ZrO2-2) and aluminum (Al) = Ec 200GPa; = ν c 0.3; = ρc 3000kg / m3 and Material parameters are given as: = Em 70GPa; = ν m 0.3; = ρ m 2707kg / m3 , where " c " and " m " are the symbols of ceramic and metal, respectively The non-dimensional frequency is normalized a2 by ω = ω ρc / Ec A comparison of the first six non-dimensional frequencies h 50 between the present solution based on 3D elasticity theory using IGA is shown in Table 6.1 Simultaneously, the obtained solution with various power index values is also compared with those reported in reference using mesh-free method with naturally stabilized nodal integration based on TSDT It can be seen that the present solution has good agreement with that reported in references for both different power index values and two condition boundaries Non-dimensional frequency parameters decrease with increasing of gradient index values Next, behavior of a FGPMP plate is analyzed Material properties are given in Table 6.1 The non-dimensional frequencies are calculated by ω = ωb / h ( ρ / c11 ) Numerical solution for non-dimensional frequencies PZT − of perfect and imperfect FGPM plate is listed in Table 6.2 and Table 6.3, respectively Influence of electric voltages, boundary conditions and power index values on the dimensionless frequency is shown The obtained results decrease as power index values and electric voltages alter for both SSSS and CCCC BCs A variation of non-dimensional frequencies versus various side-to-thickness ratios and electric voltages ( α = 0.2 , g=5) is also displayed in Table 6.4 It can be seen that nondimensional frequencies depend strongly on the thickness plate and electric voltages Obtained values for thick and moderately thick FGP plates in accordance with increasing of ratios a/h are increased for all given BCs and electric voltages However, when the thickness of the plate becomes thinner (a/h=150, 200, 250) the effect of the applied voltage is significant It is found that with the augmentation of a valuable array of the side-to-thickness ratios, the negative value of applied voltage supplies the increasing of the natural frequency, while positive voltage makes the obtained results reduce Moreover, as V0 = 0, the natural frequency of FGPMP plates is not much affected by higher values of sideto-thickness ratios Furthermore, the first six mode shapes and respectively dimensionless frequencies for the CCCC FGPMP-I square plate with a complicated hole (a/h=50, V0=0, g =5, α = 0.2 ) are shown in Figure 6.2 2 4 10 b) a) Figure a) Geometry and b) A mesh of 336 control points with quadratic Bézier elements of a square plate with a complicated hole 10 51 a2 ρc / Ec of h the FG square plate with a hole of complicated shape (a=b=10, a/h=20) Table 1: Comparisons of non-dimensional frequencies ω = ω g Method a) SSSS BCs IGA-3D [168] Mesh-free [169] Present IGA-3D [168] Mesh-free [169] Present IGA-3D [168] Mesh-free Present 20 IGA-3D Mesh-free Present 50 IGA-3D Mesh-free Present 100 IGA-3D Mesh-free Present b) CCCC BCs IGA-3D Mesh-free Present IGA-3D Mesh-free Present IGA-3D Mesh-free Present Modes 7.16 7.1586 7.1919 6.58 6.5853 6.6167 6.71 6.7111 6.7503 6.46 6.5590 6.5932 6.19 6.3642 6.3952 6.15 6.2664 6.2964 11.65 11.939 11.759 10.73 11.002 10.838 10.88 11.148 11.022 10.48 10.904 10.760 10.07 10.597 10.446 10.00 10.442 10.290 13.09 13.398 13.274 12.06 12.343 12.233 12.24 12.519 12.443 11.79 12.243 12.148 11.32 11.896 11.793 11.25 11.720 11.616 20.99 21.510 21.260 19.35 19.828 19.601 19.60 20.071 19.741 18.89 19.586 19.091 18.15 19.089 18.883 18.04 18.812 18.602 21.85 22.437 21.871 20.77 21.452 20.915 19.73 20.252 19.922 19.05 19.635 19.447 18.81 19.400 18.910 18.78 19.332 18.844 22.54 23.426 22.918 20.92 21.627 21.163 21.00 21.817 21.460 20.25 21.348 20.941 19.48 20.772 20.344 19.36 20.478 20.047 15.8 16.032 15.979 14.62 14.783 14.737 14.79 14.949 14.971 27.28 27.280 27.445 25.17 25.188 25.334 25.38 25.374 25.691 52 27.45 27.536 27.550 25.32 25.423 25.430 