ễn thi H v C Thy Giỏo V Hong Sn Bài 5: Hệ thức lợng trong tam giác Một số kiến thức cần nhớ *Một số phép biến đổi thờng dùng + Cung liên kết + Các công thức biến đổi. *Một số hệ thức trong tam giác cần nhớ: + . 4 . 2 2 2 A B C SinA SinB SinC Cos Cos Cos+ + = + . 1 4sin sin sin 2 2 2 A B C CosA CosB CosC+ + = + + tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC + 2 cot. 2 cot. 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot C g B g A g C g B g A g =++ + 1 222 . 22 . 2 =++ A tg C tg C tg B tg B tg A tg + cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1 + sCCosACosBCoCSinBSinASin 22. 222 +=++ + CBACCosBCosACos sinsinsin21. 222 =++ + Sin2A + Sin2B + Sin2C = 4SinA.SinB.SinC + Cos2A + Cos2B + Cos2C = -1 - 4CosACosBCosC Các ví dụ Bài 1: Cho tam giác ABC, CMR . . 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A tg tg tg tg tg tg+ + = Bài 2:Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn CMR: a) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC b) 33 ++ tgCtgBtgA dấu = xảy ra khi nào? HD: áp dụng BĐT côsi 3 3 tgCtgBtgAtgCtgBtgA ++ lập phơng hai vế thay trở lại phơng trình đầu ta đợc đpcm. Bài 3: CMR: trong mọi tam giác ABC, ta luôn có : HD: Biến đổi liên tiếp tích thành tổng ở VP. VP= [cos(B-C) cos(B+C)].cosA + [cos(C-A) cos(A+C)].cosB + [cos(A-B) cos(A+B)].cosC =Cos(B-C).cosA + Cos 2 A + Cos(C-A).cosB +Cos 2 B + Cos(A-B).cosC + cos 2 C. thực hiện nhân phá ngoặc xuất hiện cos2A, cos2B, cos2C sử dụng công thức nhân đôi thay bởi cos 2 A, cos 2 B, cos 2 C suy ra đpcm. Bài 4: CMR với mọi tam giác ABC ta có ( ) 2 2 2 1 . 2. 1Cos A Cos B Cos C CosACosBCosC = Từ đó suy ra tam giác ABC có một góc tù khi và chỉ khi 2. 222 <++ CSinBSinASin Bài 5: Cho tam giác ABC thoả mãn đk: 1 ễn thi H v C Thy Giỏo V Hong Sn 2tgA = tgB + tgC CMR : tgB.tgC = 3 Và Cos(B - C) = 2CosA HD: xuất phát: + =+ tgCtgB tgCtgB CBtg .1 )( đpcm Từ tgB.tgC = 3 khi và chỉ khi sinA.sinB=3cosB.cosC (*) Mà cos(B - C) =2.cos[ )( CB ] khai triển suy ra đẳng thức (*). Bài 6: CMR với mọi tam giác ABC ta có: +++ =++ 2 cot 2 cot 2 cot 2222 1 sin 1 sin 1 sin 1 A g A g A g C tg B tg A tg CBA HD: thay 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot. 2 cot. 2 cot C g B g A g C g B g A g ++= áp dụng công thức nhân đôi. Bài 7: CMR trong mọi tam giác ABC ta có CBABACCCosAB CSinBSinASin cossinsin2cossinsinsinsin2 . 222 ++ =++ Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C thoả mãn đk 4A = 2B = C. CMR: cba 111 += và 4 5 . 222 =++ CCosBCosACos Bài 9: CMR trong mọi tam giác ABC ta đều có: CBA R r coscoscos1 ++=+ Bài 10: Cho tam giác ABC thoả mãn đk: bc aA Sin 2 2 = , CMR tam giác ABC cân Bài 11:Cho tam giác ABC thoả mãn đk 22 . B tg A tgtgBtgA = CMR tam giác ABC cân Bài 12. CMR nếu tam giác ABC có a cb CB + =+ coscos thì tam giác vuông Bài 13: Cho tam giác ABC với BC=a, AC=b, AB=c CMR tam giác ABC vuông hoặc cân tại A khi và chỉ khi 2 CB tg cb cb = + Bài 14: Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn đk: 3(cosB+2sinC) + 4(sinB+ 2cosC) =15 CMR tam giác vuông Bài 15:Các góc tam giác ABC thoả mãn đk 2 ễn thi H v C Thy Giỏo V Hong Sn 2 1 2 sin. 2 sin. 2 sin 2 cos. 2 cos. 2 cos = CBACBA CMR tam giác ABC vuông. Bài 16: Cho tam giác ABC thoả mãn đk ( ) ( ) + = + +=+ 2 4 2 sin cos1 1)( 22 3332 ba ba C C acbacba CMR tam giác ABC đều. Bài 17: Tam giác ABC thoả mán đk: gCgB CA cotcot3 sin 1 sin 1 2 + + CMR tam giác ABC là tam giác đều Bài 18: Tam giác ABC thoả mãn đk 2 sin 2 sin 2 sin. CA CosCCosBCosA ++=++ B CMR tam giác ABC là tam giác đều Bài 19: tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ thức: 9 22 . 2 222 =++ C Cotg B Cotg A Cotg Bài 20:CMR nếu trong tam giác ABC ta có 2 cos 2 cos 2 cossinsinsin CBA CBA ++=++ thì tam giác đều Bài 21: Cho tam giác ABC thoả mãn đk: 8(p-a)(p-b)(p-c)=abc CMR tam giác đều Bài 22: Cho tam giác ABC thoả mãn đk gCgBgA CBA C g B g A g cotcotcot 2 cos 1 2 cos 1 2 cos 1 2 cot. 2 cot. 2 cot ++= ++ Bài 23: CtgBtgtgACtgBtgAtg 22888 9 ++ Bài 24: 81 666 =++ CtgBtgAtg Bài 25: Tìm GTNN biểu thức CBA M 2cos2 1 2cos2 1 2cos2 1 + + + + = Bài 26: Tam giác ABC bất kỳ tìm GTLN của: P= cosA+ cosB +cosC Bài 27: <Dùng phơng pháp BĐ Lợng giác xuất hiện bình phơng một nhị thức> Cho tam giác ABC bất kỳ. Tìm GTLN của biểu thức )cos(cos3cos3 CABP ++= Bài 28: Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức: 3 Ôn thi ĐH và CĐ Thầy Giáo Vũ Hoàng Sơn 4 17 )coscos(sin3sin.sin.cos2 =+++ CBACBB Hái tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c g×? CM? 4 Ôn thi ĐH và CĐ Thầy Giáo Vũ Hoàng Sơn 5 . thoả mãn đk: 3(cosB+2sinC) + 4(sinB+ 2cosC) = 15 CMR tam giác vuông Bài 15: Các góc tam giác ABC thoả mãn đk 2 ễn thi H v C Thy Giỏo V Hong Sn 2 1 2 sin. 2. B CMR tam giác ABC là tam giác đều Bài 19: tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ thức: 9 22 . 2 222 =++ C Cotg B Cotg A Cotg Bài 20:CMR nếu trong tam giác