ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao HÀM SỐ VÀ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC A – LÝ THUYẾT CHUNG CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG I CÁC HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN 2  sin x   cos x  sin x  cos x    2  cos x   sin x 1   tan x  tan x  1  cos x cos x 1   cot x  cot x    sin x sin x  tan x.cot x   cot x  tan x 4 2  sin x  cos x   2sin x cos x   6 2  sin x  cos x   3sin x cos x 3  sin x  cos x   sin x  cos x 1  sin x cos x    3  sin x  cos x   sin x  cos x 1  sin x cos x  II DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC Góc I Góc II Góc III + + sin x  + cos x   tan x + +  cot x + +  III MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƢỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT  Hai cung đối sin   x    sin x cos   x   cos x  Hai cung bù sin   x   sin x +   cos   x    cos x cot   x    cot x tan   x    tan x  Hai cung phụ   sin   x   cos x 2    tan   x   cot x 2   Hai cung  sin   x    sin x   cos   x   sin x 2    cot   x   tan x 2  cos   x    cos x cot   x   cot x tan   x   tan x   sin   x   cos x 2   cot   x    cot x tan   x    tan x  Hai cung Góc IV    cos   x    sin x 2  Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   tan   x    cot x 2   Với k số ngun ta có: sin  x  k 2   sin x Lượng giác Nâng Cao   cot   x    cot x 2  cos  x  k 2   cos x tan  x  k   tan x cot  x  k   cot x IV CÔNG THỨC CỘNG sin  x  y   sin x cos y  cos x sin y sin  x  y   sin x cos y  cos x sin y cos  x  y   cos x cos y  sin x sin y cos  x  y   cos x cos y  sin x sin y tan  x  y   tan x  tan y  tan x tan y tan  x  y   tan x  tan y  tan x tan y Đặc biệt:  sin x  2sin x cos x  TH1: Cơng thức góc nhân đơi: cos x  cos x  sin x  cos x    2sin x  tan x  tan x   tan x   cos x  cos x ;cos x  Hệ quả: Công thức hạ bậc 2: sin x  2  sin 3x  3sin x  4sin x TH2: Cơng thức góc nhân ba:   cos 3x  cos x  3cos x V CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG x y x y cos x cos y  cos  x  y   cos  x  y   cos x  cos y  cos cos 2 x y x y sin x sin y   cos  x  y   cos  x  y   cos x  cos y  2sin cos 2 x y x y sin x cos y  sin  x  y   sin  x  y   sin x  sin y  2sin cos 2 x y x y cos x sin y  sin  x  y   sin  x  y   sin x  sin y  cos sin 2 Chú ý:      sin x  cos x  sin  x    cos  x   4 4        sin x  cos x  sin  x     cos  x   4 4   u  v  k 2 u  v  2k  sin u  sin v    cos u  cos v   u  v  k 2 u    v  k 2 u  v  k   tan u  tan v    u   k   Đặc biệt: u  v  k  cot u  cot v   u  k Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A sin x   x  k sin x   x   cos x   x   k 2 sin x  1  x     k 2  Lượng giác Nâng Cao  k cos x   x  k 2 cos x  1  x    k 2 Chú ý:  Điều kiện có nghiệm phương trình sin x  m cos x  m là: 1  m   Sử dụng thành thạo câu thần “Cos đối – Sin bù – Phụ chéo” để đưa phương trình dạng sau phương trình bản:     sin u  cos v  sin u  sin   v  cos u  sin v  cos u  cos   v  2 2   sin u   sin v  sin u  sin  v  cos u   cos v  cos u  cos   v  cos x  cos x  1  Đối với phương trình  khơng nên giải trực tiếp phải giải  sin x  1 sin x  phương trình thành phần, việc kết hợp nghiệm khó khăn Ta nên dựa vào công cos x  sin x  thức sin x  cos2 x  để biến đổi sau:    sin x  cos x  sin x  1  cos x     cos x    cos x   Tương tự phương trình   sin x  1  2sin x   HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC Hàm số sin Hàm số