BÀI 4: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ I– TH T Trục độ dài đại số trục a)Định nghĩa  Trục tọa độ (hay gọi tắt trục) đường thẳng xác định điểm O gọi điểm gốc vectơ đơn vị e  Điểm O gọi gốc tọa độ  Hướng vecto đơn vị hướng trục  Ta kí hiệu trục  O;e  O M e b) Cho M điểm tùy ý trục  O;e  Khi có số số k tọa độ điểm M trục cho k cho OM  k e Ta gọi c) Cho hai điểm A B trục  O;e  Khi có số a cho AB  a e Ta gọi số a độ dài đại số vectơ AB trục cho kí hiệu a  AB Nhận xét Nếu AB hướng với e AB  AB, cịn AB ngược hướng với e AB   AB Nếu hai điểm A B trục  O;e  có tọa độ a b AB  b  a Hệ trục tọa độ a) Định nghĩa Hệ trục tọa độ  O;i , j  gồm hai trục  O;i   O; j  vng góc với Điểm gốc O chung hai trục gọi gốc tọa độ Trục  O;i  gọi trục hoành kí hiệu Ox, trục  O; j  gọi trục tung kí hiệu Oy Các vectơ i j vectơ đơn vị Hệ trục tọa độ  O;i , j  kí hiệu Oxy Ox và i  j  Oy y j O i x O Mặt phẳng mà cho hệ trục tọa độ Oxy gọi mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt mặt phẳng Oxy b) Tọa độ vectơ Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ u tùy ý Vẽ OA  u gọi A1 , A2 hình chiếu vng góc A lên Ox Oy Ta có OA  OA1  OA2 cặp số  x; y  để OA1  x i , OA2  y j Như u xi y j Cặp số x ; y gọi tọa độ vectơ u hệ tọa độ Oxy viết u   x; y  u  x; y  Số thứ x gọi hoành độ, số thứ hai y gọi tung độ vectơ u Như u u   x; y   u  x i  y j Nhận xét Từ định nghĩa tọa độ vectơ, ta thấy hai vectơ chúng có hồnh độ tung độ A A2 u j O i A1 Nếu u   x; y  u   x; y   x  x u  u    y  y Như vậy, vectơ hoàn toàn xác định biết tọa độ c) Tọa độ điểm Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M tùy ý Tọa độ vectơ OM hệ trục Oxy gọi tọa độ điểm M hệ trục Như vậy, cặp số  x; y  tọa độ điểm M OM   x; y  Khi ta viết M  x; y  M  x; y  Số x gọi hồnh độ, cịn số y gọi tung độ điểm M Hoành độ điểm M cịn kí hiệu xM , tung độ điểm M cịn kí hiệu yM M   x; y   OM  x i  y j M x; y M2 j O i M1 Chú ý rằng, MM1  Ox, MM  Oy x  OM , y  OM d) iên hệ tọa độ điểm tọa độ vectơ mặt phẳng Cho hai điểm A  x A ; y A  B x B ; y B Ta có AB xB x A ; yB yA Tọa độ vectơ u  v, u  v, k u Ta có cơng thức sau: Cho u   u1 ;u2  , v   v1 ;v2  Khi đó:  u  v   u1  u2 ;v1  v2  ;  u  v   u1  u2 ;v1  v2  ;  k u   k u1 ;k u2  , k  Nhận xét Hai vectơ u u1 ; u2 , v v1 ; v2 với v phương có số k cho u1 k v1 u2 k v Tọa độ trung điểm đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm tam giác a) Cho đoạn thẳng AB có A x A ; y A , B x B ; yB Ta dễ dàng chứng minh tọa độ trung điểm I x I ; y I đoạn thẳng AB xI  b) Cho tam giác tam giác ABC ABC x A  xB y  yB , yI  A 2 có A  x A ; y A  , B  xB ; yB  , C  xC ; yC  Khi tọa độ trọng tâm G  xG ; yG  tính theo cơng thức xG  xA  xB  xC y  yB  yC , yG  A 3 II – D N TO N  Dạng 1: Tìm tọa độ điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số vectơ chứng minh hệ thức liên quan trục O;i    Phương pháp giải Sử dụng kiến thức sau:  Trên trục O,i , điểm M có tọa độ a  OM  a.i    Trên trục  O,i  , vecto u có tọa độ a  OM  a.i   Vectơ AB có độ dài đại số m  AB  AB  mi Nếu a,b tọa độ A,B AB  b  a x x  Tọa độ trung điểm I đoạn AB là: xI  A B  Các tính chất: + AB  BA + AB  CD  AB  CD + A; B;C ( O ; i ) : AB  BC  AC A VÍ DỤ MINH HỌA   V dụ 1: Trên trục tọa độ O;i cho điểm A,B có tọa độ 2;1 Tọa độ vecto AB là: A 3 B C i giải D 1 Chọn B Ta có: AB     AB  3i   V dụ 2: Trên trục tọa độ O;i cho điểm A,B có tọa độ 5 Tọa độ trung điểm I AB : B  A C i giải D 1 Chọn D Tọa độ điểm I là: xI    V dụ 3: Trên trục O;i IA A IB IC  ( 5 )  1 cho điểm A,B,C có tọa độ a;b;c Tìm điểm I cho abc B abc C i giải Chọn D Gọi điểm I có tọa độ x IA  a  x  IA  ( a  x )i; IB  b  x  IB  ( b  x )i; IC  c  x  IC  ( c  x )i; a b c D a bc IA  IB  IC   ( a  b  c  3x )i  abc  a  b  c  3x   x    V dụ 4: Trên trục O;i , cho ba điểm A,B,C có tọa độ 5; 2; Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn 2MA  4MB  3MC  10 A B  10 C 10 D 10 i giải Chọn C Gọi điểm M có tọa độ x MA  5  x  MA  ( 5  x )i; MB   x  MB  (  x )i; MC   x  MC  (  x )i; 2MA  4MB  3MC    10  x  i  8  x  i  12  3x  i   10  x   x  B BÀI TẬP TỰ Câu 1: ỆN   Trên trục O;i , cho ba điểm A,B có tọa độ 2; Tìm tọa độ điểm I cho IA  3IB A Câu 2: 10   B 4 C D 10 Trên trục O;i , cho ba điểm M ,N có tọa độ 2; Độ dài đại số MN là: A B 5 C D 1  D N 2: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ mặt phẳng Oxy  Phương pháp giải  Để tìm tọa độ vectơ a ta làm sau Dựng vectơ OM  a Gọi H , K hình chiếu vng góc M lên Ox, Oy Khi a  a1 ;a2  với a1  OH , a2  OK   Để tìm tọa độ điểm A ta tìm tọa độ vectơ OA Nếu biết tọa độ hai điểm A( xA ; yA ), B( xB ; yB ) suy tọa độ AB xác định theo công thức AB   xB  xA ; yB  yA  Chú ý: OH  OH H nằm tia Ox (hoặc Oy ) OH OH H nằm tia đối tia Ox (hoặc Oy ) A VÍ DỤ MINH HỌA V dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho điểm M  x; y  Tìm tọa độ điểm M đối xứng với M qua trục hoành? A M  x;  y  B M   x; y  C M   x;  y  D M  x; y  i giải Chọn A M đối xứng với M qua trục hoành suy M  x;  y  V dụ 2:Vectơ a   4;0  phân tích theo hai vectơ đơn vị nào? B a  i  j A a  4i  j C a  4 j D a  4i i giải Chọn D Ta có: a   4;0   a  4i  j  4i V dụ 3:Mệnh đề sau đúng? A Hai vectơ u   2; 1 v   1;  đối B Hai vectơ u   2; 1 v   2; 1 đối C Hai vectơ u   2; 1 v   2;1 đối D Hai vectơ u   2; 1 v   2;1 đối i giải Chọn C Ta có: u   2; 1    2;1  v  u v đối V dụ 4:Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD tâm I có A(1;3) Biết điểm B thuộc trục Ox BC hướng với i Tìm tọa độ vectơ AC ? A  3;  B  3;  C  3; 3 D  3;  i giải Chọn C Từ giả thiết ta xác định hình vng mặt phẳng tọa độ Oxy hình vẽ bên Vì điểm A( 1; ) suy AB  3, OB  y A Do B 1;  , C  4;  , D  4; 3 D O Vậy AC   3; 3 B O Cx cạnh a V dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho hình thoi ABCD BAD  600 Biết A trùng với gốc tọa độ O ; C thuộc trục Ox xB  0, yB  Tìm tọa độ đỉnh B C hình thoi ABCD a a a a ;   , C a ; ;  , C a ; A B  B B  2   2     a a  a ;   , C  a 3;   D B  2  2  a a  a ;  , C  a 3;  C B  2  2  i giải Chọn A Từ giả thiết ta xác định hình thoi mặt phẳng tọa độ Oxy a Gọi I tâm hình thoi ta có BI  AB sin BAI  a sin 300  2 a a AI  AB  BI  a   a a a a ;  , C a 3; , D  ;   Suy A  0;  , B  2 2      y B C A I D x B BÀI TẬP TỰ ỆN Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho điểm M  2;3 Tìm tọa độ điểm M đối xứng với M qua trục