Truy cập Website hoc360.net – Tải tài liệu học tập phớ Phần I - kiến thức I Một số bất đẳng thức cần nhớ: a  0; a  0;  b  b  b o Bất đẳng thức Cô sy: a1 a  a3   a n n  a1a a3 a n Víi  n dÊu b»ng x¶y a1  a2   an o Bất đẳng thức Bunhiacopski: a 2   a22   an2 x12  x22   2n  a1 x1  a2 x2 an xn Dấu đẳng thức xảy a1 a2 a    n x1 x2 xn o Bất đẳng thức Trê- bư-sép: abc Nếu  A  B  C aA  bB  cC a  b  c A  B  C  3 abc  A  B  C aA  bB  cC a  b  c A  B  C  3 NÕu  abc A  B  C DÊu b»ng x¶y  II - Mét số bất đẳng thức phụ đà chứng minh ®óng o x  y  xy o x  y  xy dÊu( = ) x = y = o x  y 2  xy o a b  2 b a Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí 1   ( Khi b, c  0) b c bc o  b  (khi x  0) b  ( Khi x, y  0) bc (b c)2 III Các bất đẳng thức tam giác IV Các hàm lượng giác thông dụng V Các tính chất Tính chất 1: a > b b < a TÝnh chÊt 2: a > b vµ b > c => a > c TÝnh chÊt 3: a > b a + c > b + c HƯ qu¶ : a > b a - c > b – c a + c > b a > b – c TÝnh chÊt : a > c vµ b > d => a + c > b + d a > b vµ c < d => a - c > b – d TÝnh chÊt : a > b vµ c > => ac > bd a > b vµ c < => ac < bd TÝnh chÊt : a > b > ; c > d > => ac > bd a > b > => an > bn a > b an > bn víi n lỴ VI VII VIII Các đẳng thức đáng nhớ Các kiến thức toạ độ vec tơ Các kiến thức tính chất cđa tØ lƯ thøc: a a  a, b, c R  ab abc a c a ac c     a, b, c , d  R  b d b bd d Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí Phần II Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức vô đa dạng xin trình bày dạng phương pháp thông dụng sau: Dạng Dựa vào định nghĩa phép biến đổi tương đương Dạng Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky bất đẳng thức phụ Dạng Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy Dạng Chứng minh phản chứng Dạng Phương pháp lượng giác Dạng Phương pháp chứng minh qui nạp Dạng Phương pháp áp dụng tính chất dÃy tỉ số Dạng Phương pháp dùng tam thức bậc hai Dạng Phương pháp dùng tính chất bắc cầu Dạng 10 - Phương pháp dùng bất đẳng thức tam giác Dạng 11 Phương pháp đổi biến số Dạng 12 Phương pháp làm trội (chứng minh bất đẳng thức có n sè h¹ng) Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website hoc360.net – Tải ti liu hc phớ Dạng 1- Dựa vào định nghĩa phép biến đổi tương tương đương Đây phương pháp nhất, dựa vào tính chất bất đẳng thức đơn giản để biến đổi bất đẳng thức phức tạp đề thành bất đẳng thức đơn giản bất đẳng thức đà chứng minh phần bạn ý đến đẳng thức: a 2ab b  (a  b)  2 2  a  b  c  2ab  2ac  2bc  (a  b  c) Phương pháp: Khi biến đổi tương đương ta cố gắng làm xuất điều kiện đà cho giả thiết nhằm áp dụng điều kiện giả thiết để chứng minh bất đẳng thức Chuyển vế để chứng minh bất đẳng thức ( 0; 0; 0;  )  Chun vÕ c¸c thõa sè dạng đẳng thức để dể chứng minh Làm xuất tích thừa số có chứa yếu tố đề để ta xét dấu thừa số Chia nhỏ vế để chứng minh sau cộng vế theo vế bất đẳng thức để điều phải chứng minh Một sè vÝ dơ: VÝ dơ 1: Chøng tá r»ng víi a, b  th×: ( ax  by )(bx  ay )  ( a  b) xy (1) Gi¶i Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí (1)  abx  a xy  b yx  bay  a xy  2abxy  b xy  ab( x  y  xy )   ab( x  y ) Bất đẳng thức a, b  VÝ dô 2: Cho 0abc Chøng minh r»ng: a b c b c a      b c a a b c Gi¶i a b c b c a       ( a c  b a  c b  b c  c a  a 2b ) b c a a b c abc  (a 2c  b 2c)  (b a  a 2b)  (c 2b  c a )  abc c(a  b )  ab(b  a )  c (b  a )  abc  (b  a)(ca  cb  ab  c ) abc  (b  a)(c  b)(c  a)  abc  V×  a b  c VËy a b c b c a      b c a a b c VÝ dơ 3: Víi a, b, c  chøng minh: a b c 1    2(   ) bc ca ab a b c Gi¶i Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí a b c 1    2(   ) bc ca ab a b c  a  b  c  2(bc  ac  ba) (do abc  0)  a  b  c  2bc  2ac  2ab   (a  b  c)  Hiển nhiên Vậy a b c 1    2(   ) bc ca ab a b c VÝ dô 4: Chøng minh r»ng mäi a,b,c,d th× : a  b  c  d   a  b  c  d (1) Gi¶i (1)  a  b  c  d   (a  b  c  d )    a  a   (b  b)  (c  c)  (d  d )   1 1  (a  )2  (b  )  (c  )  (d  )2  2 2 a  b2  c2  d   a  b  c  d VËy : VÝ dô 5: Chøng minh r»ng nÕu: a  b  th× a  b  a  b (1) Gi¶i (1)  a  b  a  b3   a (a  1)  b3 (b  1)   a (a  1)  b3 (b  1)  (a  1)  (b  1)  ( a  1)  (b  1)   (a  1)(a  1)  (b  1)(b3  1)  a  b    (a  1) (a  a  1)  (b  1) (b  b  1)  a  b  Suy điều phải chứng minh Vì: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí (a  1)2   (a  1) (a  a  1)  (b  1)2  ab   (b  1)2 (b  b  1) ab2 Bài tập áp dung: 4 Bµi 1: Cho a + b = Chøng minh r»ng: a  b  Bµi 2:Chøng minh r»ng với số nguyên dương n ta có: 1    2 (n 1) n Bài 3: Chứng minh m,n,p,q ta cã m + n + p + q +1 m(n + p + q +1) 10 10 2 8 4 Bµi 4: Chøng minh r»ng: (a  b )(a  b )  (a  b )(a  b ) a3  b3  a  b    Trong ®ã : a > , b > Bµi 5: Chứng minh bất đẳng thức : Bài 6: Chứng minh rằng: Với số dương a, b, c, d ta cã: a3 b3 c3 d3 abcd     2 2 2 a b b c c d d a Dạng Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpsky bất đẳng thức phụ Đây phương pháp phổ biến việc chứng minh Bất đẳng thức Chúng ta dựa vào điều kiện đà cho đề để ta lựa chọn phương pháp cho thích hợp Ngoài ra, ta cần phải ý đến dấu BĐT để sử dụng bất đẳng thức để chứng minh Khi áp dụng BĐT đà chứng minh bạn nên tách nhỏ BĐT cần chứng minh thành vế nhỏ sau cộng vế theo vế để BĐT cần chứng minh Mét sè vÝ dô: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc d­¬ng x,y,z ta cã: xyz ( x  y  z  x  y  z   ( x  y  z )( xy  yz  zx) Gi¶i 3( x  y  z )  ( x  y  z )2  x  y  z  3( x  y  z  x  y  z  3 xyz  xy  yz  zx  3 xyz Do ®ã ta cã: xyz ( x  y  z  x  y  z ) xyz ((  1) x  y  z )  ( x  y  z )( xy  yz  zx) ( x  y  z )(3 xyz 1 xyz 3  xyz 1   DÊu “=” x¶y x=y=z VÝ dơ 2: Chøng minh r»ng: 19942000  19952000  19962000 (1) Gi¶i (1)  ( 1994 2000 1996 2000 2000 ) 1  ( )  (1  ) 1995 1995 1995 Theo bất đẳng thức Becnuli ta có: (1 Vì: 2000 2000 1994 2000 ) 1  1( ) 1995 1995 1995 2000 1994 2000 1( ) 1995 1995 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí VÝ dơ 3: Cho a  b  Chøng minh r»ng: a  b4  