Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm CỰC TRỊ HÀM SỐ Định nghĩa x �K Giả sử hàm số f xác định tập K Ta nói: x a; b chứa x0 cho a; b �K điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng f x f x0 , x � a; b \ x0 f x0 Khi gọi giá trị cực tiểu hàm số f x a; b chứa x0 cho a; b �K điểm cực đại hàm số f tồn khoảng f x f x0 , x � a; b \ x0 f x0 Khi gọi giá trị cực đại hàm số f Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số điểm cực trị phải điểm tập hợp K Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị (hay cực trị) hàm số x ; f x0 x Nếu điểm cực trị hàm số điểm gọi điểm cực trị đồ thị hàm f số * Nhận xét: f x0 Giá trị cực đại (cực tiểu) nói chung giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f tập D; f x0 giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f khoảng a; b x x x chứa hay nói cách khác điểm cực đại ( cực tiểu) tồn khoảng (a;b) chứa f x0 a; b cho giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f khoảng Hàm số f đạt cực đại cực tiểu nhiều điểm tập K Hàm số khơng có cực trị tập cho trước Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1: y f x y f x x x Giả sử hàm số đạt cực trị điểm Khi đó, có đạo hàm điểm f� x0 Chú ý: f� x điểm x0 hàm số f không đạt cực trị điểm x0 Đạo hàm Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số hàm số khơng có đạo hàm Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2: x x Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm Khi đó, hàm số f có đạo hàm điểm f ' x0 x h; x0 f � x khoảng x0 ; x0 h x0 điểm cực đại Nếu khoảng f x hàm số File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nếu f� x khoảng f x cực tiểu hàm số Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1: x0 h; x0 f� x Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm khoảng x0 ; x0 h x0 điểm f� x Bước 1: Tìm tập xác định Tìm x i 1; 2; Bước 2: Tìm điểm i mà đạo hàm hàm số hàm số liên tục khơng có đạo hàm f� x Nếu f � x đổi dấu qua xi hàm Bước 3: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu x số đạt cực trị i Định lí 3: y f x x h; x0 h với h Khi đó: Giả sử có đạo hàm cấp khoảng � f� x0 0, f � x0 hàm số f đạt cực đại x0 Nếu � f� x0 0, f � x0 hàm số f đạt cực tiểu x0 Nếu Từ định lí trên, ta có quy tắc khác để tìm cực trị hàm số Quy tắc 2: f� x Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f� x i 1; 2; x Bước 2: Tìm nghiệm i phương trình � � f� x tính f � xi Bước 3: Tính � f� xi hàm số f đạt cực đại điểm xi Nếu � f� xi hàm số f đạt cực tiểu điểm xi Nếu MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ Cực trị hàm đa thức bậc ba y ax bx cx d 1.1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hồnh độ cho trước Bài tốn tởng qt: y f x; m ax bx cx d Cho hàm số Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu x1 , x2 thỏa mãn điều kiện K cho trước? Phương pháp: Bước 1: Tập xác định: D � 3ax 2bx c Ax Bx C Đạo hàm: y� Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại cực tiểu) � y� có hai nghiệm phân biệt y� đổi dấu qua nghiệm có hai nghiệm phân biệt � phương trình y� a �0 �A 3a �0 � � �� � �2 � m �D1 2 b 3ac � � y� B AC 4b 12ac File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm Bước 3: x ,x Gọi hai nghiệm phương trình y� B 2b � x1 x2 � � A 3a � �x x C c A 3a Khi đó: � Bước 4: m �D2 Biến đổi điều kiện K dạng tổng S tích P Từ giải tìm Bước 5: m D1 �D2 Kết luận giá trị m thỏa mãn: y ax3 bx cx d a �0 * Chú ý: Hàm số bậc ba: Ta có: y ' 3ax 2bx c Điều kiện Kết luận Hàm số khơng có cực trị b 3ac �0 Hàm số có hai điểm cực trị b 3ac Điều kiện để hàm số có cực trị dấu, trái dấu Hàm số có cực trị trái dấu có hai nghiệm phân biệt trái dấu � phương trình y� � A.C 3ac � ac Hàm số có hai cực trị dấu có hai nghiệm phân biệt dấu � phương trình y� y� � � �� C �P x1.x2 � A Hàm số có hai cực trị dấu dương có hai nghiệm dương phân biệt � phương trình y� � y� � � B � � �S x1 x2 A � C � P x1.x2 � � A Hàm số có hai cực trị dấu âm có hai nghiệm âm phân biệt � phương trình y� � y' � � B � � �S x1 x2 A � C � P x1.x2 � � A Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm x1 x2 x1 x2 x1 x2 x ,x x x2 Hai cực trị thỏa mãn � x1 x2 � x1.x2 x1 x2 Hai cực trị x x2 thỏa mãn � x1 x2 �x1.x2 x1 x2 �� �� �x1 x2 2 �x1 x2 2 