y  sin x xác định nhận giá trị  1;1 và:  Là hàm số lẻ sin   x    sin x , x   Là hàm số tuần hồn với chu kì 2 Hàm số y  sin x nhận giá trị đặc biệt  sin x  x  k , k    sin x  x   k 2 , k    sin x  1 x    k 2 , k  Đồ thị hàm số y  sin x : Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số côsin Hàm số y  cos x xác định  Lượng giác Nâng Cao , nhận giá trị  1;1 và: Là hàm số chẵn cos   x   cos x , x   Là hàm số tuần hồn với chu kì 2 Hàm số y  cos x nhận giá trị đặc biệt:   cos x  x   k , k   cos x  x  k 2 , k   cos x  1 x    k 2 , k  Đồ thị hàm số y  cos x : Hàm số tang sin x Hàm số y  tan x  xác định cos x   /   k , k   , nhận giá trị 2     Là hàm số lẻ tan   x    tan x , x  /   k , k   2   Là hàm số tuần hồn với chu kì  Hàm số y  tan x nhận giá trị đặc biệt  tan x  x  k , k    tan x  x   k , k    tan x  1 x    k , k  Đồ thị hàm số y  tan x : Hàm số cô tang cos x Hàm số y  cot x  xác định \ k , k   , nhận giá trị sin x  Là hàm số lẻ vì: cot   x    cot x , x  \ k , k   và: và: Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao  Là hàm số tuần hồn với chu kì  Hàm số y  cot x nhận giá trị đặc biệt   cot x  x   k , k    cot x  x   k , k    cot x  1 x    k , k  Đồ thị hàm số y  cot x : MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX Phƣơng trình sin x  a 1  a  : Phương trình vơ nghiệm  a  : Gọi  cung cho sin   a Khi 1  sin x  sin  1 có nghiệm x    k 2 , k  Chú ý:  x      k 2 , k   sin   a ta viết   arcsin a 2  Phương trình sin x  sin  có nghiệm:  Khi    x    k 360 , k  x  180    360 , k   Trong công thức nghiệm phương trình lượng giác, hơng dùng đồng thời hai đơn vị độ radian Phƣơng trình cos x  a 1  a  : Phương trình   vô nghiệm  a  : Gọi  cung cho cos  a Khi    cos x  cos    có nghiệm : x    k 2 , k  Chú ý:  Khi     cos  a ta viết   arccosa  Phương trình cos x  cos  có nghiệm x    k 360 , k  Phƣơng trình tan x  a    Phương trình   xác định x   a  x    k , k    k , k  , tồn cung  cho tan   a Khi  3  tan x  tan    có nghiệm Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chú ý:  Lượng giác Nâng Cao  tan   a ta viết   arctan a 2  Phương trình tan x  tan  có nghiệm x    k180 , k   Khi    Phƣơng trình cot x      Phương trình   xác định x  k , k   a  , tồn cung  cho cot   a Khi    cot x  cot    có nghiệm x    k k  Chú ý:  Khi     cot   a ta viết   arc cot a  Phương trình cot x  cot  có nghiệm x    k180 , k  DẠNG PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX  Dạng phƣơng trình: a sin x  b cos x  c  Cách giải: Chia hai vế phương trình cho a  b a b c  sin x  cos x  2 2 a b a b a  b2 a b c  cos  , x?  sin  Khi PT  sin  x     C1: Đặt 2 2 a b a b a  b2 a b c  sin  ,  cos  Khi PT  cos  x     x? C2: Đặt a  b2 a  b2 a  b2  Điều kiện có nghiệm phương trình: a2  b2  c2  Chú ý: Khi phương trình có a  c b  c dùng cơng thức góc nhân đơi sử dụng phép nhóm nhân tử chung DẠNG PHƢƠNG TRÌNH THUẦN BẬC HAI VỚI SINX VÀ COSX  Dạng phƣơng trình: a sin x  b sin x cos x  c.cos2 x  d   Cách giải: Cách 1: + Xét cos x  có nghiệm phương trình khơng? + Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được: a tan x  b tan x  c  d 1  tan x    tan x  x Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa phương trình bậc với sin 2x cos 2x (dạng 1) DẠNG PHƢƠNG TRÌNH BẬC BA VỚI SINX VÀ COSX  Dạng phƣơng trình: a sin3 x  b cos3 x  c sin x cos x  d cos2 x sin x  e sin x  f cos x   Cách giải: + Xét cos x  có nghiệm phương trình khơng?   