tung? A M  3;  B M  2;  C M  2; 3 D M  2; 3 Câu 4:   Trong hệ trục tọa độ O,i, j , cho tam giác ABC cạnh a , biết O trung điểm BC , i hướng với OC , j hướng OA Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC A 0; a ,B a a ;0 , C ;0 2   Câu 5: Trong hệ trục tọa độ O,i, j , cho tam giác ABC cạnh a , biết O trung điểm BC , i Câu 6: hướng với OC , j hướng OA Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC i giải  a 3 Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trùng với trọng tâm G  0;    Trong hệ trục tọa độ O,i, j , cho hình thoi ABCD tâm O có AC  8, BD  Biết OC i   hướng, OB j hướng Tính tọa độ trọng tâm tam giác ABC i giải A 4; , C 4; , B 0; , D 0; G 0;1 Câu 7: Cho hình bình hành ABCD có AD  chiều cao ứng với cạnh AD  , BAD  600 Chọn hệ trục tọa độ A;i, j cho i AD hướng, yB  Tìm tọa độ vecto   AB, BC , CD AC Câu 8:   Cho lục giác ABCDEF Chọn hệ trục tọa độ O,i, j , O tâm lục giác , i hướng với OD , j hướng EC Tính tọa độ đỉnh lục giác , biết cạnh lục giác i giải ĐS: A 6; , D 6; , B 3; 3 , C 3; 3 , F 3; 3 , E 3; 3 C Đ P N PHẦN BÀI TẬP TỰ D H ỚN D N I I C C C ỆN H CỦA PHẦN TỰ ỆN  D N 3: Xác định tọa độ điểm, vectơ liên quan đến biểu thức dạng u  v, u  v, k u  Phương pháp  Dùng cơng thức tính tọa độ vectơ u  v, u  v, k u  Với u  ( x; y ) ; u'  ( x'; y') số thực k , u  v  ( x  x'; y  y') k.u  ( kx;ky ) A VÍ DỤ MINH HỌA V dụ 1:Trong hệ trục O; i; j , tọa độ vec tơ i  j là:  A  1;1  B 1;0  C  0;1 i giải Chọn D Ta có: i  j  1;0    0;1  1;1 D 1;1 V dụ 2: Cho u   3; 2  , v  1;  Khẳng định sau đúng? A u v a   4;  ngược hướng B u, v phương C u  v b   6; 24  hướng D 2u  v, v phương i giải Chọn C Ta có u  v   4;  u  v   2; 8 4    u  v a   4;  không phương Loại A 4 2 Xét tỉ số    u, v không phương Loại B 8 Xét tỉ số      u  v b   6; 24  hướng 24 V dụ 3:Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A 1;3 , B  4;0  Tọa độ điểm M thỏa AM  AB  Xét tỉ số A M  4;0  B M  5;3  C M  0;  D M  0; 4  i giải Chọn C  x  3  xM  1    1  Ta có: AM  AB     M  M  0;  y  y          M  M  V dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A  3;3 , B 1;  , C  2; 5  Tọa độ điểm M thỏa mãn 2MA  BC  4CM là: 1 5 A M  ;  6 6  5 B M   ;    6 1 5 C M  ;   6 6 i giải 5 1 D M  ;   6 6 Chọn C   xM  2  3  xM     1   xM   1 5 Ta có: 2MA  BC  4CM     M  ;  6 6 2   yM    5     yM   y   M  B BÀI TẬP TỰ ỆN Câu 9: Cho a   x;  , b   5;1 , c   x;7  Vec tơ c  2a  3b nếu: A x  B x  15 C x  15 D x  Câu 10: Cho a  (0,1) , b  (1; 2) , c  (3; 2) Tọa độ u  3a  2b  4c : A 10; 15  B 15;10  C 10;15  D  10;15  C a  b   2; 3 D b  Câu 11: Cho a  3i  j b  i  j Tìm phát biểu sai: A a  B b  Câu 12: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A 1;3 , B  4;0  Tọa độ điểm M thỏa AM  AB  A M  4;0  B M  5;3  C M  0;  D M  0; 4  Câu 13: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1;  , B  2; 3 Tìm tọa độ đỉểm I cho IA  IB  8   2 A I 1;  B I 1;  C I  1;  D I  2; 2  3   5 Câu 14: Cho hai điểm A 1;0  B  0; 2  Tọa độ điểm D cho AD  3 AB là: A  4; 6  C  0;  B  2;0  D  4;6  Câu 15: Cho a   5;0  , b   4; x  Haivec tơ a b phương số x là: A 5 C 1 B D  D N 4: Xác định tọa độ điểm hình  Phương pháp Dựa vào tính chất hình sử dụng cơng thức x x y  yB + M trung điểm đoạn thẳng AB suy xM  A B , yM  A 2 xA  xB  xC y A  yB  yC + G trọng tâm tam giác ABC suy xG  , yG  x  x'  + u  x; y   u'  x'; y'     y  y' A VÍ DỤ MINH HỌA V dụ :Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A  3;  , B 1;  , C  5;  Tìm tọa độ trọng tâm tam giác G ABC ? A G  3; 3 9 9 B G  ;  2 2 i giải C G  9;  D G  3;  Chọn D 1  xG  3   Ta có    G  3; 3 y  5   G   V dụ 2: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A  2;  , B  3;  trọng tâm gốc tọa độ O  0;  Tìm tọa độ đỉnh C ? A C  1; 7  C C  3; 5  B C  2; 2  D C 1;  i giải Chọn A Gọi C x ; y  2   x 0   x  1 Vì O trọng tâm tam giác ABC nên    y  7 2   y   V dụ 3: Cho M  2;0  , N  2;  , P  1;3 trung điểm cạnh BC, CA, AB ABC Tọa độ B là: A 1;1 B  1; 1 C  1;1 i giải Chọn C D 1; 1 A N P B C M  x  xN  xP  xM  x    (1)  x  1 Ta có: BPNM hình bình hành nên  B  B  B  yB     yB   y B  y N  y P  yM V dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MNP có M 1; 1 , N  5; 3 P thuộc trục Oy , trọng tâm G tam giác nằm trục Ox Toạ độ điểm P A  0;  C  2;  B  2;0  D  0;  i giải Chọn A Ta có: P thuộc trục Oy  P  0; y  , G nằm trục Ox  G  x;0   1   x  x  G trọng tâm tam giác MNP nên ta có:   y  0  (1)  (3)  y  Vậy P  0;  V dụ 5:Cho tam giác ABC với AB  AC  Tính toạ độ điểm D chân đường phân giác góc A , biết B( 7;  ),C( 1; )  11  A   ;   2 C  2;0  B  2;3   11  D  ;   2 i giải Chọn B A B Theo tính chất đường phân giác: D C DB AB    DB  5DC  DB  5DC DC AC Gọi D  x; y   DB    x;   y  ; DC  1  x;  y   x  7  x  5 1  x  Suy ra:   y    y    y      Vậy D( 2; ) V dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A  3; 1 , B  1;  I 1;1 Xác định tọa độ điểm C , D cho tứ giác ABCD hình bình hành biết I trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa tâm O hình bình hành ABCD 5  C O  2;   2  i giải 5  B O  2;   2  7  A O  3;   2   5 D O  2;   2 Chọn B Vì I trọng tâm tam giác ABC nên x x x xI  A B C  xC  3xI  xA  xB  y  yB  yC yI  A  yC  yI  y A  yB  4 Suy C 1;4  Tứ giác ABCD hình bình hành suy 1    xD x  AB  DC    D  D( 5; 7 ) 2   4  yD  yD  7 Điểm O hình bình hành ABCD suy O trung điểm AC x x y  yC 5  xO  A C  2, yO  A    O  2;   2 2  B BÀI TẬP TỰ ỆN Câu 16: Cho hai điểm A 1;0  B  0; 2  Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB là: 1  A  ; 1 2   1 B  1;  2  1  C  ; 2  2  D 1; 1 Câu 17: Cho tam giác ABC có trọng tâm gốc tọa độ O , hai đỉnh A B có tọa độ A  2;  ; B  3;5  Tọa độ đỉnh C là: B  1; 7  A 1;7  C  3; 5  D  2; 2  Câu 18: Tam giác ABC có C  2; 4  , trọng tâm G  0;  , trung điểm cạnh BC M  2;0  Tọa độ A B là: A A  4;12  , B  4;6  B A  4; 12  , B  6;  C A  4;12  , B  6;  D A  4; 12  , B  6;  Câu 19: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C  2; 4  , trọng tâm G  0;  trung điểm cạnh BC M  2;  Tổng hoành độ điểm A B A B C D Câu 20: Trong mặt phẳng Oxy , cho B  5; 4  , C  3;7  Tọa độ điểm E đối xứng với C qua B A E 1;18  B E  7;15  C E  7; 1 D E  7; 15  Câu 21: Trong mặt phẳng Oxy , cho A  2;  , B  1;  , C  5;1 Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành là: A D  8;1 B D  6;  C D  2;1 D D  8;1 Câu 22: Trong mặt phẳng Oxy , gọi