x ,x x1 x2 Hai cực trị thỏa mãn x1 x2 �x1.x2 x1 x2 � �� �� �x1 x2 2 �x1 x2 2 Phương trình bậc có nghiệm lập thành cấp số cộng x1 , x2 d b x 3 a 3a , có nghiệm lập thành cấp số nhân có nghiệm có nghiệm 1.2 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm phía, khác phía so với đường thẳng Vị trí tương đối giữa điểm với đường thẳng: A xA ; y A , B xB ; yB Cho điểm đường thẳng : ax by c x axA by A c axB byB c hai điểm A, B nằm Nếu hai phía so với đường thẳng axA by A c axB byB c hai điểm A, B nằm Nếu phía so với đường thẳng Một số trường hợp đặc biệt: Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Oy � hàm số có cực trị dấu có hai nghiệm phân biệt dấu � phương trình y� Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Oy � hàm số có cực trị trái dấu có hai nghiệm trái dấu � phương trình y� Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox có hai nghiệm phân biệt yC n yCT � phương trình y� Đặc biệt: Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox �yC n yCT � có hai nghiệm phân biệt �yC n yCT � phương trình y� Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox �yC n yCT � có hai nghiệm phân biệt �yC n yCT � phương trình y� Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm có hai nghiệm phân biệt yC n yCT � phương trình y� (áp dụng không nhẩm được nghiệm viết được phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số) Hoặc: Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox � đồ thị cắt trục Ox điểm phân biệt � phương trình hồnh độ giao điểm f x có nghiệm phân biệt (áp dụng nhẩm được nghiệm) 1.3 Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị �2c 2b � bc g x � �x d 9a �3 9a � g x y y�� y � y�� y � g x y � � y� 18a hoặc 1.4 Khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc AB Cực trị hàm bậc trùng phương 2.1 Một số kết cần nhớ Hàm số có cực trị ۳ ab Hàm số có ba cực trị � ab 4e 16e3 b 3ac e a 9a với y ax bx c, a �0 a0 � �� b �0 � Hàm số có cực trị cực trị cực tiểu a0 � �� b �0 � Hàm số có cực trị cực trị cực đại a0 � �� b0 � Hàm số có hai cực tiểu cực đại a0 � �� b0 � Hàm số có cực tiểu hai cực đại 2.2 Một số công thức tính nhanh � b � � b � A(0; c), B � ; , C ; � � � � � a 4a � � 2 a a y ax bx c � � � � Giả sử hàm số có cực trị: tạo thành tam giác ABC thỏa mãn kiện: ab � Đặt: BAC b3 cot 8a Tổng quát: Dữ kiện Công thức thỏa mãn ab 0; c �0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tam giác ABC vuông cân A Tam giác ABC S S0 Tam giác ABC có diện tích ABC max( S0 ) Tam giác ABC có diện tích Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp rABC r0 Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp RABC R BC m0 Tam giác ABC có độ dài cạnh AB AC n0 Tam giác ABC có độ dài Tam giác ABC có cực trị B, C �Ox Tam giác ABC có góc nhọn Tam giác ABC có trọng tâm O Tam giác ABC có trực tâm O Tam giác ABC điểm O tạo thành hình thoi Tam giác ABC có O tâm đường tròn nội tiếp Tam giác ABC có O tâm đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABC có cạnh BC kAB kAC Trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích Tam giác ABC có điểm cực trị cách trục hoành C : y ax bx2 c cắt trục Ox Đồ thị hàm số điểm phân biệt lập thành cấp số cộng Định tham số để hình phẳng giới hạn đồ thị C : y ax bx2 c trục hồnh có diện tích phần phần Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC là: �2 � �2 � x y � c �y c � � �b 4a � �b 4a � Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm b3 8a b3 24a 32a ( S0 ) b5 b5 S0 32a r R b2 � b3 � 4a� 1 1 � � 8a � � � b 8a 8ab am02 2b 16a n02 b4 8ab b 4ac b(8a b3 ) b 6ac b3 8a 4ac b 2ac b3 8a 4abc b3 8a 8abc b3 k 8a(k 4) b ac b 8ac b2 100 ac b2 36 ac File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ... b 0 � Hàm số có cực trị cực trị cực đại a 0 � �� b 0 � Hàm số có hai cực tiểu cực đại a 0 � �� b 0 � Hàm số có cực tiểu hai cực đại 2. 2 Một số cơng thức tính nhanh � b � � b � A (0; ... 2. 1 Một số kết cần nhớ Hàm số có cực trị ۳ ab Hàm số có ba cực trị � ab 4e 16e3 b 3ac e a 9a với y ax bx c, a 0 a 0 � �� b 0 � Hàm số có cực trị cực trị cực tiểu a 0. .. x x h; x0 h với h Khi đó: Giả sử có đạo hàm cấp khoảng � f� x0 0, f � x0 hàm số f đạt cực đại x0 Nếu � f� x0 0, f � x0 hàm số f đạt cực tiểu x0 Nếu Từ