Giải áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4số 1,1,a,b ta cã: (1.a  1.b)2  (12  12 )(a  b2 )  (a  b)2  2(a2  b2 )   2(a  b2 )   a  b2 ¸p dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4số 1,1,a2,b2 ta có: (1.a  1.b2 )  (12  12 )(a  b4 )   (a  b2 )  2(a  b4 )    2(a  b4 ) a  b4  VÝ dô 4: Cho a,b,c>0 Chøng minh r»ng: 1    a b c abc Gi¶i Ta cã: 1 a a b b c c (a  b  c)(   )          a b c b c a c a b a b c a b c  3(  )(  )(  )  b a a c c b V× : a b  2 b a Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí c a  2 a c b c  2 c b a b c a b c Nªn:  (  )  (  )  (  )  b a a c c b VÝ dô 5: Cho sè d­¬ng a,b,c,d chøng minh r»ng: a b c d    2 bc cd ad ab Giải áp dụng bất đẳng thức phụ: 1 xy (x  y)2 (x,y>0) Ta cã: a c a(d  a)  c(b  c) a  c2  ad  bc   4 bc da (b  c)(d  a) (a  b  c  d)2 T­¬ng tù: b d b2  d2  ab  cd  4 cd ab (a  b  c  d)2 Céng vÕ theo vÕ ta cã: a b c d a  b2  c2  d2  ad  bc  ab  cd    4 bc cd ad ab (a  b  c  d)2 Ta chøng minh: a  b2  c2  d2  ad  bc  ab  cd 2 (a  b  c  d)2  4a  b2  c2  d2  ad  bc  ab  cd  2(a  b  c  d)2  2a  2b2  2c2  2d2  4ac  4bd   (a  c)2  (b  d)2  Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí n Suy ra: n n ( a ibi )  ( a i )( b2i )  1 Tøc (2) nên (1) Ví dụ 3: x, y R , chứng mih bất đẳng thức sau: x2 y4  2( x2  2) y2  xy  x2  xy3 (1) Gi¶i: (1)  ( y2 1)2 x2  y(1 y2 ) x  y  F ( x)  ( y 1)2 x2  y(1 y ) x y2 Đặt ' y (1 y )2  y ( y 1)2 '  16y  '  f ( x)        y  R x, y  R  Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho a,b,c,d thoà m·n b < c < d Chøng minh r»ng (a  b  c  d)2  8(ac  bd) Bài 2: (1) Cho số a , b , c , d , p , q cho: p2  q  a2  b2  c2  d2  Chøng minh r»ng: (p2  a  b2 )(q  c2  d2 )  (pq ac bd)2 Dạng (1) Phương pháp dùng tính chất bắc cầu Đây phương pháp chứng minh bất đẳng thức sử dụng tính chất bắc cầu Toán học Chẳng hạn: a b b  c th× a  c Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí Mét sè vÝ dô: VÝ dô 1: Cho a, b, c ,d >0 tháa m·n a > c+d , b >c+d Chøng minh r»ng: ab >ad+bc Gi¶i a  c  d  a  c  d Ta cã:    b  d  c  b  c  d  (a-c)(b-d) > cd  ab – ad – bc + cd > cd ab > ad + bc điều phải chứng minh VÝ dô 2: 2 Cho a,b,c>0 tháa m·n a  b  c  Chøng minh 1 1    a b c abc Gi¶i Ta cã :( a + b – c)2= a2+ b2 + c2 + 2( ab – ac – bc) >  ac + bc - ab  ( a + b2 + c2)  ac + bc – ab  1  Chia hai vÕ cho abc > ta cã    a b c abc VÝ dô 3: Cho  a, b, c  Chøng minh r»ng: 2a  2b  2c   a b  b c  c a Gi¶i Do a <  a  vµ 2 Ta cã 1  a .1  b    1- b - a + a b >  1+ a 2 b2 > a + b Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí mµ < a,b <  a  a , b  b3 Tõ ®ã ta suy 1+ a b  a  b3 VËy a  b <  a 2b 2 T­¬ng tù ta cã: b3  c3   b c Vµ c3  a   c a 3 2 Céng bất đẳng thức ta có: 2a 2b 2c   a b  b c  c a VÝ dô 4: Cho  x, y, z  Chøng minh r»ng: a  x  y  z  xy  yz  zx  b x  y  z   x y  y z  z x Gi¶i a Ta cã: x  y  z  xy  yz  zx  x(1  y )  y (1  z )  z (1  x)  (1) MỈt kh¸c: (1  x)(1  y )(1  z )   x  y  xy  yz  zx  