B ', B '' B ''' điểm đối xứng B  2;  qua trục Ox , Oy qua gốc tọa độ O Tọa độ điểm B ', B '' B ''' là: A B '  2; 7  , B"  2;7  B"'  2; 7  B B '  7;  , B"  2;7  B"'  2; 7  C B '  2; 7  , B"  2;7  B"'  7; 2  D B '  2; 7  , B"  7;  B"'  2; 7  Câu 23: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A  0; 3 , D  2;1 I  1;  tâm hình chữ nhật Tìm tọa độ trung điểm cạnh BC A 1;  B  2; 3 C  3; 2  D  4; 1  D N 5: Bài toán liên quan đến phương hai vectơ Phân t ch vectơ qua hai vectơ không phương  Phương pháp    Cho u  ( x; y ) ; u'  ( x'; y') Vectơ u' phương với vectơ u u  có số k  x'  kx cho   y'  ky x' y'  x y qua hai vectơ a   a1 ;a2  , b   b1 ;b2  không phương, ta giả sử Chú ý: Nếu xy  ta có u' phương u   Để phân tích c  c1 ;c2  a1 x  b1 y  c1 c  xa  yb Khi ta quy giải hệ phương trình  a2 x  b2 y  c2 A VÍ DỤ MINH HỌA V dụ 1: Cho A 1;  , B  2;6  Điểm M trục Oy cho ba điểm A, B, M thẳng hàng tọa độ điểm M là: A  0;10  B  0; 10  C 10;0  D  10;  i giải Chọn A Ta có: M trục Oy  M  0; y  Ba điểm A, B, M thẳng hàng AB phương với AM Ta có AB   3;  , AM   1; y   Do đó, AB phương với AM  1 y    y  10 Vậy M  0;10  3 V dụ 2: Cho vectơ a   4; 2  , b   1; 1 , c   2;5 Phân tích vectơ b theo hai vectơ a c , ta được: 1 A b   a  c 1 B b  a  c C b   a  4c i giải 1 D b   a  c Chọn A  m  1  4m  2n 1  Giả sử b  ma  nc   Vậy b   a  c  1  2m  5n n    V dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy , cho A  m  1; 1 , B  2;  2m  , C  m  3;3 Tìm giá trị m để A, B, C ba điểm thẳng hàng? A m  B m  Chọn B Ta có: AB    m;3  2m  , AC   4;  C m  i giải D m  Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB phương với AC  m  2m   m  4 V dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A( 6; ), B( 3; ), C( 1; 2 ) Xác định điểm D trục hoành cho ba điểm A, B, D thẳng hàng  2  2 A E  5; 10  B E   ;  C E   ;   D E  5;10   3  3  i giải Chọn B Vì E thuộc đoạn BC BE 2EC suy BE 2EC Gọi E  x; y  BE  x  3; y   , EC 1  x; 2  y    x    x   1  x  Do    y    2  y   y2   2 Vậy E   ;   3 V dụ 5:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A  0;1 , B 1; 3 , C  2;  D 0; Tìm giao điểm đường thẳng AC BD 2  A  ;  3   2 D  3;   3 2  C  3;   3  2  B  ;   3  i giải Chọn A Gọi I  x; y  giao điểm AC BD suy AI ; AC phương BI ; BD phương Mặt khác AI  ( x ; y  ), AC  ( ; ) suy x y 1   x  y  2 (1) BI  ( x  1; y  ), BD  ( 1; ) suy y  vào (1) ta có x  2  Vậy I  ;  điểm cần tìm 3  B BÀI TẬP TỰ ỆN Câu 24: Khẳng định khẳng định sau đúng? A Hai vec tơ u   4;  v   8;3 phương B Hai vec tơ a   5;0  b   4;0  hướng C Hai vec tơ a   6;3 b   2;1 ngượchướng D Vec tơ c   7;3 vec tơ đối d   7;3 Câu 25: Cho điểm A 1; 2  , B  0;3 , C  3;  , D  1;8  Ba điểm điểm cho thẳng hàng? A A, B, C B B, C, D C A, B, D i giải Chọn C D A, C, D Ta có: AD  2;10 , AB  1;5  AD  AB  điểm A, B, D thẳng hàng Câu 26: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A( 6; ), B( 3; ), C( 1; 2 ) Xác định điểm E cạnh BC cho BE  2EC  2  2  1  1 A E   ;  B E   ;   C E  ;   D E   ;   3  3  3  3  2 Câu 27: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A( 6; ), B   ;  , C( 1; 2 ), D( 15; ) Xác định  3 giao điểm I hai đường thẳng BD AC 7 1 7 1 7 1 7 