MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ I. Bất đẳng thức Bài 1. Cho , ,a b c là các số dương. Chứng minh: 3 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + + Bài 2. Cho , ,a b c là các số dương. Chứng minh: 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b + + + + ≥ + + + Bài 3. Cho 0 , , 1a b c< < . Chứng minh rằng: 1 1 (1 )(1 )(1 ) 3 a b c a b c ≥ + − − − + + Bài 4. Cho n số dương 1 2 , , ., n x x x thỏa 1 2 . 1 n x x x+ + + = . Chứng minh rằng: 1 2 1 1 1 ( 1) n x x x n n− + − + + − ≤ −L Bài 5. Cho 1, 2, 3x y z≥ ≥ ≥ . Chứng minh: 1 2 3 1 1 1 1 2 2 3 yz x zx y xy z xyz − + − + −   ≤ + +  ÷   Bài 6. Cho ,a b là hai số dương: a) Chứng minh rằng: 4 2 2 4 1a b ab a b a b + ≤ + + b) Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: a b ab a b ab + + + Bài 7. Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn: 2 2 2 1a b c+ + = . Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 3 3 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + + Bài 8. Cho ,a b là hai số dương. Chứng minh: 3 3 2 2 ( )a b ab a b+ ≥ + Bài 9. Cho các số dương , ,a b c . Chứng minh: 2 2 2 1 1 1 a b c ab a bc b ca c ab + + + + ≤ + + + Bài 10. Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn: 1a b c+ + = . Chứng minh: 2 2 2 1 1 1 9 2 2 2a bc b ca c ab + + ≥ + + + Bài 11. Cho các số dương , ,a b c . Chứng minh rằng: 3 3 3 2 2 2 a b c a bc b ca c ab+ + ≥ + + Bài 12. Cho ,a b lớn hơn 1. Chứng minh 2 2 8 1 1 a b b a + ≥ − − Giải Cách 1. p dụng bất đẳng thức Minkwosky ta được: 2 2 2 ( ) 1 1 2 a b a b b a a b + + ≥ − − + − . Mặt khác thì: 2 2 2 2 ( ) 8 2 8 8 16 0 ( 4) 0 2 a b a ab b a b a b a b + ≥ ⇔ + + − − + ≥ ⇔ + − ≥ + − (đúng). Vậy ta có điều phải chứng minh. Cách 2. Đặt 1, 1x a y b= − = − , bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 8 ( 1) ( 1) 8 x y x x y y xy y x + + + ≥ ⇔ + + + ≥ . Theo bất đẳng thức Cauchy thì: 2 2 ( 1) ( 1) 2 ( 1)( 1)x x y y xy x y+ + + ≥ + + . Mặt khác 2 ( 1)( 1) 8 ( 1)( 1) 4xy x y xy x y xy(đúng)+ + ≥ ⇔ + + ≥ Do đó ta có điều phải chứng minh. Bài 13. Cho ,a b dương và 1a b+ = . Chứng minh: 2 2 1 1 6 ab a b + ≥ + Bài 14. Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn: 1a b c+ + = . Chứng minh: 2 2 2 1 1 1 1 30 ab bc ca a b c + + + ≥ + + Bài 15. Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn: 1ab bc ca+ + = . Chứng minh: 2 2 2 1 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + + II. Biến đổi đẳng thức Bài 1. Cho các số , , , , ,a b c x y z thỏa mãn: , ,x by cz y ax cz z ax by= + = + = + , 0x y z+ + ≠ . Chứng minh: 1 1 1 2 1 1 1a b c + + = + + + Bài 2. Cho ba số , ,a b c thỏa mãn đẳng thức: 2002 2002 2002 2003 2003 2003 1 1 a b c a b c  + + =   + + =   . Tính giá trò của biểu thức: 2001 2002 2003 T a b c= + + Bài 3. Cho 1a b c+ + = và 1 1 1 0 a b c + + = . Tính 2 2 2 a b c+ + Bài 4. Cho 0x y z+ + = . Chứng minh: 3 3 3 3x y z xyz+ + = . Từ đó rút gọn phân thức: 3 3 3 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) x y c xyz x y y z z x + + − − + − + − Bài 5. Cho 3 3 3 0, 3abc a b c abc≠ + + = . Tính giá trò của biểu thức: A a b c 1 1 1 1 . 1 . 1       = + + +  ÷  ÷  ÷       Bài 6. Biết ax by c bx cy a cx ay b + =   + =   + =  . Chứng minh rằng: a b c abc 3 3 3 3+ + = Bài 7. Cho abc a b c0, 0≠ + + = . Tính a b c bc ca ab 2 2 2 + + Bài 8. Cho a b c d 0 + + + = . Chứng minh rằng: a b c d c d ab cd 3 3 3 3 3( )( )+ + + = + − Bài 9. Cho 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x y z a x y z b c x y z   + + =   + + =    + + =   . Tính x y z 3 3 3 + + theo a b c, , . Bài 10. Giải hệ phương trình: a b c a b c a b c 2 2 2 3 3 3 1 1 1 + + =   + + =   + + =  Bài 11. Cho a b c, , thỏa mãn: a a b 2002 2003 2004 = = . Chứng minh rằng: a b b c c a 2 4( )( ) ( )− − = − Bài 12. Cho ax by cz x y z 3 3 3 1 1 1 1  = =   + + =   . Chứng minh rằng: ax by cz a b c 2 2 2 3 3 3 3 + + = + + Bài 13. Chứng minh rằng nếu: a bc 0≠ và a b c 0 + + = thì: b c a c a b a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0+ + = + − + − + − Bài 14. Cho x y, thỏa mãn: ( ) ( ) x x y y 2 2 2005 . 