xyz  Suy ra: x  y  z  xy  yz  zx   xyz  (2) Tõ (1) vµ (2) suy  x  y  z  xy  yz  zx  b Ta chøng minh: x  y  z  x y  y z  z x  x  y  z  x y  y z  z x  x (1  y )  y (1  z )  z (1  x) Ta cã:  x(1  y )  y (1  z )  z (1  x) V× ( x  x, y  y, z  z )  x  y  z  xy  yz  zx  ( theo câu a) Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho  a, b, c, d  Chøng minh r»ng: (1  a)(1  b)(1  c)(1  d )   a  b  c  d Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí Bµi 2: Cho  a, b, c  tho¶ m·n a  b  c  Chøng minh r»ng: a2  b2  c2  Bµi 3: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi b»ng Chøng minh r»ng: a  b  c  4abc  Bài 4: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Chứng minh r»ng: a  b  c 2abc Dạng 10 Phương pháp dùng bất đẳng thức tam giác Đây phương pháp sử dụng bất đẳng thức tam giác làm giả thiết để chứng minh bất đẳng thức phương pháp chứng minh bạn nên ý số kiến thức sau: Kiến thức: Các bất đẳng thức tam giác: Với a, b, c cạnh tam giác a, b, c  bc abc ac bac ab c  ab NÕu a  b  c th× sè ®o cđa gãc A, B, C cịng ®óng với bất đẳng thức Công thức liên quan ®Õn tam gi¸c Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí bca  p  a    abc  c a b p  p b  2  abc  p c   Mét sè vÝ dô: Ví dụ 1: Cho a, b, c cạnh cđa tam gi¸c Chøng minh r»ng: a  b3  c  2abc  a (b  c)  b (c  a)  c (a  b) (1) Gi¶i Ta cã:  a  b3  c3  2abc  a (b  c)  b (c  a)  c (a  b)  (1)  a (a  b)  b (b  a)  c(2ab  a  b )  c (a  b  c)   (a  b)(a  b)  c(a  b)  c (a  b  c)   (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)  (2) KÕt qu¶ (2) tam giác ta có a  b  c a  b  c    a  c  b  a  c  b  b  c  a b  c  a    Vậy bất đẳng thức (1) chứng minh Ví dụ 2: Cho a;b;clà số đo ba cạnh tam giác chøng minh r»ng: a a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac) b abc>(a + b - c).(b + c - a)( c + a - b) Giải Vì a, b, c số đo cạnh tam giác nên ta có Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cp Website hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí 0  a  b  c  0  b  a  c 0  c  a  b  a  a (b  c)  b  b(a  c )   c  c (a  b)  Céng tõng vế bất đẳng thức ta có: a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) Ta cã a > b-c   a  a  (b  c) > b > a-c   b  b  (c  a ) > c > a-b   c  c  ( a b) Nhân vế đẳng thức lại ta được: 2 a 2b c   a   b  c    b   c  a    c   a  b       2  a 2b c   a  b  c   b  c  a   c  a  b   abc   a  b  c   b  c  a   c  a  b  VÝ dô 3: Trong Δ ABC cã chu vi a + b +c = 2p ( a, b, c độ dài cạnh ) CMR : 1 1 1 + + ≥2( + + ) pa p b pc a b c Gi¶i Ta cã : p - a = bca > ( b + c > a bất đẳng thức tam giác ) Tương tự : p - b > ; p- c > Mặt khác : p - a + p - b = 2p - a - b = c p-b+p-c=a p-c+p-a=b ta ¸p dơng tính chất Bất đẳng thức: 1 ta cã:   x y x y Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí 1 4 + ≥ = pa p b ( p  a)  ( p  b) c 1 pb + pc ≥ 1 + ≥ pc pa a b Céng theo vÕ bất đẳng thức ta có : 1 1 1 + + ≥2( + + ) pa p b p c a b c DÊu ‘=’ x¶y Δ ABC ®Ịu VÝ dơ 4: Cho a, b, c , độ dài ba cạnh tam giác (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc Giải Bất đẳng thức ba cạnh tam giác : b c a   a  (b  c)2  a c  a  b   b  (c  a )  b a  b  c   c  ( a  b)  c Tõ ®ã a  (b  c) b  (c  a ) c  ( a  b)  a 2b c  (a + b – c)( a – b + c)( b – c +a)( b + c – a)( c – a + b)( c + a – b)  a 2b c  (a + b – c)2( b + c – a)2( c + a – b)2  a 2b c  (a + b – c)( b + c – a )( c + a – b)  abc V× a, b, c cạnh tam giác nªn Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí a  b  c   a  c  b  vµ abc > b  c  a  Bài tập áp dụng: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Bài 1: Chøng minh r»ng: NÕu víi a  b  c (a b c)2 9bc Bài 2: Chøng minh r»ng: (a  b  c)(b  c  a )(a  c  b)  abc Bµi 3: Chøng minh r»ng: Víi mäi p, q cho p + q = th× pa  qb  pqc Bµi 4: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác với a < b < c Chøng minh r»ng: a (b  c )  b3 (c  a )  c (a  b )  Bµi 5: Chøng minh r»ng: với a, b,c độ dài cạnh tam giác ta có: a (b c)  b(c  a )  c(a  b)  a  b3  c3 (1) D¹ng 11 Phương pháp đổi biến số Khi ta gặp số bất đẳng thức có biến phức tạp ta dùng phương pháp đổi biến số để đưa bất đẳng thức cần chứng minh dạng đơn giản hơn, tức ta đặt biến biểu thị bién cũ cho biến gọn dễ chứng minh Sau đổi biến số ta sử dụng phương pháp chứng minh để chứng minh bất đẳng thức Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website hoc360.net – Tải tài liệu học phớ Phương pháp lượng giác dạng phương pháp đổi biến số Một số ví dô: VÝ dô 1: Cho a,b,c > Chøng minh r»ng: a b c    (1) bc ca ab Giải Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta cã a= yzx zx y x yz ; b= ;c= 2 Ta cã (1)  yzx zx y x yz    2x 2y 2z  y z x z x y  1  1  1  x x y y z z ( y x z x z y  )(  )(  )6 x y x z y z y x Bất đẳng thức cuối (   2; x y z x z y   ) ®iỊu   2; y z x z ph¶i chøng minh VÝ dơ 2: Cho a,b,c > vµ a+b+c < Chøng minh r»ng: 1    (1) a  2bc b  2ac c  2ab Gi¶i Đặt x = a 2bc ; y = b  2ac ; z = c  2ab Ta cã x  y  z  a  b  c   (1)  1    Víi x+y+z < vµ x ,y,z > x y z Theo bất đẳng thức Côsi ta có: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cp Website hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí x  y  z  3 xyz 1 1    xyz x y z 1 1     x y z    x  y  z . Mµ x+y+z < VËy 1 điều phải chứng minh x y z VÝ dô 3: a b c  Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: bc ca ab Giải Đây ví dụ ta sử dụng cách đổi biÕn kh¸c: yzx  a   x  b  c  x z y   y  c  a  b    Ta ®Ỉt z  a  b   x yz c Bất đẳng thức 1 yzx xz y x yz     2 x y z   x y  y z z         y x  z y x x x y y z z x     (®óng)  z y x z y x z Vậy Bất đẳng thức chøng minh DÊu “=” x¶y  a  b c Ví dụ 4: Cho số thực dương a, b, c cho abc = Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí Chøng minh r»ng:   1   a    b    c     b  c  a  Gi¶i  a    b Do abc  nªn ta cã thĨ ®Ỉt:    c   x y y z víi x, y, z  z x Nên bất đẳng thức ta viết lại sau: x z  y  1   1 y  z y x  z y   1    z  x