1 A I  ;  B I  ;  C I  ;  D I  ;  2 2 2 2 2 2 2 2 Câu 28: Cho ba điểm A( 1; 1 ), B( 0;1 ), C( 3; ) Xác định tọa độ điểm D biết D thuộc đoạn thẳng BC 2BD  5DC  15   15   15   15  A  ;  B   ;  C  ;  D  ;   7 7  7  7 7  Câu 29: Cho tam giác ABC có A( 3; ), B( 2;1 ), C( 1; 2 ) Tìm điểm M đường thẳng BC cho S ABC  3S ABM A M  0;1 , M  3;  B M 1;  , M  3;  C M 1;  , M  2; 3 D M  0;1 , M  2; 3 Câu 30: Cho hình bình hành ABCD có A 2; tâm I 1;1 Biết điểm K 1; nằm đường thẳng AB điểm D có hồnh độ gấp đơi tung độ Tìm đỉnh B,D hình bình hành A B  2;1 , D  0;1 B B  0;1 ; D( 4; 1 ) C B  0;1 ; D  2;1 , C H ỚN D N I IC CC D B  2;1 , D  4; 1 H CỦA PHẦN TỰ ỆN Câu 26: Vì E thuộc đoạn BC BE 2EC suy BE 2EC Gọi E  x; y  BE  x  3; y   , EC 1  x; 2  y   x  x    x      Do     y    2  y   y2    2 Vậy E   ;   3 Câu 27: Gọi I  x; y  giao điểm BD AC  46  Do DI  x  15; y  ,DB   ;  phương suy  3  x  15 y   x  23 y  15  (1) 46 x 6 y 3   x  y   (2) AI  x  6; y  3 , AC  5; 5 phương suy 5 5 Từ (1) (2) suy x  y  2 7 1 Vậy giao điểm hai đường thẳng BD AC I  ;  2 2 Câu 28: Ta có 2BD  5DC, BD  xD ; yD  1 ,DC   xD ;  yD  15   xD   xD    xD   15  Do    D ;   7 2  yD  1    yD  y 2 D  Câu 29: Ta có S ABC  3S ABM  BC  3BM  BC  3BM Gọi M  x; y   BM  x  2; y  1 ; BC  3; 3 3  3  x    x  3   x    x    Suy    3  3  y  1  3   y  1 y  y  Vậy có hai điểm thỏa mãn M 1;  , M  3;  Câu 30: I trung điểm AC nên C  4;1 Gọi D  2a;a   B   2a;  a  AK 1; 1 , AB   2a; 1  a  Vì AK , AB phương nên III – Đ Câu 1:  2a 1  a   a   D  2;1 , B  0;1 1 I M TRA C I BÀI Trong mặt phẳng Oxy , cho A  x A ; y A  B  xB ; yB  Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB là:  x  x y  yB A I  A B ; A      x  x y  yB B I  A B ; A      x  x y  yB C I  A B ; A      x  y A xB  y B ; D I  A  i giải    Chọn B x x  xI  A B   x  x A  xB  xI  Ta có: I trung điểm đoạn thẳng AB  AI  IB   I  y  y  y  y y  I A B I  y  A  yB  I  x  x y  yB Vậy I  A B ; A  Câu 2:    Cho vectơ u   u1; u2  , v   v1; v2  Điều kiện để vectơ u  v u  u A  v1  v2 u  v1 B  u2  v2 u  v C  1 u2  v2 i giải u  v D  u2  v1 Chọn C Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy , cho A  x A ; y A  B  xB ; yB  Tọa độ vectơ AB A AB   y A  xA ; yB  xB  B AB   xA  xB ; yA  yB  C AB   xA  xB ; yA  yB  D AB   xB  xA ; yB  yA  i giải Chọn D Theo công thức tọa độ vectơ AB   xB  xA ; yB  yA  Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy , cho A  xA ; y A  , B  xB ; yB  C  xC ; yC  Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC là:  x  x  x y  yB  yC A G  A B C ; A 3      x  x  x y  yB  yC  C G  A B C ; A  3    x  x  x y  yB  yC  B G  A B C ; A     x  x  x y  yB  yC  D G  A B C ; A    i giải Chọn C Ta có: G trọng tâm tam giác ABC  OA  OB  OC  3OG với O điểm Chọn O gốc tọa độ O Khi đó, ta có: xA  xB  xC  x  G   xA  xB  xC  3xG OA  OB  OC  3OG     y A  yB  yC  yG  y  y A  yB  yC  G  x  x  x y  yB  yC   G A B C ; A  3   Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A  5;  , B 10;8  Tọa độ vec tơ AB là: A  2;  B  5;  C 15;10  D  50;  i giải Chọn B Ta có: AB  10  5;8     5;6  Câu 6: Cho hai điểm A 1;0  B  0; 2  Tọa độ điểm D cho AD  3 AB là: A  4; 6  B  2;0  C  0;  D  4;6  