SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VẬN DỤNG PHÉP TƯƠNG TỰ VÀO DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN CHO HỌC SINH LỚP 11 THPT Người thực hiện: Trịnh Trọng Trung Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2018 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài: Cải cách giáo dục cho phù hợp với điều kiện thực tiễn Việt Nam nhằm kịp với xu hướng phát triển giới ln tốn lớn mà để giải đòi hỏi phải có vào tâm lớn toàn Đảng, toàn dân ta Một bước quan trọng cải cách giáo dục đổi phương pháp dạy học, thay đổi tư thói quen làm việc lỗi thời giáo viên phương pháp dạy học khâu quan trọng Ý thức yêu cầu trách nhiệm đó, thân tơi q trình dạy học mơn tốn nói chung, nội dung hình học khơng gian nói riêng ln cố gắng tìm tòi cách thức tổ chức dạy học, phương pháp phù hợp để giúp học sinh học tập cách có hiệu Chủ đề hình học khơng gian ln nội dung dạy học có nhiều ý nghĩa, giúp học sinh phát huy tốt lực tư duy, sáng tạo học tập mà giúp em giải nhiều vấn đề thực tiễn thiết thực Tuy nhiên nội dung hình khơng gian lại gây khó khăn cho em học sinh nội dung khác môn tốn, ngồi kĩ tốn học nội dung khác học hình khơng gian em phải ln phát huy trí tưởng tượng mình, cốt lõi vấn đề cần giải thường bị che đòi hỏi em phải có phương pháp phù hợp tìm Vì nhiều học sinh, kể học sinh giỏi thường ngại học hình khơng gian Nắm thực trạng q trình dạy học tơi quan tâm để em dần cảm giác ngại hay sợ học hình khơng gian mà thay vào u thích, đam mê nội dung học tập Một nhiệm vụ quan trọng dạy học toán rèn luyện cho học sinh hoạt động trí tuệ: khái qt hố, đặc biệt hố, tương tự, so sánh, phân tích, tổng hợp Các hoạt động giúp cho HS nắm vững, đào sâu kiến thức, phát huy tính độc lập, sáng tạo thân em học tập mơn tốn mà mơn học khác.Trong hoạt động trí tuệ nêu trên, phép tương tự phổ biến Khi gặp vấn đề mới, người ta có xu hướng so sánh, đối chiếu với vấn đề tương tự trước Phép tương tự có mối quan hệ khăng khít với thao tác tư khác So sánh thành tố tiên phong phép tương tự Phép tương tự coi yếu tố tiền đề bước khái qt hố để khái quát hoá người ta phải chuyển từ tập hợp đối tượng sang tập hợp lớn chứa tập hợp ban đầu cách nêu bật số đặc điểm chung phần tử tập hợp xuất phát Những lí nêu sở để chọn đề tài nghiên cứu: “Vận dụng phép tương tự dạy học chủ đề hình học khơng gian nhằm nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh lớp 11 THPT” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Khai thác hoạt động tương tự nhằm vào hướng tiếp cận phát từ đề xuất biện pháp ứng dụng hoạt động vào việc tìm tòi phát kiến thức phát cách giải vấn đề dạy học hình học không gian 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Dạy học hình học khơng gian lớp 11-THPT theo phương thức tiếp cận phát thơng qua khai thác vai trò phép tương tự phát vấn đề phát cách giải vấn đề 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lý luận: + Thông qua việc nghiên cứu tài liệu sách tham khảo, SKKN đồng nghiệp liên quan đến đề tài + Nghiên cứu lý luận đổi dạy học mơn Tốn nói chung dạy học hình học khơng gian nói riêng theo hướng giúp học sinh hoạt động phát vấn đề, phát cách giải vấn đề + Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa Tốn 11, mục đích u cầu dạy học hình học không gian trường phổ thông - Phương pháp điều tra thực tiễn nhằm xác định thuận lợi, khó khăn học sinh việc liên hệ kiến thức tương tự hình học khơng gian hình học phẳng để phát vấn đề phát cách giải vấn đề dạy học hình học không gian lớp 11 - Phương pháp thực nghiệm sư phạm GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1 Một số vấn đề sở lí luận đề tài 2.1.1 Cơ sở giáo dục học Phép tương tự, theo từ điển Wester, định nghĩa “sự so sánh vật nói chung khác bật lên giống vài khía cạnh thích hợp” Vật làm sở cho tương tự, phần tử để so sánh, gọi nguồn; đó, vật giải thích học nhờ sử dụng phép tương tự gọi đích Sử dụng phép tương tự trình liên quan đến trao đổi nguồn đích Suy luận quy nạp suy luận từ chân lý riêng lẻ, cụ thể, khái quát lên thành chân lý tổng quát Quy nạp dẫn đến kết luận sai khơng cho phép dùng quy nạp để chứng minh Cho nên quy nạp dùng để phát vấn đề, mày mò, dự đốn chân lý, sau dùng suy diễn để chứng minh [4, tr119-120] Phép tương tự phép suy luận quy nạp, suy luận chứng minh, nên kết luận dự kiến giả thiết, thực tế đắn chúng không bảo đảm mà phải kiểm tra cách riêng biệt Vì vậy, đánh giá tương tự cần ý: cho dù kết luận dự kiến có cấu trúc quán nữa, tính đắn mục tiêu khác so với kết luận dự kiến Một tiêu chí khác áp dụng giải vấn đề liệu kết luận phép tương tự có liên hệ đến mục tiêu hay khơng Một tương tự cấu tạo suy luận đúng, không liên quan đến mục tiêu Đó khả thích ứng kết luận