Giải Tích 12 Chương 1 : Đ Ạ O H A ØM      I). Phương pháp tính đạo hàm bằng đònh nghóa : • Tìm tập xác đònh D ⊂ R • Cho x 0 ∈ D số gia biến số ∆x . Tương ứng với số gia hàm số : ∆y = 0 0 ( ) ( )f x x f x+ ∆ − • Lập tỉ số y x ∆ ∆ • Tìm giới hạn 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ' ( ) ' ( ) lim lim x x f x x f x y y x f x x x ∆ → ∆ → +∆ − ∆ = = = ∆ ∆ II). Qui tắc tính đạo hàm : • ( u ± v ) ‘ = u ‘ ± v ‘ • (k u )’ = k u ‘ • (u.v)‘=u’v+u v‘ • (u.v.w)‘= u’v.w + u.v’w + u.v.w‘ • 2 ' ' ( )' u u v uv v v − = • 2 1 'u u u − = III). Công thức tính đạo hàm HS Lũy thừa HS Lượng giác HS Mũ - Logarit (x n )’ = n x n-1 (sin x)’ = cos x (e x )’ = e x 1 1 ( ) ' n n n x x + − = (cos x)’ = – sin x (a x )’ = a x ln a 2 1 )' 1 ( x x −= (tg x)’ = x 2 cos 1 = 1+tg 2 x (ln x )' = (ln x )' = x 1 1 ( ) ' 2 x x = (cotg x)’= 2 1 sin x − =– (1+cotg 2 x) (log a x)’= alnx 1 IV). Đạo hàm hàm số hợp Cho hai hàm số y =y(u) là hàm số y theo biến u và u = u(x) là hàm số u theo biến x . ta có công thức tính đạo hàm của hàm số hợp y theo x như sau : y’ x = y‘ u . u’ x  Bảng công thức tính đạo hàm hàm số hợp (u n )’ = nu’u n-1 (sin u)’ = u’ . cos u (e u )’ =u’. e u 1 1 . ' ( ) ' n n n u u u + − = (cos u)’ = – u’.sin u (a u )’ = u’a u ln a 2 1 ' ( )' u u u = − (tg u)’= 2 ' cos u u =u’.(1+tg 2 u) (lnu )' (ln u )'= = 'u u ' ( ) ' 2 u u u = (cotg u)’= 2 ' sin u u − = –u’(1+cotg 2 u) (log a u)’ = ' ln u u a • Chú ý : Trong các công thức tính đạo hàm theo biến số x ta có thể suy ra công thúc tính đạo hàm của hàm số hợp theo u như sau : khi thay biến số x  u thì vế phải nhân thêm cho u ‘ • Nếu thay x → u = ax + b thì vế phải nhân cho a V).Đạo hàm bậc 2 – bậc cao – vi phân :  Đạo hàm của đạo hàm bậc nhất f ’(x) là đạo hàm bậc 2 của hàm số y = f(x) . Kí hiệu là y “= f”(x)  Đạo hàm bậc n kí hiệu là y (n) = f (n) (x)  Vi phân hàm số bằng đạo hàm nhân vi phân biến số : dy = y’. dx VI). Phương trình tiếp tuyến  Hệ số góc của tiếp tuyến (C) tại M(x 0 ; y 0 ) là giá trò đạo hàm tại x 0  Phương trình tiếp tuyến đường cong y = f(x) tại điểm M (x 0 ; y 0 ) ∈ (C) là y – y 0 = f‘(x 0 ).( x – x 0 ) + M (x 0 ; y 0 ) gọi là tiếp điểm  Chú ý Khi viết phương trình tiếp tuyến (C) ta cần tính 3 giá trò x 0 ; y 0 và f’(x 0 ) . nếu chi 1 trong các giá trò trên ta sẽ suy ra các giá rò còn lại (1) Đạo hàm các hàm số lũy thừa : (a) 3 2 1 1 2 1 3 2 y x x x= − − + . Tính y’(– 1) ; tìm x để f’(x) = 0 -1- - 2 - (b) 2 2 (1 )y x= − . Tính y’( 1 2 ) ; tính đạo hàm của y‘. (c) 2 1 1 x y x + = − . Tính y’(1) ; y’(2) (d) 2 3 6 1 x x y x − + − = − . Tính y‘(–2) ; Giải phương trình f’(x)=0 (e) 1 1 1 2 2 1 y x x = + − + ; 2 1 1 x u x x + = + + ; 2 3 1 2 3 v x x x = + − (f) 3 4 y x x x= − + ; 1 1 2 y x x x x = − + ; 3 . .v x x x= (g) 2 ( )y x x= + ; 3 1 ( )v x x = + ; 1 2w x x= + + − (h) 2 2 (1 )y x x= + + ; 2 3 4 ( 1)(2 3)(2 5 )u x x x= − + − (2)* Tính các đạo hàm có chứa tham số : (a) 3 2 2 2 1y mx x mx m= + + + − . Tìm m để đồ thò cắt trục hoành tại điểm M có x 0 = - 1 . Khi đó giá trò đạo hàm tại x 0 (b) 2 1 1 x mx y x + + = − . Tìm m để phương trình y’= 0 có 2 nghiệm phân biệt . Khi m = 1 tính 2 nghiệm đó (c) 3 2 y x x mx 3= − + − . Tìm m sao cho y’(x)>0 x R∀ ∈ . Tìm m để phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm dương (d) 4 2 2 y x ax a 1= − + + . Tìm a để