A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học ngành khoa học tự nhiên đứng đầu việc thách thức não người đòi hỏi phải vận dụng khả suy luận trí óc người cơng suất cao Vì tốn học có khả ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Do đó, tốn học khơng thể thiếu q trình học tập, nghiên cứu hay sống ngày hay bắt gặp cách tính tốn sử dụng đồng tiền, hàng hóa,… Vì nay, ngành tốn học q trình phát triển để nhằm hồn thiện bắt kịp với sống ngày đại tốn học khơng thể khơng nói đến khơng gian mêtric , không gian tôpô đặc biệt khái niệm quan trọng tơpơ khơng gian compact Khơng gian compact phận tốn học mẻ khái niệm giải tích hàm Khơng gian compact có tính chất, định lý dùng với để giải toán định lý Weierstrass giải toán xấp xỉ hàm số liên tục đa thức, định lý Heine – Bore giải toán phủ mở, định lý Dini, định lý Ascoli – Arzela,… Trong đó, đặc biệt định lý Ascoli – Arzela nêu lên cách chứng minh tập hợp compact tương đối phải thỏa mãn điều kiện tập hợp phải bị chặn điểm, phải đồng liên tục đoạn xác định, áp dụng nhiều toán chứng minh tập compact tương đối cần giải Vấn đề chứng minh điều kiện để suy tập compact tương đối Để giải câu hỏi với mong muốn học hỏi, trao dồi thêm số kiến thức khơng gian compact, em chọn đề tài “ Định lý Ascoli – Arzela” làm đề tài tiểu luận Mục đích nghiên cứu - Nắm nguyên lý bị chặn đều, ánh xạ mở định lý Hahn – Banach - Biết cách áp dụng nguyên lý định lý vào giải số tập liên quan - Tìm hiểu tất vấn đề nguyên lý bị chặn đều, ánh xạ mở định lý Hahn – Banach Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Nguyên lý bị chặn đều, ánh xạ mở định lý Hahn – Banach giải tích hàm - Phạm vi nghiên cứu: Tập trung nghiên cứu nguyên lý bị chặn đều, ánh xạ mở, định lý Hahn – Banach ứng dụng vào giải số tập liên quan Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chủ yếu tài liệu Nghiên cứu thơng qua sách giáo trình, tài liệu tham khảo, mạng internet,… Nghiên cứu qua việc học hỏi anh chị cấp trên, rút kinh nghiệm trình học B NỘI DUNG CHƯƠNG NGUYÊN LÝ BỊ CHẶN ĐỀU, ÁNH XẠ MỞ VÀ ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH 1.1 NGUYÊN LÝ BỊ CHẶN ĐỀU 1.1.1 Định nghĩa  A  �I họ tốn tử tuyến tính từ X A  x  �N x tồn số dương N x cho  với  �I Cho X, Y hai không gian định chuẩn vào Y Nếu với x �X  A  �I bị chặn điểm X Nếu  A  �I �L  X , Y  tập  A :  �I  L X ,Y  A bị chặn khơng gian  ta nói họ     �I bị chặn Điều tương ta nói họ đương với  N      I  : Rõ ràng họ  A   �I A N bị chặn bị chặn điểm X Chứng minh: Gọi  A  �I bị chặn Cần chứng minh  A  �I bị chặn điểm A �N ,  �I Theo giả thiết, N  cho  Đặt N x  max  N x ,1  Ta có: A x � A x �N x �max  N x ,1  N x Hay Vậy A x �N x ,  �I  A  �I bị chặn điểm 1.1.2 Định lý Giả sử X không gian Banach, Y không gian định chuẩn Nếu     �I họ toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y, bị chặn điểm X bị chặn A Chứng minh: X   x  X : A  x  Với n �N ,  �I ta đặt n ,  n f : X � �, f  x   A  x  Vì A : X � Y liên tục nên hàm số  liên tục dẫn đến X n ,  f1   �, n  Đặt X n  I X n ,  �I tập đóng X X n tập đóng Mặt khác, từ giả thiết  A  �I bị chặn điểm nên với N x : A  x  �N x ,  �I   I : A  x  Do đó, n �N x X  U Xn n�� x �X , tồn n tức x �X n Thành X �U X n n�� Vì X khơng gian Banach nên thuộc phạm trù II Vậy tồn n0 để int X n0  int X n0 �� x �0 ta có: x0  , nghĩa tồn hình cầu rx �B  x0 , r  �X n0 x � rx  �I , A � �x0  x � Như � � ��n0 � B  x0 , r  �X n0 Từ với x �X mà Suy : rx A x �n0  A x0 �2n0 x 4n 4n A x � x A � ,  �I r r Do đó, với x �X , với  �I nghĩa Vậy     �I họ tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y, bị chặn điểm X bị chặn (đpcm) A 1.1.3 Hệ Cho X không gian Banach, Y không gian định chuẩn tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y cho với x �X A tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y  An  n dãy lim An x  Ax n �� A �lim inf An n �� Chứng minh: + Chứng minh A tốn tử tuyến tính: x, y �X ,  ,  �K Ta có: A   x   y   lim An   x   y  n ��  lim  An x  An  y  n ��  lim An x  lim An  y n �� n ��   lim An x   lim An y n �� n ��   Ax   Ay Vậy A tốn tử tuyến tính + Chứng minh A �lim An n �� :   Ax  lim An x  lim An x �lim inf  An x   lim inf An x n �� A n �� n �� n �� lim  inf An n �� Vậy A tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y A �lim inf An n �� tồn Lúc 1.2 NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ MỞ 1.2.1 Định nghĩa T G Cho ánh xạ T : X � Y gọi ánh xạ mở với G mở X   tập mở Y T 1  G  Cho ánh xạ T : X � Y gọi liên tục với G mở Y tập mở X 1.2.2 Định lý Giả sử X, Y hai không gian Banach T : X � Y tồn ánh tuyến tính liên tục Khi T ánh xạ mở, nghĩa với G mở X T  G tập mở Y Chứng minh: Đặt X s   x �X : x  s Y  T  X   UT  X n  toàn ánh nên n�� Vậy i   có chứa hình cầu đóng y �BY� 0, r  tức  y  y0 �BY� y0 , r  �T X n0 Như tồn dãy y �r T Xp     với p  Ta viết y  y  y0  y0 ,  v j , w j �X n0 cho y  y0  lim Tv j ; y0  lim Tw j j Mặt khác Vì T int T X n0 �� BY� y0 , r    y �Y : y  y0 �r  Bước 1: Chứng minh điểm Giả sử n�� Mặt khác, Y Banach nên thuộc phạm trù II, tồn n0 cho T X n0 X  U Xn hình cầu mở tâm bán kính s  Rõ ràng v j  w j � v j  w j �2n0 j y  lim T  v j  w j  j nên y �T X n0 Vậy   BY� 0, r  �T X n0 y �k Do tính tuyến tính T, với k  , � � ry ry y � T X �r � 2n0 k � �T X 2n0 k � r �tức k nên hay   � � BY�  0, k  �T �X n0k � � r � ii Bước 2: Chứng minh điểm T  Xp Lấy y Y, y x1 �X 2n0 k  r cho Theo chứng minh bước 1, với , tồn y  Tx1 � � � x2 �X n0 y  Tx1 �BY� 0, � � � � r cho Phần tử nên tồn y  Tx1  Tx2 � xm �X n0 Bằng qui nạp, bước thứ m, ta tìm 2m1 r cho m y  �Txi  y  Tx1   Txm � m   i 1 Để ý 2n 4n xm � m01  m , m  1, 2, r.2 r � Nên chuỗi �x m 1 m hội tụ tuyệt đối X Banach nên chuỗi hội tụ � x �X : x  �xm m 1 Hơn � � n 4n x ��xm  � m0   r m 1 m 1 r m Để ý đến tính liên tục T từ x  lim �xk , m �� k 1  cho m � �   , ta có: �m � y  lim T � �xk � Tx m �� �k 1 � � � � � y �T �X 4n0 � BY�  0,1 �T �X n0 � � r �nên � r � Như Do tính tuyến tính T ta suy với k  iii Bước 3: Chứng minh Lấy y0 �T  G  T  G � BY�  0, k  �T �X n0k � r � � � tập mở Y G mở X , tồn x0 �G để y0  Tx0 Do G mở nên có   để BX  x0 ,     x �X : x  x0    �G Vì BX  x0 ,    x0  X  Cho nên T  BX  x0 ,     Tx0  T  X    y0  T  X   �T  G  � r � BY�� 0, ��T  X   , 4n0 � � Theo bước 2, ta có suy � r � � r � BY� 0, �y0 , � y0  BY� � ��y0  T  X   �T  G  n n 0 � � � � Vậy T  G tập mở Y Định lý chứng minh đầy đủ 1.2.3 Hệ Giả sử X, Y hai không gian Banach T : X � Y song ánh tuyến tính liên tục Khi đó, T phép đồng phơi tuyến tính Chứng minh: 1 T phép đồng phôi T song ánh tuyến tính liên tục T liên tục 1 Theo đề ta cần chứng minh T : Y � X liên tục Vì T song ánh tuyến tính liên tục � T tồn ánh tuyến tính liên tục � T ánh xạ mở � T  G  mở Y T  G  T  G Vì   1 1 � T 1  G  mở Y Vậy T phép đồng phôi tuyến tinh 1.2.4 Định lý đồ thị đóng 1.2.4.1 Định nghĩa chuẩn Cho X, Y hai khơng gian định chuẩn Trên khơng gian vectơ tích X �Y ta xác định chuẩn  x, y   x X  y Y ,  x, y   X Y có vài tính chất sau: a) X �Y không gian Banach X, Y không gian Banach b) Các chuẩn :  x, y   max  x X , y Y  ;  x, y    x X  y Y  Tương đương với chuẩn xét Bây cho X, Y hai không gian định chuẩn T : X � Y ánh xạ Đồ thị T G ��x, Tx  : x X  X Y tập T   Dễ dàng thấy GT không gian X �Y ánh xạ T tuyến tính 1.2.4.2 Định nghĩa tốn tử đóng Cho X, Y hai khơng gian định chuẩn Tốn tử tuyến tính T : X � Y gọi tốn tử đóng đồ thị GT khơng gian đóng khơng gian định chuẩn tích X �Y Một cách khác tương đương: �� x �xn ��   xn  n �X , � � y  Tx � Txn � y � � � (T đóng) Chứng minh: Giả sử T đóng � GT khơng gian đóng � GT  GT xn � x � �ޮ  xn , Txn  Txn � y �  x, y  Vì  xn , Txn  �GT , n �1 Suy  x, y  �GT  GT Vậy: y  Tx 1.2.4.3 Định lý   T tốn tử đóng Nếu Nếu X, Y không gian Banach, T tốn tử tuyến tính từ X vào Y T đóng Khi T liên tục T �L X , Y Chứng minh: xn � x; Txn � y Để chứng minh T đóng ta chứng minh y  Tx Theo giả thiết, T �L  X , Y  suy T liên tục (1) Mặt khác: xn � x (2) Từ (1) (2) suy ra: Txn � Tx (Theo định nghĩa) Mà giới hạn nên y  Tx Vậy T đóng T : X � Y xn � x để T liên tục ta cần chứng minh Txn � Tx Vì X, Y la Banach nên X �Y Banach Vì T đóng nên GT ��   x, Tx  : x Suy GT Banach Xét phép chiếu p: GT � X X X Y khơng gian đóng  x, Tx  a Ứng với điểm x  x, Tx  �GT có điểm chiếu x lên X Suy p song tuyến tính Theo định lý Banach, p phép đồng phôi 1 Suy ra: tồn p : X � GT liên tục xa  x, Tx  Vì xn � x ޮ p 1  xn   xn , Txn  Txn p 