PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA Trần Phạm Hoàng Long, Nguyễn Xuân Trung, Đinh Ngọc Hồ,Huỳnh Thị Thùy Như Lớp 10T1 trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long Email: dragon199318@yahoo.com I/ Lời mở đầu Để giải các bài toán đại số và một số bài toán giải tích như chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, khảo sát các giá trị của hàm số, tìm giới hạn của dãy số, .trong một số trường hợp ta có thể chuyển chúng sang các bài toán lượng giác, công việc đó được gọi là lượng giác hóa.Việc lượng giác hóa 1 bài toán được tiến hành thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biến tham gia trong bài toán, mà việc nắm bắt các dấu hiệu đó thông qua miền giá trị và các công thức lượng giác thông dụng. Sau đây là một số dấu hiệu cơ bản nhằm góp phần giúp chúng ta phát hiện và định hướng phương pháp lượng giác hóa hiệu quả hơn. II/ Các dấu hiệu Ta có các dấu hiệu: 1/ Nếu có điều kiện của biến x là x a≤ ( 0)a ≥ , ta có thể đặt: sinx a t= , với , 2 2 t π π   ∈ −     hoặc cosx a t= , với [ ] 0,t π ∈ . Trong trường hợp riêng:  Nếu 0 x a ≤ ≤ , ta có thể đặt: sinx a t = , với 0, 2 t π   ∈     hoặc cosx a t= , với 0, 2 t π   ∈     .  Nếu 0a x− ≤ ≤ , ta có thể đặt : sinx a t= , với ,0 2 t π   ∈ −     hoặc cosx a t= , với , 2 t π π   ∈     . 2 / Nếu có điều kiện của biến x là x a≥ ( 0)a ≥ , ta có thể đặt: sin a x t = , với { } , \ 0 2 2 t π π   ∈ −     hoặc cos a x t = , với [ ] 0, \ 2 t π π   ∈     . 3/ Nếu biến x ∈ ¡ , ta có thể đặt: tanx t= , với , 2 2 t π π   ∈ −  ÷   hoặc cotx t= , với ( ) 0,t π ∈ . Trong trường hợp riêng:  Nếu 0x ≥ , ta có thể đặt: tanx t= , với 0, 2 t π   ∈ ÷    hoặc cotx t= , với 0, 2 t π   ∈     .  Nếu 0x ≤ , ta có thể đặt : tanx t= , với ,0 2 t π   ∈ −     hoặc cotx t= ,với , 2 t π π   ∈ ÷    . 4 / Nếu hai biến ,x y thỏa mãn điều kiện 2 2 2 2 2 a x b y c+ = , với , , 0a b c∈ , ta đặt : sin cos ax t c by t c  =     =   ⇔ sin cos c t x a c t y b  =     =   Trong trường hợp này nếu cần sử dụng tới dấu của x và y ta có thể hạn chế góc t , ví dụ nếu có , 0x y > thì 0 2 t π < < . III/ Các biểu thức thường được lượng giác hóa Biểu thức Cách lượng giác hóa biểu thức 2 2 a x− sinx a t= với , 2 2 t π π   ∈ −     hoặc cosx a t= với 0, 2 t π   ∈     2 2 x a− sin a x t = với { } , \ 0 2 2 t π π   ∈ −     hoặc cos a x t = với [ ] 0, \ 2 t π π ∈ 2 2 a x+ tanx a t= với , 2 2 t π π   ∈ −  ÷   hoặc cotx a t= với ( ) 0,t π ∈ a x a x + − hoặc a x a x − + cos2x a t = ( ) ( ) x a b x− − ( ) 2 sinx a b a t= + − 1 a b ab + − tan tan a b α β =   =  , với , , 2 2 π π α β   ∈ −  ÷   IV/ Các ví dụ 1. Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 1.1 Bài toán 1: Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 2 1 2 3 xy z y y x z z  =   − =   − =   Lời giải Hệ tương đương với. 2 2 1 2 1 2 1 xy y z y z x z   =   =  −   =   − Nếu 1y = ± ⇒ vô lí; 1z = ± ⇒ vô lí. Đặt tanx a = ; tany b = ; tanz c = . Ta có ( ) tan cot 4a b = ; ( ) tan cot 2 5c b = ; ( ) tan cot 2 6a c = Khi đó: 2 ; 2c b k a c l π π = + = + 4 2a b k l π π ⇒ = + + Thay vào (4): tan(4 2 ) cotb k l b π π + + = 5 2 10 5 m b m b π π π π ⇔ = + ⇔ = + Ta có các trường hợp