Chuyên đề: các bài toán liên quan đến hàm số ax 2 , , bx c y a x b + + = + I/ tính đơn điệu B i 1 : Tìm các giá trị của m để h/s 2 x mx 1 y x 1 + = đồng biến trên từng khoảng xác định. B i 2 : Tìm các giá trị của m để hàm số 2 mx 6x 2 y x 2 + = + nghịch biến trên ( ) 1,+ B i 3 :Tìm các giá trị của m để hàm số: 1/ 2 2x 3x m y 2x 1 + = + nghịch biến trên từng khoảng xác định; 2/ 2 2x 3x m y x 1 + = đồng biến trên ( ) 3,+ ; 3/ 2 mx (m 1)x 3 y x + = đồng biến trên [ ) 4;+ ; 4/ ( ) 2 m 1 x 2mx m 1 y m x + + + = (C m ) nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó Ii/ Cực trị. Bi 1. Tỡm cỏc giỏ tr ca m h/s 2 2 2 x 2m x m y x 1 + + = + cú cc tr. Bi 2. Tỡm cỏc giỏ tr ca m h/s 2 x 2mx m y x m + = + cú cc i, cc tiu. Khi đó tìm m để hai điểm cực trị nằm về hai phía trục Oy. Bi 3. Cho h/s 2 x mx m y x 1 + = . CMR với mọi m, h/s luôn có CĐ, CT và khoảng cách giữa hai điểm CĐ, CT là không đổi. Bi 4. CMR: nếu h/s u(x) y v(x) = có ( ) ( ) 0 0 y' x 0 v' x 0 = thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 u x u' x y x v x v' x = = Bi 5. Cho h/s 2 m x 2x m 2 y (C ) x m 1 + + = + . 1/ Tìm m để h/s có cực trị. 2/ Viết PT đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C m ). Bi 6. Tìm các giá trị của m để h/s 2 x 3x m y x 4 + + = có CĐ, CT thoả mãn CD CT y y 4 = . Copyright â by Doanhpham Bài 7. Tìm các giá trị của m để các hàm số sau có cực trị: 1/ ( ) 2 x m 2 x m y x 1 + + = + 2/ ( ) 2 mx m 1 x 1 y mx 2 + + + = + 3/ ( ) ( ) 2 2 2 2m x 2 m mx 1 y mx 1 + + = + Bài 8. Cho hàm số ( ) 2 2 m x mx m y C x m + = 1/ Tìm các giá trị của m để hàm sau có CĐ, CT; 2/ Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm CĐ, CT của (C m ). Bài 9. Tìm các giá trị của m để h/s 2 2x 3x m y x m + = có CĐ, CT và | y CĐ - y CT | > 8. Bài 10. Tìm các giá trị của m để h/s ( ) 2 m 1 x x 2 y m 1 x 2( ) + + = + + có CĐ, CT và (y CĐ - y CT )(m+1) + 8 = 0. Bài 11. Tìm các giá trị của m để h/s 2 x 2mx 2 y x 1 + + = + có CĐ, CT và khoảng cách từ hai điểm đó đến đờng thẳng x + y +2 =0 là bằng nhau. Bài 12. Tìm các giá trị của m để h/s 2 x x m y x 1 + + = + có CĐ, CT và hai điểm CĐ, CT nằm về hai phía trục Oy. Bài 13. Tìm các giá trị của m để h/s 2 mx 3mx 2m 1 y x 1 + + + = có CĐ, CT và hai điểm CĐ, CT nằm về hai phía trục Ox. III. Tiếp tuyến. B i 1 . Cho h/s 2 x 3x 4 y 2x 2 + = (C) và điểm M bất kỳ thuộc (C) . Gọi I là giao điểm hai đờng tiệm cận. Tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận tại A và B. 1/ CMR: M là trung điểm AB; 2/ CMR: Tích khoảng cách từ M đến hai đờng tiệm cận là không đổi; 3/ CMR: Diện tích tam giác IAB không đổi. Copyright â by Doanhpham B i 2 . Cho h/s 2 x 3x a y x 1 + + = + (C a ). Tìm a để (C a ) có tiếp tuyến vuông góc với đờng phân giác góc thứ nhất của hệ truc tọa độ. Khi đó CMR h/s cũng có CĐ, CT. B i 3. Cho hàm số 2 x 2x 1 y (1) x 1 + + = . Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó kẻ đợc đến đồ thị hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. B i 4 . Cho h/s 2 x 2x 2 y x 1 + + = + (C ) Gọi I là tâm đối xứng của (C) và M là một điểm tùy ý trên (C). Tiếp tuyến tại M với (C) cắt hai đờng tiệm cận tại A và B. CMR: M là trung điểm AB và diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí M trên (C). Bài 5. Cho (C): 1 y x 1 x 1 = + + . Tìm điểm M trên (C) có x M > 1 sao cho tiếp tuyến tại M tạo với hai tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ nhất. Bài 6. Viết PTTT của (C): 2 x x 1 y x 1 = + biết tiếp tuyến song song với đờng y = -x. Bài 7. Viết PTTT của (C): 2 2x 3x 1 y 4x 3 = + biết tiếp tuyến vuông góc với đờng 1 y x 2 3 = + . Bài 8. Cho đồ thị (C) 2 x 5x 3 y x 2 = + . CMR trên (C) luôn tồn tại vô số các cặp điểm để tiếp tuyến tại đó song song với nhau đồng thời tập hợp các đờng thẳng nối các cặp tiếp điểm đồng quy tại một điểm cố định. Bài 9. Viết PTTT của (C) 2 x 2x 2 y x 1 + + = + biết tiếp tuyến qua A( 1; 0). Bài 10. Viết PTTT của (C) 2 x x 1 y x 1 + + = + biết tiếp tuyến qua A( 0;5/4). Bài 11.Viết PTTT kẻ từ O(0;0) đến (C) 2 x 3x 6 y x 1 + = . Tìm tọa độ các tiếp điểm. Bài 12. Cho (C) 2 x 3x 2 y x + = . Tìm trên đờng thẳng x = 1 những điểm kẻ đợc hai TT vuông góc với nhau đến (C). Copyright â by Doanhpham IV/ tiệm cận. Bài 1. Cho (C a ) ( ) 2 ax 2a 1 x a 3 y , (a 1, a 0) x 2 + + + = . CMR tiệm cận xiên của (C a ) luôn đI qua một điểm cố định. Bài 2. Cho (C m ) 2 2x mx 2 y x 1 + = . Tìm m để TCX của (C m ) tạo với hai trục một tam giác có diện tích bằng 4 . Bài 3. Cho (C) 2 2x 3x 2 y x 1 + + = 1/ Lấy M tùy ý trên (C). CMR tích các khoảng cách từ M đến hai đờng tiệm cận là hằng số. 2/ Tìm N trên (C) để tổng các khoảng cách từ N đến hai đờng tiệm cận là nhỏ nhất. v/ Một số bài toán khác. Bài 1. Cho (C) 3 y x 3 x 1 = + + và đờng thẳng (d): y = 2x + m. 1/ CMR (d) luôn cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt; 2/ Gọi x 1 , x 2 là hoành độ của A, B. Tìm m để (x 1 - x 2 ) 2 nhỏ nhất. Bài 2. Viết PT đờng thẳng (d) qua M(2; 2/5) sao cho (d) cắt (C): 2 x 3 y x 1 + = + tại hai điểm A, B phân biệt và M là trung điểm A, B. Bài 3. Tìm m để (d m ): y = mx + 2 m cắt (C) 2 x 4x 1 y x 2 + + = + tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C). Bài 4. Tìm trên (C): 2 3x 2x 7 y x 5 = các điểm đối xứng nhau qua I(1;3). Bài 5.Tìm hai điểm A, B trên (C): 2 x y x 1 = đối xứng nhau qua đờng thẳng y = x1. VI/ Bài tập tổng hợp Bài 1. Cho hàm số: 2 x 3x m y x 2 + = Copyright â by Doanhpham 1/. Xác định m để hàm số có cực trị. Tìm tập hợp các điểm cực đại, cực tiểu. 2/. Khảo sát và vẽ với m=3. 