1  x   x, Tx  Tx  Vậy T liên tục 1.3 Định lý Hahn – Banach 1.3.1 Định lý Hahn – Banach khơng gian vectơ Bài tốn mở rộng: Cho X không gian vectơ, Y khơng gian f phiếm hàm tuyến tính xác định Y thỏa mãn ràng buộc Ta muốn mở rộng f thành phiếm hàm tuyến tính F xác định tồn X F thỏa mãn ràng buộc f 1.3.1.1 Định nghĩa Giả sử p hàm số từ không gian vectơ X vào �  Ta gọi p sơ chuẩn X nếu: a) p   x   p  x b) p  x  y  �p  x   p  y  với x �X ;  với x, y �X  Ta gọi p nửa chuẩn X nếu: � An x Ax, x X An y, x �X ,   y �B  x,   �E y �E  An y  n nên  lim n ta lấy Xét: An x  Am x � An x  An y  An y  Am y  Am y  Am x � An x  y    Am x  y � An  Am  1  � 2k  1  , m, n �n0 Vậy  An x  n Y Banach nên hội tụ Bài Giả sử hai chuẩn khơng gian tuyến tính X cho với chuẩn X khơng gian Banach từ minh hai chuẩn tương đương xn � kéo theo xn �0 Chứng Bài giải: ; Để chứng minh , ta chứng minh id :  X ,  �  x,  phép đơng phơi Ta có id song ánh tuyến tính (hiển nhiên) Cần chứng minh id liên tục ""  xn  n�1  X,  ,x n x Chứng minh id  xn  � id  x  x  x �0 Vì xn � x nên n Theo giả thiết: xn  x � id  xn  id   x Suy id song tuyến tính liên tục Lại có, theo giả thiết: phép đồng phơi  X ,  , X ,  Banach Áp dụng định lý Banach ta suy id .1 ; Suy Vậy tương đương (đpcm) Bài Giả sử M, N hai khơng gian đóng khơng gian Banach X cho X  M �N Khi phần tử x �X biểu diễn cách dạng x  u  v Chứng minh ánh xạ PM : X � M , PN : X � N xa u xa v liên tục giải: M �X , M đóng nên suy M Banach N �X , N đóng nên suy N Banach X Banach Để PM , PN liên tục ta cần chứng minh PM , PN tuyến tính PM , PN đóng + Chứng minh PM tuyến tinh x1  u1  v1 , x2  u2  v2 �X ,  ,  �K PM   x1   x2   PM    u1  v1     u2  v2    PM   u1   v1   u2   v2   PM   u1   u   v1   v2    u1   u2   PM  u1  v1    PM  u2  v2    PM  x1    PM  x2  Suy PM tuyến tính Chứng minh tương tự PN tuyến tính + Chứng minh PM đóng: xn  un  � x  u  v � �� �PM  xn  � y �+ u v Vì un + un u PM  xn   PM  un    un � y Do tính giới hạn nên suy y  u  PM  u  v   PM  X  Suy PM đóng Chứng minh tương tự PN đóng Vậy PM , PN liên tục (đpcm) Bài Cho X không gian Banach, f phiếm hàm tuyến tính liên tục khác Chứng minh f ánh xạ mở Bài giải: Vì K khơng gian đầy đủ nên K Banach Vì f : X � K tuyến tính liên tục nên để f ánh xạ mở ta phải chứng minh f toàn ánh f x �0 Vì f �0, x �X để    �K , đặt x   x0 �X f  x0  � x0 f  x  f �  � f  x0  � Ta có: X khơng gian � f  x0  � �  f  x    � Suy f toàn ánh Vậy f ánh xạ mở (đpcm) Bài Cho f phiếm hàm tuyến tính khơng liên tục không gian định chuẩn thực X f B�0, r  � Chứng minh với r      Bài giải: Ta có:   B�  0, r   x �X x  r Chứng minh: f  B�  0, r   �� r   Chứng minh: �� f  B�  0, r     f  x �� f  x  x �B�  0, r  �ͣ  x  r a ��, chứng minh a  f  x  ,  x �r f  � Vì f khơng liên tục nên suy � sup f  x   � x� � sup f  x   