tan x + Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos3 x với ý: cos x DẠNG PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX  Dạng phƣơng trình: f  sin x  cos x,sin x cos x    Cách giải: + Đặt t  sin x  cos x  sin x cos x  t 1 Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao 1 t2 + Đặt t  sin x  cos x  sin x cos x  Đưa phương trình ẩn t   Chú ý: Nếu t  sin x  cos x  sin  x     t  4  DẠNG PHƢƠNG TRÌNH DẠNG THUẬN NGHỊCH  Dạng phƣơng trình:   k2  k  A  f  x     B  f  x     C  , với f  x   sin x, cos x (1) f  x  f  x     A  a tan x  b cot x   B  a tan x  b cot x   C  (2)  Cách giải:  Đối với phương trình (1): Đặt t  f  x   k f  x  Đối với phương trình (2): Đặt t  a tan x  b cot x Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao B – BÀI TẬP HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC Câu 1: A m  1; M  Câu 2: B m  1; M  Hàm số y  tan x  cot x  1  không xác định khoảng khoảng sin x cos x sau đây?    A  k 2 ;  k 2       C   k 2 ;   k 2  2  Câu 3: Câu 4: Câu 5: Câu 6: Câu 7: Câu 8: sin x  cos x là: 2sin x  cos x  C m   ; M  D m  1; M  2 Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y  3   B    k 2 ;  k 2    D   k 2 ; 2  k 2    Tìm tập xác định D hàm số y   cot x  sin x  cot   x  2   k  k   A D  \  , k   B D  \  ,k       C D  D D  \ k , k   Trong hàm số sau, hàm số có đồ thị đối xứng qua trục tung?     A y  B y  sin  x   C y  cos  x   D y  sin x sin x 4 4   Số có ánh sáng thành phố A ngày thứ t năm 2017 cho  hàm số y  4sin  t  60   10 , với t  Z  t  365 Vào ngày năm 178 thành phố A có nhiều ánh sáng mặt trời nhất? A 28 tháng B 29 tháng C 30 tháng D 31 tháng Hằng ngày mực nước kênh lên xuống theo thủy triều Độ sâu h (mét) mực nước kênh tính thời điểm t (giờ) ngày công thức   t h  3cos     12 Mực nước kênh cao khi: 7 8  A t  13 (giờ) B t  14 (giờ) C t  15 (giờ) D t  16 (giờ)  tan x Hàm số y  4cot 2 x  đạt giá trị nhỏ tan x A B  C  2 D 1   Hàm số y  cos x  sin  x   đạt giá trị lớn 4    A  2 B  2 C  2 4 Câu 9: Giá trị nhỏ hàm số y  sin x  cos x  sin x cos x A B C Câu 10: Giá trị nhỏ hàm số y  sin x cos x  cos x sin x A B C D D D 52 Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 11: Hàm số y  A Lượng giác Nâng Cao 2sin x  cos x có tất giá trị nguyên? sin x  cos x  B C D Câu 12: Cho hàm số h  x   sin x  cos x  2m sin x.cos x Tất giá trị tham số m để hàm số xác định với số thực x (trên toàn trục số) 1 1 A   m  B  m  C   m  D m  2 2 3x Câu 13: Tìm m để hàm số y  xác định 2sin x  m sin x  4   D m  2  2 B m  2 2; 2 A m  [  2; 2]    C m  ; 2  2;  2; 1  2sin x Câu 14: Tìm giá trị lớn hàm số y   cos x  2 11 22 A  B C D  2 1    Câu 15: Cho hàm số y  với x   0;  Kết luận sau đúng?  cos x  cos x  2   A y  x   k , k  T B y  x  3 3     0; 0;      2 C y     0;   2  x   k 2 , k  3 Câu 16: Cho x, y, z  x  y  z   2 D y     0;   2  x  3  Tìm giá trị lớn y   tan x.tan y   tan y.tan z   tan z.tan x A ymax   2 B ymax  3 D ymax  C ymax  PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC   Câu 17: Hỏi đoạn  2017; 2017  , phương trình  sin x  1 sin x   có tất nghiệm? A 4034 B 4035 C 641 D 642   Câu 18: Tổng nghiệm âm lớn nghiệm dương nhỏ phương trình sin  3x    4  bằng: A  B   C  D  6 Câu 19: Tổng hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ phương trình sin x  cos x   là: 16 5  7  , B C D 6 2 Câu 20: Tính tổng T nghiệm phương trình cos x  sin x   sin x