sau: ( ) 3 10 10 7 9 10 10 5 10 b n b n b n b n b n loai π π π π π π π π π π = + = + = + = + = + Nếu 4 2 tan ; tan ; tan 10 10 10 10 b n x y z π π π π π = + ⇒ = = = Nếu 3 2 3 6 tan ; tan ; tan 10 10 10 10 b n x y z π π π π π = + ⇒ = = = Nếu 7 8 7 4 tan ; tan ; tan 10 10 10 10 b n x y z π π π π π = + ⇒ = = = Nếu 9 6 9 8 tan ; tan ; tan 10 10 10 10 b n x y z π π π π π = + ⇒ = = = 1.2 Bài toán 2: Cho hệ phương trình 2 2 2 2 4 9 z 6 x y z v xv y  + =  + =   + ≥  Tìm nghiệm của hệ để zx max Lời giải Đặt 2cosx a = ; 2siny a = ; 3cosz b = ; 3sinv b = [ ] , 0;2a b π ∈ . Khi đó: ( ) z 6 6 cos .sin sin .cos 6xv y a b a b + ≥ ⇔ + ≥ ( ) ( ) 6sin 6 sin 1a b a b ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ Mà ( ) sin 1a b + ≤ ( ) sin 1a b ⇒ + = ( ) ( ) 1 2 5 2 2 a b a b π π  + =  ⇒   + =   vì [ ] , 0;2a b π ∈ Khi đó: ( ) ( ) z 6cos .cos 3 cos cosx a b a b a b = = + + −     ( ) 3cos a b = − ( ) max cos 1a b a b ⇔ − = ⇔ = Kết hợp với (1) 4 a b π ⇒ = = ⇒ nghiệm là: 3 2 2; 2 x y z v = = = = Kết hợp với (2) 5 4 a b π ⇒ = = ⇒ nghiệm là: 3 2 2; 2 x y z v = = = = − 1.3 Bài toán 3: Giải phương trình: 2 2 cos 3 sin 2 sin 5 sin cos5x x x x x + + = Lời giải Ta có : ( ) ( ) 2 2 cos sin sin sin 1x y x y x y + + − + = ( phần CM xin để cho các bạn) Do đó 2 2 cos 3 sin 2 sin5 sin 1x x x x + + = Vậy phương trình đã cho tương đường với cos5 1x = 5 2x k π ⇔ = 2 5 k x π ⇔ = 1.4 Bài toán 4: Giải phương trình ( ) 2 3sin 4cos 5 4 tan 3x x x + = + − Lời giải Ta có 3sin 4 cos 5x x + ≤ ( ) 2 5 4 tan 3 5x + − ≥ Do đó phương trình đã cho tương đương với hệ: ( ) 2 3sin 4 cos 5 1 tan 2 3 5 4 tan 3 5 x x x x + =   ⇔ =  + − =   1.5 Các bài toán tự giải: 1.5.1 Giải phương trình ( ) 5 3sin 4cos 25 5sin 3x x x + = + − 1.5.2 Giải hệ phương trình 6 6 6 6 1 sin cos 4 1 sin cos 4 x y y x  + =     + =   1.5.3 Giải hệ phương trình sin sin 2 0, , 2 x y x y x y x y π π  − = −    + =    <   1.5.4 Giải hệ phương trình 10 10 10 10 1 sin cos 16 1 sin cos 16 x y y x  + =     + =   1.5.5 Giải hệ phương trình 2 2 2 2 4sin 1 cot 4cos 1 tan x y y x  = +  = +  2. Bất đẳng thức 2.1 Bài toán 1: Cho bốn số , , ,u v x y thoã mãn điều kiện 2 2 2 2 1u v x y+ = + = Chứng minh rằng ( ) ( ) 2u x y v x y + + − ≤ Lời giải Đặt sin cos sin cos u v x y α α β β =   =   =   =  và ( ) ( ) A u x y v x y = + + − . Ta có ( ) ( ) sin sin cos cos sin cosA α β β α β β = + + − ( ) ( ) sin cos α β α β = + − − 2 sin 2 4 π α β   = + − ≤  ÷   Vậy ( ) ( ) 2u x y v x y + + − ≤ (điều phải chứng minh) 2.2 Bài toán 2: Chứng minh rằng ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2x x x x   + − + − − ≤ + +     Lời giải Điều kiện có nghĩa 1x ≤ Đặt cosx α = với [ ] 0; α π ∈ Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng ( ) ( ) 3 3 1 sin 1 cos 1 cos 2 2 2 sin α α α α   + + − − ≤ +     ( ) 3 3 2 2 cos sin cos sin 2 2 sin 2 2 2 2 α α α α α    ⇔ + − ≤ +  ÷ ÷    ( ) ( ) 2 cos 2 sin 2 2 sin α α α ⇔ + ≤ + ( ) ( ) 2 sin cos 1 0 α α ⇔ + − ≤ 2.3 Các bài toán tự giải 2.3.1 Bài toán 1: Cho 1, 1a b ≥ ≥ . Chứng minh rằng 2 2 1 1a b ab − + − ≤ 2.3.2 Bài toán 2: Cho các số , ,x y z thoả mãn 0 , , 1 z x 1 x y z xy y z < <   + + =  Chứng minh rằng 2 2 2 3 3 1 1 1 2 x y