SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GD&ĐT CẨM THỦY - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH BIẾT VẬN DỤNG CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI - ĐẠI SỐ Người thực hiện: PHẠM THỊ HUYỀN Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Cẩm Tân SKKN thuộc lĩnh vực : Mơn Tốn THANH HÓA NĂM 2019 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Trang 1.1 Lí chọn đề tài Trang 1.2 Mục đích nghiên cứu Trang 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trang 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trang NỘI DUNG Trang 2.1 Cơ sở lí luận Trang 2.2.Thực trạng vấn đề Trang 2.3 Các biện pháp thực Trang 2.3.1 Phân tích kiến thức, kỹ nguyên nhân Trang dẫn đến học sinh giải sai phần rút gọn biểu thức chứa 2.3.2 Phát sai lầm thường gặp vận dụng giải toán bậc hai Trang 2.3.3 Biết sử dụng đẳng thức để rút gọn biểu thức có chứa bậc hai Trang 2.3.4 Một số dạng tập thi học kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, thi HSG cấp năm Trang 10 2.4.1 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Trang 15 KẾT LUẬN, KIẾN THỨC Trang 17 3.1 Kết luận Trang 17 3.2 Đề xuất Trang 17 Danh mục tham khảo Trang 18 MỞ ĐẦU: 1.1 Lí chọn đề tài Tốn học môn học dành nhiều quan tâm ý nhà nghiên cứu, bậc phụ huynh học sinh Nó đóng vai trò quan trọng thực tiễn sống, ứng dụng nhiều lĩnh vực khác như: Kinh tế, tài chính, kế toán, Nhưng học toán với nhiều học sinh dễ, học tập nghiên cứu mơn học này, học sinh thường gặp nhiều khó khăn trở ngại việc đưa phương pháp hợp lí để giải toán cho nên nhờ vào công thức để vận dụng vào tập cần làm Trong q trình giảng dạy mơn tốn cấp THCS, thân nhận thấy: Phần rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai đơn vị kiến thức trọng tâm chương trình Đại số Đặc biệt kỳ thi vượt cấp, thi HSG, có nhiều tốn dễ học sinh lúng túng, giải chưa tốt, chưa linh hoạt, vậy, việc rèn cho học sinh lớp thực tốt dạng toán yêu cầu bắt buộc Để giúp em giải mối băn khoăn lúng túng mâu thuẫn này, với kinh nghiệm nhiều năm công tác chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh biết vận dụng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai – Đại số 9” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Đề tài đưa số phương pháp giải để giúp học sinh biết vận dụng lý thuyết vào thực hành giải tập Đại số phần: “ Rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai ”để nhằm mục đích giải phần thắc mắc khâu giải tập tìm lời giải thích hợp cho học sinh để góp phần nâng cao nghiệp giáo dục tinh thần trách nhiệm người thầy giáo nghiệp giáo dục Giúp học sinh biết sử dụng đẳng thức học cách thích hợp, biết tổng hợp bố cục toán Khắc phục sai lầm học sinh giải dạng toán luyện thi tập nâng cao 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Đề tài tập trung nghiên cứu toán chứa thức bậc hai mà đối tượng nghiên cứu học sinh lớp trường THCS Cẩm Tân, điều giúp tơi sâu vào nội dung nghiên cứu cung cấp cho học sinh kiến thức, phương pháp, kỹ giải toán rút gọn biểu thức chứa - Vận dụng xác đẳng thức rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Trong trình thực sáng kiến kinh nghiệm sử dụng