2005 2005+ + + + = . Chứng minh rằng: x y 2005 2005 0+ = Bài 15. Cho a b c, , là các số thực khác 0 sao cho: a b b c c a a b c 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3+ + = . Tính giá trò của biểu thức: a b c A b c a 1 . 1 . 1       = + + +  ÷  ÷  ÷       III. Phương trình bậc hai và hệ thức Viét Bài 1. Hai phương trình: x a x x b x c 2 2 ( 1) 1 0; ( 1) 0+ − + = + + + = có nghiệm chung, đồng thời hai phương trình: x x a x cx b 2 2 1 0; 1 0+ + − = + + + = cũng có nghiệm chung. Tính giá trò của biểu thức: a b c 2004 + Bài 2. Cho parabol (P): y x 2 1 4 = và đường thẳng (d): y x 1 2 2 = − + . a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. b) Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d). Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất. c) Tìm điểm N trên trục hoành sao cho NA + NB ngắn nhất. Bài 3. Cho hai số a và b khác 0 thỏa mãn: a b 1 1 1 2 + = . Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm: x ax b x bx a 2 2 ( )( ) 0+ + + + = Bài 4. Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số sau: x y x x 2 2 1 1 + = − + Bài 5. Biết rằng phương trình x x 2 3 1 0− + = có nghiệm x = a. Hãy tìm một giá trò của b Z∈ để phương trình x bx 16 8 1 0− + = có nghiệm x = a. Bài 6. Tìm k để phương trình kx k x k 2 (12 5 ) 4(1 ) 0− − − + = có tổng bình phương các nghiệm là 13. Bài 7. Cho hai phương trình: ax bx c a 2 0 (1), 0+ + = ≠ và mx nx p m 2 0 (1), 0+ + = ≠ . Chứng minh rằng nếu ít nhất một trong hai phương trình trên vô nghiệm thì phương trình sau luôn có nghiệm: an bm x ap mc x bp nc 2 ( ) 2( ) 0− + − + − = Bài 8. Tìm các giá trò của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn m: x x m 2 0+ + = Bài 9. Tìm các giá trò của a để phương trình có hai nghiệm phân biệt: x x a x4 ( 7) 1 0+ − + = Bài 10. Chứng minh rằng phương trình: a b x a b x a b 2 2 2 3 3 4 4 ( ) 2( ) 0− + − + − = luôn có nghiệm với mọi a, b. Bài 11. Tìm m sao cho phương trình x m x m2 2 1 2 4 0− − + − = có hai nghiệm phân biệt. Bài 12. Cho phương trình: m x mx 2 (2 1) 2 1 0− − + = . Đònh m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn x x 2 2 1 2 1− = Bai 13. Cho phương trình: x m x 3 ( 2) 8 0− + + = a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt. b) Khi phương trình có ba nghiệm x x x 1 2 3 , , chứng minh rằng: x x x x x x 3 3 3 1 2 3 1 2 3 3+ + = Bài 14. Tìm x, y thỏa mãn: x y xy x y 2 2 5 5 8 2 2 2 0+ + + − + = Bài 15. Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất: x a x a a x x 2 2 2 (3 2) 2 5 3 0 5 14 − − + − − = + − Bài 16. Cho phương trình 2 0x px q− + = trong đó ,p q là các số nguyên tố. Biết phương trình có hai nghiệm nguyên dương. Chứng minh rằng 2 2 p q+ là số nguyên tố. Bài 17. Giả sử phương trình 2 1 0x mx n+ + + = có các nghiệm 1 2 ,x x là các số nguyên khác 0. Chứng minh rằng 2 2 m n+ là hợp số. IV. Phương trình chứa căn 1) 3 1 2 ( 1)x x x+ + − = = 2) 4 3 2 ( 7)x x x− − = = 3) 1 4 3 ( 0, 3)x x x x− + + = = = − 4) 1 79 2 2 3 3 5 ( ) 4 x x x x − + + − − = − = Bài tập về nhà 1) 3 5 2 3 2 ( 2)x x x x− + − = + = 2) 17 12 13 4 13 1 ( 3, ) 33 x x x x x − + − + = + = = 3) 2 5 1 2 x x + = − (vơ nghiệm) 4) ( 3) 1 0 ( 1)x x x+ − = = Bài tập nâng cao 1) ( 1) ( 2) 2 ( 3)x x x x x x− + − = − 2) 2 4 1 2 3 4 16x x x x− + − = − + − 3) 2 3 5 8 18x x x x− + − = − + 4) 13 13 x x− + = 5) 8 3 5 3 5x x+ − + − − = 6) 1 4 5 1 4 5 2( 17)x x x x x− + − + − − − = − 7) 3 2 2 2 3 3 8 ( 1) ( 1) 2 1x x x− − + = − 8) Cho ,x y + ∈ ¡ có 6x y xy+ = . Tính x y 9) Tìm m để phương trình sau có nghiệm 6 9 9x x x x m− − + + − = . MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ I. Bất đẳng thức Bài 1. Cho , ,a b c là các số dương. Chứng minh: 3 2 a b c b c c a a. là hai số dương: a) Chứng minh rằng: 4 2 2 4 1a b ab a b a b + ≤ + + b) Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: a b ab a b ab + + + Bài 7. Cho các số dương