GS TẠ VẢN ĐĨNH PHƯONG PHÁP TÍNH (D ù n g ch o c c trư n g d ại h ọ c k í th u ậ t) (Tái lấn th ứ mười bốn) NHÀ XUẤT BẤN GIÁO DỤC Bản quyền thuộc Nhà xuất Giáo dục 04 - 2008/CXB/96 - 1999/GD Mã sô': 7B200y8 - DA I LỊI GIĨI THIỆU Cuốn sách phương pháp tính xuất lằn đầu năm 1992 giáo trình chuyên đè - 30 tiết - phương pháp tính gàn đúng, dùng trưdng đại học k ĩ thuật Trong lần tái sách sứa chữa bổ sung thềm sơ đồ tóm tắt cho phương pháp, giúp sinh viên tổng kết, tóm tắt kiến thức đ ể làm tập cài đặt máy vi tính Cuốn sách có th ể dùng làm tài liệu tra cứu cho k ĩ sư phương pháp tính NHÀ XUẤT BẤN GIẤO DỤC LỊI NĨI ĐÂU Giáo trình Phương pháp tính - 30 tiết - dược dưa vào dạy ỏ truòng dại học k ỉ thuật nhằm cung cáp cho sinh viên kiến thức m ô đàu vầ mơn học phương pháp tính Nhưng cho đén giáo trình văn chưa có sách giáo khoa tương ửng, phù hợp vói yêu cầu, nội dung thời gian Sau nhiều nảm giàng dạy ỏ trường Dại học Bách khoa Hà Nội, mạnh dạn viết sấch nhỏ nhàm cung cáp tài liệu học tập cho sinh viên trao dồi kinh nghiệm với bạn đòng nghiệp Vầ nội dung, chúng tơi giói hạn vào ván dầ thông dụng : khái niệm sai số, cách tính gần nghiêm phương trinhj cùa hệ phương trĩnh dại só tuyến tính, phép nội suy, phương pháp bĩnh phương bé nhát thành lập công thức thục nghiệm, tỉnh gần đạo hàm tích phãn xác định, tính gần nghiệm cùa tốn Cơsi phương trĩnh vi phân thường Đăy tài liệu mỏ đàu cho mồn phương pháp tính, nên phương chăm chúng tồi : nhẹ phàn chứng minh, nặng phàn gợi ý dăĩi giải phương pháp nêu rõ quỵ trình tính tốn, có thí dụ minh hoạ, có tập ôn luyện Học xong giảo trĩnh sinh viẽn có th ể sử dụng phương pháp tỉnh đâ trình bày đ ể tính tay hay lặp chương trình thực mảy vi tính Chúng tơi cố gảng làm rõ khải niệm loại sai cảc cồng thức tính, cảc thuật tính cụ thề cùa phương pháp ưà sụ hội tụ phương phảp gàn dúng không sảu vào phhn lí thuyết tinh vi mà chù yểu thơng qua giải thích thơng thường thí dụ minh hoạ Ngoầi ra, có số ván đề tinh vi mơn phương pháp tính, sinh viẻn nẽn biết, khơng thê dưa vào chương trình giảng dạy, giới thiệu với bạn đọc thông qua số phụ lục ngấn Như vậy, giảo trình 30 tiết ỏ hệ chinh quy có thề bò qua phụ lục vài chứng minh, ỏ hệ chức có thề bỏ qua phụ lục chửng minh Trong lần xuất đ&u, cn sách khơng tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong nhận ý kiến nhận xét, phê bình bạn đọc Chúng tơi xin cảm ơn Khoa đại học Tại chức Khoa Toán - Tin ứng dụng Trường đại học Bách khoa Hà Nội khuyến khích chúng tồi hồn thành sách Thảng năm 1991 T ác g iả Chương SAI SỐ §1.1 SAI SỐ TUYỆT ĐỐI VÀ SAI s ố TƯONG Đ ố l Sai sô tuyệt đối Trong tính gấn ta làm việc với giá trị gấn ‘đại lượng Cho nên ván đê cán nghiên cứu, vấn đề sai số Xét đại lượng A cđ giá trị gấn a Lúc ta nói ”a xáp xỉ A" viết "a ^ A" Trị tuyệt đối Ia - AI gọi sai số tuyệt đối a (xem giá trị gán A) Vì nói chung ta khơng biết sổ A, nên khơng tính đưạc sai số tuyệt đối a Do đò ta tỉm cách ước lượng sai số bàng số dương Ag đđ lớn Ịa ” A| : |a - A | ^ (1.1) dương Ag gọi sai số tuyệt đói giói hạn a Rỏ ràng Ag đâ sai số tuyệt đối giới hạn a thỉ số A’ > A3 đéu xem sai số tuyệt đốí giới hạn a v ỉ nhừng điều kiện cụ thể ngưòi ta chọn Ag ià số dương bé nhát có th ể thoả mẫn ( 1) Nếu sổ xấp xi a A cố sai số tuyệt đói giới hạn Ag thỉ ta quy ước viết : A = a ± A3 ( ) với nghĩa ( L l) tức : a - A3 ^ A ^ a + Ag (1.3) Sai số tương đối Tị gg la — AI i r a —A - — gọi [à sai số tương đối a (so với A) Nđi chung tỉ só đđ khơng tính vỉ A ndi chung khổng bỉết Ta gọi tỉ số : + (6.52) y ” (Xi+i/2) + o(h ) y ’(Xị) = y ’(Xj^i;2) - y ” (*i+i/2) + o(h^) 111 Ta suy y’(xj) + y ’(Xi+i) = 2y’(xị+i/2) + o(h^) Khử y’(xị+i/2> (6.53) (6.52) (6.53) ta y(Xị+i) - y(x|) = I ’(xị) + y ’(xi+i)] + Nhưng vỉ y(x) nghiệm phương trình vi phân nên y ’(Xi) = f(x ị, y (x i)), y ’(X ị+i) = f(X j+i, y (X j+ i)) Bây bỏ qua só hạng o(h^) ta y(xj+i) - y(xị) = I [f(xj, y ( x j ) ) + f ( x j + i , y ( X j + i ) ) ] Thay yíXị) bỏi Uị, y(xị+i) Uị+ dấu = dấu = ta ^i+1 " 'li = I 1’ Đd cơng thức (6.50) Chú ý ràng phương pháp Ole, công thức (6.18) ta bỏ qua số hạng ị h^y” , đđ số hạng vô bé bậc hai h đă chứng minh sai số |uị - y(Xj)| = o(h) o ta bỏ qua số hạng o(h^) vô bé bậc ba h có thê’ chứng minh sai số Uị - y(Xj) I = o(h^) Vậy phương pháp hỉnh thang có độ xác cẩp hai, nổ phương pháp xác cao Nhưng biết Uj Xj ta muốn có Ui^.1 Xị+1 ta phải giải phượng trình (6.50) Uj+1 Nếu f(x, y) phi tuyến y thỉ phương trình phương trình phi tuyến Diéu đổ khác với phương pháp le, ta cd công thức tính Ui+ theo Uị mà khơng c ầ n phải giải phương trình Với ý 112 người ta nđi phương pháp hỉnh thang phương pháp ẩn, phương pháp Ole phương pháp Để giải phương trình (6.5Ĩ) người ta cd thể dùng phương phảp lặp, xấp xỉ đẩu xxị^Ị J tính phương pháp Ole với bước h : = Uj + hf(Xị, Uj) + (6.54) '^i) + f(*i + u[+\] (6.55) m = 0, 1, 2, Quá trình lặp dừng : (m-l ) u‘i(m) V1 “ > (6.56) £ cho trước Thí dụ : Xét tốn (6.33) (6.34) Kết tính tốn tập trung thành bảng 6.4 Ta ý số lấn lặp cẩn thiết để đạt (6.56) bé h bé Bâng 6,4 SỐ lần lặp (6.