phương pháp sau : - Quan sát trực tiếp đối tượng học sinh để phát vấn đề mà học sinh thấy lúng túng, khó khăn giáo viên yêu cầu giải vấn đề - Điều tra tồn diện đối tượng học sinh khối trường THCS Cẩm Tân mà trực tiếp giảng dạy để thống kê học lực học sinh Tìm hiểu tâm lý em học mơn tốn, quan điểm em tìm hiểu vấn đề giải tốn có liên quan đến bậc hai (qua phiếu học tập, kiểm tra câu hỏi trắc nghiệm ) - Thực nghiệm giáo dục giải mới, tiết luyện tập, tiết trả kiểm tra, đưa vấn đề hướng dẫn học sinh trao đổi, thảo luận nhiều hình thức khác hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở để học sinh khắc sâu kiến thức, tránh sai lầm giải tập Yêu cầu học sinh giải số tập theo nội dung sách giáo khoa đưa thêm vào yếu tố mới, điều kiện khác để xem xét mức độ nhận thức suy luận học sinh, tìm nguyên nhân sai lầm mà HS thường mắc phải - Về lí thuyết: Yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức học, tham khảo thêm sách luồng sách nâng cao - Đưa dạng tập từ dễ đến khó, dạng toán luyện thi lưu ý học sinh sai lầm dễ mắc phải q trình giải tốn 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận: Trong chương trình Tốn 9, sách giáo khoa lớp sách tập( tập 1)đưa nhiều dạng tập rút gọn biểu thức chứa căn, đặc biệt kỳ thi học kỳ I, học kỳ II, ôn thi vào lớp 10, thi HSG cấp, Học sinh thường gặp đề thi có nội dung rút gọn biểu thức thực phép tính có chứa thức bậc hai Muốn giải tập đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức, thuộc đẳng thức đáng nhớ học lớp 8, biết vận dụng chúng vào loại tập Khó khăn em học đẳng thức đáng nhớ lớp viết dạng biểu thức chứa chữ, khơng có chứa căn, mà lớp tập rút gọn biểu thức thường cho dạng thức bậc hai có liên quan đến bảy đẳng thức đáng nhớ Chính số em yếu khơng nhận thấy điểm nên không làm tập rút gọn Vì ta phải cho học sinh nhìn thấy mối quan hệ qua lại đẳng thức đáng nhớ lớp đẳng thức lớp để em tự phát vận dụng vào việc giải tập 2.2 Thực trạng vấn đề : Là giáo viên trực tiếp giảng dạy nhiều năm liên tục dạy chương trình tốn trường THCS Cẩm Tân.Theo dõi trình học tập, qua kiểm tra thi cử gặp dạng toán nhiều em thường mắc sai lầm như: Thiếu điều kiện, phương pháp giải máy móc, lúng túng vận dụng phương pháp giải vào dạng toán cụ thể, vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào biểu thức có chứa căn, dẫn đến chất lượng chưa cao Vì xếp tập theo mức độ từ thấp đến cao theo dạng toán với phương pháp giải phù hợp giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ việc làm cần thiêt Cụ thể: Qua khảo sát hai lớp 9A, 9B năm học trước 2017 – 2018 kiểm nghiệm qua kiểm tra phần chưa áp dụng đề tài cho thấy: Lớp Sỹ số Giỏi Khá Trung bình Yếu SL % SL % SL % SL % 9A 40 12,5 10 16 25 16 40 22,5 9B 39 12,8 18.1 19 48,8 20,3 Tổng 79 12 15,2 16 20,3 33 41,9 17 21,6 2.3 Các biện pháp thực : 2.3.1 Phân tích kiến thức, kỹ nguyên nhân dẫn đến học sinh giải sai phần rút gọn biểu thức chứa + Về lý thuyết - Nhiều học sinh chưa thuộc quên đẳng thức học lớp nên áp dụng để rút gọn lúng túng, khơng giải - Để khắc phục vấn đề nêu trên, cho học sinh ôn kỹ lại đẳng thức học sau: Bình phương tổng: ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 Bình phương hiệu: ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 Hiệu hai bình phương : a2 – b2 = ( a + b ).