i giải Chọn D  xD  xA  3  xB  xA   xD   3   1 x    Ta có: AD  3 AB     D y  y  y   y  y y           D   D A B A D   Câu 7: Cho a   1;  , b   5; 7  Tọa độ vec tơ a  b là: A  6; 9  B  4; 5  C  6;9  D  5; 14  i giải Chọn C Ta có: a  b   1  5;2     6;9  Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD có AB  3, BC  Độ dài vec tơ AC là: A B C i giải Chọn B Ta có: AC  AC  AB2  BC  32  42  D Câu 9: Cho hai điểm A 1;  B  0; 2  Vec tơ đối vectơ AB có tọa độ là: A  1;  B  1; 2  C 1;  D 1; 2  i giải Chọn B Ta có vectơ đối AB BA    1; 2     1; 2  Câu 10: Cho a   3; 4  , b   1;  Tọa độ vec tơ a  b là: A  2; 2  B  4; 6  C  3; 8  D  4;6  i giải Chọn A Ta có: a  b    (1);(4)     2; 2  Câu 11: Cho A  0;3 , B  4;  Điểm D thỏa OD  DA  DB  , tọa độ D là: A  3;3  B  8; 2  C  8;   5 D  2;   2 i giải Chọn B  x   xD     xD     xD   Ta có: OD  DA  DB     D y   y    y  2  y       D  D D D  Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A  3; 2  , B  7;1 , C  0;1 , D  8; 5  Khẳng định sau đúng? A AB, CD đối B AB, CD phương ngược hướng C AB, CD phương hướng D A, B, C, D thẳng hàng i giải Chọn B Ta có: AB   4;3 , CD   8; 6   CD  2 AB Câu 13: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A 1;3 , B  4;0  , C  2; 5  Tọa độ điểm M thỏa mãn MA  MB  3MC  A M 1;18  B M  1;18  C M  18;1 D M 1; 18  i giải Chọn D  x  1  xM     xM     xM   Ta có: MA  MB  3MC     M y   18  y   y    y         M  M M M  Câu 14: Trong mặt phẳng Oxy , cho A  2;0  , B  5; 4  , C  5;1 Tọa độ điểm D để tứ giác BCAD hình bình hành là: A D  8; 5  B D  8;5  C D  8;5  D D  8; 5  i giải Chọn D 5   2  xD x  Ta có: tứ giác BCAD hình bình hành BC  DA    D 1    yD  yD  5 Câu 15: Trong mặt phẳng Oxy , cho A  2;  , B  1;  , C  5;1 Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành là: A D  8;1 B D  6;  C D  2;1 D D  8;1 i giải Chọn C 1   5  xD  x  2 Ta có: tứ giác ABCD hình bình hành AB  DC    D 4    yD  yD  Câu 16: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A  0;  , B 1;  Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn AM  2 AB là: A M  2; 2  B M 1; 4  C M  3;5  D M  0; 2  i giải Chọn A   x  2  xM   2 1   Ta có: AM  2 AB    M  M  2; 2  y   y        M  M  Câu 17: Cho a   4, 1 b   3,   Tọa độ c  a  2b là: A c  1;  3 B c   2;5 C c   7; 1 D c   10; 3 i giải Chọn B Ta có: c  a  2b   4  2.(3);1  2.(2)    2;5 Câu 18: Cho a  (2016 2015;0), b  (4; x) Hai vectơ a, b phương A x  504 B x  C x  504 i giải D x  2017 Chọn B Ta có: a, b phương  a  k b  x  7  Câu 19: Trong mặt phẳng Oxy , Cho A  ; 3  ; B(2;5) Khi a  4 AB  ? 2  A a   22; 32  B a   22;32  C a   22;32   11  ;8  D a     i giải Chọn A   Ta có: a  4 AB  4  2  ;5     22; 32    Câu 20: Trong mặt phẳng Oxy , cho a  (m  2; 2n  1), b   3; 2  Nếu a  b A m  5, n  3 B m  5, n   C m  5, n  2 i giải Chọn B m  m     Ta có: a  b   n   2n   2  D m  5, n  Câu 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A(2; 1) Điểm B điểm đối xứng A qua trục hoành Tọa độ điểm B là: A B(2;1) B B(2; 1) C B(1;2) D B(1; 2) i giải Chọn A Ta có: B điểm đối xứng A qua trục hoành  B  2;1 Câu 22: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho a  (2;1), b  (3; 4), c  (7; 2) Cho biết c  