cho vấn đề mục tiêu Qua phân tích trên, xin đưa tóm tắt phép tương tự sau: Phép tương tự phép suy luận tương ứng mối quan hệ từ đối tượng miền sở đến đối tượng miền mục tiêu Vì thế, để đạt hiệu sử dụng phép tương tự đòi hỏi hiểu biết đắn lĩnh vực sở Do đó, kiến thức mà học sinh học đóng vai trò quan trọng hiểu biết đắn khái niệm Hơn nữa, việc sử dụng phép tương tự phù hợp với quan điểm học tập tích cực, có nghĩa là, học tập trình hoạt động, xây dựng kiến thức dựa sở kiến thức có Nói cách khác, học tập có liên quan với xây dựng tương đồng ý tưởng ý tưởng có Ví dụ 1: Đường tròn mặt phẳng mặt cầu khơng gian có tính chất chung (sự tương tự) khoảng cách từ tâm đến điểm đường (mặt) bán kính Một tam giác ln có đường tròn ngoại tiếp, mà tam giác mặt phẳng tương tự với tứ diện không gian Vậy ta dự đốn có thể: Một sứ diện ln có mặt cầu ngoại tiếp Theo Pôlya [16,tr 19- 20], tương tự kiểu giống Có thể nói tương tự giống mức độ xác định mức độ phản ánh khái niệm Tuy vậy, diễn tả xác chút Theo Pôlya, khác tương tự loại giống khác ý định người suy nghĩ Những đối tượng giống phù hợp với quan hệ Nếu bạn có ý định quy mối quan hệ đối tượng phù hợp với khái niệm định bạn xem đối tượng giống đối tượng tương tự Và bạn đạt tới khái niệm rõ ràng tức bạn làm sáng tỏ tương tự 2.1.2 Cơ sở tâm lý học Mỗi thay đổi thói quen học tập học sinh đòi thường gặp nhiều khó khăn, khó khăn khơng đơn giản hóa học sinh ngại phải tiếp tục học tập nội dung Đối với nội dung “Hình học khơng gian” học sinh quen với tư duy, thói quen giải tốn hình học phẳng, tiếp cận với hình học khơng gian học sinh gặp khó khăn từ học như: Vẽ hình cho đúng, tính chất hình phẳng mà khơng không gian Như ban đầu tiếp cận để học hình học khơng gian học sinh dễ bị choáng ngợp nhiều nội dung mà thói quen tư duy, tưởng tượng hay kĩ vốn có khơng phù hợp học hình khơng gian Hơn em ngại học hình khơng gian chưa bắt đầu học nội dung học sinh học trước nói lại Vì giáo viên khơng nắm bắt tâm lý này, dạy học theo lối áp đạt kiến thức để bắt buộc em phải học tâm lý dễ dẫn đến việc học sinh ngại, sợ học hình khơng gian Ngược lại giáo viên tìm cách để giúp em hiểu học hình khơng gian khơng khó khăn nhiều người nghĩ, hình khơng gian hình ảnh vật thể xung quanh (như bàn, ghế, phòng học ) thiết thực gần gũi với em Tiếp đến qua nội dung dù học lý thuyết hay tập giáo viên tìm cách để học sinh tìm yếu tố tương tự hình phẳng hình khơng gian, giúp em phát triển toán phẳng biết thành tốn khơng gian, bóc tách yếu tố không gian để giải riêng tốn phẳng bước giáo viên giúp học sinh yêu thích nội dung học tập 2.2 Thực trạng đề tài Qua thực tiễn trình dạy học đồng thời thơng qua việc tìm hiểu, điều tra từ giáo viên học sinh trường THPT địa bàn huyện Yên Định; tổng hợp thông tin có tìm hiểu phương tiện thông tin đại nhận thấy việc dạy học chủ đề hình học khơng gian tồn thực trạng sau: + Đối với giáo viên: - Nhiều giáo viên cảm thấy hứng thú dạy chủ đề hình học khơng gian dẫn đến chưa thực tìm tòi, đổi phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh - Chưa phát huy hiệu tính chủ động, sáng tạo học sinh Ít khuyến khích học sinh đặt mối liên hệ tương ứng hình học phẳng hình học khơng gian q trình học tập nội dung hình khơng gian - Nhiều giáo viên chưa quan tâm nhiều đến việc giúp học sinh xây dựng tốn khơng gian xuất phát từ toán phẳng biết hay việc bóc tách yếu tố khơng gian để giải tốn phẳng đơn Qua giáo viên chưa giúp học sinh đơn giản hóa vấn đề học hình khơng gian dẫn đến tình trạng em gặp nhiều lúng túng ghi nhớ tính chất hay làm tập áp dụng + Đối với học sinh: - Đa số cảm thấy khó dẫn đến ngại, khơng hứng thú học hình khơng gian Cá biệt có nhiều đối tượng học sinh bỏ hẵn không học phần hình học khơng gian mà tập chung vào chủ đề khác - Tư tưởng xem nhẹ chủ đề hình học khơng gian nhiều học sinh xuất phát từ việc nhận thức chủ đề chiếm phần nhỏ kì thi đại học, nhiều học sinh cho học tốt chủ đề khác để thi bù cho chủ đề hình học không gian - Đa số học sinh chưa biết cách tự làm đơn giản hóa nội dung học tập hình khơng gian cách phán đốn kết từ tương tự nội dung hình học phẳng Việc bóc tách yếu tố khơng gian để đưa tốn khơng gian thành tốn phẳng học sinh gặp nhiều khó khăn - Học sinh gặp nhiều khó khăn, dễ bị nhầm lẫn việc học tập, ghi nhớ tính chất hình học khơng gian Nhiều học sinh vận dụng tương tự sai tính chất hình học phẳng áp dụng cho hình học không gian 2.3 Các biện pháp giải vấn đề Nhằm giúp học sinh đơn giản hóa vấn đề học hình khơng gian, bước giúp em học sinh u thích học hình khơng gian cách vận dụng phép tương tự, thực theo giải pháp sau: 2.3.1 Biện pháp 1: Sử dụng phép tương tự vào học tập, củng cố kiến thức lí thuyết hình khơng gian Từ năm học 2016 – 2017 Bộ GD&ĐT định kiểm tra, đánh giá kết học tập mơn Tốn học sinh THPT hình thức thi trắc nghiệm Một số dạng tốn hình khơng gian giảm bớt ưu tiên (như toán chứng minh) bên cạnh ưu tiên tốn có tính liên mơn, thực tiễn, tốn tính tốn với số liệu định lượng…Với hình thức thi với riêng nội dung hình khơng gian học sinh phải xử lý thật nhanh phải thật xác, kĩ ban đầu vẽ hình định hướng cách xử lý toán yếu tố quan trọng Tuy nhiên quan trọng giáo viên cần phải quan tâm, giúp học sinh thực thật tốt nắm thật vững, cố khắc sâu kiến thức lí thuyết hình khơng gian Những ví dụ sau minh họa cho việc vận dụng phép tương tự vào học tập định lý, tính chất hình khơng gian hiệu quả: Ví dụ 2: Định lý biểu thị véc tơ qua ba vec tơ không đồng phẳng Định lý:“Nếu a , b , c ba véc tơ khơng đồng phẳng véc tơ d ta tìm số m,n,p cho d = ma + nb + pc Hơn nữa, số m, n, p nhất.” Để học sinh nhận biết định lý cách chứng minh định lý, giáo viên sử dụng tương tự ba véc tơ đồng phẳng không gian với hai véc tơ phương mặt phẳng Sau dạy định nghĩa ba véc đồng phẳng, giáo viên khẳng định tương tự hình thành khái niệm ba véc tơ đồng phẳng không gian với hai véc tơ phương mặt phẳng Giáo viên đặt câu hỏi để học sinh nhớ lại kiến thức cũ: GV: Với hai véc tơ khơng phương, nhắc lại số tính chất nó? HS: Với hai véc tơ khơng phương a , b Mọi véc tơ c ta biểu diễn qua hai véc tơ biểu thị - Nếu HS chưa phát biểu đầy đủ tính chất giáo viên phát vấn cho HS khác bổ sung GV: Điều có nghĩa gì? HS: Tồn hai số m, n cho c = m a +n b , m, n GV khẳng định: Đúng rồi, em nhớ xác tính chất hai véc tơ khơng phương, giáo viên vẽ hình lên bảng GV: Để chứng minh tính chất ta làm nào? HS: Ta sử dụng tính chất đường chéo hình bình hành cách dựng hình bình hành OABC OB = c ; véc tơ OA phương với véc tơ a ; véc tơ OC phương với véc tơ b GV: Thế ta chuyển sang không gian, theo em ta có tính chất tương tự khơng? Hãy thử phát biểu tính chất tương tự? HS: Cho véc tơ khơng đồng phẳng, véc tơ biểu diễn qua véc tơ biểu diễn GV: Điều có nghĩa gì? Ta biễu diễn nào? HS: d = ma + nb + pc , (m, n, p) GV: Hãy chứng minh tính chất HS: Suy nghĩ GV: Gợi ý: Ta vận dụng tương tự chứng minh khơng? Trước hết ta làm điều gì? Cái tương tự với hình bình hành? HS: Hình bình hành mặt phẳng tương tự với hình hộp không gian GV: Đúng rồi, ta vận dụng tương tự để chứng minh tính chất HS chứng minh Dựng hình hộp ABCDA1 B1C1 D1 d = AC1 ; véc tơ AB phương với a , véc tơ AD phương với b , véc tơ AA1 phương với c Khi theo quy tắc đường chéo hình hộp ta có: AC1 = AB + AD + AA1 = m a + nb + p c Hay d = ma + nb + pc Sự biểu diễn tồn số khác m1 , n1 , p1 cho d = m1 a + n1 b + p1 c Dẫn đến: ma + nb + pc = m1 a + n1 b + p1 c ⇔ (m − m1 )a = (n1 − n)b + ( p1 − p)c Nếu m ≠ m1 ba véc tơ đồng phẳng, mâu thuẫn với giả thiết Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: Định lý Talet không gian Định lý: “Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.” GV : Ta học định lý Talet mặt phẳng Hãy nêu định lý Talet mặt phẳng? HS: Hai đường thẳng mặt phẳng chắn ba đường thẳng song song đoạn tỉ lệ GV: Hãy thiết lập tương tự hình học phẳng hình học khơng gian định lý trên? HS: Mặt phẳng tương tự đường thẳng Khi ta nghĩ đến hai cách phát biểu: • “Ba mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến đoạn tỷ lệ” • “Ba mặt phẳng song song chắn hai mặt phẳng đoạn tỷ lệ” GV: Theo em hai mệnh đề vừa rút trên, mệnh đề đúng? HS: Mệnh đề khơng mặt phẳng chắn mặt phẳng tạo đường giao tuyến tạo đoạn tỷ lệ GV: Đúng rồi, nội dung thứ nội dung định lý Talet không gian Bây ta chứng minh định lý trên? GV: Hãy đưa vào ký hiệu thích hợp? HS: Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi song song, đường thẳng a cắt mặt phẳng (P), (Q), (R) A, B, C ; đường thẳng b cắt (P), (Q), (R) A ',B',C' AB A 'B' = Chứng minh rằng: (định lý Talet không gian) BC B'C' a b b a A A' A' A P P B B' B" B Q B' Q C R a' C' C R C" C' GV: Để chứng minh định lý ta làm nào? Ta sử dụng định lý Talet mặt phẳng không? HS: Được, cách phân hai trường hợp a // b (khi ta đưa tốn phẳng) a không song song với b Trường hợp 1: Nếu a // b Khi ta có A,B,A ',B' đồng phẳng AB // A 'B' Gọi (α) = mp(a,b) (α) cắt hai mặt phẳng (P), (Q) theo hai giao tuyến AA ',BB' , suy AA '// BB' Vậy AA 'B'B hình bình hành nên suy AB = A 'B' Tương tự ta có: BC = B'C' AB A 'B' = Vậy: BC B'C' Trường hợp 2: Nếu a không song song với b Từ A ' dựng đường thẳng a '// a , a ' cắt (Q) (R) B", C" Ta có AB = A 'B" , BC = B"C" Vì (Q) // (R) nên B'B"// C'C" ⇒ ∆AB ' B '' ~ ∆AC ' C '' A 'B" A 'B' AB ⇒ = = B"C" B'C' BC AB A 'B' = Vậy (đpcm) BC B'C' Ví dụ 4: Giúp học sinh nắm Các yếu tố tương tự tam giác tứ diện, tam giác vuông tứ diện vng từ tự