x� Suy x  � x r  x0 �1 x Đặt a a f  x0  � r để x0 a f  x0  x0 r f  x0  x a x0 a  �  x0 r f  x0  f  x0  f  x0  x0 r r � x �B�  0, r  � x0 f  x  f � �f  x  � Và � f  x0  a a� � f  x   a �  f  x f  B�  0, r   �ͣ� x r  f  B�  0, r    � Vậy (đpcm) Bài Cho X không gian định chuẩn f phiếm hàm tuyến tính X Chứng ker f   x �X : f  x   0 minh f liên tục tập đóng Bài giải:  � f liên tục suy ker f đóng  � ker f đóng Chứng minh f liên tục   0, �  Giả sử f không liên tục 0, x   ,� n 1, xn n Chọn Vì xn  f  xn   f  x  , n �1 n nên n � � ޮ xn  xn n  0  xn f  xn  � xn x  x1  � f  xn  f  x1  f  x1  � xn x1 f� �f  x   f  x  Mà � n � x1 �f�  � � f  x1  � f  xn  f  x1  � � f  x   f  x     0, n �1 n � � � � � � x1 f�  � f  x1  � Nhưng �  1 f  x1  � � f  x   1 � (vô lý) Vậy f liên tục Bài Cho X không gian định chuẩn thực  a) Giả sử x1 , x2 , , xn vectơ độc lập tuyến tính X Chứng minh tồn     phiếm hàm tuyến tính liên tục x1 , x2 , , xn �X cho 1, i  j � xi  x j   � 0, i �j � Y M b) Cho M tập X x0 �X Ký hiệu không gian X   sinh M Chứng minh x0 �Y với x �X thỏa điều kiện x  M    0 x  x0   Bài giải: a X: Định chuẩn (giả thieets0 Đặt Y  x2 , x3 , , xn �X , x1 �X Vì x1 �Y nên: d  x1 , Y   inf x1  y  d  y�Y Theo định lý tách điểm với khơng gian Y ta có:  Tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục x1 : X � K thỏa mãn   � � �x1 Y  �x1  x j   0, j  2,3, , n �� �  x x    � �1 �x1  x j   1, j  1, j  � � x1  x j   � 0, j �1 � 1, j  � � x2  x j   � 0, j �2 � Tương tự 1, j  n � � xn  x j   � 0, j �n � � x0 �Y , x �X  , x M  b x M  � x  xm   0, m �M $" y x0 �Y nên  n   � x   x0   Y , yn yn �Y�γ M span  M  x0 �m � �i xi ,xi �i 1 M i , i � �, m 1� m � yn  �i , mx, n, m �1, xn,m �M , n ,m �� i 1  Vì x liên tục, suy ra: x  x0   lim x  yn  x �� �m �  lim x � in xi � � x �� �i 1 �  m  lim �im x  xin  n �� i 1 x �� m  �0 i 1 0 x �X � �  �� x  yn     � x M  � Chứng minh x0 �Y Giả sử x0 �Y � d  xn , y   d  X  Y Vì X định chuẩn nên M �� X , x0 X Theo định lý tách điểm với không gian M  Suy tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục x �X cho  � �x  x   �x Y  � � � � �x  x0   �x  M   ( vô lý) Suy x0 �Y   x M  x x  Vậy x0 �Y với x �X thỏa điều kiện       Bài Giả sử X không gian định chuẩn, M tập khác trống X Đặt M   f �X  : f  x   0, x �M   Chứng minh M khơng gian đóng X Bài giải: Đặt M   f �X  : f  x   0, x �M   Chứng minh M �X , M đóng f , g �M ,  ,  �K Chứng minh  f   g �M Do Do f �M � f  x   0, x �M g �M � g  x   0, x �M �   f   g   x     f   x     g   x    f  x    g  x       0, x �M �  f   g �M ""  f n  Do Do M , fn f Chứng minh f �M � f  x   0, x �M f n �M , n �1 � f n  x   0, x �M f n � f � f  x   lim f n  x   lim  n �� � f �M Vậy M đóng (đpcm) n ��  Bài 10 Giả sử X không gian định chuẩn f  X , f không gian chiều M cho X  Kerf �M Bài giải: Để X  