z x y z + + ≥ − − − 2.3.3 Bài toán 3: Cho liên , , ,a b c d hệ bởi 2 2 1 , 1a c d b d c = − = − Chứng minh rằng 1a b + ≤ 3. Chứng minh đẳng thức 3.1 Bài toán 1: Cho 0, 0, 0x y z ≥ ≥ ≥ thoả mãn điều kiện sau z x 1xy y z + + = (1) Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 y z z x x y x y z x y z + + + + + + + + = + + + Lời giải Đặt tanx α = , tany β = , tanz γ = với , , 0; 2 π α β γ   ∈ ÷    Khi đó (1) có dạng tan tan tan tan tan tan 1 α β β γ γ α + + = ( ) tan tan tan 1 tan tan α β γ β γ ⇔ + = − ( ) 1 tan tan tan cot tan tan β γ α β γ β γ − ⇔ = = + + 2 k π α β γ π ⇔ + + = + Do 3 0; 2 π α β γ   + + ∈ ÷    nên 3 0 2 2 k π π π ≤ + ≤ hay 1 1 2 k − ≤ < Vì k ∈ Ζ nên 0k = . Vậy 2 π α β γ + + = Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 tan 1 tan tan 1 1 tan y z x x β γ α α + + + + = + + cos sin tan cos cos cos cos α α α β γ β γ = = ( ) cos cos cos sin sin cos cos cos cos β γ β γ β γ β γ β γ + − = = 1 tan tan 1 zy β γ = − = − Tương tự ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 z 1 z x y x y + + = − + ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 x y z xy z + + = − + Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 z x 2 1 1 1 y z z x x y x y z xy y z x y z + + + + + + + + = − + + = + + + 3.2 Bài toán 2: Cho 0, 0, 0x y z > > > thoả mãn zx y z xy + + = Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 z 1 1 1 1 x 1 1 1 1 0 y z y z y z x z x z x y x y xy + + − + − + + + − + − + + + + − + − + + = Lời giải Đặt tanx α = , tany β = , tanz γ = với , , 0; 2 π α β γ   ∈  ÷   Do zx y z xy + + = nên tan tan tan tan tan tan α β γ α β γ + + = ( ) tan tan tan tan tan 1 α β γ α β ⇔ + = − tan tan tan 1 tan tan α β γ α β + ⇔ = − − k α β γ π ⇔ + = − + ( ) ,k k α β γ π ⇔ + + = ∈ Ζ Do 3 3 3 0; 0 0 2 2 2 k k π π α β γ π   + + ∈ ⇒ < < ⇒ < <  ÷   mà k ∈ Ζ nên 1k = Vậy α β γ π + + = . Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 z y z y z y + + − + − + ( ) ( ) 2 2 2 2 1 tan 1 tan 1 tan 1 tan tan tan β γ β γ β γ + + − + − + = 1 1 1 1 cos cos cos cos sin sin cos cos β γ β γ β γ β γ − − = ( ) 1 cos cos sin sin β γ β γ − + = Tương tự ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 cos cos x sin sin z x z x z γ α γ α + + − + − + − + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 cos cos sin sin x y x y xy α β α β + + − + − + − + = Khi đó vế trái của đẳng thức cần chứng minh bằng ( ) ( ) ( ) 1 cos cos 1 cos cos 1 cos cos sin sin sin sin sin sin β γ γ α α β β γ γ α α β − + − + − + + + ( ) ( ) ( ) sin sin sin sin sin sin 0 sin sin sin α β γ α γ α β β γ α β γ + + − + − + − + = = Suy ra điều phải chứng minh 3.3 Các bài toán tự giải 3.3.1 Bài toán 1:Cho 1, z 1, x 1xy y z ≠ − ≠ − ≠ − . Chứng minh rằng: 1 1 z 1 x 1 1 z 1 x x y y z z x x y y z z x xy y z xy y z − − − − − − + + = + + + + + + 3.3.2 Bài toán 2: Cho 1 1 1 , , 3 3 3 x y z≠ ± ≠ ± ≠ ± và thoả điều kiện zx y z xy + + = Chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 x x y y z z x x y y z z x y z x y z − − − − − − + + = − − − − − − 3.3.3 Bài toán 3: Cho 0 , , 1a b c< < và 2 2 2 2 1a b c abc + + + = Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1abc c a b a b c b c a + = − − + − − + − −