xây dựng nắm vững tính chất tương tự + Trong dạy học hình khơng gian giáo viên ln hướng để học sinh đặt mối liên hệ tương tự yếu tố phẳng với yếu tố khơng gian từ giúp học sinh dự đốn tính chất tương tự Chẳng hạn số yếu tố tương tự sau: Đường cao tam giác Đường cao tứ diện Trung tuyến tam giác Trọng tuyến tứ diện Độ dài cạnh Diện tích mặt Diện tích tam giác Góc tam giác Thể tích tứ diện Góc mặt bên đáy Hay tương tự tam giác vuông mặt phẳng tứ diện vuông khơng gian giúp học sinh dự đốn, chứng minh khắc sâu tính chất thường dùng giải tốn khơng gian Tam giác vng ABC (Vuông A) AH = AB + AC (H chân đường cao hạ từ A) Tứ diện vuông OABC 1 1 = + + 2 OH OA OB OC (H chân đường cao hạ từ O đến mặt phẳng (ABC) ah=bc OH S ∆ABC = S ∆OAB S ∆OAC S ∆OBC AB = AH BC S ∆2OAB = S ∆HAB S ∆ABC BH = AB cos B S ∆HAB = S ∆ABC cos α cos B + cos C = cos α + cos β + cos γ =1 với α , β , γ góc hợp (OAB),(OAC), (OBC) với (ABC) (5) Như cách khéo léo vận dụng phép tương tự giáo viên giúp học sinh khơng cố kiến thức hình phẳng học mà giúp họ tự tìm tính chất tương tự khơng gian Qua học sinh dễ dàng việc ghi nhớ định lý, tính chất vận dụng cần đến 2.3.1.Biện pháp 2: Sử dụng kết hợp thao tác đặc biệt hoá tương tự hố Ta nhận thấy khơng thể nói theo ngơn ngữ toán học cao cấp cho học sinh thấy tương tự hình học phẳng hình học khơng gian, GV cần chuyển ngơn ngữ tốn cao cấp sang ngơn ngữ tốn phổ thơng Ở ta sử dụng phương pháp trực quan cho học sinh thấy tương tự đường thẳng mặt phẳng, tam giác tứ diện, , Tuy nhiên, cách trên, để học sinh xác lập tương ứng này, kiến thức đến tự nhiên, ta sử dụng thao tác đặc biệt hố, xem đối tượng hình học trường hợp riêng đối tượng kia, sau yêu cầu học sinh dự đốn chứng minh tính chất vừa dự đốn Như cần bồi dưỡng kết hợp hai thao tác tư đặc biệt: đặc biệt hoá để liên hệ kiến thức phẳng tương tự hoá để đề xuất giải tốn khơng gian Cụ thể minh hoạ tư tưởng qua tình dạy học sau: Ví dụ : Hình thành cho học sinh khả liên tưởng tứ diện tam giác cách: Đặc biệt hố tứ diện có hai đỉnh trùng nhau, ta hình tam giác, vậy, ta xem tam giác trường hợp riêng tứ diện không gian Từ đó, xây dựng tính chất tứ diện Ví dụ : từ tính chất trọng tâm tam giác để hình thành tính chất tương ứng trọng tâm tứ diện Hỏi: Hãy nêu tính chất trọng tâm tam giác ABC mà em biết? HS: G trọng tâm tam giác ABC Ta có: uuur uuur uuur r GA + GB + GC = OA + OB + OC = 3OG ; với điểm O G chia trung tuyến có tỉ lệ : GM GN GP = = = GA GB GC G chia tam giác ABC thành tam giác GAB, GAC,GBC có diện tích Hỏi: Nếu xem tam giác trường hợp đặc biệt tứ diện có hai đỉnh trùng nhau, em có dự đốn trọng tâm tứ diện? HS: Học sinh dự đốn tính chât tương ứng, đồng thời bổ sung điều kiện (nếu cần) Ta hình dung dự đoán sau: tứ diện ABCD uuu r uuur uuur uuur r 1’ GA + GB + GC + GD = OA + OB + OC + OD = 4OG , với điểm O 2’ G chia trọng tuyến có tỉ lệ : GG1 GG2 GG3 GG4 = = = =k GA GB GC GD với G1, G2, G3, G4 trọng tâm mặt đối diện A, B, C, D 3’ G chia tứ diện ABCD thành tứ diện G.ABC,G.DAB,G.CBD, G.CAD tích Việc chứng minh dự đốn khẳng định lại tính đắn k tương tự từ mặt phẳng sang không gian Điều thực nhờ q trình chứng minh tính chất có mặt phẳng, tức vận dụng cách chứng minh phẳng để chứng minh không gian Sau cho học sinh kiến tạo lại cách chứng minh phẳng, yêu cầu học sinh phát xem tương ứng với phương pháp chứng minh tốn mở rộng hay khơng Ví dụ 6: Đặc biệt hố tứ diện “OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với nhau” với trường hợp C trùng B Khi xem tam giác OBC trường hợp riêng tứ diện Lúc ta có: Tam giác OBC tam giác vng O Hỏi: Em nêu tính chất tam giác vuông? HS1 Tam giác OBC vuông O có đường cao OH Khi ta có hệ thức: 1 = + 2 OH OB OC 10 HS2 Định lí Pitago: BC = OB + OC Hỏi: Em dự đốn tính chất tương tự tứ diện hay khơng? Nhờ thiết lập tương tự hố, học sinh dự đốn phát tính chất tương tự với hai tính chất sau: HS: 1’.Tứ diện OABC vng O có đường cao OH hạ xuống mặt đáy 1 1 = + + 2 OH OA OB OC 2’ Định lí Pitago: S = S12 + S2 + S32 , với S1, S2, S3, S diện tích tam (ABC) Khi ta có hệ thức: giác OBC, OCA, OAB, ABC Việc chứng minh tính đắn hai dự đốn trên, vận dụng toán phẳng mà giải Vậy, nhờ chuyển hoá liên tưởng, dựa hệ thống kiến thức học phẳng, ta xây dựng hệ thống kiến thức tương ứng hình học khơng gian 2.3.3 Biện pháp 3: Luyện tập cho học sinh hoạt động phát hướng chuyển tốn khơng gian tốn phẳng thơng qua tương tự hóa Đối với học sinh, việc học giải tốn khơng gian khó trừu tượng Vì việc chuyển tốn khơng gian tốn phẳng sau để giải tốn khơng gian lại xem tốn phẳng mơ hình có ý nghĩa lớn như: - Tạo nên chuỗi kiến thức liên kết từ hình học phẳng hình học khơng gian - Rèn luyện thao tác chuyển tốn khơng gian tốn phẳng nhằm làm