phương trình y’= 0 có 3 nghiệm (3) Dùng qui tắc đạo hàm hàm số hợp [a] 2 10 (3 1)y x= − [b] 2 2 5y x x= + + [c] 3 3 2 4y x x= − + [d] 4 2 3 ( 1)( 1)y x x= − + [e] 2 5 ( 1)y x= + [f] 2 (1 ) 2y x x= − + [g] 2 1 2 3 y x x = − − [h] 2 1 (1 ) y x = − [i] 2 1 2 1 y x = + [j] 2 2 3 2 (1 )(1 ) ( 1) x x y x + − = + [k] 2 1 x y x + = − [l] 1 1 x y x − = + [l] y a x b= + − [m] 2 y x x m= + + [n] 2 1y x x x= + − + (4) Đạo hàm các hàm số lưọng giác (a) 2 1 sin cos 2 2 y x x x= − . Tính y( 2 π ) ; y’( π ) (b) 0 3 0 2 sin( ) ; v cos(2 45 ) ; w=tg ( 3 ) ; z=cotg(60 ) 4 2 2 x u x x x π π = − = − − − (c) y = sin2x + cos2x + tg2x + cotg 2x . Tính y( 3 π ) ; y’( 8 π ) (d) x x x sin + cos + tg + cotg 2 3 4 5 x y = (e) 2 2 2 2 sin ; v cos ; w ; z =cotg x u x x tg x= = = (f) 4 2 3 2 2 sin ; v cos ; w ( +1) ; z =cotg ( ) 2 x u x tg x x a= = = + (g) 1 1 ; v= sinx cos ; w=tg x cot sin cos u x g x x x = + + + (h) ( ) sin(cos ) cos(sin ) ; g(x)=tg(sinx)+cotg(cosx)f x x x= + (i) 5 4 sin .cosu x x= ; 2 3 sin 3 .cos 2v x x= ; 2 1 cos 2 x w = + (j) 32 2 2 2 2 (cos sin ) ; v=(tg2x+cotg2x) ; w cotu x x g x a= − = + [k] sin cos sin cos a x b x y c x d x + = + [l] 2 2 1 sin .cos 2 2 y x x = [m] 2 2 2 1 2 x tg y x tg    ÷ =  ÷  ÷ −   [n] 2 sin ( 2 )y m x= − [o] sin 2 cos 2 m m y x x= + [p] sin .cos m n y x x= [q] cot k k y tg ax g ax= + [r] (sin ) (cos )y tg x cotg x= + [s] sin( ) cos(cot )y tgx gx= + (5)Tính đạo hàm các hàm số sau : ( hs mũ –logarit ) (a) 2 ( 2 3) x y x x e= − + ; (sin cos ) x u x x e − = − ; 2 3 10 x x x v = + + (b) 2 1 x y e= + ; 2 sin x u e x= ; 2 sin sin ; w = 2 x x x v e e= + (c) 2 1 1 ; u = x x x x x x x e e y e e e e e − − − = − + + ; 1 2 3 1 1 ; w = x x x x v e e e + + = − (d) 2 2 y x ln x xln x= + ; ln lnu x x= + ; 2 x y ln ln x 2 = + (e) 2 2 ln ln(ln ) ; u = 1+ln2x ; w= x .ln 1 x y x x x = + + (f) 2 2 2 x f(x) = x lgx + log ; g(x) = log (2 1)x x + (g) 2 2 ln 1 cos ; u=ln(x+ 1) ; v =ln tg ln 1 2 sin x x x y x x x − = + − + [h] sin(ln ) cos(ln )y x x= + [i] ln(sin ) ln(cos )y x x= + [j] 1 ln 1 x y x − = + [k] 4 ln 2 x y x − = − [l] 1 sin ln cos x y x + = (6) Tính các giá trò đạo hàm và đạo hàm cấp cao : (a) 1 y x 1 = + . Tính y’(2) ; ( 5 ) y ( 2 )− (b) y = 2 1 1 x x x + + + . Tính y‘ (–1 ) ; y ‘’(1) ; y’’’(0) (c) x y sin 2x sin 2 = + . Tính y( ) ; y'( ) ; y''( ) 2 3 π π π (d) y = tg x + cotgx . Tính y( 3 π ) ; y ’ ( ) 4 π ; y’’( 6 π ) (e) lny x x= . Tính y (e 2 ) ; y’’ (e) (f) y = x e x . Tính y (1) ; y ‘’ (0) (g) 3 2 1 y x 3x 5x 1 3 = − + + . Tìm x sao cho y’(x) > 0 và y ‘’(x) <0 (h) 2 y=x 1 x+ . Tính y’(0) và y’’(1) (7) Chứng minh các hệ thức về đạo hàm : (a) 2 ad-bc y' = (cx+d) ax b y cx d + = ⇒ + (b) 2 2 2 adx +aex+(be+cd) y' = (dx+e) ax bx c y dx e + + = ⇒ + (c) 2 2 2 2 1 ln( ) y' = y x x a x a = + + ⇒ + (d) 2 2 1 -a ln (x 0 ; a>0) y' = x a y x x x a + + = ≠ ⇒ + (e) y = x cosx . CMR : x y – 2(y’ – sinx) + x y’’ = 0 (f) y = e -x sinx . CMR : 2 y + 2 y’ + y’’ = 0 (g) y= 4cos 3 x - 3cosx CMR : y’ = - 3 sin3x (h) y = xtg x . CMR : x 2 y’’ –2 (x 2 +y 2 )(1+y) = 0 (i) sin x y e= CMR : y’ cosx – y sinx – y’’ = 0 (j) 2 x 1 y CMR 4y' ( 2 y 1 )y'' 2x 1 + = = − −  Bài tập nâng cao (8) Chứng minh các biểu thức sau : (a) 2 2 2 2 2 (ab'-ba')x +2(ac'-ca')x+bc'-cb' y' = ' ' ' ( ' ' ') ax bx c y a x b x c a x b x c + + = ⇒ + + + + (b) 2 2 4 2 2 1 2 2(x -1) ln y' = 1 2 1 x x y x x x − + = ⇒ + + + (c) sin cosa 2 ln y' = sin sin cos 2 x a y x a x a − = ⇒ + − (d) 2 ( )(1 sin ) 1 4 2 y' =- sin sin x tg x y x x π − + = ⇒ (e) 1 1 1 1 1 1 1 cos x (0; ) y' = - sin 2 2 2 2 2 2 2 8 8 x y x π = + + + ∀ ∈ ⇒ (f) 2 3 y 2x x CMR : x+yy'+y y'' 0= − = (g) 1 1 ln y x x = + + CMR : xy ‘ = y.(ylnx –1 ) (h) y = sin(lnx) + cos(lnx) CMR : x 2 y’’ + x y ‘ + y = 0 (i) 5 1 y CMR : y''+y = 3y cos 2x = (j) 2 2 2 x x y x 1 ln x x 1 CMR : 2y=xy'+lny' 2 2 = + + + + + (9) Giải phương trình có chứa đạo hàm : (a) 2 1 .cos 2 x y x − = . Giải PT : y – ( x – 1). y’ = 0 (b) y = (x+1)sinx + cosx . Giải PT : y’ = 0 (c) 2 sin cos 2 1y x x x= + + + Giải PT : y’ = 0 (d) y = 2x 2 + 16cosx – cos2x . Giải PT : y ‘’ = 0 (e) 2 2 ( 1) 1 8 3 y x x x x= − − − + . Giải BPT : ' 0y ≤ (10) Cho hàm số : 2 1y x x= + + (a) Tìm tập xác đònh của hàm số . (b) CM Rằng : 2 2 1 . 'y x y= + (c) Suy ra : 4 (1 + x 2 ) y‘’ + 4x. y’ – y = 0 (11) Tìm hoặc chứng minh đạo hàm cấp n (bằng phương pháp qui nạp) (a) ( ) ( ) ( 1)( 2) .( 1) m n m n x m m m m n x − = − − − + (b) 1 ( ) ( 1) ( 1)! (ln ) n n n n x x − − − = (c) ( ) (sin ) sin( ) 2 n x x n π = + ; ( ) (cos ) cos( ) 2 n x x n π = + (d) 2 (n) 2 y [ 2 ( 1)]. x x y x e x nx n n e= ⇒ = + + − (e) Tìm A,B sao cho 2 1 3 2 2 1 A B y x x x x = = + − + − − . Suy ra y (n) (f) 2 3 2 1 3 2 y = ; ; y = cos 1 2 1 x x y x x x x − + = − + − ( chỉ đưa ra dự đoán biểu thức y (n) không cần chứng minh qui nạp ) (12) Tính các đạo hàm (bằng cách lấy logarit Neper 2 vế hoặc đổi cơ số ) (a) 2 2 1 log ( 1) x y x + = + ; sin log (cos 1) x u x= + (b) 2 sin cosx x ( 1) ; u = (sinx) ; v = x x y x= + (c) x sin 2 1 cos x ; u = ; v =( 1+2) 1 cos 1+x x x e x y x x   −   = +  ÷  ÷  ÷ +      Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến đồ thò (C) tại điểm M thuộc (C): y – y 0 = f‘(x 0 ).( x – x 0 ) (1) Trong phương trình tiếp tuyến có 3 đại lượng cần tìm là x 0 , y 0 và f‘(x 0 )  Cho hoành độ tiếp điểm x 0 ⇒ Tính y 0 và f ‘ (x 0 )  Cho tung độ tiếp điểm y 0 ⇒ Tìm x 0 và f ‘ (x 0 )  Cho hệ số góc tiếp tuyến k ( hay là tiếp tuyến // hoặc ⊥ một đường thẳng khác ) . Ta có phương trình k = f’(x 0 ) (gọi là phương trình hoành độ tiếp điểm). Giải phương trình ta tìm được nghiệm x 0 . Suy ra và y 0 . Sau đó thế vào phương trình (1)  Chú y ù: Số nghiệm x 0 là số tiếp tuyến tìm được có hệ số góc k .Nếu phương trình vô nghiệm thì không có tiếp tuyến nào .  Hai đường thẳng song song ⇒ Hai hệ số góc bằng nhau k = k’  Hai đường thẳng vuông góc ⇒ Tích 2 hệ số góc k.k’= – 1 ∗Ví dụ : Viết phương trình của (C) : 2 y x 4x 3= − + : (a) Tại điểm có hoành đo ä x 0 = – 1 (b) Tại điểm có tung độ y 0 = 0 (c) Biết kệ số góc k = 6 Giải (a) Ta có x 0 = – 1 ⇒ y 0 = 8 Đạo hàm là y ‘ (x) = f(x) = 2x – 4 ⇒ y’(–1) = – 6 Vậy phương trình tiếp tuyến là y– 8 = – 6(x+1) ⇒ y= – 6x + 2 (b) Biết tung độ y 0 = 0 ta có phương trình hoành độ giao điểm là : 2 x 4 x 3− + = ⇒ x 1 = 1 và x 2 = 3 ⇒ f’(1) = – 2 và f’(3) = 2 Ta có 2 phương trình tiếp tuyến là + y – 0 = –2( x – 1) ⇒ y = – 2x + 2 + y – 0 = 2( x – 3) ⇒ y = 2x – 6 (c) Biết hệ số góc k = 4 . Ta có phương trình hoành độ tiếp điểm : 2x – 4 = 6 ⇒ x 0 = 5 ⇒ y 0 = 8 Phương trình tiếp tuyến là y – 8 = 6 ( x – 5) ⇒ y = 6x – 22 (13) Viết phương trình tiếp tuyến (PTTT) với đồ thò (C) : (a) 3 y x x= − tại điểm M∈(C) , biết i) M( 2 ; 6) ii) M có hoành độ bằng 1 iii) M trên trục tung iv) M trên trục hoành (b) 2 3 2 1 x x y x − + = + tại giao điểm (C) và trục hoành (c) 4 2 y = x 2x − + tại điễm có tung độ bằng 1 + song song với trục hoành (d) 2 1y x= + tại điểm M 0 ∈ (C) có tung độ 0 2y = (e) y = xln x biết hệ số góc tiếp tuyến k = 1 (f) y = sin 2 x tại điểm có hoành độ x = 6 π (g) 3 2 1 1 3 y x x= − + biết tiếp tuyến ⊥ 1 2 3 y x= − + (CĐTCKT4_2004) (h) Tìm trên 2 x 3x 6 y x 1 + + = + các điểm mà tại đó tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 y x 3 = (CĐĐiệnLực2006) (14) Cho hàm số : y = 1 3 x x + − có đồ thò (C) (a) Lập PTTT với (C) vuông góc đường thẳng (D) : 2006y x= + (b) Tìm điểm M trên (C) để tiếp tuyến tại đó song song (D’) 2x+y–4 =0 (15) Cho hàm số : 2 x x 1 y x 1 + + = + có đồ thò (C) (a) Viết PTTT song song đường thẳng (D) : y = – 3x (b) Tìm trên (C) những điểm có tọa độ là những số nguyên .Viết PTTT của (C) tại các điểm đó .  Bài tập nâng cao (16) Cho hàm số 3 2 3 9 5y x x x= + − + có đồ thò (C) (a) Tìm giao điểm của (C) và trục hoành . Viết PTTT của (C) tại các điểm đó (b) Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thò hàm số , hảy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất (17) Cho hàm số : 2 x mx 3 y x 1 + + = + có đồ thò (C) (a) Tìm m để (C) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương (b) Khi m = 0 viết PTTT (C) vuông góc (d) : x- 3y -1 = 0ù (18) Chứng minh rằng một tiếp tuyến bất kỳ của (C) : 1 y x = cắt 2 trục tọa độ tại A và B thì diện tích tam giác OAB không đổi . (19) Đònh m để (C) : 2 2 1y x mx= − + cắt trục hoành tại 2 điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau . (20) Cho điểm M ∈ 3 2 m 1 m 1 ( C ) : y x x 3 2 3 = − + có hoành độ –1. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm M song song đường thẳng 5x– y = 0 (KhốiD 2005) (21) Cho hàm số 2 3 3 1 x x y x − + = − . Tìm 2 điểm A , B thuộc đồ thò hàm số sao cho tiếp tuyến tại A,B của đồ thò song song với nhau và độ dài đoạn AB ngắn nhất .      Chương 2 :ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Bài 1 Tính đơn điệu của hàm số  Điều kiện cần : • f(x) đồng biến (tăng) trên (a,b) ⇒ f ’(x) ≥ 0 , ∀x ∈ (a,b) • f(x) nghòch biến (giảm) trên (a,b) ⇒ f ’(x) ≤ 0 , ∀x ∈ (a,b) (Hàm số đồng biến hay nghòch biến trên (a,b) gọi là hs đơn điệu ) • f(x) không đổi trên (a,b) ⇔ f ’(x) = 0 , ∀x ∈ (a,b) (hàm hằng)  Điều kiện đủ :  f’(x) > 0 , ∀x ∈ (a,b) ⇒ f (x) đồng biến (a,b)  f’(x) < 0 , ∀x ∈ (a,b) ⇒ f (x) nghòch biến trên (a,b) Chú ý : Nếu đạo hàm ≥ 0 ( hoặc ≤0) và dấu = chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn trên D thì hàm số sẽ Đbiến ( hoặc Nbiến ) trên D  Điểm tới hạn : x 0 của hàm số f (x) là các điểm mà tại đó đạo hàm f’(x 0 ) = 0 hoặc f ‘ (x 0 ) không xác đònh .  Phương pháp giải toán : Loại 1 :Xét tính đơn điệu của hàm số (hay tìm khoảng ĐB,NB) • Tìm tập xác đònh D của hàm số • Tính đạo hàm bậc nhất f ’ (x) • Tìm các điểm tới hạn x 1 ; x 2 ; x 3 . . . . • Lập bảng xét dấu f ‘(x) (sau nầy còn gọi là bảng biến thiên ) • Dựa vào bảng trên kết luận khoảng đồng biến Z , nghòch biến ]  Chú ý : khi xét dấu đạo hàm ta thường gặp nhò thức bậc nhất hoặc tam thức bậc 2 . Ngoài ra có 2 trường hợp đặc biệt sau đây :  Nếu là f ’(x)= đa thức bậc 3. thì khoảng nghiệm gần + ∞ thì f’(x) sẽ cùng dấu ax 3  Khi xét dấu của hàm vô tỉ, siệu việt, lượng giác . . . Nên áp dụng tính chất của hàm liên tục để nhẩm dấu trên khoảng : “ Nếu g(x) không triệt tiêu trên (a ; b) thì nó mang 1 dấu trên khoảng đó “ ⇒ Lấy một giá trò bất kỳ trên khoảng và đònh dấu >0 hay <0  Loại 2 : Đònh tham số m để hàm số luôn đồng biến (hoặc nghòch biến ) trên R : Nếu y’= g(x) = ax 2 + bx + c hoặc dấu y’ tùy thuộc tam thức g(x)  Hàm số luôn đồng biến trên R g(x) 0 g(x) 0 , x 0 a R >  ⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔  ∆ ≤   Hàm số luôn nghòch biến trên R g(x) 0 g(x) 0 , x 0 a R <  ⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔  ∆ ≤   Loại 3 : Đònh tham số m để hàm số đơn điệu trong một khoảng cho trước : loại nầy thường dẫn đến bài toán so sánh một số α ( hoặc hai số α và β ) với các nghiệm x 1 và x 2 của tam thức bậc hai g(x) = ax 2 + bx + c ( thường thì g(x) = f ‘ (x) )  Nhắc lại một số kiến thức về so sánh 1 số cho trước với nghiệm số của tam thức bậc 2 : f(x) = ax 2 +bx + c • x 1 < α < x 2 ⇔ a.f( α ) < 0 • 1 2 af( ) 0 x af( ) 0 x α α β β ≤  ≤ < ≤ ⇔  ≤  • α ≤ x 1 < x 2 α α   ∆ >  ⇔ ≥    − >  0 . ( ) 0 0 2 a f S • x 1 < x 2 ≤ α α α   ∆ >  ⇔ ≥    − <  0 . ( ) 0 0 2 a f S • x 1 ≤ α < x 2 ≤ β α β ≤  ⇔  ≥  . ( ) 0 . ( ) 0 a f a f • α 1 ≤ x 1 < β < x 2 α β ≥  ⇔  <  . ( ) 0 . ( ) 0 a f a f • f(x)có 2 nghiệm phân biệt và chỉ có 1 nghiệm ∈ ( α ; β ) ⇔ f( α ).f( β ) <0 • α < x 1 < x 2 < β α β α β ∆ >   >   ⇔  >   < <   0 . ( ) 0 . ( ) 0 2 a f a f S (22) Khảo sát tính đơn điệu của hàm số [a] 3 2 5 1y x x x= + − − [b] 3 2 2y x x x= − + − [c] 2 ( 1)( 1)y x x x= − + + [d] = − 2 4 1 1 2 4 y x x [e] = + − 4 2 2y x x [f] = − + 2 2 (1 )(1 )y x x [g] − + + = − 2 3 3 2( 1) x x y x [h] = − − − 4 2 1 1 y x x [i] − − = − 2 3 1 3 x x y x [j] + = − 2 2 x y x [k] = + − 1 3 1 y x [l] = − 4 1 2 y x [m] = + − 4 3 1 1 2 4 3 y x x x [n] − + = + + 2 2 1 1 x x y x x [o] + = + 2 1 1 x y x (23)Tìm khoảng đồng biến và nghòch biến của hàm số : [a] y = x e x [b] 2 . x y x e − = [c] 2 4ln( 1)y x x= − − [d] = ln x y x [e] π = + ∈cos2 x (0; ) 2 y x x [f] s 2 6sin 2 x (0; )y in x x x π = − − ∈ [g] 3 sin xy x= + [h] cot x ( ; ) 2 2 y tgx gx π π = + ∈ − [i] 1 3y x x= + + − [j] = + − 2 3 4y x x [k] + = + 1 3 x y x [l] = − + 2 4 5y x x [m] = + 2 ln( 1)y x [n] π = + ∈2sin sin 2 x (0;2 )y x x (24) Đònh tham số m . . để hàm số sau thỏa điều kiện đơn điệu : [a] 3 2 2 3 3y x x mx= + + − i) Đồng biến trên R ii) Đồng biến trên (1 ; +∞) iii) Nghòch biến trên ( - 2 ; 1) [b] 2 1 x x m y x − + − = − i) Nghòch biến trên từng khoảng xác đònh ii) Đồng biến trên (1 ; 2) [c] 1x y x m − = − i) Đồng biến trên các khoảng xác đònh ii) Đồng biến trên ( – 1 ; 2) [d] 4 2 2y x mx m= − + i) Nghòch biến khi x < – 1 ii) Đồng biến trên ( – 1 ; 2) [e] + = + 2 1 x a y x luôn đồng biến trên tập xác đònh  Bài tập nâng cao (25) Đònh m để hàm số : = − − + − − 3 2 (2 1) ( 2) 2y mx m x m x luôn đồng biến trên R . (26) Đònh a để hàm số : + − = + 2 6 2 2 ax x y x [a] Đồng biến trên từng khoảng xác đònh [b] Nghòch biến trong khoảng (1;+ ∞ ) (27) Đònh m để hàm số : = + − 4 3 2 2 1 1 4 3 y x x m x (a) Nghòch biến trên (– ∞ ; – 1) (b) Nghòch biến trên ( 1 ; 2 ) (28) Đònh m để hàm số sau thỏa điều kiện : (a) 3 2 3y x x mx m= + + + nghòch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 (b) 2 2 2 3 2 x mx m y x m − + = − đồng biến trên ( 1 ; +∞) (c) 3 2 3( 1) 3 ( 2) 1y x m x m m x= − − + − + đồng biến trên tập hợp các giá trò của x sao cho 1 2x≤ ≤ (d) 2 3 2 ( 5 ) 6 6 6y m m x mx x= − + + + − đơn điệu trên R . Khi đó hàm số đồng biến hay nghòch biến . (e) 2 3 2 ( 1) 2 ( 2)m x mx m m y x m + − − − + = − luôn nghòch biến trên các khoảng xác đònh của hàm số (f) 2 1 1 x mx y x + − = − đồng biến trên (–∞;– 1) và (1 ; +∞) (29) Đònh a để hàm số : = − − + 2 y x x x a nghòch biến trên R (30) Dùng tính đơn điệâu để chứng minh bất đẳng thức : [a] ≥ − ∀ >cos 1 ( 0)x x x [b] x (0; ) 2 tgx x π > ∈ [c] e x > 1 + x (∀x∈ R) [d] 2 ln(1 ) 2 x x x x− < + < [e] 1 1 1 ln 1 x x x x + < < + [f] x+y = 1 thì 4 4 1 8 x y+ ≥ (31) (a) Chứng minh rằng − ≤ ∀ ∈ 2 2 3 (1 ) x (0;1) 9 x x (b) Từ đó chứng minh rằng : nếu a,b,c >0 và a 2 + b 2 + c 2 =1 thì + + ≥ + + + 2 2 2 2 2 2 3 3 2 a b c b c c a a b  Đáp số : [B24] 4 7 7 ( ) i). m ii). m iii). m 9 3 3 a ≥ ≥ − ≤ − ( ) i). m 0 ii). 0 < m < 1b ≤ ( ) i). m 1 ii). m 1c < ≤ − ( ) i). 1 ii). m 4 d m ≤ ≥ [B25] [B29] Không tồn tại giá trò a [B26] 7 14 ( ) 0 < a (b). a 2 5 a ≤ ≤ − [B27] ( ) m = 0 (b). m 3 v m 3a ≤ − ≥ [B28] 9 ( ) m= (b). m 2 3 (f) m 0 4 a ≤ − ≤ Bài 2 Cực Trò của hàm số  Đònh nghóa :  Hàm số đạt cực đại tại x 0 ⇔ f(x) < f(x 0 ) (∀ x ∈ V= lân cận x 0  Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 ⇔ f(x) > f(x 0 ) trừ ra điểm x 0 )  Chú ý Gọi chung là f (x) đạt cực trò tại x 0 ; x 0 gọi là điểm cực đại hay cực tiểu của hàm số . Giá trò cực đại và cực tiểu f(x 0 ) tương ứng gọi là cực trò của hàm số . Kí hiệu y CĐ , y CT .  Minh hoạ tính đơn điệu ,cực trò bằng đồ thò  Hàm số đồng biến trên (a ,b) và (c ; d)  Hàm số nghòch biến trên (b ; c )  Hàm số đạt cực đại tại x 1 = b và đạt cực tiểu tại x 2 = c • Đònh lý Fermat (Điều kiện cần ) Nếu f có đạo hàm tại x 0 và f đạt cực trò tại x 0 thì f ‘(x 0 ) = 0 • Điều kiện đủ 1 : Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm trên một vùng lân cận x 0 và f ’(x) đổi dấu khi qua x 0 thì f đạt cực trò tại x 0 . Cụ thể : ∗ Từ dấu (+) → (– ) thì f đạt cực đại tại x 0 ∗ Từ dấu (– ) → (+) thì f đạt cực tiểu tại x 0 • Điều kiện đủ 2 : Nếu hàm số y= f(x) có f ’’(x) liên tục tại x 0 và f ’(x 0 ) = 0 ; f’’(x 0 ) ≠ 0 thì x 0 là điểm cực trò của hàm số : ∗ Nếu f ’’(x 0 ) < 0 thì f đạt cực đại tại x 0 ∗ Nếu f ’’(x 0 ) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0 • Chú ý : điều kiện f ’(x 0 ) = 0 , chưa đủ kết luận x 0 là điểm cực trò mà phải xét dấu f’(x) khi qua x 0 (Dấu hiệu 1) hoặc đònh dấu giá trò của f ’’(x 0 ) (Dấu hiệu 2)  Phương pháp tìm cực trò của một hàm số:  Qui tắc 1 ( dùng đạo hàm bậc nhất ) • Tìm tập xác đònh D của hàm số • Tính đạo hàm bậc nhất f ’ (x) • Tìm các điểm tới hạn x 1 ; x 2 ; x 3 . . . . • Lập bảng biến thiên để xét dấu f ‘ (x) • Kết luận các điểm cực đại CD ]Z và điểm cực tiếu CT] Z  Qui tắc 2 ( dùng đạo hàm bậc hai ) • Tìm tập xác đònh D của hàm số • Tính đạo hàm bậc nhất f ’(x) • Giải phương trình f ‘ (x) = 0 tìm các nghiệm : x 1 ; x 2 ; x 3 . . . . • Tính f ‘’ (x ) • Đònh dấu f ‘’(x 1 ) ; f ‘’(x 2 ) ; f ‘’(x 3 ) . . . . • Kết luận điểm cực đại f ”(x) < 0 và cực tiểu f ” (x) >0  Đặc Biệt :  Cực trò của hàm hửu tỉ : Nếu hàm số hữu tỉ : ( ) ( ) ( ) u x y f x v x = = đạt cực trò tại x 1 thì giá trò cực trò tương ứng là 1 1 1 '( ) ( ) '( ) u x f x v x =  Cực trò của hàm bậc 3 : Nếu hàm số bậc 3 : y = ax 3 +bx 2 +cx + d có 2 điểm cực trò x 1 và x 2 .  Giả sử khi chia đa thức bậc 3 là y = ax 3 + bx 2 + cx + d cho đạo hàm y’= 3ax 2 +2bx +c được thương q (x) và phần dư r(x)= kx+ m  Ta viết : y = y’. q(x) + r(x) .  Nếu hàm số đạt cực trò tại x 1 thì y’(x 1 ) = 0 ⇒ y 1 = r(x 1 ) và tương tự cho y 2 =r(x 2 )  Do đó phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trò của đồ thò hàm số bậc 3 là phần dư : y = r(x) = kx + m •Chú ý : Nếu y’= g(x) = ax 2 + bx + c hoặc dấu y’ tùy thuộc tam thức g(x) . Điều kiện hàm số có cực trò g(x) 0 0 a ≠  ⇔  ∆ >  Phương pháp tìm tham số m để hàm số đạt cực trò tại x 0 ♦ Hàm số đạt cực trò tại x 0 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 f x f x =  ⇔  ≠  ♦ Hàm số đạt cực đại tại x 0 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 f x f x =  ⇔  <  ♦ Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 f x f x =  ⇔  >  (32) Tìm cực trò (nếu có ) , của các hàm số : [a] 4 2 4 3y x x= − + [b] 2 2 1 2 x x y x − + = − [c] 2 2 1 x y x − = + [d] + + = − 2 2 1 1 x x y x [e] = + 2 1 y x x [f] − = − + 2 3 1 3 2 x y x x [g] + − + = + 3 2 2 4 1 x x x y x [h] = − 4 1 x y x [i] 2 . x y x e − = [j] 2 x x y e − + = [k] 2 lny x x= [l] 2 lny x x= − [m] 2 1y x x= − [n] sin (1 cos ) (0 x )y x x π = + ≤ ≤ [o] 32 2 ( 4)y x x= − [p] π + = + + ∈ 2 3 3 sin cos x [0;2 ] 2 x y x x [q] 2 2 3 1y x x= + + [r] 2 1 1 x y x + = + [s] = − + − + 4 3 2 1 11 2 6 5 4 2 y x x x x [t] 1 sin 1 sin x y x + = − [u] cot ( ) 3 y g x π = + [v] 2 sin ; x [0;2 ] x y x π = ∈ [w] + = − + 2 1 1 x y x x [x] = − + + 2 2 3 5y x x [y] − + = − 2 2 2 1 x x y x (33) Đònh tham số của hàm số để điểm cực trò thỏa điều kiện : [a] Đònh m để hàm số = − + − + 3 2 2 3 ( 1) 2y x mx m x đạt cực đại tại điểm x = 2 ( TNPT 2005) [b] Đònh m để hàm số = − − 3 2 1 3 y x mx mx i) Đạt cực tiểu tại x = 1 ii) Có cực trò trong khoảng ( –∞ ; 0) iii) Đạt cực tiểu trong khoảng (–3 ; 4) [c] Đònh m để hàm số − − = − 2 1 1 x mx y x i) Đạt cực trò tại x = 0 ii) Có hai cực trò iii) Có điểm cực đại thuộc khoảng (–3 ; 1) [d] Đònh m để hàm số = − + 4 2 2y x mx m i) Có đúng 1 cực trò ii) Có ba cực trò iii) Có điểm cực tiểu thuộc khoảng ( 1 ; 2) [e] Đònh m để hàm số = − − + − + 3 2 1 1 ( 1) 3( 2) 3 3 y mx m x m x i) Có cực trò ii) Có cực đại và cực tiểu có hoành độ dương iii) Có cực đại và cực tiểu tại x 1 ; x 2 thỏa điều kiện x 1 +2x 2 = 1 iv) Có cực đại ; cực tiểu và x CĐ < x CT v) Có cực đại tại x = 0 [f] Đònh m để hàm số + − = − 2 2 1 x mx y mx i) Có cự c trò ii) Có cực đại , cực tiểu với hoành độ thỏa : x 1 + x 2 = 4x 1 x 2 iii)Có cực đại , cực tiểu với hoành độ dương [g] Đònh m để 4 2 1 3 4 2 y x mx= − + có cực tiểu nhưng không có cực đại [h] Tìm m để − + + − 3 2 y = 3 3 1x x mx m có hoành độ điểm cực trò < 2 [i] Tìm m để + − − − 3 2 y = m 3 ( 1) 1x mx m x không có cực trò (ĐHBK2000) (34) Chứng minh rằng hàm số sau luôn luôn có CĐ và CT : [a] + − + 2 2 x 2 y = 1 x m x . Đònh m để điểm CĐ,CT thuộc khoảng ( –3; 3) [b] 3 2 2 3 3 3( 1) - m y x mx m x m= + + − + c] + 1 y = x+3-m+ x m  Bài tập nâng cao (35) Đònh tham số để có cực trò ( các hàm số khác ) : [a] − + 2 y = 2x + 2 + m 4 5x x có cực đại . [b] + 2 x+a y = 1x . i). Không có cực trò ii).Có cực tiểu [c] 2 1 y = (m-1)x - mx +lnx 2 đạt cực tiểu tại x = 1 [d] y = m.sinx – x có cực trò . [e] + 2 2 y = e mx x có cực đại . (36) Chứng minh rằng hàm số luôn có cực trò : [a] 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + + và hoành độ các điểm CĐ, CT thỏa x 1 – x 2 không phụ thuộc m [b] + − − + − 2 2 2 x ( 1) 1 y = m m x m x m [c] 3 2 2 (cos 3sin ) 8(cos2 1) 1 3 y x x x α α α = + − − + + với 2 2 1 2 18x x+ ≤ (37) Đònh m để hàm số có cực trò , viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trò đó : [a] 3 2 2 3 2 3 3(1 )y x mx m x m m= − + + − + − (KhốiA2002) [b] = + − + − − 3 2 2 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x . Đònh m để đường thẳng qua điểm CĐ và CT song song đường thẳng y = – 2x [...]... số : y = mx + (* ) ( m la tham số ) x 1 [a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m = 4 [b] Tìm m để hàm số (* ) có cực trò và khoảng cách từ điểm cực tiểu của 1 (Cm) đến đường tiệm cận xiên của (Cm) bằng ( KhốiA_2005) 2  ĐS : (B40) (a) m = 0 (b) k = – 1 v k = 5 (B42) (b) Hai điểm M12 ( 1 ± (B43) M12 ( ± 4 4 8 8 4 ;1 ± ± 2 ) khi đó Tổng D= (c) AB = 2 2 3 1 1± 5 ; − ± 3 ) (B44) m = 2 2... 95) ĐS : (B42) A( 3 ,7 ) ; B(– 3 , – 2) ( B44) M12 ( ± 1 2 x 2 − 3x + 4 đối xứng nhau 2x − 2 ; −1m 2 ) 2 (B43) m < 0 v m > 1 2 15 ± 57 15 m 57 ; ) (B44) M12 ( 6 6  Vấn đề 8: Đồ Thò của Hàm co ù chứa giá trò tuyệt đối Bài toán : Cho đồ thò (C) của hàm số :y = f(x) Từ đồ thò (C) suy ra đồ thò hàm số sau : nếu f(x) > 0  f (x)  Đồ thò (C1): y = f ( x ) =  − f ( x ) nếu f(x) < 0  Do đó (C 1 ) gồm... Đònh m để (D) tiếp xúc với (C) : [a] (C) : y = x 3 − 3 x 2 + 2 ; ( ) : y = m(x+1) -2 x+3 [b] (C) : y = ; ( ) : y = -2x + m x+1 x2 − 3x + 3 ; ( ) : y = 3x + m 1− x x2 + x − 2 [d] (C) : y = ; ( ) : y = mx x +1 ( 2m − 1 )x − m 2 ; ∆ : y=x [e] (C) y = x −1 Trong câu (c) , (d) đònh tọa độ tiếp điểm  Bài Tập nâng cao [c] (C) : y = (TNPT2001) (TNPT2004) (TNPT2005) ( Khối D2002) 1 3 x − 2 x 2 + 3 x (C) 3 [b]... hàm số y = x −1 Dựa vào (C ’) đònh m sao cho phương trình : x2 –(m – 1) x + m –1= 0 có 2 nghiệm thuộc ( 1 ; 1) (2 7) [a] Khảo sát và vẽ (C) của hàm số : y = x 2 Viết phương trình x −1 tiếp tuyến của (C) phát xuất từ A (0 ; 1) [c] Dùng đồ thò (C) , biện luận phương trình : (1 – m) x2 – ( 1 – m ) x + 1 = 0 (2 8) [a] Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số : y = f(x) = ( x − 1)2 x+2 ( x − 1) 2 =m [c] Biện... 2 x +1 (3 8) *[a] Khảo sát và vẽ đồ thò (C) : y = ø x [b] Tìm tập hợp các điểm để từ đó có thể kẽ đến (C) hai tiếp tuyến và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau ( H Y Dược 99) 2 2 x + (m + 1) x − 3 (3 9) Cho hàm số : y = Tìm q tích giao điểm 2 đường x+m tiệm cận của đồ thò hàm số trên  ĐS : (B35) y = – 2x – 4 (x0 ) ; (B36) m>1 và y=x2 +4x– 2 (x>1) (B37) (a) A(2,0) ; B(-2,0) (b) m= – 1 (c) y =... ii).m= iii) 0 1 2 (b) m = (d) i) m0 iii) 1 < m < 4 3 ; 2 [B37] (a) y = 2x -m + m (b) m=1 v m = 7 [B38] (a ) − 3 < m < 1 [B39] (a) m=1 (b) 0 . pháp qui nạp) (a) ( ) ( ) ( 1 )( 2) .( 1) m n m n x m m m m n x − = − − − + (b) 1 ( ) ( 1) ( 1)! (ln ) n n n n x x − − − = (c) ( ) (sin ) sin( ) 2 n x x. biến (tăng) trên (a,b) ⇒ f ’(x) ≥ 0 , ∀x ∈ (a,b) • f(x) nghòch biến (giảm) trên (a,b) ⇒ f ’(x) ≤ 0 , ∀x ∈ (a,b) (Hàm số đồng biến hay nghòch biến trên (a,b)