^ ) i ,00025 h = 0,2 h ô 0,1 Nghiệm gần Nghiệm “i y(í) Sai s ố |Uị “ y(Xi)l 0.2 0,4 0,6 0,8 1.0 3 3 1,1847 i,3444 1,4874 1,6185 1,7407 1,1832 1,3416 1,4832 1,6125 1J321 0,0015 0,0028 0,0042 0,0060 ’0086 0.1 0,2 0,3 0,4 0.5 0,6 0,7 2 2' 1,0957 1,1837 1,2656 1,3425 1,4143 1,4846 1,5508 1,6144 1,6756 1J348 1,095 1,1832 1,2649 1,3416 1,4142 1,4832 1,5492 1,6125 1,6733 1J321 0,0003 0,0005 0,0007 0,0009 0,0011 0,0014 0,0016 0,0019 0’0023 0,0027 0,9 2 2 2 1.0 0,8 113 Chủ ý : Từ ỉ = ì, nghĩa ĩ + = trở ta xấp xỉ đáu = Uị_j + 2hf(Xj, Uị) cd thể tỉnh Khi đđ hội tụ nhanh Phương pháp : Phương pháp dự bảo diều chinh Trong thí dụ ta ý ràng h tương đối lớn thỉ số lấn lặp > 1, h bé dẩn số lẩn lập giàm h đủ bé người ta nghiệm thấy cẩn lặp lấn Lúc đđ phương pháp hỉnh thang (6.54) (6.55) viết : = (6.57) = Uj + h f ( X ị , Uị) Uị+I = Uị + ^ [f(xị, Uị) + f(Xj+J + ũ,^ j) ( 6 ) (6.59) Nđ thuộc loại phương pháp dự báo điểu chỉnh theo nghỉa sau : trước hết dùng công thức (6.58) tính Ũj+1 xem giá trị dự báo, sau đd dùng nđ để điều chỉnh công thức ẩn (6.59) tính Uj^j Như khơng cấn giải phương trinh mà đạt độ xác cấp hai h tương đối bé, đd độ xác cơng thức hỉnh thang Ta c1 = h g ( x , , Uị, Vj) lí2 = hf(Xj + ,5 h , Uj + ,5 k j, Vj + 0,51i) 12 = hg(x, + 0,5h, Uj + 0,5kj, Vị + O.SIị) k = hf(Xị + ,5 h , Uị + 0,5 k , Vị + , 512 ) 13 = hg(Xị + ,5 h, u, + , k 2, Vj + , 512) = hf(X| + h, U| + k3, Vj + I3) 14 = h g ( X i + h , Uị + k , Vj + I ) ^^1+ = ^1 ''1+1 = Vj g + + - ( l j + í2 2I2 + + 2I3 k^ + + I4) IC4) §6.7 PHƯONG TRÌNH CẤP CAO Để cho đơn giản ta xét phương trình cấp hai, Bài tốn Cơsi phát biểu sau : Cho khoảng [Xq , X] Tìm hàm số y = y(x) Xác định [Xq, X], thỏa mân : y ” = f(x, y, y ’) y(x„) = tỊ„, y ’(Xo) = JỊi Bài tốn đưa vé toán hệ cách đặt : y* = z 119 Thật vậy, lúc đổ ta cd : z’ = y ” = f(x, y, y’) = f(x, y, z) Do ta có hệ : z’ = f(x, y, z) y’ = z z(x„) = »2i, y ( x j = 7ỈO Đó tốn Cơsi hệ với g(x, y, z) = z Ta cd thể áp dụng phương pháp hệ lói mục §6.6 BÀI TẬP * Dùng phương pháp chuỗi Taylo giải toán y* = y(0) = Dùng phương pháp Ole giải toán y’ = f ; J X ^ y(0) = với bước h = 0,1 Dùng phương pháp Ole giải toán y’ = 4- 0^ X^ y(0) = với bước h = 0,2 Dùng phương pháp trung điểm giải Dùng phương pháp chuỗi Taylo giải toán 4=0,1 y ’ = X + yz - y2 y(0) = 1, z(0) = 120 toán số Trả lời u„ = ; Uj = ; U2 = 1,005 ; U3 = 1,0151 ; U4 = , 3 ;U5 U7 = , ;Ug = U io = = = , ; U(, = , 7 ; ,1 ; Uạ = ,1 ; ,2 ; Uj = ; U2 = ,0 ; U3 = ,0 U4 = 0,1123 ; U5 = 0,2428 u„ = ; Uj = 0,002 ; U2 = 0,0200072 U3 = ,0 7 ; U4 = ,1 6 U5 = 0,343823657 Chú ý : Không phải tất chữ số viết đáng tin x'* y(x) = “ 24 z (x ) = -X - — -f 121 