( a – b ) Lập phương tổng : ( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Lập phương hiệu : ( a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 Tổng hai lập phương : a3 + b3 = ( a + b).( a2 - ab + b2 ) Hiệu hai lập phương : a3 - b3 = ( a - b).( a2 + ab + b2 ) - Biết vận dụng để đưa vào đẳng thức đáng nhớ lớp viết dạng có dấu căn: 1) a + ab + b = 2) a − a + = ( ( a+ b ) a −1 ) 2 ( ) ( ) = ( a + b ) ( 4) a a + b b = ( a ) + ( b ) = ( a + 5)1 − a a = ( 1) − ( a ) = (1 − a ) ( + 3) a − b = a − b 3 3 a− b ( ) b ) a − ab + b a +a ) ) 6) a b + b a = ab ( a + b ) 7) a + a = a ( a + 1) Có đẳng thức sử dụng vào lớp nên không đưa vào phần ghi nhớ lớp - Nêu tóm tắt lý thuyết cần nhớ học chương trình SGK sau đưa dạng tâp bản, tập nâng cao, đề luyện thi, từ dễ đến khó sau dạng tập rút phương pháp giải tránh sai lầm hay mắc phải giải toán 2.3.2 Phát sai lầm thường gặp vận dụng giải toán bậc hai a Sai lầm kỹ tính tốn : Sai lầm việc xác định điều kiện tồn bậc hai : Ví dụ : Tìm x, biết : 4(1 − x) -6=0 * Lời giải sai : 4(1 − x) - = ⇔ (1 − x) = ⇔ (1 – x ) = ⇔ – x = ⇔ x = - * Phân tích sai lầm: Học sinh chưa nắm vững ý sau : Một A = | A|, có nghĩa : cách tổng quát, với A biểu thức ta có A = A A ≥ ( tức A lấy giá trị không âm ); A = -A A < ( tức A lấy giá trị âm ) Vậy theo lời giải bị nghiệm * Lời giải : 4(1 − x) -6=0 ⇔ (1 − x) =6 ⇔ |1- x | = Ta phải giải hai phương trình sau: 1) 1- x = ⇔ x = -2 2) 1- x = -3 ⇔ x = Vậy ta tìm hai giá trị x x1= -2 x2= Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ : A= x+ x * Lời giải sai : A = x + Vậy A = - x =(x+ x + ) - =( + ) ≥ - 4 * Phân tích sai lầm : Sau chứng minh f(x) ≥ hợp xảy f(x) = - x xảy * Lời giải : Để tồn x =- , chưa trường (vơ lý) x x ≥0 Do A = x + x ≥ hay A = x = b Sai lầm kỹ biến đổi sử dụng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai : Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức : * Lời giải sai : x2 − x+ x − ( x − )( x + ) = = x− x+ x+ * Phân tích sai lầm : Rõ ràng x = - x + = 0, biểu thức x2 − không tồn Mặc dù kết giải học sinh khơng sai, x+ sai lúc giải khơng có lập luận, khơng có điều kiện, biểu thức khơng tồn có kết * Lời giải : Biểu thức phân thức, mà để phân thức tồn cần phải có x + ≠ hay x ≠ - Khi ta có: x − ( x − )( x + ) = = x − (với x ≠ x+ x+ 3 ) Ví dụ 2: Cho biểu thức: Q= ( x 1− x + x 1+ x 3− x x −1 )+ với x ≠ 1, x > a, Rút gọn Q b, Tìm x để Q > -1 Giải: với x ≠ 1, x > Q= ( x 1− x =( = + x 1+ x )+  x (1 + x ) + x (1 − x )  − x 3− x = + (1 − x )(1 + x ) x −1 1− x   x 3− x x − (3 − x ) x + x + x − x 3− x =( = )− − 1− x 1− x 1− x 1− x 1− x x −3 −3 = =− 1− x 1+ x 1+ x * Lời giải sai ý b: Q > -1 nên ta có: − > -1 ⇔ > + 1+ x x ⇔ 2> x ⇔ > x hay x < Vậy với x < Q < -1 * Phân tích sai lầm : Học sinh bỏ dấu âm hai vế bất đẳng thức mà không đổi chiều dấu BĐT ( Kiến thức lớp ) có bất đẳng thức với hai vế dương nên kết toán dẫn đến sai * Lời giải : Với Q > -1 nên ta có − 3 > -1 ⇔ 3 ⇔ x >2 ⇔ x>4 Vậy với x > Q > -1 2.3.3 Biết vận dụng đẳng thức để rút gọn biểu thức có chứa bậc hai