1 GA MOT SO PP GIAI PT HE PT

16 79 0
  • Loading ...
    Loading ...
    Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 29/11/2019, 15:52

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải tích Bài tốn Giải phương trình sin x + cos x - sin x.cos x = 1+ lg 3+ sin x + cos x 4+ sin x.cos x (1) Lời giải Nhận xét � p� 3+ sin x + cos x = 3+ 2.sin � x+ � �3� � � � � 4� > 1, " x �� 1 4+ sin x.cos x = 4+ sin 2x �4- > 1, " x �� 2 Phương trình cho tương đương với lg(4+ sin x.cos x ) - (4+ sin x.cos x) = lg(3+ sin x + cos x) - (3+ sin x + cos x) Xét hàm số f (t ) = lg t - t , t >1 Ta có f '(t ) = (2) - 1< 0, t > t.ln 10 , suy hàm số f (t ) nghịch biến (1; +�) Phương trình (2) có dạng f (4+ sin x.cos x) = f (3+ sin x + cos x) � 4+ sin x.cos x = 3+ sin x + cos x � (1- cos x)(1- sin x) = � cos x = 1�sin x = p � x = k 2p �x = + k 2p, k �� Kết luận phương trình (1) có hai họ nghiệm Bài toán Giải hệ phương trình x = k 2p, x = p + k 2p, k �� � (2x2 - 3x + 4)(2y - 3y + 4) = 18 � �2 � �x + y + xy - 7x - 6y +14 = ( Đề chọn ĐT trường chuyên ĐHSP Hà Nội) Lời giải 2 Xét phương trình x + y + xy - 7x - 6y +14 = (3) Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền Xem (3) phương trình bậc hai ẩn x , (3) có Xem (3) phương trình bậc hai ẩn y , (3) có D=-+-�ۣ 3y 2� 10y y D=-+3 � x2� 16y 20 x y x 10 Xét hàm số f (t) = 2t - 3t + 4, t �1 Ta có f '(t ) = 4t - 3> với t �1 Hay hàm số f (t ) đồng biến (1; +�) Do đó, � y �1 � f ( y ) � f (1) = � � =ۣ� � � � �x �2 � �f ( x ) � f (2) = f ( x) f ( y ) 6.3 18 Suy hệ có nghiệm đẳng thức xảy ra, tức � x =2 � � � �y = Mà (2;1) lại khơng nghiệm phương trình (3) nên hệ cho vô nghiệm �x2 + 3x + ln(2x +1) = y � �2 � Bài tốn Giải hệ phương trình �y + 3y + ln(2y +1) = x (HSGQG 1994) Lời giải Điều kiện � � x >� � � � � y >� � � 2 Cộng vế theo hai phương trình hệ ta x2 + 4x + ln(2x +1) = y + 4y + ln(2y +1) Xét hàm số f (t ) = t + 3t + ln(2t +1), t >- (4) 1 f '(t ) = 2t + 3+ > 0, t >- 2t +1 Hay Ta có �1 � � - ; +�� � � � � � hàm số f (t ) đồng biến � Phương trình (4) có dạng f ( x) = f ( y ) � y = x , thay vào hệ cho x2 + 3x + ln(2x +1) = x � x2 + 2x + ln(2x +1) = (5) Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền �1 � � - ; +�� g '( x) = 2x + 2+ > 0, x >- � � � � �thì 2x +1 Đặt g ( x) = x + 2x + ln(2x +1) � 2 �1 � � - ; +�� � � � � � Hay hàm số g ( x) đồng biến � Mặt khác, phương trình (5) có nghiệm x = nên x = nghiệm phương trình (5) Suy (0; 0) nghiệm hệ 2x +1 � 1� log2( x + 2) + x + = log +� 1+ � � � �+ x + � � x� x Bài toán Giải phương trình (6) ( Đề chọn ĐT trường chuyên ĐH Vinh) Lời giải �x + 2> � � � - 2< x 0 � � x >0 � � Điều kiện � x Phương trình (6) tương đương với log2 � 1� � 1� � 1� x + 2- x + + x + = log2 � 2+ � - 2� 2+ � +� 2+ � � � � � � � � � � � � � x� � x� � x� � (7) Xét hàm số f (t ) = log2 t - 2t + t , t > Hay f (t ) đồng biến (0; +�) Phương trình (7) có dạng � x =- 1�x = 3- 13 f � 1� x +2 = f � 2+ � � x + = 2+ � ( x +1)( x - 3x - 1) = � � � � � x� x ( �x = ) 3+ 13 So với điều kiện ta nhận