đơn giản hố vấn đề Ví dụ 7: Cho tam diện ba góc vng Sxyz Lần lượt Sx, Sy, Sz ta lấy điểm A, B, C cho SA = SB = SC = a Trên đường cao SO tứ diện SABC lấy điểm O ' cho SO ' = kSO ( k số) Một mặt phẳng (α ) qua O ' , cắt Sx, Sy, Sz A ' , B ' , C ' Chứng minh rằng: 1 + + không đổi ' ' SA SB SC ' Giải: Để giải tốn này, để đơn giản hóa vấn đề, ta nghiên cứu tốn phẳng tương ứng với Biết đâu có tương tự phương pháp chứng minh Ta xét toán phẳng tương ứng : “Cho góc vng Sxy, cạnh góc vng Sx, Sy ta lấy điểm A, B cho SA = SB = a Trên đường cao SO tam giác SAB ta lấy điểm O ' cho SO ' = kSO Một đường thẳng d cắt Sx, Sy A ' , B ' Chứng minh y B' rằng: 1 + không đổi” ' SA SB ' 1 Để giải toán ta đề ý tỷ số ' ; SA SB ' SA SB tương tự tỷ số ' ; ' SA SB B O' O S x SA = SB = a Vậy hai tỷ số ta nghĩ đến tỷ số hai diện tích hai tam giác có chung đỉnh S A A' 11 Thật vậy, ta có: S ∆SO ' A' SA ' SO ' SA ' SA ' ⇒ S ∆SO ' A' = k S ∆SOA =k S ∆SOA SA SO SA SA S ∆SO ' B ' SB ' SO ' SB ' SB ' = =k ⇒ S ∆SO ' B ' = k S ∆SOB Tương tự: S ∆SOB SB SO SB SB = S ∆SA' B ' S ∆SAB Do đó: = SA ' SB ' SA ' SB ' ⇒ S ∆SA' B ' = S ∆SAB SA SB SA SB SA ' SB ' SA ' SB ' S ∆SAB = k S ∆SOA + k S ∆SOB SA SB SA SB (*) Mặt khác S ∆SAB = S ∆SOA = S ∆SOB nên từ hệ thức (*) ta thu được: 1 SA ' SB ' SA ' SB ' ⇔ + = +k =k không đổi ' ' ka SA SB SA SB SA SB (đpcm) Ví dụ 8: Cho tứ diện OABC có góc tam diện đỉnh O góc tam diện vng H hình chiếu O lên mặt phẳng (ABC) Gọi I trung điểm OH Gọi S, S 1, S2, S3 diện tích tam giác ABC, OBC, OAC, OAB Chứng minh rằng: S IO + S12 IA + S 22 IB + S32 IC = Đây tốn phức tạp với nhiều học sinh, giáo viên định hướng, dẫn dắt để giúp học sinh đơn giản hóa tốn cách vận dụng phép tương tự để học sinh liên tưởng đến toán phẳng tương ứng GV: Khi làm toán này, em nghĩ đến điều gì? HS: Có thể nghĩ đến tốn phẳng tương tự GV: Đó hướng Vậy phát biểu toán tương tự mặt phẳng HS: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi I trung điểm AH Chứng minh rằng: a IA + b IB + c IC = GV: Đúng rồi, trước tiên ta chứng minh toán phẳng Háy chứng minh toán phẳng GV: Để chứng minh toán phẳng ta nghĩ đến phương pháp chứng minh nào? Các em chứng minh toán tương tự với toán chưa? uur HS: uu r Cóuu r rtốn chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác aIA + bIB + cIC = GV: Đó liên tưởng hợp lý Vận dụng phương pháp chứng minh toán B H để chứng minh toán HS: Hệ thức cần chứng minh tương đương với: AI = b2 c2 AB + AC 2a 2a M Vẽ hình bình hành AMIN, ta có: AI = AM + AN Ta cần chứng minh: AM = A I N C b AB 2a 12 Thật vậy: ta có AI.AH = AM.AB ⇒ AM AB = AH = b 2c b2c = b2 + c2 a2 b2 b2 AB ⇒ AM = AB 2a 2a c2 AN = AC Tương tự: 2a b2 c2 Vậy AI = AM + AN = AB + AC (đpcm) 2a 2a Hay AM = GV: Bây cần xem xét toán phẳng này, xem có tác dụng để giải tồn khơng gian khơng? Hoặc ta sử dụng phương pháp giải tương tự với phương pháp giải trên, ta xem áp dụng trực tiếp tốn phẳng hay khơng? GV: Có nhận xét mối quan hệ diện tích xuất vế trái đẳng thức cần chứng minh? HS: S = S12 + S 22 + S 32 GV: Ta áp dụng kết tốn phẳng tam giác nào? HS: Tam giác OAM tam giác OAM vng O, đồng thời OH đường cao, I trung điểm OH, tam giác OAM thỏa mãn đầy đủ giả thiết tốn phẳng GV: Vậy ta có hệ thức O tương ứng gì? Ta nên đặt tên kiện để có a hệ thức gọn c I HS: Đặt OA = a; OB = b; OC = c; OM = m; AM = d uur uu r uuur m b r Khi đó: d IO + m IA + a IM = A C d H ⇒ M OI = 2 m a OA + OM 2d 2d B uuur m uuu r a uuuu r Hay OH = OA + OM d d Mà tam giác OBC vng O, có đường cao OM nên ta có tiếp hệ thức: uuuu r c uuur b uuur OM = OB + OC BC BC uuur Nên OH = r a c uuu r a b uuur m uuu OA + OB + OC d2 d BC d BC uuur m BC uuu r a c uuur a b uuur ⇔ OH = OA + OB + OC d BC d BC d BC 13 ⇔ OH = S 32 S12 S 22 OA + OB + OC hay S IO + S12 IA + S 22 IB + S32 IC = (đpcm) S2 S2 S2 2.3.4.Biện pháp Luyện tập cho học sinh hoạt động khai thác toán phẳng để xây dựng toán không gian phương pháp tương tự Học sinh học hình học phẳng THCS lớp 10 THPT việc rèn luyện cho học sinh thói quen, kĩ khai thác toán phẳng để xây dựng tốn khơng gian thơng qua phép tương tự giúp em hiểu mối quan hệ tương hỗ hình học phẳng hình học khơng gian Ví dụ 9: Trong mặt phẳng, ta có cơng thức tính độ dài đường trung tuyến tam giác ABC vẽ từ đỉnh A theo ba cạnh a, b, c là: ma2 = (2b + 2c − a ) Một câu hỏi đặt ra, ta tính độ dài đường trọng tuyến tứ diện OABC vẽ từ đỉnh khơng? Cụ thể ta có tốn sau: “Cho tứ diện OABC có OA = a, OB = b, OC = c , BC = a ' , AB = c ' , AC = b ' Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tính độ dài OG theo a, b, c, a ' , b ' , c ' ” GV: Nêu công thức độ dài đường trung tuyến tam giác? HS: Độ dài đường trung tuyến tam giác nên AM = GV: Hãy vận dụng tương tự tứ diện tam