3/ Viết PT tiếp tuyến của đồ thị đi qua A(1;0). Bài 2. Cho hàm số: 2 x 2mx m 2 y x m + + = (Cm) 1/. Với giá trị nào của m hàm số đồng biến với mọi x>1. 2/. Khảo sát với m=1. 3/. Tùy thuộc vào a biện luận số nghiệm phơng trình 2 x 2 | x | 3 a | x | 1 + = Bài 3. Cho hàm số: 2 x mx 2m 4 y x 2 + + = + 1/. Tìm điểm cố định đồ thị hàm số đi qua với mọi m. 2/. Xác định m để hàm số có CĐ, CT. Tìm quỹ tích CĐ. 3/. Khảo sát và vẽ đồ thị với m=-1 Bài 4. Cho hàm số: 2 x x 1 y x 1 = + 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 2/. Tìm m để đờng thẳng (d m ) y=mx-1 cắt đồ thị tại điểm phân biệt nằm về cùng một nhánh của đồ thị. 3/. Gọi M, N là hai giao điểm của đồ thị hàm số với (d m ). Tìm tập hợp trung điểm I của MN. Bài 5. Cho hàm số: 2 x 2x m 2 y x m 1 + + = + 1/. Khảo sát với m=-1 2/. Viết phơng trình tiếp tuyến kẻ từ A(6;4) 3/. Tìm m để hàm số có CĐ, CT. Viết phơng trnh đờng thẳng qua CĐ, CT. Bài 6. Cho hàm số: 1 y x 3 m x m = + + + 1/. CMR hàm số có cực trị với mọi m. 2/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C 2 ) với m=2. 3/. Tìm a để y a x 1 1= + +( ) cắt (C 2 ) tại 2 điểm có hoành độ trái dấu. Bài 7. Cho hàm số: 2 x 2x 1 y x 1 + = Copyright â by Doanhpham 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 2/. Viết phơng trình tiếp tuyến ca đò thị hàm số sao cho các tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên. CMR tiếp điểm là trung điểm của đoạn chắn bởi 2 tiệm cận với tiếp tuyến. 3/. Viết phơng trình tiếp tuyến qua A(3; -2). Bài 8. Cho hàm số: 2 x 2x 2 y x 1 + + = + 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 2/. Tìm trên đồ thị hàm số những điểm mà khoảng cách đến trục hoàng bằng 2 lần khoảng cách đến trục tung. Bài 9. Cho hàm số: 2 x y x 1 = (C) 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 2/. Tìm những điểm trên Oxy mà từ đó kẻ đợc 2 tiếp tuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau. Bài 10. Cho hàm số: 2 mx x m y mx 1 + + = + 1/. Tìm m để hàm số đồng biến /(0;+) 2/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=1 (C). 3/. Tìm số tiếp tuyến có thể của (C) đi qua mỗi điểm thuộc (C). Bài 11. Cho hàm số: 2 x mx m y mx m + + = + 1/. Tìm điểm cố định đồ thị đị qua với mọi m. 2/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m=1. 3/. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) qua 5 A 0 4 ữ ; Copyright â by Doanhpham . 1/ ( ) 2 x m 2 x m y x 1 + + = + 2/ ( ) 2 mx m 1 x 1 y mx 2 + + + = + 3/ ( ) ( ) 2 2 2 2m x 2 m mx 1 y mx 1 + + = + Bài 8. Cho hàm số ( ) 2 2 m x mx m. để hàm số: 1/ 2 2x 3x m y 2x 1 + = + nghịch biến trên từng khoảng xác định; 2/ 2 2x 3x m y x 1 + = đồng biến trên ( ) 3,+ ; 3/ 2 mx (m 1) x 3 y x +