khoảng  0; 2  A Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao   k ; k  Phương trình  sin x.cos x  sin x  2sin x.cos x.cos x  sin x   4sin x.cos2 x.cos x  sin x    cos x.cos x  1 sin x  Điều kiện: cos x   x   sin x   sin x  1    cos x  2  2cos x  2cos x    cos x  1  VN     x  k  k   x   arccos 1   k   2 1  3  mn    2 Câu 89: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình cos x   2m  1 cos x  m     3  có nghiệm khoảng  ;  2  A 1  m  B 1  m  C 1  m  D 1  m  Hƣớng dẫn giải  cos x   Phương trình  cos x   2m  1 cos x  m    cos x  m O   3  khơng có nghiệm khoảng  ;  (Hình vẽ) Do 2    3  u cầu tốn  cos x  m có nghiệm thuộc khoảng  ;   1  m  2  Chọn B Câu 90: Biết m  m0 phương trình 2sin x   5m  1 sin x  2m  2m  có Nhận thấy phương trình cos x     nghiệm phân biệt thuộc khoảng   ;3  Mệnh đề sau đúng?   Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 62 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A B m  A m  3 Đặt t  sin x  1  t  1 3  C m0   ;   10  Hƣớng dẫn giải Lượng giác Nâng Cao  2 D m0    ;    5 Phương trình trở thành 2t   5m  1  2m  2m   *  O O Hình Hình Yêu cầu tốn tương đương với:  TH1: Phương trình  *  có nghiệm t1  1 (có nghiệm x ) nghiệm  t2  (có bốn nghiệm x ) (Hình 1) c  t2     m  m  Do t1  1  a  m  3   t2  6   0;1 loaïi    Thay t1  1 vào phương trình  *  , ta  m     t2    0;1 thoû a   TH2: Phương trình  *  có nghiệm t1  (có hai nghiệm x ) nghiệm 1  t2  (có ba nghiệm x ) (Hình 2) c  t2   m  m  Do t1   a  m    t2    1;0   loaïi   Thay t1  vào phương trình  *  , ta   m    t2    1;0  loaïi   1  2 Vậy m   thỏa mãn yêu cầu toán Do m      ;   2  5 Chọn D Chú ý: Ta sử dụng cách tìm nghiệm t theo m cho t thỏa mãn ycbt Câu 91: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình   cos x    2m  cos x  m   có nghiệm thuộc khoảng   ;   3 A 1  m  B  m  C  m  D  m  Hƣớng dẫn giải Đặt t  cos x  1  t  1 Phương trình trở thành 2t    2m  t  m    t1   Ta có    2m  5 Suy phương trình có hai nghiệm  t  m  2 Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 63 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao O    cho ta hai nghiệm x thuộc khoảng   ;  Do  3 yêu cầu toán 1  t2   1  m     m  Chọn B Cách Yêu cầu toán tương đươn với phương trình 2t    2m  t  m   có hai Ta thấy ứng với nghiệm t1  P   nghiệm t1 , t2 thỏa mãn 1  t2   t1   a f 1   a f  1  Chú ý: Ta sử dụng cách tìm nghiệm t theo m cho t thỏa mãn ycbt Câu 92: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình sin x cos x  sin x  cos x  m  có nghiệm? A B C D Hƣớng dẫn giải t 1  sin x cos x  Đặt t  sin x  cos x   t   t 1  t  m   2m  t  2t    t  1  2m  Phương trình trở thành 2     t        t  1   2 Do   t     Vậy để phương trình có nghiệm   2m    2   m   m  1;0;1 1 2  m 1 Chọn C   Câu 93: Có giá trị nguyên m để phương trình: sin x  sin  x    m  có 4  nghiệm A B C D Hƣớng dẫn giải Chọn B   sin x  sin  x    m   sin x  sin x  cosx  m  4    Đặt t  sin x  cosx  sin  x    t    2;  , x  4  t   2sin xcosx  sin x   t Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 64 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao Ta tìm m để phương trình  t  t  m  có nghiệm t    2;    t  t  m có nghiệm t    2;    Xét f  t    t  t   2;  Suy 1   f  t   , t    2;  Vậy phương trình cho có nghiệm  m  f  t  có nghiệm   2;  5   m   1  2;  mà m   m  2; 1;0;1 4  Vậy có giá trị m thỏa mãn Câu 94: Phương trình cos3 x  sin3 x  cos2 x có tổng