CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH HÌNH LĂNG TRỤ HÌNH HỌC 12 CĨ ĐÁP ÁN Lý thuyết: Thể tích khối lăng trụ Dạng 1: Tính thể tích khối lăng trụ đứng, lăng trụ Dạng 2: Tính thể tích khối lăng trụ xiên Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao độ dài cạnh đáy Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc đường thẳng mặt phẳng Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc hai mặt phẳng Phương pháp tính thể tích khối lăng trụ cực hay Phương pháp tính thể tích khối lăng trụ xiên cực hay Chủ đề: Thể tích hình lăng trụ Lý thuyết: Thể tích khối lăng trụ Thể tích khối lăng trụ Định nghĩa Cho hai mặt phẳng song song (α) (α') Trên (α) ta lấy đa giác lồi A A2…An, qua đỉnh ta dựng đường thẳng song song cắt (α') A' 1,A'2,…A'n Hình bao gồm đa giác A A2…An, A'1 A'2…A'n hình bình hành A1 A2 A'1 A'2,… gọi hình lăng trụ, kí hiệu A1 A2…An A'1 A'2…A'n Nhận xét: + Các mặt bên hình lăng trụ song song với + Các mặt bên hình bình hành + Hai đáy hình lăng trụ hai đa giác Hình lăng trụ đứng - hình lăng trụ đều, hình hộp chữ nhật hình lập phương a) Hình lăng trụ đứng: hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy Độ dài cạnh bên gọi chiều cao hình lăng trụ Lúc mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật b) Hình lăng trụ đều: hình lăng trụ đứng có đáy đa giác Các mặt bên lăng trụ hình chữ nhật Ví dụ: hình lăng trụ tam giác đều, tứ giác ta hiểu hình lăng trụ c) Hình hộp: Là hình lăng trụ có đáy hình bình hành d) Hình hộp đứng: hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành e) Hình hộp chữ nhật: hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật f) Hình lăng trụ đứng có đáy hình vng mặt bên hình vng gọi hình lập phương (hay hình chữ nhật có ba kích thước gọi hình lập phương) Nhận xét: + Hình hộp chữ nhật hình lăng trụ đứng (Có tất mặt hình chữ nhật + Hình lập phương hình lăng trụ (tất cạnh nhau) + Hình hộp đứng hình lăng trụ đứng (mặt bên hình chữ nhật, mặt đáy hình bình hành) Thể tích khối lăng trụ: V=B.h : Với B diện tích đáy h chiều cao So sánh khối lăng trụ đứng khối lăng trụ đều: ĐỊNH NGHĨA: TÍNH CH + Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy + Các mặ + Các mặ + Chiều c + Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác + Các mặ + Chiều c Dạng 1: Tính thể tích khối lăng trụ đứng, lăng trụ A Phương pháp giải & Ví dụ Khối lăng trụ đứng Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy Tính chất: + Các mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật + Các mặt bên hình lăng trụ đứng vng góc với mặt đáy + Chiều cao cạnh bên Khối lăng trụ Định nghĩa: Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác Tính chất: + Các mặt bên hình lăng trụ hình chữ nhật + Chiều cao cạnh bên Ví dụ minh họa Bài 1: Cho hình hộp đứng có cạnh AB = 3a, AD = 2a, AA’= 2a Tính thể tích khối A’.ACD’ Hướng dẫn: Do mặt bên ADD’A’ hình chữ nhật nên ta có: Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a√3, góc đáy 60º Gọi M trung điểm Thể tích khối chóp M.A’B’C’ là: Hướng dẫn: Bài 3: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1 B1 C1 có đáy ABC tam giác vng cân B có BA = BC = 2a, biết A1 M=3a với M trung điểm BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1 B1 C1 Hướng dẫn: Ta có: Bài 4: Cho khối lăng trụ đứng có đáy ABC.A’B’C’ với AB= a; AC = 2a ∠(BAC)=120º, mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy góc 60º Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: Hướng dẫn: Dựng A'M ⊥ BC, ta có: Ta có: Do AM ⊥ BC nên Xét tam giác AAM vng A có: Bài 5: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy a mặt (DBC’) với đáy ABCD góc 60º Thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D là: Hướng dẫn: Ta có:AC ⊥ BD tâm O hình vng ABCD Mặt khác CC' ⊥ BD BD ⊥ (COC') Suy ((C'BD),(ABCD)) = ∠(C'OD) = 60º Lại có: B Bài tập vận dụng Bài 1: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng cân B, biết BA = BC = 2a, (A’BC) hợp với đáy góc 30° Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : + Gọi M trung điểm AB Vì tam giác ABC tam giác nên CM⊥AB => CM = d( C, (AA’B’) + Thể tích khối tứ diện AC’A’B’ là: Chọn A Ví dụ 2.Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ A 8a3 B 9a3 C 18a3 D 21a3 Hướng dẫn giải Do ABCD.A’B’C’D’ lăng trụ đứng nên DD'⊥BD Xét tam giác vng DD’B có: Vì ABCD hình vng nên Suy diện tích đáy là: Vậy thể tích khối lăng tụ cho là: Chọn C Ví dụ Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy a mặt phẳng ( BDC’) hợp với đáy (ABCD) góc 60o Tính thể tích khối hộp chữ nhật Hướng dẫn giải Gọi O giao điểm AC BD Ta có ABCD hình vng nên OC⊥BD Lại có:CC'⊥(ABCD) Suy ra:OC'⊥BD( định lí đường vng góc) Do đó, góc mp (BDC’) với đáy góc Tam giác ABC vng B, AB=BC=a nên: Xét tam giác OCC’ vuông C nên Đáy ABCD hình vng cạnh a nên SABCD= a2 Thể tích khối hộp chữ nhật cho là: Chọn C Ví dụ Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao h góc hai đường chéo hai mặt bên kề xuất phát từ đỉnh α Tính thể tích lăng trụ theo h α Hướng dẫn giải Gọi x độ dài cạnh đáy hình lăng trụ Ta có: *Theo giả thiết, góc hai đường chéo hai mặt bên kề xuất phát từ đỉnh α nên * Áp dụng định lí co-sin vào tam giác AB’D’ ta có: Diện tích hình vng ABCD là: SABCD= x2 Khi đó, thể tích lăng trụ cho là: Chọn C Ví dụ Tính thể tích lăng trụ ABC A’B’C’, biết (ABC’) hợp với đáy góc 60o diện tích tam giác ABC’ Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm AB *Do tam giác ABC tam giác nên CH⊥AB Tương tự, tam giác C’AB tam giác cân nên C'H⊥AB * Mà mặt phẳng ( ABC’) ( ABC) cắt theo giao tuyến AB nên góc hai mặt phẳng ( ABC’) (ABC) góc * Do diện tích tam giác ABC’ *Xét tam giác HCC’ vuông C: Vậy (2) Từ (1) (2) suy ra: nên: * Lại có: Diện tích tam giác ABC : * Thể tích khối lăng trụ cho Chọn C Phương pháp tính thể tích khối lăng trụ xiên cực hay Phương pháp giải + Khối lăng trụ xiên khối lăng trụ có cạnh bên khơng vng góc đáy + Xác định chiều cao hình lăng trụ Tính chiều cao, diện tích đáy hình lăng trụ + Tính thể tích khối lăng trụ Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC A’B’C’, đáy ABC có BC= 3a; Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc 60 o mặt phẳng (A’BC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Điểm H cạnh BC cho HC= 2HB mặt phẳng ( A’AH) vng góc với mặt phẳng (ABC) Thể tích khối lăng trụ ABC A’B’C’ Hướng dẫn giải *Ta có: Mà cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc 60o nên * Do HC = 2HB BC = 3a nên HC = 2a; HB =a Áp dụng định lí cosin vào tam giác AHC ta có: AH2 = AC2 + HC2 – AC HC.cos30o => AH = a => A’H = AH.tan60o = Diện tích tam giác ABC Thể tích hình lăng trụ cho Chọn B Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC A’B’C’, tam giác ABC có cạnh a, AA’= a đỉnh A’ cách A, B, C Gọi M trung điểm cạnh BC Thể tích khối lăng trụ ABC A’B’C’ Hướng dẫn giải Gọi O tâm tam giác ABC => OA= OB = OC Lại có: A’A= A’B = A’C nên Ta có: Xét tam giác vng AA’O có Diện tích tam giác ABC Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: Chọn B Ví dụ 3.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’có đáy ABC tam giác vng B, AB= a, ; M trung điểm cạnh AC Góc cạnh bên mặt đáy lăng o trụ 60 Hình chiếu vng góc đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) trung điểm H BM Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Hướng dẫn giải Do A'H⊥(ABC) nên A’H đường cao hình lăng trụ Mà góc cạnh bên mặt đáy lăng trụ 60o nên + ta có: M trung điểm cạnh huyền AC nên MA= MB= MC = a Diện tích tam giác ABC là: Thể tích khối lăng trụ là: Chọn A Ví dụ 4.Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân AB= AC= a, AB’ vng góc với đáy (A’B’C’) Mặt phẳng (AA’C’) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 30o Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Hướng dẫn giải Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có : BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cos A= a2 +a2 – 2.a.a.cos120o = 3a2 Gọi K hình chiếu B’ lên A’C’ , suy A’C’⊥(AB'K) Do Trong tam giác A’KB’ có Nên Suy ra: Diện tích tam giác ABC là: Thể tích khối lăng trụ Chọn C Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’= a, góc đường thẳng BB’ mặt phẳng (ABC) 60 o, tam giác ABC vng C Hình chiếu vng góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Thể tích khối tứ diện A’ABC Hướng dẫn giải Gọi D trung điểm AC, G trọng tâm tam giác ABC + Do hình chiếu vng góc B’ lên mp (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC nên B'G⊥(ABC) + Vì góc BB’ mặt phẳng ( ABC) 60o nên * Trong tam giác ABC ta có: + Do tam giác BCD vng C nên ta có: Diện tích tam giác ABC Thể tích khối tứ diện A’ABC : Chọn B ... chiều cao hình lăng trụ Lúc mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật b) Hình lăng trụ đều: hình lăng trụ đứng có đáy đa giác Các mặt bên lăng trụ hình chữ nhật Ví dụ: hình lăng trụ tam giác đều, tứ... hình lăng trụ c) Hình hộp: Là hình lăng trụ có đáy hình bình hành d) Hình hộp đứng: hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành e) Hình hộp chữ nhật: hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật f) Hình lăng. .. bên hình bình hành + Hai đáy hình lăng trụ hai đa giác Hình lăng trụ đứng - hình lăng trụ đều, hình hộp chữ nhật hình lập phương a) Hình lăng trụ đứng: hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy