PHẦN I - KHẢO SÁT VÀ CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN A/ LÝ THUYẾT Câu 1. Hãy nêu mối liên hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm cấp 1 của hàm số? Quy tắc xét tính đơn diệu của hàm số? Câu 2. Hãy phân biệt các khái niệm: Điểm cực đại, giá trị cực đại, cực trị của hàm số và điểm cực trị của đồ thị hàm số? Câu 3. Nêu cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số liên tục trên một đoạn, một khoảng, nửa khoảng? Câu 4. Nêu định nghĩa và cách tìm các loại tiệm cận của đồ thị một hàm số? Câu 5. Hãy viết sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị của một hàm số? B/ BÀI TẬP Bài 1. 1) Xét sự đồng biến của các hàm số sau: a) 4 2 2 3y x x= − + − b) 3 2 2 3 12 1y x x x= − − + c) 3 1 1 x y x + = − d) 2 1 1 x x y x − + = − e) 2 6 10y x x= − + f) 2 1 5y x x= − − − 2) Tìm m để hàm số: a) 3 2 2 3 2( 5) 1y x mx m x= − + + − đồng biến trên R b) 3 2 2 2 1 ( ) 2 3 2 x m y x m m x + = + + + − đồng biến trên khoảng ( ) 1;+∞ c) 2sin 2 (2 3)y x m x= − + nghịch biến trên R 3) Chứng minh rằng: a) tan , 0; 2 x x x π   > ∀ ∈  ÷   b) 3 sin , 0 6 x x x x− < ∀ > Bài 2. 1) Tìm cực trị của các hàm số sau: a) 4 2 4 2y x x= − + − b) 3 2 2 3 36 10y x x x= + − − c) 3 2 (1 )y x x= − d) 2 2 6 1 1 x x y x + + = + e) 2 6 10y x x= − + f) ( ) sin cos , ;y x x x π π = + ∈ − 2) Cho hàm số: 2 2 1 x x y x + = − a) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. 3) Chứng minh rằng với mọi m các hàm số sau luôn có hai cực trị phân biệt: a) 3 2 2 3 2y x mx x= − − + b) 2 2 ( 2) 2x m m y x m + + + + = + 4) Tìm m đề hàm số: 3 2 2 ( 1) 1 3 x y mx m m x= − + − + + đạt cực đại tại điểm x=1. Bài 3. 1) Tìm GTLN và GTNN của các hàm số: a) 3 3 2y x x= − + − trên [ ] 3;0− b) 3 2 1 x y x + = + trên [ ] 0;2 c) 4 1 2 y x x = − + + trên ( ) 1;− +∞ d) 2 2y x x= + − e) 2 cos2 4sin , 0; 2 y x x x π   = + ∈     f) sin 2 , ; 2 2 y x x x π π   = − ∈ −     g) [ ] 3 2 1 3 , 2;4 4 y x x x= − ∈ − h) 4 2 sin 4sin 5y x x= − + 2) Tính cạnh của hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 48m 2 . 3) Tính độ dài bán kính đáy và chiều cao của một hình trụ có thể tích V cho trước và có diện tích toàn phần nhỏ nhất. Bài 4. Tìm tiện cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau: a) 3 1 1 x y x + = − b) 2 2 1 x y x − = − c) 2 2 3 2 4 x x y x − + = − d) 3 3 4 ( 1) x y x − = − e) 3 1y x = − f) 1 1 x y x − = + Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1) 3 2 3 2y x x= − + 2) 3 3 2y x x= − + + 3) 3 6y x x= + 4) 3 2 3 3 1y x x x= − + − + 5) 4 2 2 3y x x= − + − 6) 4 2 2 3y x x= − − 7) 4 2 y x x= + 8) 3 1 1 x y x + = − 9) 1 1 x y x − = + Phần II. Khảo sát và các bài toán có liên quan trong các đề thi Đại học – Cao đẳng từ năm 2002 đến nay Hàm đa thức: D2004. Cho hàm số: 3 2 3 9 1 (1)y x mx x= − + + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi 2m = 2) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng 1y x= + D2005. Gọi (C m ) là đồ thị của hàm số 3 2 1 1 3 2 3 m y x x= − + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi 2m = 2) Gọi ( ) m M C∈ có hoành độ bằng -1. Tìm M để tiếp tuyến của (C m ) tại M song song với đường thẳng d: 5 0x y− = D2006. Cho hàm số: 3 2 3 2 ( )y x x C= − + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;2) và có hệ số góc m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt D2008. Cho hàm số: 3 2 3 4 ( )y x x C= − + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k, k>-3 đều cắt đồ thị của hàm số tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn AB. B2002. Cho hàm số 4 2 2 ( 9) 10 (1)y mx m x= + − + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với 1m = 2) Tìm m để đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị B2003. Cho hàm số 3 2 3 (1)y x x m= − + 1) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc toạ độ 2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m =2 B2004. Cho hàm số 3 2 1 2 3 ( ) 3 y x x x C= − + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. B2007. Cho hàm số 3 2 2 2 3 3( 1) 3 1 (1)y x x m x m= − + + − − − 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với 1m = 2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ. B2008. Cho hàm số 3 2 4 6 1 (1)y x x= − + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua M(-1;-9) A2002. Cho hàm số: 3 2 2 3 2 3 3(1 ) (1)y x mx m x m m= − + + − + − 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với 1m = 2) Tìm k để phương trình 3 2 3 2 3 3 0x x k k− + + − = có 3 nghiệm phân biệt 3) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số (1) A2006. Cho hàm số: 3 2 2 9 12 4y x x x= − + − 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Tìm m để phương trình: 3 2 2 9 12 4x x x m− + − = có 6 nghiệm phân biệt Hàm phân thức hữu tỷ D2002. Cho hàm số: 2 (2 1) (1) 1 m x m y x − − = − 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với 1m = − 2) Tính điện tích hình phẳng giưói hạn bởi (C) và hai trục toạ độ. D2007. Cho hàm số 2 ( ) 1 x y C x = + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Tìm điểm ( )M C∈ , biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B mà diện tích OAB ∆ bằng 1 4 Cao đẳng 2008: 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số: 1 x y x = − 2) Tìm m để đường thẳng y x m= − + cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A2009. Cho hàm số: 2 ( ) 2 3 x y C x + = + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt ox, oy lần lượt tại A, B và tam giác OAB cân tại O B2003. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 4y x x= + − D2003. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 1 1 x y x + = + trên đoạn [ ] 1;2− Bài tập tự luyện Bài 1. Cho hàm số 3 2 ( 1) ( 1) 2 3 (1) 3 m y x m x m x m= − − + + + − 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với 1m = − 2) Xác định m để hàm số (1) đồng biến trên R 3) Xác định m để hàm số (1) có cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) 4) Xác định m để hàm số (1) đạt cực đại tại x =2. Bài 2. Cho hàm số: 3 2 3 3 3 2 ( ) m y x x mx m C= − + − + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = 0. 2) Biện luận theo m số nghiệm của các phương trình sau: a) 2 3 3x x m− = b) 2 2 3x x m− = c) 3 2 3 2x x m− + = 3) Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. 4) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị trái dấu. 5) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị dương. 6) Tìm các điểm cố định của họ đường cong (C m ). Bài 3. Cho hàm số: 3 2 4 6 4 1 ( )y x x x C= − + − Viết phương trình tiếp tuyến với (C): 1) Tại điểm A(1;1) 2) Tại điểm B có hoành độ bằng 2. 3) Tại điểm C có tung độ bằng -1. 4) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d 1 ): y = 4x – 1 5) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d 2 ): 28 1 0x y+ + = 6) Biết tiếp tuyến tại điểm ( )M C∈ có hệ số góc nhỏ nhất. Chứng minh rằng: M là tâm đối xứng của đồ thị (C) 7) Chứng minh rằng: trên (C) không tồn tại điểm mà qua nó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau Bài 4. Cho hàm số: 3 2 1 2 ( ) 3 3 y x x C= − + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Biện luận theo m số nghiệm của các phương trình sau: a. 3 2 1 5 0 3 x x m− + = b. 3 2 1 2 3 3 x x m− + = c. 3 2 1 2 3 3 x x m− + = d. 3 2 1 2 3 3 x x m− + = 3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) a. Tại điểm có tung độ bằng 2 3 . b. Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 1 : 3 9d y x= − + c. Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2 1 : 5 8 d y x= + d. Biết tiếp tuyến đi qua điểm M(1;0) Bài 5. Cho hàm số: 4 2 2 2( 1) 1y x m x m= − + − + − 1) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(0;3). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m tìm được. 2) Tìm m đề hàm số có 3 cực trị. 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. 4) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Bài 6. Cho hàm số 3 ( ) 1 x y C x + = + 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Chứng minh rằng 2y x m= + luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N 3) Xác định m sao cho độ dài đoạn MN nhỏ nhất 4) Tiếp tuyến tại điểm S bất kỳ của (C) cẳt hai đường tiệm cận của (C) tại 2 điểm phân biệt P, Q. Chứng minh rằng S là trung điểm của P và Q. 5) Tìm ( )A C∈ sao cho tổng khoảng cách từ A đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất 6) Tìm các điểm trên (C) có toạ độ là những số nguyên. 7) Từ đồ thị (C) hãy vẽ đồ thị của các hàm số sau: 3 3 . . 1 1 x x a y b y x x + + = = + + Bài 7. Cho hàm số: 2 ( ) 1 x y C x − = − Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết: 1) Tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ 2 2) Tiếp tuyến đi qua A(0;-2) Chú ý: Các em học ban khoa học tự nhiên đọc thêm phần hàm số dạng 2 ( 0) ax bx c y ad dx e + + = ≠ + . liên quan trong các đề thi Đại học – Cao đẳng từ năm 2002 đến nay Hàm đa thức: D2004. Cho hàm số: 3 2 3 9 1 (1)y x mx x= − + + 1) Khảo sát sự biến thi n. 2) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m =2 B2004. Cho hàm số 3 2 1 2 3 ( ) 3 y x x x C= − + 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C)