nghiệm âm lớn nghiệm dương nhỏ là: 5 7   A B C D  4 Hƣớng dẫn giải Chọn A cos3 x  sin x  cos x   cos x  sin x  cos x  cos x sin x  sin x  cos x  sin x     cos x  sin x 1  cos x sin x    cos x  sin x  cos x  sin x  (1) cos x  sin x   1  cos x sin x  cos x  sin x      Giải 1  sin  x     x    k  k  4  Giải   :1  cos x sin x  sin x  cos x     Đặt t  sin x  cosx  sin  x    t    2;  , x  4  t   2sin xcosx  sin x   t 1 t2  t   t  2t    t  1  2    x  k 2    sin  x    1   k    x  3  k 2 4   Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 65 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   x    k 2   Vậy nghiệm phương trình  x  k 2 k   3  k 2 x   Biểu diễn nghiệm vòng tròn lượng giác ta suy nghiệm lớn x1   Vậy x1  x2    Lượng giác Nâng Cao  nghiệm bé x2  3 Câu 95: Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  10;10  để phương trình 11sin x   m   sin x  3cos x  có nghiệm? A 16 B 21 C 15 Hƣớng dẫn giải Phương trình  9sin x   m   sin x  cos x  D  cos x  cos x   m   sin x     m   sin x  4cos x  5 2 m  2 Phương trình có nghiệm   m    16  25   m       m  1 m   m  10; 9; ; 1;5;6; ;10   có 16 giá trị nguyên m 10;10  Chọn A Câu 96: Có giá trị nguyên tham số m thuộc để phương trình sin x   m  1 sin x cos x   m  1 cos x  m có nghiệm? A B C D Vô số Hƣớng dẫn giải Phương trình  1  m  sin x   m  1 sin x cos x   2m  1 cos x   cos x  cos x   m  1 sin x   2m  1 0 2   m  1 sin x  m cos x   3m  1  m  Phương trình có nghiệm  m  1  m2    3m   4m2  4m    m  2 m   m  0;1   có giá trị nguyên Chọn A 2 Câu 97: Tìm điều kiện để phương trình a sin x  a sin x cos x  b cos x  với a  có nghiệm 4b 4b  A a  4b B a  4b C D 1 a a Hƣớng dẫn giải Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 66 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao Phương trình a tan x  a tan x  b  Phương trình có nghiệm    a  4ab   a  a  4b    a  4b  a    4b  a 4b 0  a a Chọn C Câu 98: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình 2sin x  m sin x  2m vô nghiệm 4 4 A  m  B m  , m  C  m  D m   , m  3 3 Hƣớng dẫn giải  cos x  m sin x  2m  m sin x  cos x  2m  Phương trình  2 m  2 Phương trình vơ nghiệm  m    2m  1  3m  4m    m   Chọn B Câu 99: Có tất giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  3;3 để phương trình m   cos x  2m sin x   có nghiệm A B C Hƣớng dẫn giải D  cos x  2m sin x    4m sin x   m   cos x  m  Phương trình   m2   Phương trình có nghiệm  16m2   m2     m2    12m2  12  m2   m  2 m   m  3; 2; 1;1; 2;3   có giá trị nguyên m 3;3 Chọn C Câu 100: Để phương trình sin6 x  cos6 x  a | sin x | có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là: 1 1 A  a  B  a  C a  D a  8 4 Hƣớng dẫn giải Chọn D sin x  cos6 x  a | sin x |  sin x  cos x   3sin x cos x  sin x  cos x   a | sin x | 3   sin 2 x  a | sin x |  3sin 2 x  4a | sin x | 4  Đặt sin x  t  t   0;1 Khi ta có phương trình 3t  4t   1 Phương trình cho có nghiệm phương trình 1 có nghiệm   4a  12   t   0;1   f    1   a    f 1  4a   Câu 101: Cho phương trình: sin x cos x  sin x  cos x  m  , m tham số thực Để phương trình có nghiệm, giá trị thích hợp m là: Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 67 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A 2  m    B    m  C  m  Lượng giác Nâng Cao  2 D    m  Hƣớng dẫn giải Chọn D t 1 Đặt sin x  cos x  t t   sin x cos x  Khi ta có phương trình t 1  t  m   t  2t  2m   * Phương trình cho có nghiệm phương