Khóa luyện đề nâng cao 2020 Sưu tầm biên soạn ĐỀ MINI TEST 06 Phạm Minh Tuấn Thời gian: 45 phút (khơng kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm có trang, 15 câu Họ tên:…………………………………………………Số báo danh:……………………… Câu 1: Có giá trị nguyên m để phương trình 6x    m 2x  m  có nghiệm thuộc 0;1 B A C D Lời giải 6x    m 2x  m   Đặt f  x   6x  3.2x  m 2x  x  3.2 x với x  0;1 2x  Ta có f  x  6  x     ln  3.2 x ln 2 x   x  3.2 x x ln  1 x x x  ln  ln   x ln  3.2 x ln  2x    , x  0;1 Suy f  x  đồng biến 0;1 từ suy yêu cầu toán tương đương với   m   4  m  2 Câu 2: Có giá trị nguyên m  10 để phương trình x  3x  m  có nghiệm là: A 14 B C D 12 Lời giải Đặt t  3x với t  Khi phương trình cho trở thành: t  t  m  (*) Phương trình đề cho có nghiệm phương trình (*) có nghiệm dương Xét hàm số f  t   t  t có f  t   2t  Xét f   t    t   Bảng biến thiên: Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 Khóa luyện đề nâng cao 2020 Dựa vào bảng biến thiên, phương trình t  t  m có nghiệm dương m   m  Câu 3: Có giá trị nguyên a để phương trình: 9x   a3x cos  x  có nghiệm thực B A C D Lời giải Giả sử x0 nghiệm phương trình Ta có x0   a.3x0 cos( x0 ) Khi  x0 nghiệm phương trình Thật  x0   a32  x0 cos    x0    81 x0 9a 3x0 cos  x0   9x0   a.3x0 cos  x0  Vậy phương trình có nghiệm x0   x0  x0  Với x0   a  6 Ngược lại, với a  6 , phương trình 9x   6.3x cos  x   3x  + 3x   6 cos  x  3x 6 3x + 6cos  x    x 3  x   x  Khi dấu "  " xảy  cos  x  1  x x Vậy   a.3 cos( x0 ) có nghiệm a  6 Câu 4: Có giá trị nguyên m để phương trình 2 x 1 1 Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 2 x1  m  có nghiệm Khóa luyện đề nâng cao 2020 A C B D Lời giải Nếu x0  nghiệm phương trình  x0 nghiêm phương trình Do phương trình có nghiệm x0    x0  x0  Do đó:   m   m  3 Câu 5: Có giá trị nguyên m để phương trình x2 x  5m  có nghiệm thực A 12 B C D 10 Lời giải x2 x  5m   x   x 1  m  x   x   log m *   m  0 Xét hàm số f ( x)  x   x  có tập xác định TXĐ : D  2;   f '( x)  x2 1 1 x  2 x2 f '( x)   x   Bảng biến thiên Suy Maxf ( x)  Do phương trình  *  có nghiệm thực log m  Câu 6: 5   m  54 2 Có giá trị nguyên m để phương trình 2017sin x  2018cos x  m.2019cos x có nghiệm? A 2016 B 2017 C 2018 D 2019 Lời giải   Phương trình tương đương: 2017    2017.2019  cos2 x  2018     2019  Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 cos2 x  m Khóa luyện đề nâng cao 2020 t t    2018  Đặt t  cos x với t  0;1 ta 2017      m  2017.2019   2019  t t    2018  Xét f  t   2017     với t  0;1  2017.2019   2019  Hàm số f  t  nghịch biến D  0;1 Max f  t   f    2018 Min f  t   f  1  D D Phương trình có nghiệm  Min f  t   m  Max f  t  hay m  1; 2018 D D Vậy có 2018 giá trị ngun m để phương trình có nghiệm Câu 7: Biết phương trình x  m.2 x 1  2m  có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1  x2  , giá trị m thuộc khoảng nào? A m  3;6  B m  2;1 C m  5; 2  D m 1; 3 Lời giải Đặt t  x , t  Phương trình cho có nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1  x2  phương trình t  2m.t  m  có nghiệm t  thoả mãn t1 t2  x1 x2  x1  x2     m  2m    m4 2m  t1 t2   Câu 8: Có giá trị nguyên m  để phương trình 812 x A B C x  m có nghiệm D 10 Lời giải * Đặt t  x ( t  )  t  x PT trở thành 812t Ta có PT 812 x x t  m  m có nghiệm PT 812t + Khảo sát f  t   812t t t  m có nghiệm t  (với t  ) ta có: f   t   812t t  4t  1 Lập bảng biến thiên