giác để tính OG? Cách 1: HS: Học sinh vận dụng trực tiếp kết tốn phẳng để giải tốn: Ta có : OM đường trung tuyến tam giác OBC nên OB + OC BC OM = − (1) O a c b b' A Tương tự: OG trung tuyến tam giác OMN : OG = AB + AC BC − OM + ON MN − (2) N G c' a' M B OA + OG AG − 2 AB + AC BC 2 − AM trung tuyến tam giác ABC: AM = Ta (1), (3), (4) vào (2) với AG = MN = AM ta thu được: 2 '2 '2 '2 a +b +c a +b +c OG = − ON trung tuyến tam giác OAG : ON = C (3) (4) Cách 2: Ta xây dựng lại cách tính độ dài đường trung tuyến tam giác sử dụng phương pháp làm tốn khơng gian Ta có AM = AB + AC 14 Do AM = AB + AC + AB AC ⇔ AM = AB + AC + AB AC cos A AB + AC − BC ⇔ AM = AB + AC + AB AC AB AC AB + AC BC ⇔ AM = AB + AC − BC hay AM = − Chuyển sang toán không gian, ta bắt chước phương pháp làm tương tự Vì G trọng tâm tam giác ABC nên ta có: 3OG = OA + OB + OC ⇒ 9OG = OA2 + OB + OC + 2OA.OB + 2OA.OC + 2OB.OC ⇔ 9OG = 3OA + 3OB + 3OC − AB − AC − BC 2 2 '2 '2 '2 ⇔ OG = a + b + c − a + b + c 2.3.5 Biện pháp 5: Luyện tập cho học sinh sáng tạo tốn nhờ phép tương tự Ví dụ 10: Khi ta dạy trọng tâm tứ diện ứng dụng trọng tâm tứ diện vào giải tốn, GV khai thác từ tốn trọng tâm tam giác GV: Vẽ hình tam giác có ba đường trung tuyến cắt điểm Hỏi: Qua hình vẽ gợi cho ta liên tưởng đến điều gì? HS: Trọng tâm tam giác Hỏi: Nói đến trọng tâm tam giác, ta nghĩ đến hệ thức véc tơ nào? HS: + GA + GB + GC = + MA + MB + MC = 3MG , với điểm M GV nêu toán: “Cho tam giác ABC, G trọng tâm tam giác, M điểm bất kỳ, chứng minh rằng: MA2 + MB + MC = 3MG + GA2 + GB + GC ” Ta có: MA2 + MB + MC = ( MG + GA) + ( MG + GB) + ( MG + GC ) = 3MG + GA2 + GB + GC + MG (GA + GB + GC ) (đpcm) GV: Em nghĩ toán khác từ toán không? HS: Đây câu hỏi mở, học sinh tạo tốn cách giữ ngun giả thiết mà biến đổi kết luận, thay đổi giả thiết kết luận Sau số dự kiến học sinh trả lời Trong trường hợp học sinh khơng tìm phương án nào, GV đặt câu hỏi gợi ý để học sinh nhận đặc điểm đặc trưng toán Bài toán 1: “Cho tam giác ABC, G trọng tâm tam giác, M điểm bất kỳ, chứng minh rằng: MA2 + MB + MC ≥ GA2 + GB + GC ” Bài toán 2: “Cho tam giác ABC, M điểm mặt phẳng, tìm điểm M cho P = MA2 + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất” Giải Ta có: MA2 + MB + MC = 3MG + GA2 + GB + GC nên MA2 + MB + MC ≥ GA2 + GB + GC Dấu đẳng thức xảy M ≡ G Vậy M trọng tâm tam giác = 3MG + GA2 + GB + GC 15 Bài toán 3: “Cho tam giác ABC, đường thẳng d Tìm điểm M d để MA2 + MB + MC đạt GTNN” Giải: Gọi G trọng tâm tam giác Ta có: MA2 + MB + MC = 3MG + GA2 + GB + GC Do GA2 + GB + GC không đổi nên MA2 + MB + MC nhỏ MG nhỏ hay M hình chiếu G d Bài tốn 4: “Tìm tập hợp điểm M khơng gian cho tổng bình phương khoảng cách từ M đến ba đỉnh tam giác ABC k ” Giải: Gọi G trọng tâm tam giác Ta có: MA2 + MB + MC = k ⇔ 3MG + GA2 + GB + GC = k ⇔ MG = (k − GA2 − GB − GC ) Ta có: + Nếu k < GA2 + GB + GC tập hợp điểm M tập rỗng + Nếu k = GA2 + GB + GC tập hợp điểm M gồm điểm, điểm G k − (GA2 + GB + GC ) + Nếu k > GA + GB + GC ⇒ MG = 2 2 Tập hợp điểm M đường tròn tâm G, bán kính R = k − (GA2 + GB + GC ) Hỏi: Hãy thiết lập tốn tương tự khơng gian? Ví dụ 11: Xuất phát từ tốn tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với nhau, ta có tốn gốc: Bài tốn 1: Gọi α , β , γ góc hợp (OAB), (OAC), (OBC) với (ABC) cos α + cos β + cos γ =1 Bằng cách sử dụng công thức cos x = − sin x ta có tốn mới: Bài tốn 1.1: Gọi α , β , γ góc hợp (OAB), (OAC), (OBC) với (ABC) Chứng minh rằng: sin α + sin β + sin γ = Tương tự vậy, dùng công thức: = + tan x , ta có tốn mới: cos x Bài toán 1.2: Gọi α , β , γ góc hợp (OAB),(OAC), (OBC) với (ABC) Chứng minh rằng: tan α + tan β + tan γ + = tan α tan β tan γ Từ cos α + cos β + cos γ =1, ta dùng bất đẳng thức bunhiacopski: (cos α + cos β + cos γ ) ≤ 3(cos α + cos β + cos γ ) Ta có tốn mới: Bài tốn 1.3: Gọi α , β , γ góc hợp (OAB),(OAC), (OBC) với (ABC) Chứng minh rằng: cos α + cos β + cos γ ≤ Ta dùng bất đẳng thức Cosi cho ba số dương: cos α ; cos β ; cos γ ta có: cos α + cos β + cos γ ≥ 33 cos α cos β cos γ ⇔ cos α cos β cos γ ≤ Ta có toán mới: 16 Bài toán 1.4: Gọi α , β , γ góc hợp (OAB),(OAC),(OBC) với (ABC) Chứng minh rằng: cos α cos β cos γ ≤ Bài toán 1.5: Gọi α , β , γ góc hợp (OAB),(OAC),(OBC) với (ABC) Tìm giá trị lớn P = cos α cos β cos γ Hoàn toàn tương tự với hệ thức sin α + sin β + sin γ =2 ta có tốn sau: Bài tốn 1.6: Gọi α , β , γ góc hợp (OAB),(OAC), (OBC) với (ABC) Chứng minh rằng: sin α + sin β + sin γ ≤ Bài toán 1.7: Gọi α , β , γ góc hợp (OAB),(OAC), (OBC) với (ABC) Tìm giá trị lớn P = sin α sin β sin γ Xuất phát từ cos α + cos β + cos γ = + tan x = nên ta có: cos x 1 + + =1 2 + tan α + tan β + tan γ Ta áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ba số dương: 1 ; ; ta có: 2 + tan α + tan β + tan γ 1 1 1 + + ≥ 33 2 2 + tan α + tan β + tan γ + tan α + tan β + tan γ ⇔ (1 + tan α ).