trình  *  có nghiệm       m     s   m  1     t    2;         m  1  f    2  2m  m       f   2  2m   Câu 102: Cho phương trình:  sin x  cos x    sin x  cos x   4sin x  m m tham     số Để phương trình vơ nghiệm, giá trị thích hợp m là: 3 A m  4 hay m  B   m  1 C 2  m   2 m  2 hay m  Hƣớng dẫn giải Chọn A Ta có: sin x  cos x   sin x  cos x   2sin x cos x   sin 2 x D 3 sin x  cos6 x   sin x  cos x   3sin x cos x  sin x  cos x    sin 2 x Phương trình cho trở thành     1  sin 2 x   1  sin 2 x   16sin 2 x cos 2 x  m     2  4sin x  16sin x 1  sin x    m  16sin x 12sin 2 x   m  Đặt sin 2 x  t  t   0;1 Khi phương trình trở thành 16t  12t  m   *  * vô nghiệm khi: 25  25   100  16m    m  4  TH2:    f   f 1  m  m    m  Vậy giá trị cần tìm m  4 hay m  Khơng có đáp án TH1:   100  16m   m   Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 68 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao sin x  cos6 x Câu 103: Cho phương trình:  2m.tan x , m tham số Để phương trình có cos x  sin x nghiệm, giá trị thích hợp m là: 1 1 1 A m   hay m  B m   hay m  C m   hay m  D m  1 hay m  8 8 Hƣớng dẫn giải Chọn B ĐK: cos x   sin x  cos2 x   3sin x cos x sin x  cos x   2m tan x sin x  cos x  m tan x  cos x  sin x cos x  sin x   2m tan x   sin 2 x  2m sin x  3sin 2 x  8m sin x   cos x Đặt sin x  t  t   1;1  Khi phương trình trở thành: 3t  8mt   * Phương trình cho có nghiệm phương trình  *  có nghiệm t   1;1  m  t   1;1  f 1 f  1    8m  1 8m  1    TH1:  *  có nghiệm m       16m  12  m     f 1  8m     TH2:  *  có nghiệm t   1;1   f  1  8m    m   VN    1  s   4m    m    4 tan x  m Để phương trình vơ nghiệm, giá trị tham số m Câu 104: Cho phương trình cos x   tan x phải thỏa mãn điều kiện: A   m  B  m  C  m  D 2 m   hay m  2 Hƣớng dẫn giải Chọn D ĐK: cos x  tan x tan x cos x   m  cos x   m  cos x  4sin x cos x  m 2  tan x 2 cos x 1  1  2sin 2 x   2sin x  m  sin 2 x  2sin x  m   2 Đặt sin x  t  t   1;1 Khi phương trình trở thành: t  2t  m   (*) Phương trình (*) vô nghiệm: Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 69 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A TH1:   Lượng giác Nâng Cao 3 m0 m 2  m        TH2:     m    m    3  2  f  1 f 1   m   m            m       Câu 105: Để phương trình: 4sin  x   cos  x    a  sin x  cos x có nghiệm, tham số a 3 6   phải thỏa điều kiện: 1 A 1  a  B 2  a  C   a  D 3  a  2 Hƣớng dẫn giải Chọn B       Phương trình tương đương sin  x    sin   a  2sin  x   6 2 6           sin  x    1  a  2sin  x   6  6           sin  x    sin  x     a  6       4.cos x.sin  a  a 2  cos x  a2    2  a  Để phương trìnhcó nghiệm 1  a2 sin x  a   Câu 106: Để phương trình có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:  tan x cos x A | a | B | a | C | a | D a  1, a   Hƣớng dẫn giải Chọn D Điều kiện phương trình cos x  0,cos 2x  0, tan x  sin x a  sin x a    a2 a2 cos x cos x  cos x cos x   Phương trình tương đương sin x sin x  tan x  tan x 1  cos x cos x  a2  tan x  (a2  2)(1  tan x)  (a2 1) tan x   Nếu a2 1  | a |  (1) vô nghiệm 2 1 a   Nếu a  1: (1)  tan x  Phương trình có nghiệm a 1 a 1 Vậy phương trình cho có nghiệm a  1, a   Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 70 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao Câu 107: Tìm m để phương trình  cos x  1 cos x  m cos x   m sin x có nghiệm x  0;  2   A 1  m  B  m  1 C 1  m   2 Hƣớng dẫn giải D   m  Chọn C Ta có  cos x  