ta được: Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 Khóa luyện đề nâng cao 2020 * KL: PT 812t Câu 9: t  m có nghiệm t  m  Có giá trị nguyên m  để phương trình A x4  81m1 vô nghiệm C B D Lời giải Phương trình  x 1 m 1     x 1  m1 Phương trình vơ nghiệm  m    m  Câu 10: Cho phương trình e x  2.e x  ln  e x  ln  m  , với m tham số Tất giá trị nguyên tham số m  10 để phương trình có nghiệm A B D C Lời giải e x  2.e x  ln  e x  ln  m   e x  2.e x e ln  e x e ln  m   e x  6.e x  9.e x  m  Đặt t  e x t   , phương trình tương đương với m  t  6t  9t Xét f  t   t  6t  9t  0;   t  f   t   3t  12t  , f   t     t  Ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên: với m  m  4 phương trình có nghiệm Chú ý: Ta không lấy giá trị x  nên m  đường thẳng y  m cắt đồ thị điểm Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 Khóa luyện đề nâng cao 2020 Câu 11: Có 1 bao 1 x nhiêu   m   31 giá 1 x trị nguyên tham số m để phương trình  m   có nghiệm thực? A B C Vô số D Lời giải Điều kiện: 1  x  Đặt t  31 1 x2 Ta có x  1;1 nên t  3;9 (do   x  ) Phương trình trở thành: t   m   t  m    m  t    t  3t   m  t   0, t  3;9 )  1 Xét hàm số f  t   t  3t  (do t2 t  4t  t  3t   0, t   3;  , t  3;9 ; f   t   t2 t    Vậy f  3  f t   f   hay  f  t   55 , t  3;9  55 Phương trình cho có nghiệm  phương trình  1 có nghiệm t  3;9   m  Vậy m1; 2; 3; 4; 5;6;7 Câu 12: Có giá trị nguyên m  10 để phương trình 16x   m  3 4x  3m   có nghiệm A C B D Lời giải 16x   m  3 4x  3m    1 Đặt t  x  PT trở thành: t   m  3 t  3m    t  6t    2t  3 m   Với t  49 :  2   (vơ lí) Với  t  t  6t  m : 2  2t  3 Phương trình  1 có nghiệm  phương trình   có nghiệm thuộc  0;   \   2 Xét f  t   t   N  t  6t  2t  6t  20   f t    2t   2t  3 t  2  L  Bảng biến thiên: Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 Khóa luyện đề nâng cao 2020 t +∞ f'(t) + +∞ +∞ f(t) ∞ Số nghiệm phương trình   số giao điểm đồ thị hàm số f  t   t  6t  đường 2t  thẳng y  m  1 Dựa vào BBT, ycbt  m   ;    8;   3  Câu 13: Có giá trị  m     2m      m  x x A nguyên x tham số để m phương trình  có hai nghiệm phân biệt? C B D Lời giải 2x x      m  5   2m  2  1  m    m  5  23    2m    23   1  m      x x x x 3 Đặt t     Phương trình  1 trở thành  m  5 t   2m   t  1  m  2 1  2 (1) có hai nghiệm phân biệt    có hai nghiệm dương phân biệt 2 m2  m       2 m   3m5  S    0  m5 P  1 m   0 m  Mặt khác m  Câu 14: nên m  Cho phương trình m.3x 4 x  31x  3.334 x  m Có giá trị nguyên m để phương trình có nghiệm phân biệt B A C D Lời giải Ta có: m.3x   m 3x 4 x 4 x3  31x  3.334 x  m     3.33 x  31 x  m 3x 2 4 x     31 x 3.33 x.3x Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 2 1 1  Khóa luyện đề nâng cao 2020  m x2  x   1 x 1  3  3x2  x    x   x  1    1 x2  m  31 x m   x2  x  Để phương trình có nghiệm phương trình m  31x có nghiệm khác ,  x   log m    m  0  m   2    Do m  31 x  311  1  m  1; m   1 x2 1 32 8  3 3  m  Câu 15: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình x  x2  4.3 x  x2  2m   có nghiệm? B 25 A 27 C 23 D 21 Lời giải Điều kiện x  x2    x  Xét u  x  x với  x  Trên  0;  , ta có: u  2x 4x  x2 ; u   x  ; u    , u    Vậy  u  Đặt t  x  x2 Khi u  0;  ta có miền giá trị t là: 1;9 Phương trình x  x2  4.3 x  x2  m    *  trở thành: t  4t  2m   1 Phương trình  *  có nghiệm phương trình  1 có nghiệm thuộc 1;9 1  t  4t  2m   Xét hàm số f  t   t  4t  1,t  1,9 , f   t   2t  , f   t    t  Suy f  t   f    5 , max f  t   f    44 1,9  1,9  Để thỏa mãn yêu cầu toán 5  2m  44  22  m  Vậy có 25 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 16: Số giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn 2019 ;  để phương trình  x  1 log  4x  1  log  x  1  x  m có hai nghiệm thực B 2022 A C D 2021 Lời giải Điều kiện: x  1 Trường hợp 1: m  , phương trình cho trở thành: Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 Khóa luyện đề nâng cao 2020 x   x  1 log  4x  1  log  2x  1  2   log   4x  1  log  2x  1   1  1  Xét hàm số f  x   log3  4x  1  log  2x  1  hàm đồng biến khoảng  ; +    Khi đó, x0 nghiệm phương trình  1 x0 nghiệm Ta có: f    2 ; f 1  , suy f   f 1  Theo hệ định lý trung gian, tồn x0   ; 1 cho f  x0   Do vậy: m  thỏa mãn yêu cầu toán Trường hợp 2: m  , dẫn đến x  nghiệm phương trình cho Phương trình cho trở thành: log  x  1  log  x  1  2x  m 0 x 1 Xét hàm số g  x   log  x  1  log  x  1  Đạo hàm: g  x     2x  m , có tập xác định: D    ;    1; +  x 1   2m    0, x  D  4x  1 ln  2x  1 ln  x  12 Bảng biến thiên:  1  Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra: phương trình g  x   có hai nghiệm x1   ;  ;   x2  1; +  với m  Vậy với giá trị nguyên tham số m  2019 ; 2 phương trình cho ln có hai nghiệm thực phân biệt Có 2022 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu tốn Phân tích : - Đây tốn tương giao Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 Khóa luyện đề nâng cao 2020 Tuy nhiên cô lập m việc khảo sát hàm biến x phức tạp Ý tưởng tác giả: Cho m  sử dụng tính chất đơn điệu khoảng ứng với khoảng tương ứng phương trình có nghiệm Bài toán tổng quát ax  b F  x, m  f  x    với f   x   ad  bc  (đây nguồn gốc sáng tạo toán) cx  d Cách : Đặt f  x   log3  4x  1  log5  2x  1 x  TH1 : m  , Phương trình    f  x     Vì f  x  hàm số tăng   ;    f  x   có nghiệm khác   Vậy m  thỏa mãn toán TH2 : m  , dẫn đến x  nghiệm phương trình cho Phương trình cho trở thành : f  x   Đặt g  x   f  x   g  x   f   x   2x  m 0 x 1 2x  m x 1 2m  x  1 0 Ta có bảng biến thiên :  g  x   có hai nghiệm phân biệt Vậy m  2019 ; 2 nên ta có 2022 giá trị nguyên m Bài toán tương tự: Bài toán 16.1 Tìm số giá trị nguyên m  3 ; 2019 cho phương trình x log  x  1  log  x  1   x  m  e x  mx  có hai nghiệm thực m Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 10 Khóa luyện đề nâng cao 2020 Câu 17 Có giá trị nguyên tham m  10 số để phương trình 2m x log  x  1  log 9  x  1  có hai nghiệm thực phân biệt   A D C 10 B Lời giải Điều kiện: x  1 Nhận thấy với x  phương trình cho trở thành  (vơ lí), nên x  khơng nghiệm phương trình với m Xét 1  x  ta có: 2m x m x log  x  1  log 9  x  1   log  x  1  log   x  1      xm ln   x  1   x  m  ln  x  1 mx ln ln  x  1 Đặt f  x   x   f '  x   ln ln  x  1 với 1  x  ln  0, x   1;   \0  x  1 ln2  x  1 Ta lập bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên phương trình m  x  ln có hai nghiệm thực phân biệt ln  x  1 m  1;   Câu 18     Biết phương trình log 2 x   m   log m  x  x  có nghiệm thực Mệnh đề đúng? A m  0;1 B m 1; 3 C m  3;6  D m  6;9  Lời giải Ta có:         log 2 x   m  log 3 m  x  x2    log 2 x   m  log 3 m  (2 x  1)2      Nếu x0  nghiệm phương trình   x0  1 nghiệm phương trình Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 11 Khóa luyện đề nâng cao 2020 Vậy để phương trình có nghiệm x0     