(1 + tan β ).(1 + tan γ ) ≥ 27 Ta có toán mới: Bài toán 1.8: Gọi α , β , γ góc hợp (OAB),(OAC), (OBC) với (ABC) Chứng minh rằng: (1 + tan α ).(1 + tan β ).(1 + tan γ ) ≥ 27 Ví dụ 12: Cho tứ diện vng OABC, Gọi h chiều cao hạ từ O đến mặt phẳng (ABC), OA = a, OB = b, OC = c Khi 1 1 = 2+ 2+ 2 h a b c Ta thu số toán sau: Bài toán 3.1: Cho tứ diện vuông OABC, gọi h chiều cao hạ từ O đến mặt phẳng (ABC), OA = a, OB = b, OC = c Chứng minh rằng: 1 + + ≤ a b c h Bài toán 3.2: Cho tứ diện vuông OABC, gọi h chiều cao hạ từ O đến (ABC), OA = a, OB = b, OC = c Chứng minh rằng: abc ≥ 3h3 Bài tốn 3.3: Cho tứ diện vng OABC, gọi h chiều cao hạ từ O đến (ABC), OA = a, OB = b, OC = c b2c b2c b2c 3 Chứng minh rằng: 2 2 + 2 2 + 2 2 ≥ a b +a c a b +a c a b +a c Như từ tốn phẳng, tốn khơng gian chọn làm gốc phép tương tự giáo viên giúp học sinh phát triển thành toán Những toán lần gặp, không liên tưởng đến tương tự với toán phẳng, toán gốc ban đầu nhiều học sinh gặp khó khăn giải 17 2.3.6 Biện pháp 6: Luyện tập cho học sinh hoạt động phát tương tự sai chuyển từ hình học phẳng sang hình học khơng gian Giống phép qui nạp khơng hồn tồn, kết luận phép suy luận tương tự mang tính chất giả thuyết, dùng để dự đốn hay giúp phát kiến thức tốn học Khơng phải tính chất hình học phẳng hình học khơng gian, phép tương tự ta tạo mệnh đề Trong nhiều trường hợp, mệnh đề mặt tốn học đường thẳng siêu phẳng mặt phẳng, giống mặt phẳng siêu phẳng không gian ba chiều Nhưng số trường hợp, ta thay từ đường thẳng mặt phẳng định lý ta thu nhiều mệnh đề có mệnh đề sai Đứng góc nhìn GV, ta dự đốn nhiều sai lầm mà học sinh thường mắc phải tương tự hình học phẳng hình học khơng gian Từ đó, có biện pháp thường xuyên nhắc nhở, nhấn mạnh sai lầm để học sinh khơng mắc sai lầm q trình giải tốn Ví dụ 13: Từ tính chất hình học phẳng: “Qua điểm nằm ngồi đường thẳng có đường thẳng vng góc với đường thẳng cho” Nếu ta thay chữ đường thẳng thành mặt phẳng nhiều mệnh đề: Qua điểm nằm đường thẳng có đường thẳng HHP vng góc với đường thẳng cho HHKG Mệnh đề sai Phản ví dụ: Xét hình lập Qua điểm nằm ngồi đường thẳng có phương ABCDA1 B1C1 D1 , đường thẳng vng góc với nhận thấy có hai đường đường thẳng cho thẳng AB, BB1 qua B vng góc với AD Qua điểm nằm ngồi đường thẳng có mặt phẳng vng góc với Mệnh đề đường thẳng cho Qua điểm nằm ngồi mặt phẳng có đường thẳng vng góc với Mệnh đề mặt phẳng cho Qua điểm nằm ngồi mặt phẳng có Mệnh đề sai mặt phẳng vng góc với Phản ví dụ: Xét hình lập mặt phẳng cho phương ABCDA1 B1C1 D1 , nhận thấy có hai mặt phẳng (ABB1A1); (ADD1A1) qua điểm A vng góc với (A1B1C1D1) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 18 Tôi sử dụng đề tài nghiên cứu vào trình dạy học đạt kết tích cực hai mặt định tính định lượng, cụ thể sau: 4.1 Kết định tính + Nhiều học sinh khơng có tâm lí ngại sợ học chủ đề hình học khơng gian + Học sinh chủ động, tích cực xây dựng bài, chữa tập làm tập nhà + Nhiều học sinh tích cực vận dụng phép tương tự để củng cố lý thuyết, phát triển tốn mới, chuyển tốn khơng gian thành tốn phẳng học tập nội dung hình học khơng gian + Các tiết học hình học khơng gian hiệu chuyển trọng tâm từ hoạt động thầy sang hoạt động trò 4.2 Kết định lượng * Qua điều tra, thăm dò Tơi phát phiếu thăm dò 92 học sinh lớp 11 - trường THPT Yên Định thu kết quả: + 100% học sinh hỏi trả lời vận dụng phương pháp giải tốn hình học nêu giúp em dễ hiểu học giải tốn hình học khơng gian + 100% học sinh hỏi vận dụng biện pháp giúp em có nhiều hứng thú, niềm tin giải tập hình học khơng gian + 90 % học sinh hỏi trả lời cần thiết vận dụng phép tương tự vào dạy học nội dung hình học khơng gian * Kết học tập mơn tốn cuối năm học 2017 – 2018 Việc vận dụng đề tài nghiên cứu vào thực tiễn dạy học góp phần nâng cao hiệu học tập cho em học sinh lớp 11 Cụ thể năm học 2017 – 2018 lớp tơi dạy có kết học tập mơn tích cực sau: Lớp 11B1 11B8 Sĩ số 44 40 Giỏi Số lượng 40 Khá % Số lượng 90.9 % 12.5 % 28 Trung bình % 9.1% 70% Số lượng % 17.5 % Yếu, Số lượng 0 % 0 * Kết bồi dưỡng học sinh giỏi Năm học 2017 – 2018 vận dụng biện pháp trình bày vào thực tiễn dạy học có kết tốt, HS tơi ôn luyện tham dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh đạt 4/5 giải có giải ba, giải khuyến khích KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 19 3.1 Kết luận Bản thân người viết giáo viên dạy Toán, ý thức trách nhiệm việc khơng ngừng tìm tòi đổi phương pháp dạy học nhằm nâng cao kết hoạt động học tập học sinh, áp dụng đề tài vào thực tiễn dạy học đạt kết tích cực Những kết sở để tơi hồn thành đề tài Trên sở vận dụng tri thức khoa học kết hợp với kiến thức thực tiễn dạy học thân, sau thời gian tập trung, nỗ lực nghiên cứu đề tài hoàn thành đạt kết sau: + Đề tài nghiên cứu số sở lí luận việc vận dụng phép tương tự vào dạy học chủ đề hình học khơng gian lớp 11 ý nghĩa việc tạo động lực, niềm tin học tập từ nâng cao chất lượng học tập mơn tốn cho học sinh lớp 11THPT + Đề tài sâu khai thác số giải pháp vận dụng phép tương tự vào việc học tập chủ đề hình học khơng gian có hiệu thiết thực việc nâng cao chất lượng học tập phát triển tư sáng tạo cho học sinh + Đề tài đưa ví dụ minh họa cho biện pháp giải vấn đề Thơng qua ví dụ nêu bật lên ý nghĩa phương pháp với việc dạy học hình học nói riêng, tốn học nói chung 3.2 Kiến nghị Xuất phát từ thực tiễn dạy học với việc nghiên cứu thực đề tài người viết mong muốn cấp quản lý giáo dục quan tâm đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo viên nói chung, giáo viên mơn tốn nói riêng thơng qua chun đề, hội thảo khoa học thiết thực Đồng thời xuất nhiều tài liệu hướng dẫn việc dạy học theo phương pháp để giúp giáo viên dễ dàng tiếp cận thực tốt nhiệm vụ Mặc dù có nhiều cố gắng song thiếu xót đề tài tránh khỏi mong thầy giáo, bạn đồng nghiệp góp ý Sự góp ý giúp tơi nhiều việc hồn thiện đề tài nghiên cứu Tơi xin trân thành cảm ơn! Xác nhận thủ trưởng đơn vị ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… Thanh Hóa, ngày 16/05/2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người thực Trịnh Trọng Trung 20 Tài liệu tham khảo Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học mơn Tốn, Nxb Đại học sư phạm Đào Tam (2008), Phương pháp dạy học hình học trường THPT, NXB ĐHSP Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học mơn tốn trường phổ thơng, Nxb Đại học sư phạm Pơlya G (1976), Tốn học suy luận có lý, Nxb Giáo dục Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2007), Hình học 11 nâng cao, Nxb Giáo dục Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2007), Bài Tập Hình học 11 nâng cao, Nxb Giáo dục Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, Hình học 11, NXB Giáo dục Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, Bài tập Hình học 11, NXB Giáo dục Phan Huy Khải (1999), Toán nâng cao hình học 11, NXB ĐHQG Hà Nội 10 Đào Tam, Trần Trung (2010), Tổ chức hoạt động nhận thức dạy học mơn Tốn trường Trung học phổ thơng, Nxb Đại học sư phạm 11 Bùi Văn Nghị (2008), Phương pháp dạy học nội dung cụ thể môn toán, NXB ĐHSP 21 MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU: 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1 Một số vấn đề sở lí luận đề tài 2.2 Thực trạng đề tài 2.3 Các biện pháp giải vấn đề 2.3.1 Biện pháp 2.3.2 Biện pháp 2.3.3 Biện pháp 2.3.4 Biện pháp 2.3.5 Biện pháp 2.3.6 Biện Pháp KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Tài liệu tham khảo Trang 01 01 02 02 02 04 04 04 08 10 13 14 17 19 20 22 DANH MỤC NHỮNG TỪ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG ĐỀ TÀI VIẾT TẮT THPT THCS HS GV VD GD & ĐT SKKN VIẾT ĐẦY ĐỦ Trung học phổ thông Trung học sở Học sinh Giáo viên Ví dụ Giáo dục đào tạo Sáng kiến kinh nghiệm 23 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI CỦA TÁC GIẢ ĐÃ ĐƯỢC XẾP HẠNG Tên đề tài Nguyên nhân, thực trạng biện pháp giáo dục học sinh cá biệt THPT Phát huy tính tích cực học sinh qua hoạt động giáo dục lên lớp THPT Một số biện pháp đổi kiểm tra đánh giá học sinh thông qua dạy học môn toán lớp 11 Vận dụng số phương pháp giải tốn hình học khơng gian lớp 11 nhằm phát triển tư sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thông Phát sửa chữa sai lầm cho học sinh lớp 11 THPT thông qua dạy học nội dung Tổ hợp – Xác suất Vận dụng kiến thức liên môn, kiến thức thực tiễn nhằm nâng cao hiệu dạy học “Các quy tắc tính xác suất” - SGK 11 Nâng cao Rèn luyện kỹ làm tập, thi trắc nghiệm khách quan mơn tốn cho học sinh lớp 10 THPT Hội đồng khoa học Sở GD & ĐT Thanh Hóa xếp loại Năm học Xếp loại C 2005 – 2006 Xếp loại C 2006 - 2007 Xếp loại C 2010 – 2011 Xếp loại C 2013 - 2014 Xếp loại C 2014 - 2015 Xếp loại C 2015 - 2016 Xếp loại C 2016 - 2017 24 ... luận việc vận dụng phép tương tự vào dạy học chủ đề hình học khơng gian lớp 11 ý nghĩa việc tạo động lực, niềm tin học tập từ nâng cao chất lượng học tập mơn tốn cho học sinh lớp 1 1THPT + Đề tài... phần tử tập hợp xuất phát Những lí nêu sở để tơi chọn đề tài nghiên cứu: Vận dụng phép tương tự dạy học chủ đề hình học khơng gian nhằm nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh lớp 11 THPT ... pháp vận dụng phép tương tự vào việc học tập chủ đề hình học khơng gian có hiệu thiết thực việc nâng cao chất lượng học tập phát triển tư sáng tạo cho học sinh + Đề tài đưa ví dụ minh họa cho