1 cos x  m cos x   m sin x   cos x  1 cos x  m cos x   m 1  cos x 1  cos x  cos x  1 cos x  1   cos x  m cos x  m  m cos x cos x  m 2 Với cos x  1  x    k 2 : khơng có nghiệm x  0;    m 1 Với cos x  m  cos2 x   2    Trên  0;  , phương trình cos x  a có nghiệm với a    ;1      m  1  m  1 m  1 m 1  1      m 1   Do đó, YCBT     1  m   2  2  m   2   1 m 1 1   2   Câu 108: Tìm m để phương trình cos2 x   2m  1 cosx  m   có nghiệm x    ;   2  A 1  m  B  m  C  m  D 1  m  Hƣớng dẫn giải Chọn B  cosx   cos2 x   2m  1 cosx  m   1  2cos x   2m  1 cosx  m     cos x  m   Vì x    ;  nên  cosx  Do cosx   (loại)  2    Vậy để phương trình (1) có nghiệm x    ;   2   cosx    m     Câu 109: Tìm m để phương trình 2sin x  m cos x   m có nghiệm x    ;   2 A 3  m  B 2  m  C  m  D 1  m  Hƣớng dẫn giải Chọn D x    Đặt t  tan , để x    ;  t   1;1  2 Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 71 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao 2t 1 t2 pt  m   m  4t  m  mt   m  1  m  t  t  4t   2m 2 1 t 1 t Vậy để yêu cầu tốn xảy f  t   t  4t   1;1 Ta có f '  t   2t  4; f '  t    t  Vậy để u cầu tốn xảy 2  2m   1  m  Câu 110: Có số nguyên m để phương trình m  sin  m  sin 3x   sin  3sin x   4sin x có nghiệm thực? A B C D Hƣớng dẫn giải Ta có m  sin x  sin  m  sin 3x   sin  3sin x   4sin x  sin x   m  sin 3x   sin  m  sin 3x   3sin x   sin 3sin x   m  sin 3x  3sin x  m  4sin x Chọn A Câu 111: Cho phương trình:  cos x  1 cos x  m cos x   m sin x Phương trình có hai nghiệm  2  thuộc đoạn  0;  khi:   A m  1 B m  1 C 1  m  1 D 1  m   Hƣớng dẫn giải Ta có  cos x  1 cos x  m cos x   m sin x  cos x  1 1   cos x  1 cos x  m cos x   m  cos x  1 cos x  1    cos x  m    2   2  Vì x  0;     cos x  nên 1 khơng có nghiệm  0;  Xét      2  f  x   cos x, x  0;   x0 Ta có f   x   2sin x, f   x    sin x    Bảng biến thiên: x     2 x f  x   f  x 1  Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 72 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao Yêu cầu toán trở thành tìm giá trị thực tham số m để   có hai nghiệm  2  thực phân biệt  0;  Từ bảng biến thiên ta thấy   có hai nghiệm thực phân biệt    2   0;  1  m   Từ ta chọn đáp án D   3sin x  cos x  m  với Câu 112: Tìm tất giá trị m để bất phương trình sin x  cos x  x 9 65  65  A m  B m  C m  D m  4 Hƣớng dẫn giải 3sin x  cos x 3sin x  cos x  Ta có: y  sin x  4cos x  sin x  2cos x  3sin x  cos x  Và sin x  2cos x   0; x  xét phương trình y  sin x  2cos x   sin x  cos x  3 y  3sin x  cos x   y  3 sin x   y  1 cos x  3 y Phương trình có nghiệm nên  y  3   y  1   3 y   y  10 y  10  y 2  4 y  10 y  10   2 5  65 5  65 Suy giá trị lớn y  y 4 5  65 Chọn D Câu 113: Số giá trị nguyên m để phương trình  cos x  1 cos x  m cos x   m sin x có  2  nghiệm x  0;  là:   A B C Hƣớng dẫn giải Ta có:  cos x  1 cos x  m cos x   m sin x D   cos x  1 4.cos x  m cos x   m 1  cos x    cos x  1 4.cos x  m cos x   m 1  cos x 1  cos x    cos x  1  4.cos x  m cos x  m 1  cos x     x    k 2 cos x     cos x  1 4.cos x  m      cos x  m cos x  m    Chọn C Câu 114: Gọi a, b số nguyên thỏa mãn 1  tan10 1  tan 20  1  tan 430   2a 1  tan b0  đồng thời a, b   0;90 Tính P  a  b ? A 22 B 46 C 27 Hƣớng dẫn giải  sin  x  450   sin x  Vì  tan x    2   cos x cos x   D 44 Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 73 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Do P   2 43 sin 460 sin 470 sin 880  cos10 