x  xyz  ( x  y  z )( y  z  x)( z  x  y ) (Ta đà chứng minh được) Vậy BĐT đà chứng minh DÊu “=” x¶y  a  b  c Bài tập áp dụng: Bài 1: Chứng minh r»ng ; víi mäi sè thùc x, y ta có bất đẳng thức: ( x y )(1x y )   (1  x ) (1  y ) Bµi 2: x Cho x, y, z số dương thoả mÃn: CMR: 1 + =4 z y 1 + + ≤ x  2y  z x  y 2z 2x y z (Đại học khối A năm 2005) Bài 3: Cho a, b, c l số thực dương thoả mÃn abc=1 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí CMR : 1    a (b  c) b (c  a) c (a  b) Bµi 4: Cho x, y, z >0 tho¶ m·n x  y  z  CMR    36 x y z Bµi 5: Cho x, y, z số thực dương thoả mãn: xyz  x  y  z  CMR: x y z xyz Dạng 12 - Phương pháp làm trội (chứng minh bất đẳng thức có n số hạng) Dùng tính bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tính tổng hữu hạn tích hữu hạn Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1 u2 un Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k hiệu hai số hạng liên tiếp uk ak ak Khi ®ã : S = a1  a2   a2  a3    an  an 1 a1 an Phương pháp chung tính tích hữu hạn: P = u1u2 un Biến đổi số hạng u k thương hai số hạng liên tiếp nhau: uk = ak ak Khi ®ã P = a a1 a2 a n  a2 a3 an 1 an 1 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí Mét sè vÝ dơ: VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng:  1     n   Víi n lµ số nguyên n Giải: Ta có:   k k k  k 1   k 1  k  Khi cho k chạy từ đến n ta có 1>2   1 2 3 2    n 1  n n Cộng vế bất đẳng thức ta cã: 1 1     n  1 n   VÝ dô 2: n Chøng minh r»ng: k 2 n  Z k 1 Gi¶i: Ta cã 1 1    k k k  1 k  k Cho k ch¹y tõ ®Õn n ta cã Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí 1  1 2 1   32 1   n n 1 n 1      n n k VËy 2 k 1 VÝ dô 3: Chøng minh r»ng: 1 1     n  , n  Z  n Gi¶i: Ta cã: 2    2( k  k  1) k  Z  k k k  k 1 Do ®ã: 11  2(  1)  2(  2)  2( n  n  1) n VËy: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí 1 1     1  n  n 1 n VÝ dô 4: Chøng minh r»ng: 2n   , n  Z  2n 2n  Gi¶i: Ta cã: 12 32 52 (2n  1)2 A  (2n)2  12 32 (2n  1)2  22  42  (2n  1)(2n  1) 2n  VËy: 2n   2n 2n  Bµi tập áp dụng: Bài 1: Chứng minh BĐT sau: a 1 1     1.3 3.5 (2n  1).(2n  1) b  1    2 1.2 1.2.3 1.2.3 n Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ ... ( 19 94 2000 19 96 2000 2000 ) ? ?1  ( )  (1 ) 19 95 19 95 19 95 Theo bất đẳng thức Becnuli ta cã: (1 V×: 2000 2000 19 94 2000 ) ? ?1? ??  1? ??( ) 19 95 19 95 19 95 2000 19 94 2000 ? ?1? ??( ) 19 95 19 95 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/... số dương thoà m·n: 1 1    3 1? ??a 1? ?? b 1? ?? c 1? ?? d Chøng minh r»ng: abcd  81 Gi¶i Tõ gi¶ thiÕt ta cã: 1 1 ? ?1? ?? ? ?1? ?? ? ?1? ?? ? ?1   1? ??a 1? ?? b 1? ?? c 1? ??d a b c d     ? ?1 1a 1? ??a 1? ??a 1? ??a Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/... 1) x  y  z )  ( x  y  z )( xy  yz  zx) ( x  y  z )(3 xyz ? ?1 xyz 3  xyz ? ?1   DÊu “=” x¶y x=y=z VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: 19 942000  19 952000  19 962000 (1) Gi¶i (1)  ( 19 94 2000 19 96