nghiệm phương trình Bài tốn Giải phương trình x + 9x2 - = 2x +1 x =- 1, x = 3+ 13 (8) ( Đề chọn ĐT tỉnh Phú Yên) Lời giải Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền x 3) ( Phương trình cho tương đương với 3 + 3x = ( 3x +1) + 3( 3x +1) (9) Xét hàm số f (t ) = t + 3t � f '(t ) = 2t + 3> 0, " t �� hay hàm số f (t ) đồng biến � 3 Phương trình (9) có dạng f (t ) = f (3t +1) � x = 3x +1� x - 3x - 1= (10) Gọi g ( x) = x - 3x +1là hàm đa thức liên tục tập số thực g ( x ) chứng minh - 2; 2] phương trình g ( x) = có ba nghiệm phân biệt [ nên ta xét - 2�x �2 Đặt x = 2cos t , t �( 0; p) phương trình (10) trở thành 8cos3 t = 6cos t +1 � 2( 4cos3 t - 3cos t ) = � cos 3t = p p � t = � + k , k �� �p 7p 5p� t �� , , � t �( 0; p) � � suy nghiệm phương trình (10) �9 9 � Vì nên ta chọn 7p 5p� � p x �� cos ,cos ,cos � � 9� � � ba nghiệm phân biệt phương trình cho �y2- x2 x2 +1 � e = � y +1 � � � 3log ( x + 2y + 6) = 2log2( x + y + 2) +1 � Bài tốn Giải hệ phương trình � ( Đề chọn ĐT trường THPT Cao Lãnh – Đồng Tháp) Lời giải x + 2y + 6> � � � � Điều kiện �x + y + 2> e y ( y +1) = e x ( x +1) Phương trình thứ hệ tương đương với Xét hàm số f (t ) = et (t +1) � f '(t ) = et (t + 2) > 0, " t �[ 0; +�) Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình (14) Trang Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền 0;+�) Suy hàm số f '(t ) đồng biến [ � y=x f ( y 2) = f ( x ) � y = x � � � y =- x � Mặt khác phương trình (14) có dạng Xét trường hợp y = x , thay vào phương trình thứ hai hệ, ta 3log ( 3x + 6) = 2log ( 2x + 2) +1 � ( 3x + 6) = 2( 2x + 2) , x >- Phương trình vơ nghiệm Vậy trường hợp hệ vơ nghiệm Xét trường hợp y =- x , thay vào phương trình thứ hai hệ, ta 3log2 ( - x + 6) = 2log 2+1= � ( - x + 6) = 2, x < � x =4 Suy y =- , x = 4, y =- thỏa hệ nên chúng nghiệm hệ cho Kết quả: x = 4, y =- 3 Bài tốn Giải phương trình 2x - = 27x - 27x +13x - ( Đề thi HSG Hải Phòng) Kết quả: x = � 2(2x +1)3 + 2x +1= (2y - 3) y - � � � 4x + + 2y + = � Bài toán Giải hệ phương trình � ( Đề chọn ĐT trường chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai) x = , y =6 Kết quả: Bài tốn Giải phương trình ( sin x - 2) ( sin x - sin x +1) = 33 3sin x - 1+1 Hướng dẫn sin x - 1) + 3( sin x - 1) = ( 3sin x - 1) + 33 3sin x - Biến đổi phương trình ( Kết quả: x = k p, k �� Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền � 2y + 2x 1- x = 1- x - y � � � Bài toán 10 Giải hệ phương trình �y = 2x - 1+2xy 1+ x ( Đề thi chọn HSG trường Chuyên Nguyễn Du – Đăk Lăk) Hướng dẫn Biến đổi phương trình thứ dạng 2y + y = 2(1- x - 1) 1- x + 1- x � 2y + y = 2(1- x) 1- x + 1- x ( ) � 2y + y = 1- x + 1- x 0;+�) Xét hàm số f (t ) = 2t + t , t �0 , chứng minh hàm số đồng biến [ suy y = x - , thay kết vào phương trình thứ hai hệ 1- x = 2x - 1+ 2x 1- x Đặt t = cos x, x �0 [ ; p] Kết quả: x = cos đưa giải phương trình lượng giác 3p 3p , y = 2sin 10 20 �x - y - = 3x - 3y � �2 �x + 1- x2 - 2y - y +2 = � Bài tốn 11 Giải hệ phương trình � Kết quả: x = 0, y = �x + x2 - 2x + = 