Ví dụ 1: Bài 7/148 sbt : Rút gọn biểu thức :  x −2 x +  ( − x) P =  − ÷ ÷ x − x + x +   Nhận xét : Biểu thức cho liên quan đến hai đẳng thức sau : x −1 = ( )( x −1 x + x +1 = ( ) x +1 ) x +1 Trước giải gv lưu ý nhắc HS điều kiện toán để tránh sai lầm Áp dụng vào tốn ta có lời giải sau: Giải ĐK: x ≥ ; x ≠ P=( x −2 x +2 (1 − x) − ) x −1 x + x +1 x −2 x +2 (1 − x) − =( ) ( x − 1)( x + 1) ( x + 1) 2 ( x − 2)( x + 1) − ( x + 2)( x − 1) (1 − x ) =( ) ( x − 1)( x + 1) 2 x + x − x − − x + x − x + (1 − x) =( ) ( x − 1)( x + 1) 2 −2 x − x ( x − 1) (1 − x) =( ) = ( x − 1)( x + 1) ( x + 1) = − x ( x + 1)( x − 1) =( x + 1) x( x- 1) = x (1- x) Ví dụ 2: Bài 85 / 16 - sbt : Cho biểu thức : P = x +1 x 2+5 x + + 4− x x −2 x +2 với x ≥ ; x ≠ a, Rút gọn P b, Tìm x để P = Nhận xét: Lưu ý học sinh xem toán cho có dạng đẳng thức nêu trên, từ em nhận đẳng thức cần áp dụng bài: ( )( ) − x = + x − x dùng quy tắc đổi dấu để rút gọn biểu thức P Giải: Với x ≥ 0; x ≠ ta có: x +1 a) P = P= x −2 ( x + )( + x +2 ) x +1 +5 x = 4−x x +2 +2 x ( x +1 x −2 + x ) ( x +2 − ) x −2 − +5 x +5 x x−4 x −4 P= x + x + x + + 2x − x − − x x −4 P= 3x − x = x −4 b) P = ⇔ x ( x −2 x ( ( x +2 ) x −2 )( ) x +2 x = ) ( =2 ⇔3 x =2 x +2 ( ) ) x + ⇔ x = ⇔ x = 16 Ví dụ 3: Bài 86 / 16 sbt : Cho biểu thức:  1   a +1 a +2 Q= − − ÷ ÷:  a   a −2 a −1 ÷  a −1  voi a > 0; a ≠ ; a ≠ a) Rút gọn Q b) Tìm giá trị a để Q dương Nhận xét: Sau quy đồng mẫu thức, cho học sinh quan sát nhận thấy xuất dạng đẳng thức thứ học lớp 8, vận dụng vào lớp giải sau: Giải: Với a >0; a ≠ ; a ≠ ta có:   a +1 a +2  a )Q =  − − ÷ ÷:  a   a −2 a −1 ÷  a −1  ( ) ÷:  (  a − a −1 Q=  a a −1  ( )  Q=  a a −1  ( b) Q > ⇔ ( ) ÷   )( a +1 ) ( ( a − 2) ( a −1 −   a −1 − a − ) ( ) ÷:  ( ÷  a −2 a −1   a −2 a ( )( ) > ⇔ vi ) a+2 ) a −1 )( ) a −2  ÷ ÷    ÷=  ÷  a a −1   ( )  ÷  ÷  ( a −2 )( ) ( a −1  ÷= ÷  a −2 a a > 0(a > 0) ⇒ a − > ⇔ a > ⇔ a > ) Ví dụ 4: Bài 107 / 20 sbt : Cho biểu thức: B = ( 2x + x + x3 − )( − x ) Với x ≥ ; x ≠ x −1 x + x +1 1+ x a, Rút gọn B b, Tìm x để B = Nhận xét: Bài tốn cho có dạng đẳng thức thứ thứ học lớp 8, ta đưa dạng đẳng thức lớp có chứa thức nêu để áp dụng bài: Dễ dàng nhận đẳng thức sau : ( x − 1) ( x + = (1+ x ) (1− x3 − = + x3 ) x + x) x +1 Áp dụng vào tốn ta có lời giải sau: Giải   2x +   + x3 x a) B =  − − x  ÷ ÷ ÷ ÷  x −1 x + x +1 1+ x  ( )( )   + x − x + x  x +1 x  ÷ B= − − x÷  x −1 x + x + ÷ ÷ x + x +1 1+ x     x +1 − x x −1   ÷ 1− x + x − x B=  x −1 x + x + ÷    B =    B =   b) ( )( ( )( ( ( ) ) ( ) )  ÷ 1−2 x + x x −1 x + x + ÷  x +1 − x + x )( ) ( ( x + x +1) ÷ − x ( ) ( x −1) ( x + x +1) ÷ = ) x −1 B = ⇔ x − = ⇔ x = ⇔ x = 16 Ví dụ 5: Bài tập 101/ 19 – SBT: Tìm điều kiện rút gọn: A= x+4 x−4 + x−4 x−4 Nhận xét: Trước hết ta làm xuất hệ số ( thừa số ) trước nhỏ dấu lớn ÐK : x ≥ A = x + x − + x − x − = x + 2.2 x − + x − 2.2 x − Sau đưa hệ số nhỏ 2, ta thấy x − hai số a & b đẳng thức: ( a + b ) ( a - b ) lúc ta tiến hành thêm bớt để có ( dạng x – = x−4 ) có dạng đẳng thức: ( a + b )2 ( a - b )2 Cụ thể giải sau: ÐK : x ≥ A = x + x − + x − x − = x + 2.2 x − + x − 2.2 x − A = x − + 2.2 x − + + x − − 2.2 x − + A= ( x−4 A=   ( ) ) ( + 2.2 