m.a  n.b Khi A m   22 3 ;n  5 3 B m  ; n  5 C m  22 3 ;n  5 D m  22 ;n  5 i giải Chọn C 22  m   7  2m  3n Ta có: c  m.a  n.b      m  4n n    Câu 23: Cho vectơ a   4; 2  , b   1; 1 , c   2;5 Phân tích vectơ b theo hai vectơ a c , ta được: 1 A b   a  c 1 B b  a  c C b   a  4c i giải 1 D b   a  c Chọn A  m  1  4m  2n 1  Giả sử b  ma  nc   Vậy b   a  c  1  2m  5n n    1  Câu 24: Cho a  ( x; 2), b   5;  , c   x;7  Vectơ c  4a  3b 3  A x  15 B x  C x  15 i giải Chọn D  x  x  3.(5)  Ta có: c  4a  3b    x  5  4.2    D x  5 Câu 25: Trong mặt phẳng Oxy , cho A  m  1; 1 , B  2;  2m  , C  m  3;3 Tìm giá trị m để A, B, C ba điểm thẳng hàng? A m  C m  i giải B m  Chọn B Ta có: AB    m;3  2m  , AC   4;  Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB phương với AC   m  2m   m  4 D m  Câu 26: Cho hai điểm M  8; 1 , N  3;  Nếu P điểm đối xứng với điểm M qua điểm N P có tọa độ là: A  2;5  B 13; 3  C 11; 1  11  D  ;   2 i giải Chọn A Ta có: P điểm đối xứng với điểm M qua điểm N nên N trung điểm đoạn thẳng PM   xP 3   x  2 Do đó, ta có:   P  P  2;5   yP  2  (1)  yP  Câu 27: Cho tam giác ABC với A  3; 1 , B  4;  , C  4;3 Tìm D để ABDC hình bình hành? A D  3;6  B D  3;6  C D  3; 6  D D  3; 6  i giải Chọn B 4   xD   x  3 Ta có: ABDC hình bình hành  AB  CD    D  D  3;6  2   yD   yD  Câu 28: Cho K 1; 3 Điểm A  Ox, B  Oy cho A trung điểm KB Tọa độ điểm B là: A  0;3  1  B  ;0  3  C  0;  D  4;  i giải Chọn A Ta có: A  Ox, B  Oy  A  x;0  , B  0; y  1    x  x  A trung điểm KB    Vậy B  0;3   y 0   y   Câu 29: Cho tam giác ABC với A  3;1 , B  4;  , C  4; 3 Tìm D để ABCD hình bình hành? A D  3;  B D  3; 4  C D  3; 4  D D  3;  i giải Chọn B 4    xD  x  3 Ta có: ABCD hình bình hành  AB  DC    D  D  3; 4  2   3  yD  yD  4 Câu 30: Các điểm M  2;3  , N  0; 4  , P  1;6  trung điểm cạnh BC , CA , AB tam giác ABC Tọa độ đỉnh A tam giác là: A 1; 10  B 1;5  C  3; 1 i giải Chọn C D  2; 7  A N P B M C  x  x  xP  xN  x    (1)  x  3 Ta có: APMN hình bình hành nên  A M  A  A  y A   (4)   y A  1  y A  yM  y P  y N Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MNP có M 1; 1 , N  5; 3 P thuộc trục Oy ,trọng tâm G tam giác nằm trục Ox Toạ độ điểm P A  0;  B  2;0  C  2;  D  0;  i giải Chọn A Ta có: P thuộc trục Oy  P  0; y  , G nằm trục Ox  G  x;0   1   x  x  G trọng tâm tam giác MNP nên ta có:   y  0  (1)  (3)  y  Vậy P  0;  Câu 32: Cho điểm A  2;1 , B  4;0  , C  2;3 Tìm điểm M biết CM  AC  AB A M  2; 5  B M  5; 2  C M  5;  D M  2;5  i giải Chọn A  xM          x   Ta có: CM  AC  AB    M  M  2; 5 y   y   3         M  M  - Hết  ... x  ? ?15 C x  15 D x  Câu 10 : Cho a  (0 ,1) , b  (? ?1; 2) , c  (3; 2) Tọa độ u  3a  2b  4c : A ? ?10 ; ? ?15  B ? ?15 ;10  C ? ?10 ; 15  D  ? ?10 ; 15  C a  b   2; 3 D b  Câu 11 : Cho... V dụ 1: Trong hệ trục O; i; j , tọa độ vec tơ i  j là:  A  ? ?1; 1  B ? ?1; 0  C  0 ;1? ?? i giải Chọn D Ta có: i  j  ? ?1; 0    0 ;1? ??  ? ?1; 1 D ? ?1; 1 V dụ 2: Cho u   3; 2  , v  ? ?1; ... hoàn toàn xác định biết tọa độ c) Tọa độ điểm Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M tùy ý Tọa độ vectơ OM hệ trục Oxy gọi tọa độ điểm M hệ trục Như vậy, cặp số  x; y  tọa độ điểm M OM   x; y