Kerf �M �X  Kerf  M � Ta chứng minh: �Kerf �M  � f x 1 Vì f �0 nên x0 �X để   Đặt M     x0  :  �K  Suy dim M  + Chứng minh: Kerf �M  �   Suy Kerf  x �X f  x       x   x ,  �K  f   x    f  x    Kerf �M  x �M f  x   0 0   x � x0   0   0 Vậy Kerf �M  � (1) + Chứng minh X  Kerf  M  Kerf    x0  �K  �Kerf �X � � Kerf    x0  �K  �X �  x0  �K  �X  � Vì Ta chứng minh X �Kerf    x0  �K  x �X , ta có: x  x  f  x  x0  f  x  x0 �Kerf    x0  �K  �X Chứng tỏ tồn Suy X  Kerf    x0  �K  (2) Từ (1) (2) suy X  Kerf �M (đpcm) Bài 11 Cho X, Y hai không gian Banach A : X � Y toán tử tuyến tính  g Ax � cho với dãy xn � với g �Y ta có  n  Chứng minh A liên tục Bài giải: Vì X, Y khơng gian Banach, A : X � Y tốn tử tuyến tính nên theo định lý đồ thị đóng xn � x � � �yn � y ta chứng minh y  Ax Vì xn � x nên � xn  x � � g  A  xn  x   � 0, g �Y  � g  Axn  Ax  � 0, g �Y  � g  Axn   g  Ax  � 0, g �Y   ޮޮ �g  Axn  g  Ax  , g Y  g Ax � g  y  , g �Y  Vì Axn � y suy  n  Theo tính giới hạn nên g  Ax   g  y  , g �Y  � Ax  y suy y đóng Vậy A liên tục (đpcm) Bài 12 Giả sử f phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian định chuẩn X Chứng minh với a �X ta có Bài giải: d  a, N   d  a, Kerf   inf x  a d  a, N   f  a f N  Kerf � inf x  a � x  a , x �Kerf � f  x   x �X , xét hai trường hợp: f  x  � f  x  a  f  x  f  a   f  a  f  a + trường hợp 1: Hay  f  a  f  x  a � f x  a f  a  f  f  a  f  x a , Kerf inf x a x�� d  a, N   Để f  a f + Trường hợp 2: y a Đặt d  a , N   1 Ta chứng minh f  x  �0 x f  a f  x d  a, N  � f  a Suy � � x f  y  f � a  f a   � � f  x � � � � x �  f  a  f � f a   � �f  x  � � � f  x  f  a  f  a f  x  f  a  f  a  � y �Kerf Vì d  a, N   inf a  x � a  x , x �Kerf x�� Suy f d  a, N  � a  y � x f  a  �  a � a � � f  x � � �    xf  a  f  x f  a f  x � x x �0 � d  a, N   Vậy f  a �f  x  � � � � x � � � f  sup Vì x f  x f  x x f  a f  a � f �f  x  � � � � x � � � d  a, N   f  a f (đpcm) Bài 13 Giả sử X, Y, Z không gian Banach, họ tốn tử tuyến tính bị chặn từ Y vào Z, tách điểm Y, tức y phần tử Y cho By  với B �F y  Chứng minh A : X � Y tốn tử tuyến tính cho B oA  L  X , Z  với B �F A liên tục Bài giải: Ta chứng minh A tốn tử đóng, tức đồ thị khơng gian X �Y Thật vậy, giả sử  xn  �X GA    x, Ax  : x �X  lim  xn , Axn    x0 , y0  n �� lim xn  x0 n �� tập hợp đóng X �Y Khi X (1) Và lim Axn  y0 n �� Y (2) Vì với B �F , B liên tục nên từ (2) suy lim B  Axn   By0  3 n �� Mặt khác, với B �F , B oA liên tục nên từ (1) suy lim B  Axn   B  Ax0    n �� Từ (3) (4) suy By0  B  Ax0  , tức B  y0  Ax0   với B �F Vì họ F tách điểm Y nên từ suy y0  Ax0  tức y0  Ax0 Vậy  x0 , y0  �GA Vì X, Y khơng gian Banach nên tốn tử đóng A ánh xạ liên tục Vậy A liên tục (đpcm) Bài 14 Giả sử X không gian Banach, Y khơng gian tuyến tính định chuẩn,  At  t�T họ tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Gọi E tập hợp điểm x �X cho  At x : t �T  tập hợp bị chặn Y Chứng minh E tập hợp thuộc A phạm trù thứ E  X trường hợp sau,  t  t�T tập hợp bị chặn không L  X ,Y  Bài giải: A Giả sử E tập hợp thuộc phạm trù thứ II X Ta chứng minh E  X  t  t�T tập hợp bị chặn không gian Fn  I t�T L  X ,Y   x X : với n nguyên dương, đặt At x n � Vì ánh xạ At liên tục nên Fn tập đóng X Ta có E  U Fn n 1 Thật A x : t �T  vậy, x �E  t tập hợp bị chặn Y Do đó, với n đủ lớn, ta có At x �n , với t �T , tức x �Fn , với n đủ lớn Vì E tập hợp thuộc phạm trù II nên từ bao hàm thức suy tồn tập hợp không đâu trù mật, tức B  x0 ,   �Fn0 Fn0 Fn0 tập hợp có điểm x0 Gọi ε số dương cho Khi đó, với phần tử khác không x �X , ta có x0  x �B  x0 ,   x � x � At � �x0  x � ��n0 , t �T � � Do đó, � x � �  x � At �  At x0 �x � � At � �x0  x � � � � � � Từ đẳng thức � x � � x � At � �x � �� At � �x0  x � � At x0 �2n0 , � � � � Suy Với t �T , tức ޮ ޮ �At x Do  At x �2n0 x 2n0 x , t T   At x : t �T  tập hợp bị chặn Y, tức x �E Vậy E  X Từ (1) suy 2n At x � x , t �T  Vậy  At  t�T tập hợp bị chặn  L  X , Y  C KẾT LUẬN Qua nghiên cứu, tiểu luận đạt số kết sau: Hệ thống lại định nghĩa, định lý, hệ nguyên lý bị chặn đều, nguyên lý ánh xạ mở định lý Hahn – Banach Tìm hiểu sâu nguyên lý bị chặn đều, nguyên lý ánh xạ mở định lý Hahn – Banach Vận dụng định nghĩa, định lý nguyên lý bị chặn đều, nguyên lý ánh xạ mở định lý Hahn – Banach để giải số tập liên quan D TÀI LIỆU THAM KHẢO Coonmơgơrốp, Phơmin, Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm, T.1,2 (bản dịch tiếng việt), Nxb Giáo dục, Hà nội, 1971 Dieudonne, Cơ sở giải tích đại, T.1, (bản dịch tiếng việt), Nxb Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1973 Hoàng Tụy, Giải tích đại, T1,2,3 Nxb Giáo dục, 1978 Lê Văn Lạp, Nguyễn Hồng, Giải tích hàm, Nxb Đại học Huế, 2014 Nguyễn Định, Nguyễn Hoàng, Hàm số biến số thực, Nxb Giáo dục, 1999 Nguyễn Xuân Liêm, Bài tập giải tích hàm, Nxb Giáo dục, 2000 Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm, Nxb Giáo dục, Hà Nội, 2000 Phan Đức chính,  Giải tích hàm, T.1, Nxb Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1978 ... Vậy F phiếm hàm tuyến tính cần xác định 1.3.2 Định lý Hahn – Banach không gian định chuẩn Cho X không gian định chuẩn trường K( � hay �) Khi K khơng   gian định chuẩn với chuẩn (giá trị tuyết... �E Điều mâu thuẫn với tính tối đại F Định lý chứng minh 1.3.1.3 Định lý Hahn – Banach không gian vectơ phức Cho X không gian vectơ phức, p nửa chuẩn xác định X Y không gian X Giả sử f : X � �... trên, rút kinh nghiệm trình học B NỘI DUNG CHƯƠNG NGUYÊN LÝ BỊ CHẶN ĐỀU, ÁNH XẠ MỞ VÀ ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH 1.1 NGUYÊN LÝ BỊ CHẶN ĐỀU 1.1.1 Định nghĩa  A  �I họ tốn tử tuyến tính từ X A  x