cos 20 cos 430  2 43 Lượng giác Nâng Cao sin 460  221 1  tan10  cos1 Chọn A Câu 115: Tìm m để phương trình  m  1 cos x   m  1 sin x  2m  có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2   A m   B m   C m   D Không tồn m Hƣớng dẫn giải 6  22 6  22 2 Phương trình có nghiệm  m  1   m  1   2m  3  m * 2 m 1 m 1 2m  PT  cos x  sin x  2 2m  2m  2m   x      k1 2 m 1 2m   cos  x     cos    với cos   ; cos   2m  2m   x      k2 2 Nếu x1; x2 thuộc họ nghiệm  x1  x2  k 2 (loại) Nếu x1; x2 thuộc hai họ nghiệm  x1      k1 2 ; x2      k2 2 Do x1  x2    2   k1  k2  2   cos 2   k1  k2  2  cos    cos 2   m 1  1  m  1  cos       1    2 2m   2m    m2  4m    m   (không thỏa mãn  *  ) 2 Vậy không tồn m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn D Câu 116: Các giá trị m   a; b  để phương trình cos x  sin x  3cos x  m  có nghiệm thì: A a  b  B a  b  12 C a.b  8 Hƣớng dẫn giải D a.b  Chọn C cos x  sin x  3cos x  m  5(*)  cos x    cos x  3cos x  m    cos x  3cos x  m  Đặt cos x  t   1;1 , phương trình  t  3t  m  Bảng biến thiên: => Phương trình (*) có nghiệm  2  m    7  m  1 Vậy a + b = -8 Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 74 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 117: Cho phương trình m sin x   m  1 cos x  Lượng giác Nâng Cao m Số giá trị nguyên dương m nhỏ cos x 10 để phương trình có nghiệm là: A B C 10 Hƣớng dẫn giải Chọn B m m sin x   m  1 cos x  (*) cos x Điều kiện: cos x  *  m sin x cos x   m  1 cos x  m D m m 1 sin x  1  cos x   m 2  m sin x   m  1 cos x  m  1(1)  + Từ m = *  cos x  loại điều kiện  m  phương trình (*) vơ nghiệm + Với m  => (*) có nghiệm (1)  m   m  1   m  1  m  4  m  4m    m  Vậy có giá trị m thỏa mãn    Câu 118: Phương trình cos x   2m  1 sin x  m   có nghiệm   ;   tất giá   trị thỏa mãn: A m B m C m   1;1 D m   1;1 Hƣớng dẫn giải Chọn B cos x   2m  1 s in  m     2sin x  2m sin x  sin x  m    2sin x  m  s inx    m  s inx    s inx  (1)    s inx-m  2sin x  1    s inx  m (2)     Giải (1): s inx  ln có nghiệm    ;      m phương trình có nghiệm Câu 119: Có giá trị nguyên m nhỏ 2018 để phương trình  3tan x  tan x  cot x  m có nghiệm? sin x A 2000 B 2001 C 2010 Hƣớng dẫn giải Chọn D D 2011 Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 75 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao  tan x  tanx  cot x  m sin x  1  cot x   tan x  tan x  cot x   m  Đặt   tan x  cot x   tan x  cot x   m  t  tan x  cot x  t   tan2 x  cot x t   => Yêu cầu tốn trở thành tìm m để phương trình  t    t   m  có t    nghiệm t   ; 2   2;    m  3t  t  có nghiệm t   ; 2   2;   Bảng biến thiên: => Phương trình có nghiệm  m  Vậy có 2011 giá trị m nhỏ 2018 sin x  2sin x cos x  + Với cos x    1  m   m   m  cos x  2cos x   1 Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 76 ... Tương tự phương trình   sin x  1  2sin x   HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC Hàm số sin Hàm số y  sin x xác định nhận giá trị  1;1 và:  Là hàm số lẻ sin   x    sin x , x   Là hàm số tuần... Nho Quan A Hàm số côsin Hàm số y  cos x xác định  Lượng giác Nâng Cao , nhận giá trị  1;1 và: Là hàm số chẵn cos   x   cos x , x   Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 Hàm số y  cos... dương nhỏ x   18 Chọn B Cách trắc nghiệm Thử nghiệm đáp án vào phương trình so sánh nghiệm thỏa mãn phương trình đồng thời nhỏ ta chọn   Câu 22: Số nghiệm phương trình sin 5x  cos5x  2sin