x0  1  x0  Với x0  thay vào phương trình ta có: log m  log 3m  t t t log 3   3 m  t t   3.2     t  log  m   6,54   t m      Câu 19 sin x  cos x  m   logsin x Có giá trị nguyên m để phương trình cos x 10  m  5 có nghiệm A B C D Lời giải Ta có :  3sin x  sin x  cos x  m  5 cos x 10  log sin x  sin x  cos x 10 cos x 10   m  5   ln sin x  cos x  10  m 5 m 5  ln m     ln m   ln sin x  cos x  10   Xét f  t   ln  t  3t , t  f   t   3t  ln  t  3t ln    , t  , suy hàm số f  t  đồng biến t     f sin x  cos x  10  f m   sin x  cos x  10  m   sin x  cos x   m Mà   sin x  cos x  Vậy để phương trình có nghiệm ta phải có   m   Câu 20 Cho phương trình m ln2  x  1   x   m ln  x  1  x   1 Tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn  x1    x2 khoảng  a ;   Khi a thuộc khoảng A  3,8; 3,9  B  3,6; 3,7  C  3,7 ; 3,8  D  3,5; 3,6  Lời giải Điều kiện: x  1 Vì x  khơng thỏa mãn phương trình nên ta có  x2  m  ln( x  1) ,    m ln  x  1  x   1  m ln  x  1  x   ln  x  1  1     ln  x  1  1  x  e  Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 12 Khóa luyện đề nâng cao 2020 Do nghiệm x    nên phương trình  1 có hai nghiệm thoả mãn  x1    x2 e phương trình   có hai nghiệm phân biệt cho  x1    x2 x2 Xét hàm số f  x   khoảng  ; +  ta có f   x   ln  x  1 f   x    ln  x  1  x2 x1 ln  x  1 ln  x  1  x2  ,  3 x1 1 x2 có h  x     , x  nên h  x  đồng biến x1 x   x  12 Xét hàm số h  x   ln  x  1   0;    phương trình f   x   có khơng q nghiệm Mà f    f     f   x  hàm số liên tục  2;  suy phương trình   có nghiệm x0   2;  Từ ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn  x1    x2 m  Câu 21 Tổng tất x 3 m x A 45    6  m ;    Vậy a    3,7 ; 3,8  ln ln ln   giá  trị  x  x  24 x  m 3 x3 nguyên tham số để m phương trình   có ba nghiệm phân biệt x B 38 C 34 D 27 Lời giải Phương trình tương đương với 3 m x    x3  9x2  24x  m  27  33x  3 m x  m  3x  33x    x  Xét hàm đặc trưng: f t   3t  t  f  t   3t ln3  3t  t  3 m x  m  x  33  x    x   m  x   x  m    x   3x 3  m   x  x  24 x  27 Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 13 Khóa luyện đề nâng cao 2020 x  Đặt g  x   x3  9x2  24x  27  g  x   3x2  18 x  24    x  Ta có bảng biến thiên: Để phương trình có nghiệm phân biệt  m  11  m 8;9;10 Vậy tổng giá trị m 27 Câu 22 Có số nguyên  2019; 2019 để phương trình 1  x  x  a có hai ln  x    nghiệm phân biệt? A B 2022 C 2014 D 2015 Lời giải Ta có 1 1  x  xa   x xa ln  x  5  ln  x  5  ln  x     x  4   Điều kiện xác định  x     x  5 3x   x    Đặt hàm số f ( x)  Suy f '( x)  1  x  x có TXĐ D   5; 4   4;0   0;   ln( x  5)  1 3x ln    nên f ( x ) nghịch biến khoảng xác  x  5 ln  x  5  3x  12 định 243 ; lim f ( x)  ; lim f ( x)   5  5 x 4 35  242 x 4 lim f ( x)  ; lim f ( x)   ; lim f ( x)   Tính : lim f ( x)  x 5 x 0 x 0 x  Bảng biến thiên Phương trình f ( x )  a có hai nghiệm phân biệt a   243 242 Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 14 Khóa luyện đề nâng cao 2020 a  a  Do  Vậy có 2018  1  2015 giá trị a  a   2019; 2019  a   4; 2018 Câu 23 Tổng tất giá trị tham số m để phương trình x   x   m2   log x2  x  m2  có nghiệm C 2 B A D Lời giải Ta có x  x   m2    log x2  x  m2      log x  x   m2  x2  x  m  1  a  x  x  Đặt  , ta có a  2; b  , phương trình cho trở thành a b  log a b  b  m  ab   Nếu a  b  khơng thỏa mãn log a b   a  b  Nếu a  b  khơng thỏa mãn log a b  Do a  b , phương trình cho