M ỤC LỤC rang Lời nói đàu Chương SAI s ố §1.1 Sai số tuyệt đối sai số tương đối §1.2 Cách viết số xáp xỉ §1.3 Sai số quy tròn 10 §1.4 Các quy tác tính sai số 11 §1.5 Sai số tính tốn sai số phương pháp 14 §1.6 Phụ lục : Sự ổn định qtrình tính 17 Bài tập Chưong TÍNH GẦN DÚNG NGHIỆM THựC CỦA MỘT PHƯONG TRÌNH 19 21 §2.1 Nghiệm khoảng phân li nghiệm 21 §2.2 Phương pháp chia đơi 25 §2.3 Phương pháp lặp 28 §2.4 Phương pháp Niutơn (tiếptuyến) 34 §2.5 Phương pháp dây cung 40 Bài tập Chương TÍNH GẦN DÚNG NGHIỆM CỦA MỘT HỆ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 43 44 §3.1 Mở đẩu 44 §3.2 46 Phương pháp Gaoxơ (Gauss) §3.3 Phương pháp lặp đơn 56 §3.4 Phụ lục Về hệ đại số tuyến tính khơng ổn định 63 Bài tập 64 122 Chưang NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT 66 §4.1 Nội suy đa thức ; đa thức Lagrangiơ đa thức Niutơn 66 §4.2 Phương pháp binh phương bé 78 Bài tập g0 Chương TÍNH GẦN DỨNG DẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC DỊNH 85 §5.1 Tính gẩn đạo hàm 85 §5,2 Tính gẩn tích phân xác định 86 Bài tập 93 Chương T ^ H GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA BÀI TỐN CƠSI DỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 95 §6.1 Phát biểu tốn 95 §6.2 Phương pháp chuỗi Taylo 97 §6.3 Phương pháp Ole 99 §6.4 Phụ lục ; Sai số thực 107 §6.5 Các phương pháp xác cao 110 §6.6 Hệ phương trình 116 §6.7 Phương trình cấp cao 119 Bài tập 120 Mục lục 122 123 Chịu trách nhiệm xuất bàn: Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc NGƠ TRÂN ÁI Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập NGUYÊN QUÝ THAO Tổ chức thảo chịu trách dmg: Phó Tơng Giám đõc kiêm Giám đốc N X ^ D TP Hà Nội NGUYÊN XUẦN HOA Biên lập lẩn đầu: TRẦN CAO QUANG Biên tập tát bàn: 1'RẦN V ă n t h ắ n g Trình b y bìa: ĐỒN HỒNG Sửa in MAI ĐAN - HỒNG VÂN C hàn: PHÒNG CHẾ BẢN (NXB GIÁO DỤC) PHƯƠNG PHÁP TÍNH Mă sỏ : 7B200y8 - DAI In 2.000 (QĐ 01), khổ 14,5 X 20,5 cm in Công ty CP In SGK TP Hả Nôi Địa c h ỉ: Tổ 60, thị trấn Đồng Anh, Hà Nội Số ĐKKH xuất : 04 - 2008/CXB/96 - 1999/GD, In xong nộp lưu chiểu tháng năm 2008 ... sách phương pháp tính xuất lằn đầu năm 1992 giáo trình chuyên đè - 30 tiết - phương pháp tính gàn đúng, dùng trưdng đại học k ĩ thuật Trong lần tái sách sứa chữa bổ sung thềm sơ đồ tóm tắt cho phương. .. NĨI ĐÂU Giáo trình Phương pháp tính - 30 tiết - dược dưa vào dạy ỏ truòng dại học k ỉ thuật nhằm cung cáp cho sinh viên kiến thức m ô đàu vầ mơn học phương pháp tính Nhưng cho đén giáo trình... trỉnh tính có tính lặp lặp lại nên phương pháp gọi phương pháp lặp, hàm