25.54 25.621 25.790 33.22 33.849 33.535 30.68 31.291 30.996 30.83 31.410 31.362 34.28 35.196 34.584 31.67 32.540 31.972 31.80 32.646 32.339 41.21 43.108 41.927 38.10 39.898 38.808 38.16 39.895 39.169 20 50 100 IGA-3D Mesh-free Present IGA-3D Mesh-free Present IGA-3D Mesh-free Present 14.41 14.625 14.612 13.8 14.223 14.190 13.64 14.018 13.980 24.74 24.830 25.071 23.79 24.174 24.359 23.45 23.839 24.005 24.90 25.069 25.168 23.93 24.404 24.453 23.60 24.064 24.098 30.07 30.748 30.594 28.95 29.966 29.744 28.56 29.564 29.322 Table 2: The first dimensionless frequency ω = ωb / h 31.02 31.962 31.546 29.87 31.154 30.672 29.47 30.738 30.239 ( ρ / c11 ) 37.23 39.074 38.196 35.90 38.123 37.160 35.43 37.630 36.647 PZT − of a FGPM square plate with a complicated cutout ( α = ) with different electric voltages (a=b=10, a/h=20) V0 BC -500 SSSS CCCC SSSS CCCC 500 SSSS CCCC Perfect FGPM g=0 5.8501 15.0403 5.8497 15.0400 5.8493 15.0397 g=1 5.4275 14.0986 5.4270 14.0983 5.4265 14.0980 g=5 5.2457 13.6657 5.2453 13.6655 5.2448 13.6653 g=20 5.1149 13.3776 5.1143 13.3773 5.1138 13.3770 g=50 5.0622 13.2683 5.0617 13.2680 5.0613 13.2678 g=100 5.0409 13.2248 5.0403 13.2246 5.0399 13.2244 Table 3: The first dimensionless frequency ω of a square FGPMP plate with a complicated cutout ( α = 0.2 ) with different electric voltages (a=b=10, a/h=20) V0 500 BC SSSS CCCC SSSS CCCC 500 SSSS CCCC FGPMP-II FGPMP-I g=0 g=1 g=5 5.9470 15.2538 5.9466 15.2536 5.9462 15.2534 5.1898 13.5298 5.1893 13.5296 5.1889 13.5294 5.4161 14.0702 5.4156 14.0700 5.4152 14.0698 53 g=0 6.0248 g=1 5.5644 g=5 5.3669 15.4377 6.0244 15.4375 6.0240 15.4373 14.4097 5.5639 14.4095 5.5635 14.4094 13.9347 5.3664 13.9345 5.3660 13.9343 Table 4.The first dimensionless frequency ω of a square FGPMP plate with a complicated cutout with various side-to-thickness ratios (a=b=10, α = 0.2 , g=5) BC a/h SS SS 20 50 100 150 200 250 CC CC 20 50 100 150 200 250 FGPMP-I V0 = 500 5.1898 5.3195 5.4438 5.6222 5.9141 6.3431 13.5298 14.2322 14.8413 15.4552 16.1832 17.0282 V0 = 5.1894 5.3122 5.3855 5.4296 5.4722 5.4997 13.5296 14.2292 14.5181 14.8778 14.9018 14.9380 V0 =500 5.1884 5.3048 5.3265 5.2281 4.9818 4.5101 13.5294 14.2263 14.7948 14.5998 14.0176 13.5174 FGPMP-II V0 = 500 V0 = 5.366 5.366 5.5039 5.4968 5.6299 5.5737 5.8048 5.6187 6.0889 5.6612 6.5071 5.6983 13.934 13.934 14.694 14.691 15.321 15.298 15.934 15.359 16.656 15.481 17.495 15.516 Mode 1: 14.2292 Mode 2: 25.1062 Mode 3: 25.7717 Mode 4: 30.6466 V0 =500 5.360 5.4897 5.5168 5.4247 5.1901 4.7426 13.9343 14.6888 15.2763 14.9844 14.3038 13.8091 Mode 5: 30.9956 Mode 6: 39.0102 Figure The first six mode shapes of the fully clamped FGPMP-I square plate with a complicated hole (a/h=50, V0=0, g =5, α = 0.2 ) 54 CHAPTER 7: CONCLUSIONS AND RECOMMENDATIONS 7.1 Conclusions In this dissertation, the author has developed the isogeometric analysis based on Bézier extraction to analyze and control the laminated plate structures Four material models have been considered including laminated composite plates, piezoelectric laminated composite plates, piezoelectric functionally graded porous plates with graphene platelets reinforcement and functionally graded piezoelectric material porous plates The dissertation has two parts: a) Analysis and b) Control Some main conclusions can be stated as follow: • The combination of IGA based on Bézier extraction with UHSDT and C0type HSDT for analyzing and controlling the static, free vibration and transient responses for four plate material models has been studied effectively By using Bézier extraction operator, the implementation of IGA becomes significantly easier with Bernstein basis functions, which have a close resemblance to Lagrange shape functions as using C0 continuous Bézier elements This can be a reasonable choice due to the basis functions are given on localized form and the way of implementation in IGA is similar to that in FEM • By using the UHSDT and C0-type HSDT, the proposed method relaxes