3y- +1 � � � � �y + y2 - 2y +2 = 3x- +1 Bài tốn 12 Giải hệ hương trình � Lời giải �x - 1+ ( x - 1)2 +1 = 3y- +1 � � � � �y - 1+ ( y - 1)2 +1 = 3x- +1 Hệ phương trình cho tương đương � Cộng vế theo vế hai phương trình ta x - 1+ ( x - 1)2 +1+ 3x- = y - 1+ ( y - 1)2 +1+ 3y- Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình (11) Trang Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền Xét hàm số f (t ) = t + t +1+ 3t � f '(t ) = 1+ t t +1 + 3t ln = t + t +1 t +1 + 3t ln 3> 0, " t �� , t +1 > t = t �- t � t +1+ t > 0, " t �� Hay hàm số f (t ) đồng biến � Phương trình (11) có dạng f ( x - 1) = f ( y - 1) � x = y (12) x- Thay (12) vào phương trình thứ hệ ta x - 1+ ( x - 1) +1 = (13) a Lại đặt a = x - (13) trở thành a + a +1 = ( ) ( ) � ln a + a2 +1 = a ln a + a +1 > 0, " a �� � ln a + a2 +1 - a ln 3= Xét hàm số ( ) f (a ) = ln a + a2 +1 - a ln f '(a) = Rõ ràng thực a +1 tập số thực - ln 3< 1- ln 3< 0, " a �� Suy hàm số nghịch biến tập số Mặt khác g (0) = nên ta a = nghiệm phương trình Suy x = 1, y = nghiệm hệ Phương pháp đánh giá � 1 20y � sin x + + cos2 y + = � � sin x cos y x+y � � � � 1 20x � � sin y + + cos2 x + = � � sin y cos x x+y Bài toán Giải hệ phương trình � ( VMO 2013) Lời giải Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền Nhân vế theo vế hai phương trình hệ, ta � � � � 1 � 1 � xy 2 � � � � sin x + + cos y + sin y + + cos x + = 20 � � 2 � 2 � � � � � sin x cos y � sin y cos x � � � � � ( x + y) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho biểu thức không âm, ta 20 xy ( x + y) sin x + �4 1 cos2 x + sin x cos x sin y + 1 cos2 y + 2 sin y cos y Lại áp dụng bất đẳng thức Cauchy-schwart sin x + � � � � sin 2x 1 � � 2 � � cos x + = sin x + cos x + � + � � � � 2 � � � � � � sin x cos x sin x � cos x � sin 2x sin 2x 3 � + + �1+ = 2 sin 2x sin 2x 2 14444444244444443 AM =GM sin x + Suy 1 cos2 x + � sin x cos x sin y + Tương tự cho 20 Do 1 cos2 y + � 2 sin y cos y �۳++�-� 4xy x 2 ( x + y) xy 2xy y2 ( x y) Vậy hệ có nghiệm đánh giá xảy đẳng thức, tức �sin 2x = � � p p � � x = y = + k , k �� �x = y � � 2 � sin x = cos x � tất nghiệm hệ cho � 1 � + = � 2 � 1+2xy 1+2x 1+2y � � � � � x(1- 2x) + y (1- 2y ) = � Bài tốn Giải hệ phương trình � ( VMO 2009) Lời giải Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền 0�x, y � Điều kiện 2 Áp dụng bất đẳng thức (a + b) �2(a + b ) , ta có � � � 1 � � � � � � + �2� + � � � � 2� � 2 � � � + x + y � � � � 1+ 2x 1+ 2y � � 1 + � 0�x, y � 2 Lại có 1+2x 1+2y 1+2xy (*) bất đẳng thức với Do � � � � � � � � � � � + =� �� � � 1+2xy � � � � � 1+ 2x2 1+ 2y � � � � � 1+2xy � Hay 1+2x + 1+ 2y � 1+2xy Do hệ có nghiệm đẳng thức đánh giá phải xảy ra, hay x = y Thay kết vào phương trình lại, ta kết luận nghiệm hệ phương trình 9� 73 x (1- 2x ) = � x = 36 Từ Bài tốn Giải hệ phương trình (Đề xuất Chun Biên Hòa, DHĐBBB 2015-2016) Lời giải Điều kiện : Ta có : ( dấu = xảy xy =) Do từ (1) (3) Từ (2) (3) ta suy : (4) Ta lại có Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền Do (4) hoặc Thử lại ta thấy có nghiệm hệ � y3  x  y   x2  y  x2   y � � �  x  y   2   x  y                  x, y �� Bài toán Giải hệ phương trình: � ( ) Hướng dẫn giải y  x – y  �0 y – x �0 y �  x � Điều kiện: , ; ; +) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm ta có: y  2x  y  y  xy  y =  y  xy  y � x2  y  x2 y  3x x2  y  x2  � 2 = y  2x  y  Suy ra: x  y  4x + 2  y  3x � 3 xy + y  3x 2 �  x – y  �0 � x  y Vì vậy, ta phải có: y �3xy  Vậy phương trình đầu tương đương với x = y Thay x  y vào phương trình thứ hai hệ ta được: 2 x + Do x  2  x  x (*) 2 x + x   nên ta phải có: x  x –  x  ( x �1 ) Khi phương trình (*) tương đương với:   x – x   x – 1  –    x  x  x   1 � � �  x – x – 1 � 1  � � x 1  x x  x  � 1 � � do1      � � x 1   x x  x  � � x – x –1  � Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang 10 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền � 1   t / m  �x  � � 1 1 x               x  y  � 2 ۣ� � 1 � � � � x; y   �  � � Vậy hệ có nghiệm � x  xy  x  xy  y  y  15(1) � � 6( x3  y )  2( x  y )  3(2) �x  2 Bài toán Giải hệ phương trình � x  xy  y Lời giải �xy �0 �2 x  y  xy �0 Điều kiện � Nếu x  y = hệ vơ nghiệm �x �0 � Nếu �y �0 (x,y khơng đồng thời 0) vế trái (2) âm, phương trình (2) khơng thoả mãn Do x > 0, y > Vì xy �x  y nên từ phương trình (1) suy 15  x  xy  x  xy  y  y �(2 x  y )  x  3( x  y )  y  (2 x  y)  x  y � (2 x  y )  2(2 x  y ) �15 � x  y �3 x2  y xy  ��� x 2 Mặt khác, ta có xy (3) y2 3( x  y ) 3( x  y ) x  xy  y 2( x3  y ) x  y (4) 2( x  y ) � 2( x  y )(5) 2 Ta chứng minh rằng: x  y Thật bất đẳng thức (5) tương đương 2( x  y ) �( x  y ) � x  y  x y �3x y  3x y (6) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang 11 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền x  x3 y  x3 y �3 x12 y  x y y  x y  x y �3 x y12  x y Cộng vế với vế hai đẳng thức ta (5), từ suy (5) 3( x  y ) � 2( x  y ) 2 x  xy  y Từ (4) (5) suy ra: Kết hợp với phương trình (2) lưu ý 3 x 2( x  y ) �x  y , ta được: 6( x3  y3 )  2( x  y ) �x  2( x  y ) �x  ( x  y )  x  y x  xy  y (7) Từ (3) (7) suy 2x  y  x  y ta x  y  (thoả mãn điều kiện tốn) Vậy hệ có nghiệm (1;1) Phương pháp biến đổi � � � � � � 3x � 1+ � =2 � � � � � x + y � � � � � � � � � � � 7y � 1� =4 � � � � � x + y � � � Bài toán Giải hệ phương trình � ( VMO 1996) Lời giải Điều kiện �x �0, y �0 � �x  y �0 Nhận xét x  y  không thỏa hệ phương trình, nên x  0, y  Chia hai vế phương trình thứ cho � � � 1 � � � x  y � � � � � � � 1 � � � x y� � � hệ 3x chia hai vế phương trình thứ hai cho 7y ta � �1 2 2   1 � � x y x y � � �� �� �2  4 �1  2  � � 7y 3x 7y 7y x  y �x  y � 3x 3x Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang 12 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền Nhân vế theo vế hai phương trình hệ, �1 �1 2� 2�    � � � � � 3x � � 3x � x y y y � � � � �   3x 7y x  y � 7y  38xy  24x  � y  6x �y   x � 11 �x  � 21 � �y  22  � - Trường hợp: y  6x vào phương trình thứ hệ giải � y x khơng có nghiệm dương - Trường hợp: Vậy hệ có nghiệm � � � 12 � � � 1+ � x =2 � � � � � � 3x + y � � � � � � � � 12 � � � � � y =6 � � � � � � 3x + y � � � Bài toán Giải hệ phương trình ( VMO 2007) Giải tương tự toán Bài toán Giải hệ phương trình sau: 2 � � x  x  y   x  y  x  y   y  18 � 2 � � x  x  y 1  x  y  x  y 1  y  (Đề hsg Dương Xá,2008-2009) Lời giải �x  x  y  �0 �2 y  x  y  �0 Điều kiện � Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang 13 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền Cộng trừ vế tương ứng hệ phương trình ta � � x  x  y   y  x  y   10 � �x  y  Thế y   x vào phương trình ta x   x  16 x  73  10 � ( x  9)( x  16 x  73)   x  x  � ( x  32 ) � ( x  8)2  32 ) � � �  x(8  x) � (1) � Trong hệ trục tọa độ xét a ( x;3) ; b (8  x;3) � Khi � ( x  32 ) � ( x  8)  32 ) � � � � | a |.| b |= � a b =  x(8  x) � � � � Pt (1) tương đương với | a |.| b |= a b (2) � � � � Ta có | a |.| b | �a b � � � � � � Khi (2) xảy a  b  (không xảy ra) a hướng b suy 8 x 1 � x=4 x Nghiệm hệ (4;4) 2 � � x  y 6  x  y 3 x y � x   y  x  y  15  � Bài toán Giải hệ phương trình sau tập số thực: � Hướng dẫn giải 2 � � x  y   x  y  x  y (1) � x   y  x  y  15  (2) � Đặt � Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang 14 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| Điều kiện: (1) �  GV: Cao Nguyễn Minh Hiền �x  y �0 � �x  y �0 �x �2 � x y 2   x y 3  � y  4 x Thay vào (2) ta được: x    x  x  x   � 3 x � x3 � � � � ( x  3)( x  2)  � 3�  � 3 � � x  1� � (4  x )   x  � � x3 � � ��   x   (*) � (4  x)   x  � x  1 Phương trình (*) vơ nghiệm do: x �2 � x  �0 � VT  Vậy x  y  nghiệm hệ phương trình Phương trình, hệ phương trình chứa tham số 3 � �x  y  y  3x   (4) �2 x   x  2 y  y  m  (5) Bài tốn Tìm m để hpt sau có nghiệm thực: � Hướng dẫn giải �1 �x �1 � Điều kiện: �0 �y �2 � x3  3x   y 1   y 1 Phương trình (4) t � 1;1 Xét hàm số f (t )  t  3t , với  f '(t )  3t  �0, t � 1;1 � f(t) hàm số nghịch biến  1;1 (vì liên tục đoạn này) Suy ra: x  y  2 Thay vào phương trình (5) ta được: x   x  m  2 u � 0;1 Đặt u   x , Ta có phương trình: g(u) = u  u   m Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang 15 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền g (u )   ; max g (u )  1  0;1  0;1 Suy hệ phương trình cho có nghiệm � �m �1 Ngày… tháng… năm …… Người duyệt Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang 16 ... +1 � � � � �y + y2 - 2y +2 = 3x- +1 Bài tốn 12 Giải hệ hương trình � Lời giải �x - 1+ ( x - 1) 2 +1 = 3y- +1 � � � � �y - 1+ ( y - 1) 2 +1 = 3x- +1 Hệ phương trình cho tương đương � Cộng vế theo... 1) = f ( y - 1) � x = y (12 ) x- Thay (12 ) vào phương trình thứ hệ ta x - 1+ ( x - 1) +1 = (13 ) a Lại đặt a = x - (13 ) trở thành a + a +1 = ( ) ( ) � ln a + a2 +1 = a ln a + a +1 > 0, " a ��... t + t +1+ 3t � f '(t ) = 1+ t t +1 + 3t ln = t + t +1 t +1 + 3t ln 3> 0, " t �� , t +1 > t = t �- t � t +1+ t > 0, " t �� Hay hàm số f (t ) đồng biến � Phương trình (11 ) có dạng f ( x - 1) = f
- Xem thêm -

Xem thêm: 1 GA MOT SO PP GIAI PT HE PT, 1 GA MOT SO PP GIAI PT HE PT

Từ khóa liên quan