tương đương với x  x   m2   x  x   m2 Số nghiệm phương trình cho số giao điểm parabol y  x  x  đường thẳng y  m Ta có hình ảnh minh họa sau Dựa vào đồ thị, phương trình cho có nghiệm m2   m  1 Vậy tổng giá trị tham số m Câu 24 x2  x  log  x  x  x  m có Tổng tất giá trị tham số m để phương trình 2 xm 1   ba nghiệm phân biệt A B C Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 D 15 Khóa luyện đề nâng cao 2020 Lời giải Điều kiện: 2x2  4x    x  xm 1 Phương trình:  log x2  x  log  x2  x  x  m xm 1  x2  x   2x2  x  x  m xm 1                 *    log 2 x  x   log x  m   x  x  x  m    log 2 x  x   x  x   log x  m    x  m     log 2 x  x   x  x   log x  m   x  m     1  Xét hàm f  t   log2 t  t khoảng  0;    có f '  t     , t  suy f  t  đồng biến khoảng  0;    t ln    Khi  1  f x  x   f x  m    x2  x   x  m   x  m  x2  2x   x  2m  x  x  ( x2  2x   ( x  1)2  0, x    x  2m   x  x    )  2m   x  x    2  2m  x   Vẽ đồ thị hai hàm số g  x   x2  4x  h  x   x2  hệ trục tọa độ Oxy Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 16 Khóa luyện đề nâng cao 2020 (Chú ý: Hai đồ thị hàm số y  g( x) y  h( x) tiếp xúc với điểm A(1; 2) ) Để phương trình  *  có ba nghiệm phân biệt   phải có ba nghiệm phân biệt  đường thẳng y  m hai đồ thị có ba điểm chung phân biệt  m   2m      2m    m   2m   m   Vậy tổng tất giá trị m Câu 25 Tìm tham số m để tổng nghiệm phương trình sau đạt giá trị nhỏ nhất: mx 1 m   x  m  m  1 x   21 mx  x  x  mx     x  m2 x 1 A B C  D 2   Lời giải   mx 1 m   x  m  m  1 x   21 mx  x  x  mx     x  m2 x    x  mx   x  m2 x              x  mx  2 x m x 1 x mx 1  x  m2 x       x2  mx 1 2  Đặt a  x  mx  , b  x  m2 x  phương trình trở thành  a  b  a      a.2b  a  b  a  b  a.2b  b.2a  a 2b   b 2a   (*) Nếu a  b  phương trình (*) thỏa mãn Nếu a  b  phương trình (*) tương đương 2b  a    (**) b a Nhận xét: Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 17 Khóa luyện đề nâng cao 2020 Với a  a  , tức a   nên 2a  0 a Với a  a  , tức a   nên 2a  0 a Suy 2a   0, a  a Tương tự: Nên 2b   0, b  b 2b  a    0, a  0, b  Suy phương trình (**) vơ nghiệm b a a  Do đó: (*)   b   x2  mx   Tức phương trình cho tương đương   x  m x   Hai phương trình x  mx   x  m2 x   có nghiệm trùng m  m  Nếu m  hai phương trình x   nên phương trình cho có hai nghiệm tổng hai nghiệm T1  Nếu m  hai phương trình x  x   nên phương trình cho có hai tổng hai nghiệm T2  nghiệm Khi m  m  hai phương trình x  mx   x  m2 x   khơng có nghiệm trùng Phương trình bậc hai x  mx   có a.c  nên có hai nghiệm phân biệt tổng hai nghiệm x1  x2  m Phương trình bậc hai x  m2 x   có a.c  nên có hai nghiệm phân biệt tổng hai nghiệm x3  x4  m2 Suy phương trình cho có nghiệm phân biệt tổng chúng  1 1 T3  x1  x2  x3  x4  m  m   m      2 4  1 T3    m   , nên T3   4 So sánh T1 , T2 , T3 giá trị nhỏ tổng nghiệm phương trình cho  1 đạt m   Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 18 ...Khóa luyện đề nâng cao 2020 Dựa vào bảng biến thiên, phương trình t  t  m có nghiệm dương m   m  Câu... 2 x 1 1 Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 2 x1  m  có nghiệm Khóa luyện đề nâng cao 2020 A C B D Lời giải Nếu x0  nghiệm phương trình  x0 nghiêm phương trình Do phương... 2018     2019  Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 cos2 x  m Khóa luyện đề nâng cao 2020 t t    2018  Đặt t  cos x với t  0;1 ta 2017      m  2017.2019