the non-zero transverse shear stresses on the lower and upper surface of the plate and no shear correction factor is used In addition, the HSDT and the CPT bear relation to derivation transverse displacement also called slope components In some complex geometries with symmetric boundary conditions, it is often difficult to enforce boundary conditions for slope components due to the unification of the approximated variables So, the seven-dof shear deformation theory is applied in this dissertation • In static, free vibration and dynamic analysis, the predictions of the proposed approach agree well with analytical solutions and several available other approaches Through the analysis, numerical results indicate that the proposed method achieves high reliability as compared with other published solutions and slightly better than the UTSDT using IGA based on Bézier extraction Interestingly, obtained results match well with extant studies or available solutions in the literature Furthermore, numerical solutions for PFGPM plates and piezoelectric FG porous reinforced by GPLs have been achieved It is known that there have not yet been analytical solutions so far, so numerical solutions may be considered as reference solutions for future works • Both linear and nonlinear of FG porous reinforced by GPLs with piezoelectric sensors and actuators are investigated The geometrically 55 nonlinear equations are solved by the Newton-Raphson iterative procedure and the Newmark’s time integration scheme The influences of the porosity coefficients, weight fractions of GPLs as well as the external electrical voltage on the linear and geometrically nonlinear behaviors of the plates with different porosity distributions and GPL dispersion patterns are evidently investigated through numerical examples The stiffness of the FG porous plate greatly decreases due to porosity coefficients However, the stiffness of the plates remarkably increases as the FG porous plate is reinforced by GPLs The obtained results in term of displacements and periods of motions for the FG porous plate without GPLs are smaller than those achieved for the FG porous plate with GPLs • For the first time, an isogeometric Bézier finite element method has been presented for electro-mechanical vibration analysis of functionally graded piezoelectric material porous plates Through the free vibration analysis, it is observed that external electric voltages, power-law index, porosity coefficient, porosity distribution, geometrical aspect ratios and various boundary conditions significantly affect the natural frequencies of structures • The control algorithms based on the constant displacement and velocity feedbacks are applied to control linear and geometrically nonlinear static and dynamic responses of the plates, where the effect of the structural damping is considered, based on a closed-loop control with piezoelectric sensors and actuators For geometrically nonlinear static response control of the FG porous plates, two effective algorithms are considered such as the input voltage control with opposite signs applied across the thickness of two piezoelectric layers and the displacement feedback control algorithm In addition, the dynamic responses of the FG porous plate can be expectantly suppressed based on the effectiveness of the velocity feedback control algorithm • In this dissertation, in addition to some numerical examples with either square or circle/eclipse, there are various complex geometries which can be modeled easily with multi-patch approach These complicated geometries can raise the IGA’s advantages to the maximum 7.2 Recommendations Through the obtained results, it can be believed that the suggested approach with many new points may provide a reliable source of reference for calculating the behaviors of laminated plate structures However, some restrictions should be mentioned as the suggestions for the potential extension of this work: • Future research