x − + 2 + x − + 2 +    ( ) x−4 x − − 2 =  ) ( − 2.2 x − + 2 ) x−4 +2+ ( ) x−4 −2= x−4 2.3.4 Một số toán thi học kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, thi HSG cấp, năm Bài 1: (2, điểm) ( Đề thi học kỳ I lớp năm học 2016 – 2017 Tỉnh Thanh Hóa ) Cho biểu thức P = x +1 x 2+5 x + + 4− x x −2 x +2 a, Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức P b, Tính giá trị P x = c, Tìm x để P < Nhận xét: Học sinh vận dụng đẳng thức : x – = ( x - ) ( x + ) Giải: a, ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ P= = x +1 x 2+5 x + − x−4 x −2 x +2 x ( x + 1)( x + 2) + x ( x − 2) − − x = x−4 x +2 = 2=3 5 +2 b, P= c, P 0; y ≠ ta có: ( )  y y -1 y y +1  y − y + A= − : ÷  y- y ÷ y −1 y + y   ( ) y +1  ( y -1)(y + y +1) ( y +1)(y - y +1)  A= − : y ( y -1) y ( y + 1)   ( y + 1)( y − 1) ( )  (y + y +1) (y - y +1)  y + A= − : y y   ( y − 1) A= A= A= ( y ( ) y −1 × 2( y + 1) y + y +1- y + y -1 ) y −1 × y 2( y + 1) y y −1 y +1 y −1 Với y > 0; y ≠ Ta có A = nguyên nguyên hay: y +1 2M y + ⇔ y + ∈ U • (2) ⇔ y +1 = y +1− y +1 y + ∈ { 1, 2} ⇔ = 1− để A nhận giá trị y +1 y ∈ { 0,1} ⇔ y ∈ { 0,1} (không thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy khơng có giá trị ngun y để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài 4: (4.0 điểm) (Đề thi HSG lớp vòng Huyện Cẩm Thủy – Ngày 14/11/2017 )  x 8x   x −  − : + ÷  ÷ ÷ x÷  2− x 4− x  x+2 x  Cho biểu thức: P =  a, Rút gọn P b, Tính giá trị P x = 10 + ( ) −1 6+2 − Giải: a, Đk: x > ; x ≠ 4, x ≠  x   8x x −4  P =  − : + ÷  ÷ ÷ x÷  − x (2 − x )(2 + x )   x ( x + 2)  12 =( x ( x + 2) 8x x −4 )−( ):( + (2 − x )(2 + x ) ( − x )(2 + x ) x ( x + 2) x +2 x ( x + 2) =( x + x − 8x x −4+ x +2 x − 4x x −2 ):( )=( ):( ) (2 − x )(2 + x ) x ( x + 2) (2 − x )(2 + x ) x ( x + 2) =( x (2 − x ) 2( x − 1) ):( )= ( − x )(2 + x ) x ( x + 2) 2x x −1 2x x −1 P= b, Ta có: x= ( x= ( )( +1 ) −1 ( + 1) − )( +1 ) −1 +1− x=2 ⇒P= −1 Bài 5: (4 điểm) (Đề thi HSG lớp năm học 2014 – 2015 Tỉnh Thanh Hóa )  x+ y x − y   x + y + 2xy  + : 1+ Cho biểu thức: P =  ÷ ÷ ÷  − xy − xy + xy    a, Rút gọn biểu thức P b, Tính giá trị P với x = Giải: a, P= 2+ ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 0;xy ≠  x+ y x − y   x + y + 2xy  P= + ÷: 1 +  − xy − xy ÷ + xy ÷     ( x + y)(1 + xy) + ( x − y)(1 − xy) − xy + x + y + 2xy : − xy − xy 13 = = x +x y+ y+y x + x −x y − y+y x − xy − xy + x + y + xy 2( x + y x) x (1 + y) x = = (1 + x)(1 + y) (1 + x)(1 + y) + x b, x = 2(2 − 3) = = − + = ( − 1) 4−3 2+ x = ( − 1) = −1 = −1 2( − 1) 3−2 = = + ( − 1) + − + P= 2( − 1) + = 13 5−2 Bài 6: (4 điểm) (Đề thi HSG toán năm 2016 Tỉnh Thanh Hóa ) P= Cho biểu thức: P = (1 + x x ):( − với x ≥ ; x ≠ x +1 x −1 x x + x − x −1 a, Rút gọn P b, Tìm giá trị x cho P < Nhận xét: Sau phân tích đa thức thành nhân tử quy đồng mẫu thức ta có đẳng thức dạng thứ lớp Giải Với x ≥ ; x ≠ a, P = (1 + x x ):( − x +1 x −1 x x + x − x −1 =( x +1+ x ):( − x +1 x −1 =( x +1+ x x x +1+ x x +1− x ):( ) = ):( − =( x +1 ( x + 1)( x − 1) x +1 x − ( x + 1)( x − 1) = ( x + + x ( x + 1)( x − 1) x +1+ x ).( ) = x +1 ( x − 1) ( x − 1) 2 x x ( x + 1) − ( x + 1) b, Với P < ⇔ x +1+ x x +1+ x x +1+ x − x +1 x+2