of this work should be done with the presence of shear traction parallel to the surfaces of the plate in the numerical examples (e.g., contact friction or boundary layer flow) • It’s possible to consider various boundary conditions rather than the homogeneous Dirichlet one which only used in this work 56 • • • • Another direction of research should be to expand these 2D theories to full-3D or quasi-3D ones The proposed method should be applied to the microstructures using the theory of nonlocal elasticity and that of modified couple stress The IGA can be used to compute for various problems such as incompressibility, phase-field analysis, large deformation with mesh distortion and shape optimization This method should be applied in the industrial field, e.g to machinery, automobiles, or offshore structures, etc 57 • • • • LIST OF PUBLICATIONS Articles in ISI-covered journal Lieu B Nguyen, Chien H Thai and H Nguyen-Xuan A generalized unconstrained theory and isogeometric finite element analysis based on Bézier extraction for laminated composite plates Engineering with Computers, 32(3), pp 457-475, 2016 (SCIE, Q1) P Phung-Van, Lieu B Nguyen, L.V Tran, T.D Dinh, H.C Thai, S.P.A Bordas, M.A Wahab, H Nguyen-Xuan An efficient computational approach for control of nonlinear transient responses of smart piezoelectric composite plates International Journal of Non-Linear Mechanics, 76, pp 190-202, 2015 (SCI, Q1) Lieu B Nguyen, Nam V Nguyen, Chien H Thai, A.M J Ferreira, H NguyenXuan An isogeometric Bézier finite element analysis for piezoelectric FG porous plates reinforced by graphene platelets Composite Structure, 214, pp 227-245, 2019 (SCIE, Q1) Lieu B Nguyen, Chien H Thai, A.M Zenkour, H Nguyen-Xuan An isogeometric Bézier finite element method for vibration analysis of functionally graded piezoelectric material porous plates International Journal of Mechanical Sciences, 157–158, pp 165–183, 2019 (SCI, Q1) Nam V Nguyen, Lieu B Nguyen, Jaehong Lee, H Nguyen-Xuan Analysis and control of geometrically nonlinear responses of piezoelectric FG porous plates with graphene platelets einforcement using Bézier extraction Submitted in European Journal of Mechanics / A Solids, reviewing (SCI, Q1) Articles in national scientific journal Lieu B Nguyen, Chien H Thai, Ngon T Dang, H Nguyen Xuan Transient Analysis of Laminated Composite Plates Using NURBS- Based Finite Elements Vietnam Journal of Mechanics, Vol 36, No 4, pp.267-281, 2016 International Conference Lieu B Nguyen, Chien H Thai, H Nguyen-Xuan Isogeometric analysis of laminated composite plates using a new unconstrained theory Proceedings of ICEMA-3, Ha Noi City, Viet Nam, pp 441-449, 2014 Lieu B Nguyen, Chien H Thai, H Nguyen-Xuan Transient Analysis of Laminated Composite Plates Using Isogeometric Analysis Proceedings of GTSD’14, Ho Chi Minh City, Viet Nam, pp 73-82, 2014 National Conference Lieu B Nguyen, Chien H Thai, H Nguyen-Xuan A novel four variable layerwise theory for laminated composite plates based on isogeometric analysis Proceedings of the National Conference on Mechanical Engineering, Da Nang City, Viet Nam, pp 758-768, 2015 Lieu B Nguyen, H Nguyen-Xuan Isogeometric approach for static analysis of laminated composite plates Proceedings of the National Conference on science and technology in mechanics IV, Ho Chi Minh City, Viet Nam, pp 177-187, 2015 58 ... cứu để phân tích thiết kế thiết bị thông minh năm gần 1.3 Mục tiêu luận văn Luận án tập trung vào phát triển phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học để phân tích điều khiển đáp ứng cấu trúc nhiều. .. khơng bị sai số hình học IGA cho kết với độ xác cao tính trơn tính liên tục bậc cao phần tử Trong thập kỷ phát triển gần đây, phân tích đẳng hình học vượt qua phân tích phần tử hữu hạn (FEM) tính... tốn từ phân tích cấu trúc, tương tác cấu trúc chất lỏng, điện từ phương trình vi phân phần bậc cao Hình 1.1: Sơ đồ phân tích phần tử hữu hạn Bởi chia lưới, miền tính tốn hình học CAD xấp xỉ Hình